함수 실전 완전정복
— 대응을 정확히 세면 보인다 · 연습 10제

풀이 — 정의역 원소마다 공역 선택지를 곱한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 밑이 3이고 지수가 2다 (2³이 아니다) 집합이 둘이라 3²과 2³ 사이에서 손이 흔들립니다. 가르는 것은 「누가 반드시 한 번씩 짝을 찾아야 하는가」입니다. 함수의 약속은 정의역의 원소마다 빠짐없이 하나씩 대응시키는 것입니다. 그러니 정해야 할 일이 정의역 원소의 수(2번)만큼 생기고, 한 번 정할 때 고를 수 있는 것이 공역 원소의 수(3가지)입니다. 곧 3 × 3 = 3² — 「고르는 가짓수」가 밑, 「고르는 횟수」가 지수입니다. (거꾸로 2³은 Y에서 X로 갈 때의 개수입니다.) 화살표는 언제나 정의역에서 출발합니다 — 출발하는 쪽이 지수라고 새겨 두십시오.
2. 1은 3가지 중 하나, 2도 3가지 중 하나 → 3 × 3 = 3².

풀이 — 하나씩 정확히 센다

1. m₁(전체 함수) = 3² = 9.　m₂(일대일함수) = 3 × 2 = 6.　m₃(상수함수) = 3.
2. ⭐ 여기가 고비 — m₄만 방향이 반대다 (Y→X) 앞의 셋은 모두 X→Y였는데 m₄만 Y→X입니다. 여기서 습관대로 3² 쪽을 쓰면 통째로 틀립니다. 출발하는 쪽이 바뀌었으니 밑과 지수가 통째로 뒤바뀝니다 — 전체는 2³ = 8입니다. 그리고 「치역 = 공역」이라는 조건은 X의 두 원소가 하나도 빠짐없이 쓰여야 한다는 뜻인데, 이것을 정면으로 세면 겹쳐서 어지럽습니다. 어겨지는 경우가 몇 안 되니 그쪽을 빼는 편이 빠릅니다 — 1만 쓰이거나 2만 쓰이는 두 가지(상수함수)뿐이므로 8 − 2 = 6. 조건이 「빠짐없이」이면 반대인 「하나가 빠진다」쪽을 세십시오. (Y의 원소가 3개, X가 2개라 어차피 일대일함수는 될 수 없다는 점도 함께 보아 두십시오.)
3. m₄ = 전체 2³ = 8에서 상수함수 2개를 빼 8 − 2 = 6.
4. 합 = 9 + 6 + 3 + 6.

풀이 — 기울기 부호 같고, 경계에서 이어져야

풀이 — 경계는 이미 이어짐(둘다 −2), 기울기 부호만 확인

1. x = 0에서 두 식이 모두 −2이므로 경계는 이미 이어져 있다 — 조건 하나는 저절로 충족된다.
2. ⭐ 여기가 고비 — 「부호가 같다」를 부등식 하나로 적는 법 「두 기울기의 부호가 같아야 한다」까지는 알겠는데, 그것을 어떻게 식으로 쓰느냐에서 막힙니다. 「둘 다 양수」와 「둘 다 음수」를 따로 풀면 경우가 둘로 갈려 번거롭습니다. 한 줄로 적는 길이 있습니다 — 부호가 같다 = 곱이 양수. 그래서 (a + 3)(2 − a) > 0 한 줄이면 두 경우가 동시에 담깁니다. 풀 때는 x²의 계수가 양수가 되도록 부호를 정리하는 것이 안전합니다 — 양변에 −1을 곱해 (a + 3)(a − 2) < 0. 부등호 방향이 뒤집히는 것을 잊으면 답이 정반대가 되니 이 자리를 조심하십시오. 그러면 두 근 −3과 2 사이, 곧 −3 < a < 2. 정수는 −2, −1, 0, 1 넷 — 양 끝 −3과 2는 기울기를 0으로 만들어 함수가 되지 못하므로 당연히 빠집니다.
3. (a+3)(2−a) > 0 → (a+3)(a−2) < 0 → −3 < a < 2.
4. 정수 a: −2, −1, 0, 1.

풀이 — 소인수분해로 쪼개서 대입

1. ⭐ 여기가 고비 — 300 = 1 × 300으로 쪼개면 아무것도 안 나온다 조건 (나)는 어떻게 쪼개도 쓸 수 있으니 아무렇게나 쪼개고 싶어집니다. 그런데 f(300) = f(1) + f(300)이나 f(300) = f(4) + f(75)로 가면 f(4)도 f(75)도 아는 값이 아니라 제자리걸음입니다. 쓸 수 있는 값은 조건 (가)가 준 「소수일 때만」입니다. 그러니 더 쪼갤 수 없을 때까지, 곧 전부 소수가 될 때까지 쪼개야 합니다 — 그것이 바로 소인수분해입니다 : 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5. (나)를 되풀이하면 곱이 합으로 풀어져 f(300) = f(2) + f(2) + f(3) + f(5) + f(5)가 되고, 이제 다섯 항이 모두 소수라 (가)를 쓸 수 있습니다 — 2 + 2 + 3 + 5 + 5 = 17. 「아는 값이 있는 자리까지 쪼갠다」가 함수방정식의 길입니다.
2. 300 = 2² × 3 × 5² → (나)를 되풀이하면 f(300) = f(2)+f(2)+f(3)+f(5)+f(5).
3. (가)에 의해 소수는 자기 자신 → 2+2+3+5+5.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — f(x) = 2x + 3이라는 식은 볼 필요조차 없다 식이 주어져 있으니 역함수를 실제로 구해(g(x) = (x − 3)/2) 두 그래프를 그려 보려 합니다. 그럴 필요가 없습니다. y = x 대칭은 이 함수의 성질이 아니라 「역함수」라는 말 자체의 성질이기 때문입니다. 역함수는 x와 y의 역할을 맞바꾼 것입니다. 곧 f의 그래프 위에 점 (a, b)가 있으면 g의 그래프에는 반드시 (b, a)가 있습니다. 그런데 (a, b)와 (b, a)는 직선 y = x에 대해 서로 거울상입니다. 점마다 그러하니 그래프 전체가 y = x에 대해 대칭인 것입니다. 어떤 함수를 가져와도 마찬가지이므로, 식을 보지 않고 답할 수 있습니다.
2. 따라서 모든 함수와 그 역함수의 그래프는 y = x에 대해 대칭이다.

풀이 — y=x와 만나는 점을 찾고, 대칭이라 2배

풀이 — 값 하나로 고정되는 경우의 수

1. ⭐ 여기가 고비 — X의 원소가 4개인데 답에는 4가 안 나온다 X가 4개, Y가 2개이니 2⁴이나 4 × 2 같은 수가 나올 것 같습니다. 답은 그냥 2입니다. 상수함수에서는 정의역이 아무리 커도 「정할 것」이 하나뿐이기 때문입니다. 보통 함수는 정의역 원소마다 하나씩 골라 네 번을 정합니다. 그런데 상수함수는 「모두 같은 값으로 간다」는 것이 이미 정해져 있어, 남은 물음은 「그 하나의 값이 무엇인가」뿐입니다. 그러니 고를 수 있는 것은 Y의 원소 a냐 b냐, 곧 2가지. 상수함수의 개수는 언제나 「공역의 원소 개수」와 같습니다 — 정의역이 100개라도 답은 여전히 2입니다.
2. 모든 원소가 같은 값 하나로 대응 → Y의 원소 개수만큼.

풀이 — 정의역 모든 원소가 공역에 대응해야

1. ⭐ 여기가 고비 — 「공역에 남는 것이 있어도 함수다」 Y에는 2, 3, …처럼 쓰이지 않는 원소가 잔뜩 남습니다. 그것을 보고 「빠진 것이 있으니 함수가 아니다」라고 판단하기 쉽습니다. 아닙니다. 함수의 약속은 공역이 아니라 정의역 쪽에 걸려 있습니다. 확인할 것은 두 가지뿐입니다 — ① 정의역의 원소가 하나도 빠짐없이 짝을 찾았는가 : 1→−1, 2→0, 3→1로 셋 다 찾았습니다 ✓ ② 한 원소가 두 곳으로 갈라지지 않았는가 : 각각 하나씩입니다 ✓ 공역에 남는 것이 있어도 아무 상관이 없습니다 — 남은 것들은 그저 「치역에 안 든 값」일 뿐입니다. 왼쪽은 빠짐없이·갈라짐 없이, 오른쪽은 남아도 된다 — 이 한 줄이 함수의 뜻 전부입니다. (⛔ 만약 1 → −1인데 −1이 Y 밖이었다면 그때는 함수가 아닙니다.)
2. 1→−1, 2→0, 3→1. 전부 Y 안에 있으니 함수 맞다.

풀이 — 함수의 개수 = 10⁴

1. ⭐ 여기가 고비 — 무엇을 정의역으로 삼을지 정하는 일 자물쇠 이야기라 수학처럼 보이지 않습니다. 「무엇이 정의역이고 무엇이 공역인가」를 정하는 순간 문제가 끝납니다. 잣대는 문제 1에서 세운 것 그대로 — 「반드시 하나씩 정해 주어야 하는 쪽」이 정의역입니다. 여기서는 네 자리 하나하나가 반드시 숫자 하나씩을 가져야 하므로 정의역 = 자리 4개, 공역 = 숫자 10개입니다. (거꾸로 숫자 쪽은 안 쓰여도 되고 여러 자리에 겹쳐 쓰여도 되니 공역입니다 — 문제 9에서 본 그대로입니다.) 그러면 답은 문제 1과 똑같은 꼴 (공역 크기)^(정의역 크기) = 10⁴ = 10000. 실생활 문제는 「누가 반드시 짝을 찾아야 하는가」만 가려내면 이미 푼 것입니다.
2. 각 자리(정의역 4개)마다 10가지 선택 → 10⁴.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 곱하는 수가 한 번씩 줄어드는 까닭 그냥 함수라면 5 × 5 × 5였을 것입니다. 일대일함수는 5 × 4 × 3으로 한 번 고를 때마다 선택지가 하나씩 줄어듭니다. 까닭은 「일대일 = 두 원소가 같은 곳으로 가면 안 된다」이기 때문입니다. 1이 a로 갔다면 a는 이미 임자가 있어 2는 남은 4개 중에서 골라야 하고, 2까지 정해지면 3은 남은 3개 중에서 골라야 합니다 — 5 × 4 × 3 = 60. 이것이 순열 ₅P₃의 뜻입니다. 여기서 한 가지가 더 보입니다 — 정의역이 공역보다 크면 일대일함수는 아예 만들 수 없습니다. 자리가 모자라 반드시 겹치기 때문입니다(문제 2의 m₂ 자리와 견주어 보십시오).
2. ₅P₃ = 5 × 4 × 3.

풀이 — 전체에서 상수함수(둘 다 안 나오는 경우) 빼기

1. ⭐ 여기가 고비 — 「둘 다 나온다」의 반대가 「상수함수」다 「a도 나오고 b도 나온다」를 정면으로 세려 하면 어느 자리에 몇 개를 배정할지 갈래가 늘어 어지럽습니다. 반대를 세면 놀랄 만큼 간단합니다 — 「둘 다 나오지는 않는다」는 곧 「한 쪽만 나온다」, 그것이 바로 상수함수입니다. 공역이 {a, b} 둘뿐이라 「빠진 것이 있다」면 반드시 하나만 남습니다. 그런 함수는 전부 a로 가는 것, 전부 b로 가는 것 딱 둘뿐 — 문제 8에서 본 「상수함수의 개수 = 공역의 원소 개수」 그대로입니다. 그러니 2³ = 8에서 둘을 빼 8 − 2 = 6. (문제 2의 m₄와 완전히 같은 문제였습니다 — 옷만 갈아입었습니다.) ⚠️ 공역이 셋 이상이면 이 길이 그대로 통하지 않습니다 — 「하나만 빠지는」 경우가 따로 생겨 겹침을 덜어 내야 합니다.
2. 전체 2³ = 8, 상수함수 2개(전부 a, 전부 b)를 빼면 8 − 2.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 경계값은 「두 식에 같은 x를 넣어」 만든다 이어져야 한다는 것은 알겠는데, 어느 식에 무엇을 넣어야 하는지에서 손이 멈춥니다. 방법은 하나뿐입니다 — 경계인 x = 2를 두 식에 각각 넣고, 나온 두 값을 등호로 잇는 것. 넣어 보십시오 — 위 조각 ax − 2에 2를 넣으면 2a − 2, 아래 조각 3x + b에 2를 넣으면 6 + b. 같은 자리에서 두 값이 어긋나면 그래프가 뚝 끊어져 그 틈만큼의 y값에 짝이 없어집니다 — 그러면 치역이 실수 전체가 못 되어 「대응」이 깨집니다. 그래서 2a − 2 = 6 + b, 정리하면 2a − b = 8. (x < 2라 2가 아래 조각의 정의역에는 안 들어가지만, 바로 곁까지 다가간 값이 6 + b이므로 이어짐을 따질 때는 그대로 넣습니다.) 기울기가 3으로 양수이니 a > 0이라는 나머지 조건은 이미 문제가 주었습니다.
2. 경계 x = 2에서 연결: 2a − 2 = 6 + b → 2a − b = 8.

풀이 — g'(a)=1/f'(g(a))

1. ⭐ 여기가 고비 — g'(2)인데 f'에는 2가 아니라 1을 넣는다 2를 그대로 f'에 넣어 f'(2) = 12, 답 1/12이라 쓰는 잘못이 가장 흔합니다. 「어느 점에서 재는가」가 두 그래프에서 서로 다르기 때문입니다. g의 그래프는 f를 y = x에 접은 것이니, g 위의 점 (2, 1)은 f 위의 점 (1, 2)가 접혀 온 것입니다. 곧 g의 x = 2 자리는 f의 x = 1 자리와 같은 점입니다. 그러니 기울기도 그 자리, 곧 f'(1) = 3과 견주어야 합니다. 그리고 접으면 가로와 세로가 맞바뀌므로 기울기는 뒤집힙니다 — g'(2) = 1/f'(1) = 1/3. 차례를 이렇게 잡으십시오 : ① g(2)가 무엇인지 먼저 찾고 ② 그 값을 f'에 넣고 ③ 뒤집는다.
2. f(1) = 2이므로 g(2) = 1. f'(x) = 3x²이니 f'(1) = 3.
3. g'(2) = 1/f'(1) = 1/3.

풀이 — 반복 적용

1. ⭐ 여기가 고비 — 아는 것이 f(1) 하나뿐일 때, 5를 1들로 쪼갠다 f의 식이 하나도 주어지지 않아 「무엇을 어떻게 하라는 것인가」 싶어 막힙니다. 손에 쥔 것은 규칙 하나와 값 하나뿐이니, 할 일도 하나뿐입니다 — 구하려는 5를, 아는 값인 1들로 쪼개는 것. 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1로 놓고 규칙을 되풀이하면 f(5) = f(1) + f(1) + f(1) + f(1) + f(1) = 5 × 3 = 15. 문제 5와 뼈대가 같습니다 — 거기서는 곱을 합으로 바꾸는 규칙이라 소수로 쪼갰고, 여기서는 합을 합으로 바꾸는 규칙이라 1로 쪼갰습니다. 규칙이 무엇을 무엇으로 바꿔 주는지 보고, 그 「무엇」이 아는 값이 되도록 쪼개는 것 — 언제나 같은 길입니다. (같은 방법으로 어떤 자연수 n에 대해서도 f(n) = 3n임을 알 수 있습니다.)
2. f(5) = f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1) = 5 × 3.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「역함수가 있으려면 일대일대응이어야 한다」의 쓸모 공식도 숫자도 없는 물음이라 무엇을 답해야 할지 막막합니다. 묻는 것은 「역함수가 왜 일대일대응일 때만 있는가」 하나뿐이고, 답은 복호화에 그대로 붙습니다. 두 평문이 같은 암호문으로 갔다면(충돌), 받은 쪽은 그 암호문 하나를 손에 쥐고 「원래 것이 둘 중 어느 쪽이었나」를 가릴 길이 없습니다. 거꾸로 가는 대응이 한 곳에서 두 갈래로 갈라지므로 함수가 되지 못하는 것 — 이것이 「역함수가 없다」의 실제 모습입니다. (문제 9에서 「갈라지면 함수가 아니다」라고 한 바로 그 조건이 여기서 값을 합니다.) 그래서 암호는 반드시 일대일이어야 하고, 「빠짐없이 되돌아오려면」 대응이기까지 해야 합니다.
2. 역함수(복호화)가 존재하지 않아 원래 평문을 구별해서 복원할 수 없다(충돌 발생).