한 직선은 180° — 옮겨 온 각의 이웃 각은 180°에서 빼면 나온다. 맞꼭지각은 서로 같다.
4
꺾이면 보조선 — 꺾인 점에서 l, m과 평행한 선을 그으면 꺾인 각이 두 조각으로 나뉜다.
5
모르는 각은 문자로 — 옮겨 모은 각들이 한 직선을 이루면 합이 180°인 방정식이 선다.
6
거꾸로도 성립 — 동위각이나 엇각이 같으면 평행, 다르면 평행이 아니다.
같은 자리 ∠a = ∠a 동위각 · 엇갈린 안쪽 ∠b = ∠b 엇각
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
기찻길 두 줄 위로 지나는 비스듬한 길 — "같은 자리끼리", "엇갈린 안쪽끼리"를 눈으로 짝짓는다.
📐 중1 (핵심)
동위각·엇각의 뜻, 평행선의 성질, 보조선으로 꺾인 각 구하기, 평행 판정(거꾸로).
🎓 고등 (확장)
평행 ⇔ 기울기가 같다, 평행한 두 직선 사이의 거리, 평행선과 닮음비, 벡터의 평행.
🐣 저학년 직관 — "기찻길 위의 비스듬한 길"
기찻길 두 줄 위로 길 하나가 비스듬히 지나가요. 두 건널목에서 같은 자리에 생긴 각끼리는 크기가 같아요(동위각). 길을 사이에 두고 엇갈린 안쪽에 있는 각끼리도 크기가 같고요(엇각). 한쪽 각이 70°면, 같은 자리 각도 70°, 엇갈린 안쪽 각도 70°, 그리고 그 옆에 붙은 각은 180° − 70° = 110°예요.
70° → 동위각 70° · 엇각 70° · 옆각 110°
연습 10제 · 그림 해설
문제 1동위각·엇각 · 기본
아래 그림에서 l ∥ m이고 한 각이 118°이다. 엇각 자리의 각 a, 동위각 자리의 각 b의 크기를 구하고, 118°와 한 직선을 이루는 각(옆각)의 크기도 구하라.
풀이 — 평행하면 그대로 옮긴다
⭐ 여기가 고비 — 「같은 각」과 「빼야 하는 각」을 가리는 일
평행선 그림에는 각이 여덟 개 생기는데, 그 크기는 118°와 62°, 딱 두 가지뿐입니다.
어려운 것은 계산이 아니라 「이 각은 그대로 옮겨 오는 각인가, 180°에서 빼야 하는 각인가」를 가리는 일입니다.
가리는 법은 화살표 둘을 그려 보는 것입니다.
두 각이 같은 방향을 보면 동위각, 엇갈린 방향을 보면 엇각 — 둘 다 그대로 118°입니다.
화살표가 서로 등지고 한 직선 위에 나란히 앉아 있으면 그것만 180°에서 빼는 각입니다.
「같은 편이냐 반대편이냐」 하나만 보면 되고, 동위각·엇각이라는 이름은 그다음에 붙여도 됩니다.
a는 118°의 엇각(엇갈린 안쪽) → a = 118°.
b는 118°의 동위각(같은 자리) → b = 118°.
옆각은 한 직선을 이루므로 180° − 118° = 62°.
"화살표만 그려 봐 — 화살표 둘이 같은 방향이면 동위각, 엇갈리면 엇각. 이 한 가지로 끝난다."— 장대경 선생님 제41강 「기본도형」
a = 118°, b = 118°, 옆각 = 62°
문제 2동위각 + 직선 180°
두 직선 l ∥ m에 한 직선이 만난다. l 쪽의 한 각이 73°일 때, m 쪽에서 그 각의 동위각과 한 직선을 이루는 각 x의 크기를 구하라.
풀이 — 먼저 옮기고, 그다음 180°에서 뺀다
⭐ 여기가 고비 — 한 번에 뛰지 말고 「옮기고, 그다음 빼기」
73°에서 x로 단번에 가려다 틀립니다. 옮기는 일과 빼는 일은 서로 다른 두 걸음인데
머릿속에서 겹쳐 버리면 180° − 73°를 엉뚱한 자리에 쓰게 됩니다.
차례를 눈에 보이게 나누십시오 —
① 평행선을 건너뛰는 것은 언제나 「그대로 옮기기」입니다. 73°가 m 쪽으로 그대로 내려옵니다.
② 같은 직선 위에서 옆으로 가는 것만 「180°에서 빼기」입니다.
평행선을 건널 때는 각이 변하지 않고, 한 직선 위를 옆으로 옮길 때만 변한다 —
이 두 가지 움직임만 있고, 둘을 차례로 밟으면 아무리 복잡한 그림도 풀립니다.
① 동위각으로 옮긴다: m 쪽의 그 각도 73°.
② 한 직선을 이루므로 빼기: x = 180° − 73° = 107°.
검산: 73 + 107 = 180 ✓
x = 107°
문제 3동위각 · 방정식
두 직선 l ∥ m에 한 직선이 만나 생긴 동위각의 크기가 각각 (2x + 10)°, (3x − 20)°이다. x의 값과 이 각의 크기를 구하라.
풀이 — 평행이면 동위각은 "같다"
⭐ 여기가 고비 — 「같다」로 놓을지 「합이 180」으로 놓을지
식을 세우는 자리에서 갈립니다. (2x+10) + (3x−20) = 180이라 놓는 잘못이 아주 흔합니다.
답을 정하는 것은 문제에 적힌 「동위각」이라는 낱말 하나입니다.
평행선에서 동위각과 엇각은 「같다」로 놓고,
한 직선 위에서 이웃한 각(동측내각·옆각)만 「합이 180°」로 놓습니다.
그러니 여기서는 2x + 10 = 3x − 20입니다.
혹시 잘못 놓았는지 확인하는 방법도 있습니다 — 답을 넣어 두 각을 실제로 구해 보고
둘이 같으면 「같다」가 맞은 것입니다. 여기서는 둘 다 70°로 같으니 ✓.
(합으로 놓았다면 5x − 10 = 180에서 x = 38, 두 각은 86°와 94°로 서로 달라져 동위각일 수 없습니다.)
2x + 10 = 3x − 20 → 10 + 20 = 3x − 2x → x = 30.
각의 크기: 2(30) + 10 = 70° · 검산 3(30) − 20 = 70° ✓
x = 30, 각의 크기는 70°
문제 4엇각 + 맞꼭지각
l ∥ m이고 l 쪽의 한 각이 108°이다. m 쪽에서 그 각의 엇각의 맞꼭지각을 x, x와 한 직선을 이루는 각을 y라 할 때 x, y를 구하라.
풀이 — 한 단계씩 옮긴다
⭐ 여기가 고비 — 「엇각의 맞꼭지각」이라는 겹말을 풀어내는 일
말이 겹쳐 있어 어디서부터 손대야 할지 막막합니다. 말을 적힌 차례대로 한 걸음씩 그림 위에 옮기면 됩니다.
「108°의 → 엇각의 → 맞꼭지각」 — 화살표가 둘이니 걸음도 둘입니다.
그리고 이 문제의 참뜻은 「두 걸음을 걸었는데도 각이 그대로다」를 보는 데 있습니다.
엇각도 같고 맞꼭지각도 같으므로, 같은 것을 두 번 거쳐도 여전히 108°입니다.
평행선 그림에서 각은 118°와 62°처럼 두 무리로만 나뉘고, 「같다」로 이어진 길은 아무리 길어도 무리를 벗어나지 못합니다.
무리를 바꾸는 것은 오직 「180°에서 빼기」 한 가지이고, y가 바로 그것입니다.
① 엇각이므로 그 각은 108°. ② 맞꼭지각도 같으므로 x = 108°.
③ y는 x와 한 직선을 이루므로 y = 180° − 108° = 72°.
x = 108°, y = 72°
문제 5한 직선에 모으기 · 방정식
평행선과 맞꼭지각을 이용해 각을 옮겼더니, 한 직선 위에 (2x)°, 60°, (x + 30)°가 차례로 모였다. x의 값을 구하라.
풀이 — 한 직선 위의 각의 합은 180°
⭐ 여기가 고비 — 흩어진 각을 「한 직선 위」로 모으는 것이 목적이었다
앞 문제들에서 각을 옮긴 것이 무엇을 위해서였는지가 여기서 드러납니다.
흩어져 있으면 아무 식도 못 세우지만, 한 직선 위에 모이는 순간 「합이 180°」라는 식 하나가 선다 —
그것이 각을 옮긴 까닭입니다.
식을 세울 수 있는지는 「이 각들이 정말 한 직선을 빈틈없이 채우는가」에 달려 있습니다.
여기서는 2x, 60, x+30 셋이 겹치지도 남기지도 않고 한 직선을 채웁니다.
그래서 2x + 60 + (x + 30) = 180.
모르는 각이 여럿이어도 겁내지 마십시오 — 한 직선에 모으기만 하면
미지수가 몇 개든 식 하나로 묶입니다.
⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 「꺾인 점」에 선을 하나 더 긋는가
꺾인 각 x는 l에도 m에도 닿아 있지 않아 어느 각과도 짝지을 수가 없습니다. 그래서 손이 멈춥니다.
보조선은 그 닿지 않음을 이어 주는 다리입니다 — 꺾인 점을 지나면서 l, m과 평행한 선을 하나 그으면,
그 선은 위쪽 l과도 평행하고 아래쪽 m과도 평행해집니다.
그러면 두 가지 일이 한꺼번에 일어납니다.
① 보조선이 꺾인 각 x를 위·아래 두 조각으로 가릅니다.② 위 조각은 l의 42°와 엇각이 되고, 아래 조각은 m의 38°와 엇각이 됩니다.혼자였던 x가 두 개의 아는 각으로 바뀐 것입니다 —
그러니 x = 42° + 38° = 80°.
「평행선 사이에서 꺾였다」는 말을 보면 손이 먼저 보조선으로 가야 합니다.
보조선이 l, m과 평행하므로 위의 42°가 엇각으로 내려오고, 아래의 38°도 엇각으로 올라온다.
x는 두 조각의 합: x = 42° + 38° = 80°.
"꺾인 각이 나오면 보조선 — 꺾인 점에서 두 평행선과 평행한 선을 하나 더 그으면 엇각으로 다 옮겨 온다."— 장대경 선생님 제41강 「기본도형」
x = 80°
문제 7보조선 · 거꾸로(빼기)
l ∥ m이고, 두 직선 사이에서 한 번 꺾인 선의 꺾인 각 전체가 105°이다. l 쪽 각이 47°일 때, m 쪽 각 x의 크기를 구하라.
풀이 — 전체에서 옮겨 온 조각을 뺀다
보조선을 그으면 위 조각은 47°의 엇각이므로 47°.
⭐ 여기가 고비 — 이번엔 더하는 것이 아니라 빼는 것이다
앞 문제에서 42 + 38로 더해 답을 얻었으니 여기서도 더하려 듭니다
(105 + 47이나 105 − 47 사이에서 손이 흔들립니다).
무엇이 주어지고 무엇을 묻는지가 뒤바뀐 문제입니다.
보조선이 만드는 관계는 언제나 하나입니다 —
꺾인 각 전체 = 위 조각 + 아래 조각.
앞 문제는 두 조각을 주고 전체를 물었으니 더하기였고,
이 문제는 전체와 한 조각을 주고 남은 조각을 물으니 빼기입니다.
공식이 둘인 것이 아니라 하나의 관계를 어느 쪽에서 읽느냐의 차이입니다.
먼저 이 관계식을 적어 놓고, 모르는 자리에 x를 넣으십시오 — 그러면 더할지 뺄지 헷갈릴 일이 없습니다.
아래 조각 = 105° − 47° = 58°. 그 조각과 x는 엇각이므로 x = 58°.
검산: 47 + 58 = 105 ✓
x = 58°
문제 8보조선 + 방정식 · 진가
아래 그림에서 l ∥ m이고 꺾인 각 전체가 100°이다. x의 값을 구하라.
풀이 — 보조선으로 나눈 두 조각을 더하면 전체
보조선을 그으면 위 조각은 l 쪽 각의 엇각이므로 2x, 아래 조각은 m 쪽 각의 엇각이므로 3x.
⭐ 여기가 고비 — 모르는 각이라도 「옮기는 일」은 똑같이 된다
각이 숫자가 아니라 2x, 3x라 옮겨도 되는지 겁이 납니다.
됩니다. 엇각이 같다는 성질은 각의 크기를 알든 모르든 그대로이기 때문입니다 —
2x가 내려오면 내려온 각도 2x입니다.
그러면 앞 문제와 똑같은 관계식이 섭니다 —
위 조각 + 아래 조각 = 꺾인 각 전체, 곧 2x + 3x = 100.
모르는 각을 문자로 두고 그대로 옮기는 것 — 이것이 보조선이 정말 힘을 내는 자리입니다.
숫자였다면 40°와 60°를 따로따로 알아야 풀렸을 문제가,
비(2 : 3)만 알아도 한 식으로 풀립니다.
2x + 3x = 100 → 5x = 100 → x = 20.
검산: 2(20)° + 3(20)° = 40° + 60° = 100° ✓
x = 20 (두 조각은 40°와 60°)
문제 9접기 · 이등변삼각형 · 진가
직사각형 모양의 종이 띠를 접었더니 그림처럼 삼각형이 생겼다. 접힌 부분 옆의 각이 124°일 때, 삼각형의 꼭지각 x의 크기를 구하라.
풀이 — 접으면 두 변의 길이가 같아진다
124°의 옆각이므로 밑각 하나는 180° − 124° = 56°.
⭐ 여기가 고비 — 각이 하나뿐인데 삼각형이 풀리는 까닭
삼각형의 세 각을 구하려면 보통 두 각을 알아야 하는데, 여기서는 56° 하나뿐입니다.
모자란 조건을 채워 주는 것이 「접었다」는 말 한마디입니다.
종이를 접으면 포개진 두 부분이 완전히 겹쳐지므로 길이도 각도 그대로 옮겨집니다.
그래서 삼각형의 두 변의 길이가 같아지고(이등변삼각형), 두 밑각도 같아집니다 — 56°, 56°.
「접었다」가 곧 「두 밑각이 같다」라는 두 번째 조건이었던 것입니다.
(평행선 쪽에서 읽어도 같습니다 — 띠의 두 변이 평행하므로 엇각이 같고, 접힌 각이 그 위에 포개집니다.)
접기 문제에서는 언제나 「무엇이 무엇과 포개졌는가」를 먼저 찾으십시오.
이등변삼각형이므로 두 밑각이 같다: 56°, 56°.
x = 180° − (56° + 56°) = 180° − 112° = 68°.
x = 68°
문제 10평행 판정 · 거꾸로 · 진가
한 직선 t가 세 직선 l, m, n과 각각 만난다. t와 이루는 동위각 자리의 각이 l에서 112°, m에서 105°, n에서 112°였다. 서로 평행한 직선을 모두 찾고 그 이유를 말하라.
풀이 — "동위각이 같다"가 곧 평행의 조건
⭐ 여기가 고비 — 지금까지와 화살표가 거꾸로다
앞의 아홉 문제는 모두 「평행이다 → 그러니 각이 같다」였습니다. 이 문제는 거꾸로입니다 —
「각이 같다 → 그러니 평행이다」. 이것을 평행 판정이라 하고, 이 되돌아오는 길도 성립합니다.
그래서 할 일은 세 직선을 짝지어 각을 견주는 것뿐입니다 —
l·m, m·n, l·n 세 짝. 「모두 찾아라」이니 한 짝이라도 빠뜨리면 안 됩니다.
같은 112°를 가진 l과 n만 평행이고, 105°인 m은 어느 쪽과도 짝이 되지 않습니다.
⛔ 여기서 「l∥n이고 m은 아니니, 세 직선이 다 평행하지는 않다」로 끝내면 안 됩니다 —
물은 것은 「평행한 짝을 모두」이지 「셋 다 평행한가」가 아닙니다. 답은 짝으로 적어야 합니다.
l과 n: 112° = 112° → 평행하다.
l과 m: 112° ≠ 105° → 평행이 아니다. m과 n: 105° ≠ 112° → 평행이 아니다.
꼭짓점 A를 지나 밑변 BC와 평행한 선을 그으면, ∠B와 ∠C가 엇각으로 A 쪽에 모여 한 직선(180°)을 이룹니다. 오늘의 보조선이 그대로 쓰여요.
② 중2 · 삼각형의 외각 = 이웃하지 않은 두 내각의 합
중2 · 도형의 성질
한 꼭짓점에서 대변에 평행한 반직선을 그으면, 외각이 동위각과 엇각으로 두 내각과 딱 겹쳐집니다.
③ 중2 · 평행선과 닮음(평행선 사이 선분의 길이의 비)
중2 · 도형의 닮음
△ABC에서 BC ∥ DE면 동위각이 같아 두 삼각형이 닮음이 되고, AD : DB = AE : EC가 성립합니다.
④ 고1 · 두 직선이 평행할 조건은 "기울기가 같다"
고1 · 도형의 방정식
x축과 이루는 동위각이 같아야 평행이고, 그 각의 탄젠트가 곧 기울기예요. 그래서 평행 ⇔ 기울기가 같다가 됩니다.
⑤ 고1~고2 · 평행한 두 직선 사이의 거리, 그리고 벡터의 평행
고1 · 도형의 방정식 / 고2 · 벡터
평행한 두 직선은 어디서 재도 거리가 일정합니다. 벡터에서는 두 벡터가 평행하다는 것이 한쪽이 다른 쪽의 실수배라는 뜻이 되고요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"평행하면 각을 그대로 옮긴다" 하나로 삼각형·좌표·벡터까지. 학년별 2문제씩!
도전 · 중2삼각형 내각의 합
삼각형 ABC의 꼭짓점 A를 지나 변 BC와 평행한 직선을 그었다. 이 그림으로 삼각형의 세 내각의 합이 180°임을 설명하라.
풀이 — 엇각으로 세 각을 한 직선 위에 모은다
⭐ 여기가 고비 — 「180°」의 정체가 삼각형이 아니라 「한 직선」이다
삼각형의 내각의 합이 180°라는 것은 외워서 알지만, 왜 하필 180°인지는 대개 모른 채 지납니다.
답은 「한 직선이 180°이기 때문」입니다. 그러니 증명이 할 일은 하나뿐입니다 —
흩어진 세 각을 한 직선 위로 모으는 것.그 모으는 도구가 문제 6에서 쓴 그 보조선입니다.
꼭짓점 A를 지나 BC와 평행한 직선을 그으면,
∠B는 엇각으로 A의 왼쪽에, ∠C는 엇각으로 A의 오른쪽에 그대로 옮겨 옵니다.
이제 A 한 점에 세 각이 겹치지도 남기지도 않고 나란히 놓여 한 직선을 이룹니다.
그 직선이 180°이니, 세 내각의 합도 180°입니다.
평행선 하나가 삼각형의 가장 기본이 되는 성질을 낳는 자리입니다.
A를 지나는 직선이 BC와 평행하므로 ∠B는 A 쪽 왼쪽 각과 엇각으로 같고, ∠C는 오른쪽 각과 엇각으로 같다.
세 각이 A에서 한 직선을 이루므로 합이 180°이다.
∠A + ∠B + ∠C = 180°
도전 · 중2삼각형의 외각
삼각형 ABC에서 ∠A = 52°, ∠B = 71°일 때, 꼭짓점 C에서의 외각의 크기를 구하라.
풀이 — 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합
⭐ 여기가 고비 — 「이웃하지 않은」이라는 말이 어느 두 각인가
공식은 외웠는데 어느 두 각을 더해야 하는지에서 틀립니다.
C에서의 외각인데 ∠C를 끌어들이면 안 됩니다 — ∠C는 그 외각과 이웃한(붙어 있는) 각이니 제외입니다.
더할 것은 멀리 떨어진 두 각 ∠A와 ∠B입니다.
까닭도 앞 문제에서 이미 나왔습니다. 세 내각의 합이 180°이고
외각과 ∠C는 한 직선을 이루어 합이 180°입니다.
같은 180°에서 ∠C를 빼면 양쪽에 남는 것이 각각 ∠A + ∠B와 외각이니 둘은 같을 수밖에 없습니다.
「외각 = 나머지 두 내각의 합」은 새 공식이 아니라 내각의 합 180°를 다르게 적은 것입니다.
그래서 두 길로 계산해 보면 반드시 같은 값이 나옵니다 — 아래 검산이 그것입니다.
⭐ 여기가 고비 — 「평행」이 왜 「기울기가 같다」인가
공식처럼 외워 쓰지만, 그 뿌리는 오늘 배운 동위각입니다.
두 직선이 x축과 이루는 각이 곧 동위각이고, 평행하면 그 동위각이 같으므로 기운 정도도 같습니다.
(그 각의 탄젠트가 바로 기울기입니다.)
그래서 기울기 2는 그대로 물려받고, 모르는 것은 y절편 b 하나가 됩니다 —
y = 2x + b.
여기서 남은 조건 「점 (1, 7)을 지난다」가 그 b 하나를 정합니다 —
지난다 = 넣으면 등식이 맞는다이므로 7 = 2(1) + b → b = 5.
조건 둘(평행·한 점)이 각각 기울기와 절편을 하나씩 맡는 셈입니다.
⛔ b가 3이면 원래 직선과 완전히 같은 직선이 되어 「평행」이라 할 수 없습니다 — 달라야 합니다.
기울기가 2이므로 y = 2x + b.
(1, 7)을 대입: 7 = 2(1) + b → b = 5.
검산: y = 2(1) + 5 = 7 ✓ (기울기가 같고 y절편이 달라 겹치지 않는다.)
y = 2x + 5
도전 · 고1평행한 두 직선 사이의 거리
두 직선 3x + 4y − 5 = 0과 3x + 4y + 15 = 0 사이의 거리를 구하라.
풀이 — 한 직선 위의 점에서 다른 직선까지의 거리
⭐ 여기가 고비 — 「직선과 직선 사이」를 「점과 직선 사이」로 바꿔 놓는 일
두 직선 사이의 거리를 재는 공식은 따로 배우지 않았습니다. 그래서 막힙니다.
쓸 수 있는 것은 「점과 직선 사이의 거리」뿐이니, 직선 하나를 점 하나로 바꿔야 합니다.
그것을 허락해 주는 것이 평행입니다.
평행한 두 직선은 어디서 재도 사이가 똑같이 벌어져 있습니다.
그러니 첫 직선 위의 아무 점이나 하나만 잡아 그 점에서 다른 직선까지 재면 그것이 곧 두 직선 사이의 거리입니다.
점은 편한 수를 하나 넣어 만들면 됩니다 — x = 3을 넣으면 9 + 4y − 5 = 0 → y = −1,
곧 (3, −1). (다른 점을 잡아도 답은 같습니다.)
「어디서 재도 같다」가 이 문제를 푸는 열쇠입니다.
첫 직선 위의 점 하나: x = 3, y = −1이면 9 − 4 − 5 = 0 ✓ → (3, −1).
점과 직선 사이의 거리: |3(3) + 4(−1) + 15| ÷ √(3² + 4²) = 20 ÷ 5 = 4.
4
도전 · 고2벡터의 평행
두 벡터 a = (2, −3), b = (k, 6)이 서로 평행할 때 k의 값을 구하라.
풀이 — 평행이면 한쪽이 다른 쪽의 실수배
⭐ 여기가 고비 — 배수 t를 「알 수 있는 쪽」에서 먼저 뽑아낸다
평행이면 b = t·a인데, 모르는 것이 k와 t 둘이라 어디부터 손대야 할지 막힙니다.
두 성분 가운데 「둘 다 아는 쪽」이 있습니다 — 세로 성분이 −3과 6으로 다 나와 있습니다.
그러니 그쪽에서 t를 먼저 뽑습니다 — 6 = t(−3) → t = −2.
t는 두 성분에 똑같이 걸리는 하나의 수이므로, 이제 가로 성분은 저절로 정해집니다 —
k = (−2)(2) = −4.
미지수가 둘이어도, 하나가 「이미 다 아는 자리」에서 나오면 나머지는 따라옵니다.
(t가 음수라는 것은 두 벡터가 반대 방향이라는 뜻입니다 — 반대 방향도 평행입니다.)
기울기로 읽어도 같습니다 — −3/2 = 6/k → k = −4. 벡터의 평행은 결국 기울기가 같다는 말입니다.
l ∥ m 사이를 한 번 꺾인 선이 지난다. 꺾인 각은 l 쪽 각의 3배이고, m 쪽 각은 l 쪽 각보다 20° 크다. 세 각의 크기를 각각 구하라.
풀이 — 보조선을 그으면 "꺾인 각 = 위 각 + 아래 각"
⭐ 여기가 고비 — 세 각이 다 모르는데, 문자는 하나면 된다
모르는 각이 셋이라 a, b, c 세 문자를 놓고 식 세 개를 세우려다 길이 복잡해집니다.
문자는 하나로 충분합니다. 잣대는 「다른 둘이 그것으로 적히는 각」을 고르는 것입니다.
여기서는 l 쪽 각이 그 자리입니다 — 그것을 a라 두면
m 쪽 각은 a + 20, 꺾인 각은 3a로 둘 다 저절로 적힙니다.
(거꾸로 꺾인 각을 문자로 두면 나머지가 x/3 꼴이 되어 지저분해집니다.)
그리고 보조선이 관계식 하나를 줍니다 — 꺾인 각 = 위 조각 + 아래 조각,
곧 3a = a + (a + 20). 미지수 하나에 식 하나이니 곧바로 풀립니다.「누구를 문자로 삼을까」를 고르는 것만으로 문제의 어려움이 절반으로 줄어듭니다.
l 쪽 각을 a라 하면 m 쪽 각은 a + 20, 꺾인 각은 3a.
보조선에 의해 3a = a + (a + 20) → 3a = 2a + 20 → a = 20.
검산: l 쪽 20°, m 쪽 40°, 꺾인 각 60° → 20 + 40 = 60 ✓ · 3 × 20 = 60 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 보조선 없이 「합이 180°」로 놓으면평행선 사이에 낀 각이니 a + 3a + (a + 20) = 180이라 놓아 봅시다 →
5a = 160 → a = 32.
그러면 l 쪽 32°, m 쪽 52°, 꺾인 각 96°가 되는데, 보조선을 그어 확인해 보면 32 + 52 = 84 ≠ 96으로 어긋납니다.
세 각은 한 직선 위에 모여 있지 않으므로 합이 180°일 까닭이 없습니다.
→ 평행선 문제에서 「합이 180°」는 한 직선 위에 실제로 모였을 때만 씁니다.
꺾인 각은 언제나 보조선으로 두 조각을 내어 다루십시오.
l 쪽 20°, m 쪽 40°, 꺾인 각 60°
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).