YEON MATH · 행복수학

피타고라스 정리 실전 완전정복
— 넓이로 보면 다 보인다 · 연습 10제

넓이로 보기 · 예각·직각·둔각 판정 · 외워 둘 네 쌍 · 마주 보는 짝 공식 · 반원과 초승달 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 피타고라스 정리, 이 여섯 가지면 끝난다

1
정리 자체 — 직각삼각형에서 짧은 두 변의 제곱합 = 가장 긴 변(빗변)의 제곱. a² + b² = c²
2
넓이로 본다 — 세 변마다 정사각형을 그리면 작은 두 정사각형의 넓이 합 = 큰 정사각형의 넓이. 넓이 → 한 변은 제곱근.
3
예각·직각·둔각 판정 — 짧은 두 변의 제곱합이 가장 긴 변의 제곱보다 크면 예각, 같으면 직각, 작으면 둔각.
4
외워 둘 네 쌍 — 3:4:5 · 5:12:13 · 8:15:17 · 7:24:25 (그리고 그 배수 전부).
5
마주 보는 짝 — 직사각형 ABCD 안의 점 P에 대해 AP² + CP² = BP² + DP².
6
넓이 정리 — 세 변을 지름으로 하는 반원은 S₁ + S₂ = S₃. 히포크라테스의 초승달 두 개의 넓이 = 삼각형의 넓이.
9 16 25

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
밧줄에 매듭 12개를 같은 간격으로 묶어 3·4·5로 팽팽히 당기면 직각이 생긴다 — 손으로 만들어 본다.
📐 중2 (핵심)
a²+b²=c², 넓이로 보기, 예각·직각·둔각 판정, 마주 보는 짝 공식, 반원·초승달 넓이.
🎓 고등 (확장)
좌표평면·공간의 두 점 사이 거리, 원과 점 사이 최단·최장 거리, 삼각함수의 기본 항등식.

🐣 저학년 직관 — "밧줄 매듭 12개로 직각 만들기"

긴 줄에 매듭을 같은 간격으로 12개 묶어 고리를 만들어요. 세 사람이 3칸 · 4칸 · 5칸이 되게 잡고 팽팽히 당기면, 3칸과 4칸이 만나는 자리가 정확히 직각이 돼요. 3+4+5=12라서 딱 맞아떨어지죠. 옛날 이집트 사람들이 밭의 모서리를 직각으로 만들 때 실제로 쓰던 방법이에요.

왜 직각일까요? 3×3=9, 4×4=16, 더하면 25. 그리고 5×5=25. 딱 같으니까 직각이에요.

3칸 + 4칸 + 5칸 = 매듭 12개 → 직각!

연습 10제 · 그림 해설

문제 1답이 두 개 · 함정
직각삼각형의 세 변의 길이가 6, 8, x일 때, x가 될 수 있는 값을 모두 구하라.

풀이 — x가 빗변인지 아닌지 말해 주지 않았다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 가장 긴 변을 정할 수가 없다 선생님은 늘 가장 긴 변을 먼저 찾아 오른쪽에 두고 시작하라고 하십니다. 그런데 이 문제는 x가 어느 자리인지 말해 주지 않았습니다. 6과 8은 정해져 있으니 가능한 자리는 딱 두 곳뿐입니다 — x가 가장 길거나(빗변), 아니면 8이 가장 길거나(x는 짧은 변). 그럼 x가 6보다 짧은 경우는 왜 따로 안 세나요? 그것도 「8이 가장 길 때」에 이미 들어 있습니다. 빗변만 8로 정해지면 나머지 두 변은 6과 x로 자동으로 정해지니까요. 경우는 「빗변이 누구냐」로만 갈라집니다 — 그래서 딱 두 가지.
  2. x가 빗변: x² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → x = 10.
  3. 8이 빗변: 8² = 6² + x² → x² = 64 − 36 = 28 → x = 2√7.
  4. 검산: (2√7)² = 4×7 = 28, 28 + 36 = 64 = 8² ✓  (2√7 ≈ 5.29 < 6 < 8 — 8이 가장 길다는 가정과 어긋나지 않는다 ✓)
"a가 긴 변인지 짧은 변인지 말해 주지 않았으니 두 경우를 모두 따져야 해. 이게 이 단원 최고의 함정!"— 장대경 선생님 특강 예제④ (8, 15, a)
x = 10 또는 x = 2√7
문제 2넓이로 보기
직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 그렸더니 넓이가 각각 169와 25였다. 나머지 정사각형의 넓이와 그 한 변의 길이를 구하라.
? 25 169
넓이가 가장 큰 정사각형이 빗변 위에 있는 것이다.

풀이 — 큰 넓이에서 작은 넓이를 그냥 뺀다

  1. 169가 가장 크므로 그것이 빗변 위 정사각형이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 한 변을 구하지 말고 넓이끼리 바로 뺀다 많은 학생이 먼저 √169 = 13, √25 = 5를 구하고, 13² − 5²을 다시 계산합니다. 그 왕복이 필요 없습니다. a² + b² = c²에서 a², b², c² 자체가 곧 세 정사각형의 넓이이니까요. 그래서 나머지 넓이는 169 − 25 = 144 — 한 번에 끝납니다. 선생님이 이 단원을 "넓이다"라고 못 박으신 까닭이 바로 이것입니다. 제곱근을 뽑았다가 다시 제곱하는 자리가 통째로 사라집니다. 제곱근은 「한 변의 길이」를 물었을 때 딱 한 번만 뽑습니다.
  3. 한 변의 길이 = √144 = 12. (5, 12, 13은 외워 둘 네 쌍 중 하나 ✓)
  4. 검산: 25 + 144 = 169 ✓
"피타고라스 정리는 '넓이'다 — 짧은 두 변 위 넓이를 더하면 가장 긴 변 위 넓이와 똑같아진다."— 장대경 선생님 특강 핵심①
넓이 144, 한 변 12
문제 3예각·직각·둔각 판정 · 진가
다음 네 삼각형이 예각·직각·둔각 중 무엇인지 각각 판정하라: (5,12,13), (6,7,10), (9,12,14), (4,7,9)

풀이 — 짧은 두 변의 제곱합과 가장 긴 변의 제곱을 비교

  1. 먼저 가장 긴 변을 찾아 오른쪽에 둔다. 차례로 13 · 10 · 14 · 9.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 부등호가 어느 쪽일 때 예각인가 외운 방향이 뒤집혀서 틀리는 자리입니다. 외우지 말고 극단을 한 번 그려 보면 다시는 안 헷갈립니다. c를 가장 긴 변이라 두고, a, b는 고정한 채 c만 움직여 봅니다. 먼저 가장 긴 변의 맞은편 각이 그 삼각형에서 가장 큰 각입니다. 그러니 그 각 하나만 보면 판정이 끝납니다 (가장 큰 각이 90°보다 작으면 나머지도 다 작으니까요).
    · c를 짧게 하면 a와 b가 오므라들어 그 사이 각이 90°보다 작아집니다 → 예각삼각형. 이때 c²이 작으니 a²+b²이 더 큽니다.
    · c를 길게 하면 a와 b가 쫙 벌어져 그 사이 각이 90°를 넘습니다 → 둔각삼각형. 이때 c²이 더 큽니다.
    · 그 딱 가운데가 a² + b² = c² — 직각.
    정리하면 「제곱합이 크면 예각, 같으면 직각, 작으면 둔각」. 이 한 줄만 있으면 네 문제가 다 계산일 뿐입니다.
  3. (5,12,13): 25 + 144 = 169 = 13² = 169 → 같다 → 직각삼각형.
  4. (6,7,10): 36 + 49 = 85 < 10² = 100 → 작다 → 둔각삼각형.
  5. (9,12,14): 81 + 144 = 225 > 14² = 196 → 크다 → 예각삼각형.
  6. (4,7,9): 16 + 49 = 65 < 9² = 81 → 작다 → 둔각삼각형.
"가장 긴 변을 먼저 찾아 오른쪽에 두는 것 — 이게 순서야."— 장대경 선생님 특강 예제③ (판정)
직각 · 둔각 · 예각 · 둔각
문제 4격자·좌표 · 진가
모눈종이 위의 세 점 A(0,0), B(2,3), C(5,1)을 이어 삼각형을 만들었다. 이 삼각형이 직각삼각형인지 판정하고, 넓이를 구하라.
A B C
세 변의 길이를 제곱한 값으로만 비교하면 근호를 쓸 일이 없다.

풀이 — 근호를 한 번도 뽑지 않고 끝낸다

  1. 각 변을 가로·세로 칸수로 읽는다. A→B는 가로 2·세로 3, B→C는 가로 3·세로 2, A→C는 가로 5·세로 1.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 길이가 아니라 「길이의 제곱」인 채로 끝까지 간다 여기서 √13을 계산기로 3.605…라고 뽑는 순간 문제가 지저분해집니다. 제곱한 값 그대로 두고 비교하면 근호가 한 번도 안 나옵니다. AB² = 2² + 3² = 13 · BC² = 3² + 2² = 13 · AC² = 5² + 1² = 26. 가장 큰 것은 AC², 그리고 13 + 13 = 26 → 직각삼각형, 직각은 가장 긴 변 AC의 맞은편인 ∠B. 넓이도 마찬가지입니다. 직각을 낀 두 변이 √13로 같으니 √13 × √13 ÷ 2인데, 같은 근호를 두 번 곱하면 근호가 벗겨져 13이 됩니다. 그래서 13 ÷ 2 = 6.5. 선생님이 격자 예제에서 쓰신 수법 그대로입니다.
  3. 넓이 = √13 × √13 ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6.5.
  4. 검산: 13 + 13 = 26 = AC² ✓
"√20을 두 번 곱하면 20이니까, 20÷2, 바로 10이야."— 장대경 선생님 특강 예제⑤ (격자에서 길이와 넓이)
∠B = 90°인 직각삼각형, 넓이 6.5
문제 5마주 보는 짝 공식
직사각형 ABCD의 내부에 점 P가 있고 AP = 5, BP = 7, CP = 8이다. DP의 길이를 구하라.
AB CD P
A와 C가 마주 보는 짝, B와 D가 마주 보는 짝이다.

풀이 — 마주 보는 짝끼리 묶는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 누가 누구와 「짝」인가 공식은 외웠는데 짝을 잘못 묶어 틀리는 자리입니다. 직사각형 ABCD에서 꼭짓점은 A→B→C→D 차례로 돌아가며 놓입니다. 그러니 대각선으로 마주 보는 짝은 A와 C, 그리고 B와 D입니다 (A와 B는 이웃이지 짝이 아닙니다). 문제가 준 것은 AP=5, BP=7, CP=8 — A와 C가 이미 한 짝으로 다 주어졌고, 남은 짝 B·D 중에서 D만 비어 있습니다. 그래서 식이 한 줄로 그냥 서집니다: AP² + CP² = BP² + DP². 짝만 제대로 묶으면 나머지는 숫자를 갈아 끼우는 일뿐입니다.
  2. 5² + 8² = 7² + DP² → 25 + 64 = 89.
  3. 49 + DP² = 89 → DP² = 40.
  4. DP = √40 = 2√10. 검산: 49 + 40 = 89 = 25 + 64 ✓
"외울 것은 '마주 보는 짝' 하나뿐이야. 숫자만 갈아 끼우면 어떤 문제든 똑같이 풀려."— 장대경 선생님 특강 예제⑦ (마주 보는 짝)
DP = 2√10
문제 6세 변 위 반원 · S₁+S₂=S₃
직각을 낀 두 변의 길이가 6, 8인 직각삼각형의 세 변을 각각 지름으로 하는 반원을 그렸다. 세 반원의 넓이 S₁, S₂, S₃를 각각 구하고 S₁ + S₂ = S₃임을 확인하라.
S₁ S₂ S₃
반원의 넓이 = ½ × π × (반지름)². 반지름은 지름의 절반이다.

풀이 — 지름 → 반지름 → 원 넓이 → 반원

  1. 빗변 = √(6² + 8²) = √100 = 10. (3:4:5의 2배 ✓)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 6과 8은 반지름이 아니라 지름이다 이 문제에서 틀리는 사람은 거의 전부 같은 한 곳에서 틀립니다. 문제가 "세 변을 각각 지름으로"라고 했는데, 주어진 6·8·10을 그대로 반지름 자리에 넣어 ½π×6²이라고 쓰는 것입니다. 선생님이 밟으신 순서를 그대로 밟으면 미끄러지지 않습니다 — 지름 → 반으로 나눠 반지름 → 원 넓이 → 다시 반으로 나눠 반원. 반으로 나누는 일이 두 번 나옵니다. 6이면 → 반지름 3 → 원 9π → 반원 4.5π.
    8이면 → 반지름 4 → 원 16π → 반원 8π.
    10이면 → 반지름 5 → 원 25π → 반원 12.5π.
    세 반원의 넓이는 「반지름의 제곱」에 나란히 비례합니다. 반지름이 3, 4, 5이니 9 + 16 = 25가 그대로 S₁+S₂=S₃이 됩니다 — 결국 또 피타고라스입니다.
  3. S₁ = ½ π (6÷2)² = ½ π × 9 = 4.5π.
  4. S₂ = ½ π (8÷2)² = ½ π × 16 = 8π.
  5. S₃ = ½ π (10÷2)² = ½ π × 25 = 12.5π.
  6. 확인: 4.5π + 8π = 12.5π = S₃ ✓
"지름이 16인 반원이라면 반지름은 8, 원의 넓이는 64π, 반원이니까 그 절반인 32π지."— 장대경 선생님 특강 핵심④ (세 변 위 반원)
S₁ = 4.5π, S₂ = 8π, S₃ = 12.5π (S₁+S₂=S₃)
문제 7히포크라테스의 초승달 · 진가
직각을 낀 두 변이 5, 12인 직각삼각형에서, 두 변 위에 그린 초승달 두 개(색칠한 부분)의 넓이의 합을 구하라.
5 12 13
초승달 두 개를 더하면 삼각형의 넓이와 정확히 같다 — 파이(π)가 모두 사라진다.

풀이 — 그림을 두 가지로 나눠 세면 π가 사라진다

  1. 빗변 = √(5² + 12²) = √169 = 13.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 같은 도형을 「두 가지로 나눠 세기」 초승달은 넓이 공식이 없습니다. 그래서 초승달을 직접 구하려 들면 막힙니다. 대신 그림 전체(색칠한 부분까지 다 합친 바깥 모양)를 두 가지 방법으로 나눠 세어 둘을 같다고 놓습니다. ① 다리 쪽으로 나눠 세기 : (두 다리 위 반원) + (삼각형)
    ② 빗변 쪽으로 나눠 세기 : (초승달 두 개) + (빗변 위 반원)
    같은 도형이니 두 값은 같습니다 → (반원₁+반원₂) + 삼각형 = 초승달 + 반원₃
    그런데 문제 6에서 이미 본 것처럼 반원₁ + 반원₂ = 반원₃입니다. 양변에서 이 같은 덩어리를 지워 버리면 — 삼각형 = 초승달 두 개. π가 통째로 사라집니다.
  3. 확인: (두 다리 위 반원) = ½π(2.5)² + ½π(6)² = 3.125π + 18π = 21.125π, (빗변 위 반원) = ½π(6.5)² = 21.125π → 같다 ✓
  4. 그러므로 초승달 두 개의 합 = 삼각형의 넓이 = 5 × 12 ÷ 2 = 30.
"직각삼각형의 두 변 위에 그린 초승달 모양 두 개를 더하면, 놀랍게도 삼각형의 넓이와 똑같아져."— 장대경 선생님 특강 히포크라테스의 초승달
30
문제 8이등변삼각형 · 높이
밑변의 길이가 16이고 두 등변의 길이가 각각 10인 이등변삼각형의 높이와 넓이를 구하라.
10 10 16 h
꼭짓점에서 밑변에 수선을 내리면 밑변이 정확히 반으로 나뉜다.

풀이 — 수선을 내려 직각삼각형을 만든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 밑변 16이 아니라 「반쪽인 8」을 넣는다 피타고라스는 직각삼각형에서만 쓸 수 있는데, 이등변삼각형은 직각삼각형이 아닙니다. 그래서 꼭짓점에서 밑변에 수선을 내려 직각삼각형을 만들어 냅니다. 이때 수선의 발이 밑변을 정확히 반으로 나눕니다 → 반쪽 밑변 16 ÷ 2 = 8. 왜 정확히 반일까요? 수선이 만든 왼쪽·오른쪽 두 직각삼각형은 빗변이 둘 다 10(등변)이고 높이 h를 함께 씁니다. 두 삼각형에서 (밑변)² = 10² − h²로 같은 값이 나오니 두 밑변도 같습니다. 16을 그대로 넣으면 10² − 16²이 음수가 되어 아예 셈이 서지 않습니다 — 그것이 신호입니다.
  2. 직각삼각형에서 h² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36 → h = 6. (6, 8, 10 = 3:4:5의 2배 ✓)
  3. 넓이 = 16 × 6 ÷ 2 = 48. (넓이는 반쪽이 아니라 전체 밑변 16을 쓴다.)
  4. 검산: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓
높이 6, 넓이 48
문제 9직육면체의 대각선 · 진가
가로 4, 세로 3, 높이 12인 직육면체의 대각선의 길이를 구하라.
4 12 3
바닥면의 대각선을 먼저 구하고, 그 다음 한 번 더 피타고라스를 쓴다.

풀이 — 피타고라스를 두 번 쓴다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 번째 직각삼각형이 「어디에」 서 있는지 보는 것 입체라서 어렵게 느껴지지만, 실제로 쓰는 것은 평평한 직각삼각형 두 개뿐입니다. ① 바닥에 누운 직각삼각형 — 가로 4와 세로 3으로 바닥면의 대각선을 만든다.
    ② 세워진 직각삼각형 — 방금 만든 바닥 대각선을 한 변으로, 높이 12를 다른 한 변으로 삼는다. 이 둘이 만나는 자리가 직각인 까닭은, 높이가 바닥면에 수직이라 바닥에 그은 어떤 선과도 직각이기 때문입니다. 그 빗변이 바로 구하는 입체의 대각선입니다.
    그리고 ①의 결과를 「제곱인 채로」 그대로 ②에 넣습니다. √25 = 5를 뽑았다가 다시 5² = 25로 되돌릴 까닭이 없습니다.
  2. 바닥면 대각선의 제곱 = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 (길이 5).
  3. 대각선의 제곱 = 25 + 12² = 25 + 144 = 169 → 대각선 = 13.
  4. 그래서 한 줄로 쓰면 √(4² + 3² + 12²) = √169 = 13 — 세 항을 더하는 공식은 이 두 번을 이어 붙인 것일 뿐이다.
13
문제 10사다리 문제 · 활용 · 진가
길이 13m인 사다리를 벽에 기대었더니 벽 아래 끝에서 5m 떨어진 곳에 사다리 밑이 놓였다. ① 사다리가 벽에 닿은 높이는? ② 사다리 밑을 벽 쪽으로 1m 더 밀어 넣으면 닿는 높이는 얼마나 올라가는가?

풀이 — 사다리 길이(빗변)는 변하지 않는다

  1. ① h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12(m). (5, 12, 13 ✓)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 1m 밀었는데 왜 1m가 안 오르나 ②에서 학생들이 두 번 미끄러집니다. 먼저 밑변이 5+1=6이 아니라 5−1=4입니다 — 벽 쪽으로 밀어 넣었으니 벽에서의 거리가 줄어듭니다. 그리고 밑을 1m나 밀었는데 높이는 1m가 아니라 0.37m밖에 안 오릅니다. 까닭은 사다리 길이 13이 그대로이기 때문입니다. 밑변과 높이는 자유롭게 움직이는 두 수가 아니라 (밑변)² + (높이)² = 169로 묶여 있습니다. 더해지고 빼지는 것은 「길이」가 아니라 「길이의 제곱」입니다. 5² = 25에서 4² = 16으로 9만큼만 줄었으니 높이의 제곱은 144에서 153으로 9만큼만 늘고, 이미 12쯤 되는 큰 수라 실제 높이는 아주 조금 오릅니다. 사다리를 세울수록 「밀어도 안 올라가는」 이 성질이 강해집니다.
  3. ② 밑이 4m 떨어진 자리로 옮겨지면 h'² = 169 − 16 = 153 → h' = √153 = 3√17.
  4. √153 ≈ 12.369… 이므로 올라간 높이는 3√17 − 12 ≈ 0.37(m).
  5. 검산: (3√17)² = 9 × 17 = 153, 153 + 16 = 169 = 13² ✓
① 12m  ·  ② 3√17 − 12 ≈ 0.37m 올라간다

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"제곱해서 더한다" 하나로 좌표·공간·삼각함수까지

오늘 익힌 a² + b² = c²는 중2에서 끝나지 않습니다. 학년이 올라갈수록 거리를 재는 모든 자리에 그대로 다시 나타납니다.

① 중3 · 정삼각형의 높이와 특수각
중3 · 삼각비
한 변이 2인 정삼각형의 높이는 √(2²−1²) = √3. 여기서 30°·60°의 삼각비가 통째로 나옵니다. 정사각형을 반으로 자르면 45°가 나오고요.
② 중3 · 원의 현과 중심에서의 거리
중3 · 원의 성질
중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분합니다. 그래서 (반지름)² = (중심거리)² + (현의 절반)² — 이것도 피타고라스입니다.
③ 고1 · 좌표평면 두 점 사이의 거리
고1 · 도형의 방정식
√{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²} — 이 공식은 가로로 간 거리와 세로로 간 거리로 만든 직각삼각형의 빗변일 뿐입니다.
④ 고1 · 원과 점 사이의 최단·최장 거리
고1 · 원의 방정식
원 밖의 점에서 원 위의 점까지의 거리는 (중심까지 거리) ± (반지름) 사이를 오갑니다. 중심까지 거리를 구하는 것이 바로 피타고라스예요.
⑤ 고2 · 삼각함수의 기본 항등식
고2 수1 · 삼각함수
반지름 1인 원 위의 점을 (cos θ, sin θ)라 하면 sin²θ + cos²θ = 1. 이것은 피타고라스 정리 그 자체입니다.
⑥ 경시 · 피타고라스 세 쌍을 무한히 만드는 공식
정수론 · 경시수학
서로소인 자연수 m > n에 대해 (m²−n², 2mn, m²+n²)은 언제나 직각삼각형의 세 변이 됩니다. m=2,n=1이면 (3,4,5), m=3,n=2면 (5,12,13), m=4,n=1이면 (15,8,17)이에요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"제곱해서 더한다" 하나로 중3·고1·고2·경시까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중3정삼각형의 높이
한 변의 길이가 8인 정삼각형의 높이와 넓이를 구하라.

풀이 — 정삼각형을 반으로 자르면 직각삼각형

  1. ⭐ 여기가 고비 — 반으로 자른 뒤 「빗변만 8로 남는다」 정삼각형은 세 변이 다 8입니다. 높이를 내려 반으로 자르면 그 세 변 중 어느 것이 8로 남는지가 갈림길입니다. 잘린 쪽 변(밑변)만 4가 되고, 등변은 8 그대로 빗변이 됩니다. 즉 반쪽 직각삼각형의 세 변은 빗변 8 · 밑변 4 · 높이 h입니다. 빗변이 가장 길어야 하니 h² = 8² − 4² — 빼기입니다. 여기서 8² + 4²로 더해 버리면 높이가 빗변보다 길어져 그림이 성립하지 않습니다.
  2. h² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48 → h = √48 = 4√3.
  3. 넓이 = 8 × 4√3 ÷ 2 = 16√3. (넓이의 밑변은 전체 8)
  4. 검산: (4√3)² + 4² = 48 + 16 = 64 = 8² ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 밑변을 안 자르면 "정삼각형 한 변이 8이니까" 하고 그대로 넣으면 h² = 8² − 8² = 0 → h = 0. 높이가 0이라는 것은 삼각형이 납작하게 눌려 선분이 되었다는 뜻입니다. 그림이 무너졌으니 신호입니다. → 수선을 내리는 순간 밑변만 반으로 나뉜다는 것을 놓친 탓. 4를 넣어야 합니다.
높이 4√3, 넓이 16√3
도전 · 중3원의 현
반지름이 13인 원의 중심에서 현 AB까지의 거리가 5일 때, 현 AB의 길이를 구하라.

풀이 — 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 직각삼각형의 세 변이 무엇인지 이름 붙이기 그림에는 원과 현밖에 없습니다. 직각삼각형을 내가 만들어 넣어야 합니다. 중심 O에서 현 AB에 수선을 내려 발을 M이라 하면, 삼각형 OMA가 직각삼각형입니다. 그 세 변의 정체를 하나씩 못 박습니다 —
    · OA = 13 : A는 원 위의 점이니 반지름. 그리고 이것이 빗변입니다.
    · OM = 5 : 문제가 준 중심에서 현까지의 거리.
    · MA = x : 구할 것. 현의 절반입니다(수선이 현을 이등분하므로).
    반지름 13이 빗변이라는 것만 잡으면 나머지는 빼기 한 번입니다.
  2. x² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → x = 12.
  3. 현 전체 AB = 12 × 2 = 24.
  4. 검산: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — x=12에서 멈추면 "x = 12 나왔다, 답은 12" — 이 단원에서 가장 많이 나오는 실수입니다. 하지만 x는 M에서 A까지일 뿐, M에서 B까지가 통째로 빠져 있습니다. → 「구한 것이 전체인가 절반인가」를 답 쓰기 직전에 그림에서 한 번 짚습니다. AB = 24.
AB = 24
도전 · 고1두 점 사이의 거리
두 점 A(−2, 3), B(4, −5) 사이의 거리와 선분 AB의 중점을 구하라.

풀이 — 가로로 간 거리와 세로로 간 거리로 만든 직각삼각형

  1. 가로 차이 4 − (−2) = 6, 세로 차이 −5 − 3 = −8.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 같은 「−8」을 거리에서는 버리고 중점에서는 살린다 한 문제 안에서 부호를 다루는 방식이 두 번 다릅니다. 여기서 갈립니다. · 거리는 제곱하므로 부호가 사라집니다 — (−8)² = 64. 거리는 늘 양수이니 방향(위로 갔는지 아래로 갔는지)은 아무 상관이 없습니다.
    · 중점은 제곱하지 않으므로 부호가 그대로 살아 있습니다 — (3 + (−5)) ÷ 2 = −1. 중점은 「어디에 있는가」라서 방향이 중요합니다.
    제곱하면 버리고, 제곱하지 않으면 살린다 — 이 한 줄로 갈라 잡습니다.
  3. AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10. (3:4:5의 2배 ✓)
  4. 중점 = ((−2+4)/2, (3+(−5))/2) = (1, −1).
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「차이」를 반으로 나누면 거리에서 쓴 차이 6과 −8을 그대로 반으로 나눠 중점을 (3, −4)라고 써 보면? (3, −4)는 A에서 중점까지 얼마나 갔는가(이동량)일 뿐, 어디에 있는가(좌표)가 아닙니다. 출발점 A를 잊은 것입니다. → 실제로 A(−2, 3) + (3, −4) = (1, −1). 중점은 「더해서 반으로」이지 「빼서 반으로」가 아닙니다.
거리 10, 중점 (1, −1)
도전 · 고1원 위의 점까지의 거리 · 최대·최소
원 x² + y² = 25 위를 움직이는 점 P와 점 Q(8, 0)에 대해, 선분 PQ의 길이의 최댓값과 최솟값을 구하라.

풀이 — 중심까지의 거리에서 반지름을 더하고 뺀다

  1. 원의 중심은 O(0,0), 반지름은 √25 = 5. 중심에서 Q까지 OQ = √(8² + 0²) = 8. Q는 원 바깥에 있다(8 > 5).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 최대·최소인 P는 반드시 「직선 OQ 위」에 있다 P가 원 위를 빙 도는데 무한히 많은 자리를 어떻게 다 따지느냐 — 여기서 막힙니다. 답은 따질 필요가 없다입니다. 가장 멀거나 가장 가까운 P는 언제나 O와 Q를 잇는 직선 위에 있습니다. 까닭은 삼각부등식입니다. P가 직선 OQ 위에 없으면 O·P·Q가 진짜 삼각형을 이루고, 삼각형에서는 언제나 PQ < OQ + OP = 8 + 5 = 13이고 PQ > OQ − OP = 8 − 5 = 3입니다. 등호는 삼각형이 납작하게 무너질 때 — 곧 P가 직선 위에 놓일 때만 성립합니다. 그래서 후보는 직선 OQ가 원을 뚫는 두 점, 딱 둘뿐입니다 — (5, 0)과 (−5, 0).
  3. 최댓값 = 8 + 5 = 13 (P가 Q 반대편 끝 (−5,0)), 최솟값 = 8 − 5 = 3 (P가 Q 쪽 끝 (5,0)).
  4. 검산: P(−5,0)이면 PQ = 8 − (−5) = 13 ✓ · P(5,0)이면 PQ = 8 − 5 = 3 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 아무 P나 잡아 보면 원 맨 위 P(0, 5)를 잡아 보자: PQ = √(8² + 5²) = √89 ≈ 9.43. 13도 3도 아닙니다. 13보다 작고 3보다 큰, 어중간한 값이 나왔지요 — 삼각부등식이 예고한 그대로입니다. → 이렇게 점을 하나씩 찍어서는 끝이 없습니다. 「직선 위」라는 조건 하나로 후보가 둘로 줄어드는 것이 이 문제의 전부입니다.
최댓값 13, 최솟값 3
도전 · 고2공간에서의 거리
공간의 두 점 A(1, 2, 2), B(4, 6, 14) 사이의 거리를 구하라.

풀이 — 피타고라스를 두 번 쓴 결과가 공간 거리 공식이다

  1. 각 방향의 차이: 4−1 = 3, 6−2 = 4, 14−2 = 12.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 세 항을 더하는 공식이 「어디서 왔는지」 공식을 외워 넣으면 답은 나오지만, 왜 세 개를 나란히 더해도 되는지가 남습니다. 이것은 문제 9(직육면체의 대각선)와 완전히 같은 그림입니다. A와 B를 마주 보는 두 꼭짓점으로 하는 가로 3 · 세로 4 · 높이 12짜리 상자를 그려 넣은 것뿐입니다. ① 바닥에서 3² + 4² = 25 → 바닥 대각선의 제곱.
    ② 그 위로 25 + 12² = 169 → 상자 대각선의 제곱.
    두 번을 이어 붙이면 3² + 4² + 12²가 됩니다. 그래서 좌표가 넷·다섯으로 늘어도 항만 계속 붙이면 되는 것입니다.
  3. AB = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.
  4. 검산: √25 = 5를 거쳐 가도 √(5² + 12²) = √169 = 13 ✓ (두 길이 같다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 차이를 그냥 더하면 3 + 4 + 12 = 19. 또는 √(3 + 4 + 12) = √19 ≈ 4.36. 19는 계단처럼 꺾어서 간 길이이지 곧게 뻗은 거리가 아닙니다. 평면에서 (3, 4)만큼 떨어진 두 점의 거리가 7이 아니라 5인 것과 똑같은 잘못입니다. → 제곱해서 더한 뒤에 근호를 씌운다. 순서를 바꾸면 안 됩니다.
13
도전 · 경시피타고라스 세 쌍 만들기
m > n > 0인 자연수에 대해 (m² − n², 2mn, m² + n²)이 항상 직각삼각형의 세 변임을 보이고, m = 5, n = 2일 때의 세 쌍을 구하라.

풀이 — 양변을 직접 전개해서 같음을 보인다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「가장 긴 변이 누구인지」 먼저 정하고 전개한다 이 문제의 진짜 걸림돌은 전개 계산이 아니라 어느 것을 빗변 자리에 놓느냐입니다. m > n > 0이면 m² + n²이 m² − n²보다 크고 2mn보다도 크므로(m²+n² − 2mn = (m−n)² > 0), 빗변은 반드시 m² + n²입니다. 그러니 남은 둘을 제곱해 더한 것이 그것과 같은지만 보이면 됩니다. · 왼쪽 : (m²−n²)² + (2mn)² = (m⁴ − 2m²n² + n⁴) + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴
    · 오른쪽 : (m²+n²)² = m⁴ + 2m²n² + n⁴
    가운데 항의 부호가 −2에서 +4를 만나 +2로 뒤집히는 것이 이 항등식의 심장입니다. 두 값이 같으므로 어떤 m, n에 대해서도 항상 직각삼각형입니다.
  2. m=5, n=2: m²−n² = 25−4 = 21, 2mn = 2×5×2 = 20, m²+n² = 25+4 = 29.
  3. 검산: 21² + 20² = 441 + 400 = 841 = 29² ✓ (빗변 29가 가장 길다 ✓)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 숫자를 넣어 확인하면 증명이 될까 m=5, n=2를 넣어 21² + 20² = 841 = 29². "맞네, 증명 끝!" 아닙니다. 그것은 수없이 많은 경우 중 딱 한 경우를 확인한 것입니다. m=100, n=97일 때도 되는지는 아직 아무것도 모릅니다. → "항상"을 보이려면 숫자가 아니라 문자인 채로 전개해야 합니다. 숫자 대입은 전개를 검산하는 용도로만 씁니다.
(21, 20, 29)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로