YEON MATH · 행복수학

평행사변형 실전 완전정복
— 짝을 바르게 지어라 · 연습 10제

성질 셋 · 되는 조건 다섯 · 각 이등분선 · 넓이 4등분 · 안의 한 점 · 좌표 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 평행사변형, 이 여섯 가지면 끝난다

1
정의 — 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형. AD ∥ BC, AB ∥ CD. 아래 모든 것이 이 한 줄에서 나온다.
2
성질 셋 — ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다  ② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다  ③ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
3
이웃한 두 각 — 더하면 언제나 180°. 대각은 같고 이웃각은 180° — 이 둘이면 각은 전부 나온다.
4
되는 조건 다섯 — ① 두 쌍 대변 평행 ② 두 쌍 대변 길이 같음 ③ 두 쌍 대각 같음 ④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분 ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 바로 그 한 쌍의 길이가 같음.
5
넓이 — 대각선 하나면 2등분, 두 개면 4등분. 안의 한 점 P 에서는 △PAB + △PCD = △PBC + △PDA = ½ × 전체.
6
짝을 바르게 — 이등분되는 짝은 OA―OC, OB―OD. 두 대각선의 길이가 같은 것은 아니다.
O A D B C ✕ ✕ ◎ ◎

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
같은 길이의 빨대 2개 + 다른 길이의 빨대 2개로 사각형 틀을 만들면, 아무리 눕혀도 마주 보는 변은 늘 나란하다 — 손으로 눕혀 본다.
📐 중2 (핵심)
정의 한 줄, 성질 셋, 되는 조건 다섯, 이웃각 180°, 대각선 4등분, 안의 한 점.
🎓 고등 (확장)
좌표에서 「대각선의 중점이 같다」로 판정, 벡터에서 AB⃗ = DC⃗, 평행사변형 법칙(두 힘의 합성).

🐣 저학년 직관 — "빨대 네 개로 눕혀 보기"

긴 빨대 2개와 짧은 빨대 2개를 준비해요. 긴 것끼리 마주 보게, 짧은 것끼리 마주 보게 이어서 사각형을 만들고 모서리를 느슨하게 고정해요. 이제 한쪽을 슬쩍 눕혀 보세요. 각은 자꾸 변하는데, 마주 보는 변은 언제나 나란하고 길이도 그대로예요. 이게 평행사변형이에요.

눕히면서 마주 보는 각도 같이 보세요. 한쪽이 넓어지면 맞은편도 똑같이 넓어지고, 옆에 붙은 각은 그만큼 좁아져요. 넓어진 만큼 좁아지니까 둘을 더하면 늘 똑같은 크기(반 바퀴, 180°)가 돼요.

마주 보면 같다 · 이웃하면 더해서 반 바퀴!

연습 10제 · 그림 해설

문제 1이웃각 180°
평행사변형 ABCD 에서 ∠A : ∠B = 5 : 4 일 때, ∠C 와 ∠D 의 크기를 각각 구하라.
5a 4a A D B C

풀이 — 비를 그대로 5a, 4a 로 놓는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「비」를 어느 식에 넣을 것인가 ∠A 와 ∠B 는 이웃한 두 각입니다. 마주 보는 각이 아니라 옆에 붙은 각이라는 것. 그러니 여기에 쓸 식은 「같다」가 아니라 「더하면 180°」 입니다. 비를 5a, 4a 로 놓고 더해서 180 에 맞추면 a 가 한 번에 나옵니다. 만약 마주 보는 각의 비였다면요? 마주 보는 각은 언제나 같으니 비가 5 : 4 가 될 수가 없습니다. 「비가 주어졌다」는 말 자체가 이웃한 두 각이라는 신호입니다.
  2. 5a + 4a = 180° → 9a = 180° → a = 20°.
  3. ∠A = 5 × 20 = 100°, ∠B = 4 × 20 = 80°.
  4. 대각은 같으므로 ∠C = ∠A = 100°, ∠D = ∠B = 80°.
  5. 검산: 100 + 80 + 100 + 80 = 360° ✓  이웃끼리 100 + 80 = 180° ✓
"두 개를 더하면 10a가 되는 걸 알 수가 있어. 10a가 몇 도가 되는지 아나? 180도가 되는 걸 알 수 있단 말이야."— 장대경 선생님 특강 예제① (이웃한 두 각의 비 7 : 3)
∠C = 100°, ∠D = 80°
문제 2대각선 · 짝 함정
평행사변형 ABCD 의 두 대각선의 교점을 O 라 하자. AC = 18 cm, BD = 10 cm 이고 삼각형 OBC 의 둘레가 22 cm 일 때, 변 BC 의 길이를 구하라.
O A D B C AC = 18 BD = 10 둘레 22

풀이 — 어느 대각선의 반쪽인지부터 가른다

  1. ⭐ 여기가 고비 — OB 는 BD 의 반, OC 는 AC 의 반 삼각형 OBC 의 두 변 OB 와 OC 는 서로 다른 대각선의 반쪽입니다. OB 는 대각선 BD 위에 있으니 10 ÷ 2 = 5, OC 는 대각선 AC 위에 있으니 18 ÷ 2 = 9. 여기서 둘 다 18 ÷ 2 = 9 로 잡아 버리는 실수가 제일 많습니다. 점 O 에 모인 네 도막을 「OA―OC 는 한 짝, OB―OD 는 또 한 짝」 으로 먼저 갈라 놓고 손을 대세요.
  2. OB = 10 ÷ 2 = 5, OC = 18 ÷ 2 = 9.
  3. 둘레: OB + OC + BC = 22 → 5 + 9 + BC = 22.
  4. BC = 22 − 14 = 8 (cm).
  5. 검산: 세 변 5, 9, 8 은 5 + 8 = 13 > 9 이므로 삼각형이 실제로 만들어진다 ✓  그리고 5 + 9 + 8 = 22 ✓
⛔ 이 문제의 함정 ✗ OB 도 OC 도 「대각선의 반」이니까 둘 다 9 — 이러면 BC = 4 가 나온다. ✓ 대각선은 저마다 자기를 반으로 나눈다. 두 대각선의 길이는 서로 다르다.
"OB하고 OC하고 길이가 같나? 말도 안 되는 소리 하지 마라."— 장대경 선생님 특강 예제④ (옳지 않은 것 고르기)
BC = 8 cm
문제 3되는 조건을 식으로
사각형 ABCD 에서 AB = 2x + 1, CD = x + 5, BC = 3y − 4, AD = y + 2 이다. 이 사각형이 평행사변형이 되도록 하는 x, y 의 값과 둘레를 구하라.
y + 2 3y − 4 2x + 1 x + 5 A D B C

풀이 — 조건 ②「두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다」를 그대로 식으로

  1. ⭐ 여기가 고비 — 어느 변과 어느 변을 맞붙일 것인가 네 식을 아무렇게나 맞붙이면 안 됩니다. 붙일 수 있는 것은 마주 보는 짝뿐입니다 — AB 의 짝은 CD, BC 의 짝은 AD. 짝을 지어 놓으면 x 만 든 식 하나, y 만 든 식 하나로 깨끗이 갈립니다. 왜 AB = BC 로 놓으면 안 되나요? AB 와 BC 는 이웃한 변이라 평행사변형에서 같아야 할 이유가 없습니다. (같아지면 그건 마름모입니다.) 「마주 보는 것끼리」 — 이것만 지키면 식이 저절로 갈린다.
  2. AB = CD : 2x + 1 = x + 5 → x = 4.
  3. BC = AD : 3y − 4 = y + 2 → 2y = 6 → y = 3.
  4. 되넣기: AB = CD = 9, BC = AD = 5.
  5. 둘레 = 2 × (9 + 5) = 28 (cm).
  6. 검산: 2·4 + 1 = 9 = 4 + 5 ✓  3·3 − 4 = 5 = 3 + 2 ✓
"얘하고 얘하고 또 서로 같아야 되니까 … 넘어가니까, x는 4."— 장대경 선생님 특강 예제⑤ (조건을 식으로)
x = 4, y = 3, 둘레 = 28 cm
문제 4각 이등분선 · 이등변삼각형
평행사변형 ABCD 에서 ∠A 의 이등분선이 변 BC 와 만나는 점을 E 라 하자. AB = 7 cm, BC = 11 cm 일 때, EC 의 길이를 구하라.
E • • 7 ? ? 11 A D B C

풀이 — 이등분선 + 엇각 = 이등변삼각형

  1. 이등분이므로 ∠BAE = ∠EAD.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 이등분선이 「엇각」을 타고 되돌아온다 AD ∥ BC 이고 AE 가 그 둘을 자르므로 ∠EAD = ∠AEB (엇각) 입니다. 그런데 ∠EAD = ∠BAE 였으니, 이어 붙이면 ∠BAE = ∠AEB — 삼각형 ABE 의 두 밑각이 같아졌습니다. 그러니 △ABE 는 BA = BE 인 이등변삼각형, 곧 BE = AB = 7. 왜 AE 를 그은 순간 길이 문제로 바뀌었을까요? 이등분선은 각을 둘로 나누고, 평행선은 그 각을 맞은편으로 옮겨 줍니다. 각이 옮겨 가서 같아지면 「두 각이 같은 삼각형 → 두 변이 같은 삼각형」 으로 넘어갑니다. 각 이등분선 + 평행 = 이등변삼각형 — 이 단원에서 가장 많이 쓰이는 짝입니다.
  3. BE = AB = 7 (cm).
  4. EC = BC − BE = 11 − 7 = 4 (cm).
  5. 검산: BE + EC = 7 + 4 = 11 = BC ✓  (AB = 7 < 11 = BC 이므로 E 는 실제로 B 와 C 사이에 있다 ✓)
"우리가 이렇게 그려 놓고 찾아내면 금방 찾을 수가 있어."— 장대경 선생님 특강 (되는 조건 고르기 · 그림부터 그린다)
EC = 4 cm
문제 5되는 조건 · 최고의 함정
사각형 ABCD 에 대한 다음 조건 중, 반드시 평행사변형이 되는 것을 모두 고르라. ㉠ AB ∥ DC 이고 AD = BC ㉡ AB = DC 이고 AD = BC ㉢ ∠A = ∠C 이고 ∠B = ∠D ㉣ AD ∥ BC 이고 AD = BC

풀이 — 「평행한 쌍」과 「길이가 같은 쌍」이 같은 쌍인지 본다

  1. ㉡ 은 조건 ② (두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다) 그대로 → 평행사변형 ✓
  2. ㉢ 은 조건 ③ (두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다) 그대로 → 평행사변형 ✓
  3. ㉣ 은 조건 ⑤ — 평행한 쌍도 AD, BC, 길이가 같은 쌍도 AD, BC. 같은 쌍 → 평행사변형 ✓
  4. ⭐ 여기가 고비 — ㉠ 은 평행한 쌍과 같은 쌍이 다르다 ㉠ 에서 평행하다고 말한 것은 AB, DC 이고, 길이가 같다고 말한 것은 AD, BC — 서로 다른 쌍입니다. 이러면 등변사다리꼴이 되어 버릴 수 있습니다. 아래 반례를 좌표로 확인하세요. 반례: A(0,0), B(8,0), C(6,4), D(2,4). AB = (8,0), DC = (4,0) 이니 평행은 맞지만 길이가 다르고, AD = (2,4), BC = (−2,4) 이니 길이는 √20 으로 같지만 평행하지 않습니다. 이건 평행사변형이 아니라 등변사다리꼴입니다.
  5. 그래서 반드시 평행사변형이 되는 것은 ㉡, ㉢, ㉣.
AB ∥ DC 이지만 AD·BC 는 평행 ✗ A B C D √20 √20
평행하다고 말한 쌍과 길이가 같다고 말한 쌍이 어긋나면 이렇게 등변사다리꼴이 된다. 조건 ⑤ 는 바로 그 한 쌍이 평행하고 바로 그 한 쌍의 길이가 같아야 한다.
"그럼 얘가 평행사변형이 되나? 안 돼. … 그래서 4번이 틀렸다."— 장대경 선생님 특강 함정 (한 쌍은 평행, 다른 쌍은 같음)
㉡, ㉢, ㉣
문제 6넓이 4등분 + 중점
넓이가 48 cm² 인 평행사변형 ABCD 에서 두 대각선의 교점을 O, 변 BC 의 중점을 M 이라 하자. 삼각형 OMC 의 넓이를 구하라.
O M A D B C 전체 48 cm²

풀이 — 4등분 한 번, 다시 2등분 한 번

  1. 두 대각선이 평행사변형을 넓이가 같은 네 조각으로 나눈다 → △OBC = 48 ÷ 4 = 12 (cm²).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 중점은 「밑변만」 반으로 자른다 M 은 BC 의 중점이므로 MC = ½ BC. 삼각형 OMC 와 삼각형 OBC 는 꼭짓점 O 를 함께 쓰므로 높이가 똑같습니다. 밑변만 반이 되었으니 넓이도 정확히 반. 높이가 같다는 것을 어떻게 아나요? 두 삼각형의 밑변 MC 와 BC 가 같은 직선 위에 있고 꼭짓점이 둘 다 O 이기 때문입니다. 「같은 직선 위의 밑변 + 같은 꼭짓점」이면 넓이의 비 = 밑변의 비 — 도형 넓이 문제의 기본 자입니다.
  3. △OMC = ½ × △OBC = ½ × 12 = 6 (cm²).
  4. 검산: 네 조각 12 × 4 = 48 ✓   △OBM = △OMC = 6 이고 6 + 6 = 12 = △OBC ✓
"전체가 36이기 때문에 나누기 4 하면 얼마? 9가 된다는 걸 알 수가 있고."— 장대경 선생님 특강 예제⑦ (넓이 36 → 삼각형 AOB)
△OMC = 6 cm²
문제 7안의 한 점
넓이가 60 cm² 인 평행사변형 ABCD 의 내부의 한 점 P 에 대하여 △PAB = 13 cm², △PBC = 20 cm² 이다. △PCD 와 △PDA 의 넓이를 각각 구하라.
P A D B C 13 20 ? ?

풀이 — 마주 보는 두 삼각형끼리 묶는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 넷을 「둘 + 둘」로 묶는 자리 네 삼각형을 하나씩 구하려 들면 P 의 자리를 모르니 손댈 수가 없습니다. 마주 보는 것끼리 묶으면 P 가 어디에 있든 상관없이 △PAB + △PCD = ½ × 전체 이고 △PBC + △PDA = ½ × 전체 입니다. 여기서 ½ × 60 = 30 이 두 번 나옵니다. 왜 반이 될까요? △PAB 와 △PCD 의 밑변 AB 와 CD 는 길이가 같고 서로 평행합니다. 두 삼각형의 높이를 더하면 두 평행선 사이의 거리가 되니, 넓이의 합은 ½ × AB × (두 높이의 합) = 평행사변형 넓이의 반입니다.
  2. △PAB + △PCD = 30 → 13 + △PCD = 30 → △PCD = 17 (cm²).
  3. △PBC + △PDA = 30 → 20 + △PDA = 30 → △PDA = 10 (cm²).
  4. 검산: 13 + 20 + 17 + 10 = 60 = 전체 넓이 ✓
"이거하고 이거하고 다 하니까 얼마? 30이 나오니까, 요거는 얼마? 16이라는 것을 금방 알 수가 있다."— 장대경 선생님 특강 예제⑨ (안의 한 점 P)
△PCD = 17 cm², △PDA = 10 cm²
문제 8이등분선 두 개 · 상위
평행사변형 ABCD 에서 ∠B = 72° 이다. ∠A 의 이등분선과 ∠B 의 이등분선이 만나는 점을 P 라 할 때, ∠APB 의 크기를 구하라.
P • • ○ ○ ∠B = 72° A D B C

풀이 — 삼각형 ABP 의 세 각을 세어 본다

  1. 이웃한 두 각의 합이 180° 이므로 ∠A = 180° − 72° = 108°.
  2. 이등분: ∠PAB = 108 ÷ 2 = 54°, ∠PBA = 72 ÷ 2 = 36°.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 두 반쪽을 더하면 언제나 90° 삼각형 ABP 의 세 각의 합은 180° 이므로 ∠APB = 180 − (54 + 36) = 90°. 여기서 54 + 36 = 90 인 것은 우연이 아닙니다. ∠PAB + ∠PBA = ½(∠A + ∠B) = ½ × 180° = 90° 이니까요. 그래서 이 문제는 72° 라는 숫자를 아예 쓰지 않고도 답할 수 있습니다. 평행사변형에서 이웃한 두 각의 이등분선은 언제나 수직으로 만난다 — 72° 대신 어떤 각이 와도 답은 늘 90° 입니다. 숫자를 넣기 전에 이걸 먼저 보는 눈이 상위권입니다.
  4. 검산: 세 각 54 + 36 + 90 = 180° ✓  다른 값으로 확인 — ∠B = 50° 이면 ∠A = 130°, 65 + 25 = 90 → ∠APB = 90° ✓
"요 각하고 요 각하고 더하면 180도가 되는 걸 알 수가 있습니다."— 장대경 선생님 특강 (이웃한 두 각)
∠APB = 90°
문제 9되는 조건 ④ · 설명형
평행사변형 ABCD 의 두 대각선의 교점을 O 라 하고, 대각선 AC 위에 OE = OF 가 되도록 두 점 E, F 를 잡았다 (E 는 OA 위, F 는 OC 위). 사각형 EBFD 가 평행사변형임을 설명하고, ∠OBE 와 크기가 같은 각을 하나 말하라.
O E F A D B C ✕ ✕

풀이 — 새 사각형의 두 대각선을 찾아낸다

  1. ⭐ 여기가 고비 — EBFD 의 대각선은 EF 와 BD 다 사각형 EBFD 에서 마주 보는 꼭짓점끼리 이으면 EF 와 BD — 이 둘이 이 사각형의 대각선입니다. 그런데 E, O, F 가 한 직선(대각선 AC) 위에 있으니 EF 도 점 O 를 지나고, BD 도 점 O 를 지납니다. 같은 점 O 에서 만나는데 OE = OF(가정) 이고 OB = OD(원래 평행사변형의 성질 ③) 이므로, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분합니다 → 조건 ④. 함정 하나. 새로 생긴 사각형의 변을 재려 들면 길이가 하나도 주어지지 않아 막힙니다. 변이 아니라 대각선을 보세요. 「O 에서 만난다 + 반씩 나뉜다」 두 가지만 확인하면 끝납니다.
  2. OE = OF (가정), OB = OD (성질 ③).
  3. 두 대각선 EF, BD 가 점 O 에서 서로 다른 것을 이등분 → □EBFD 는 평행사변형.
  4. 따라서 BE ∥ DF 이고 BE = DF.
  5. 같은 각 찾기: △OBE 와 △ODF 에서 OB = OD, OE = OF, ∠BOE = ∠DOF(맞꼭지각) → SAS 합동 → ∠OBE = ∠ODF.
  6. 검산: BE ∥ DF 이므로 ∠OBE 와 ∠ODF 는 엇각으로도 같다 ✓ (두 길이 같은 답을 준다)
"OA의 길이하고 OC 길이가 같아야 되고, OB 길이하고 OD의 길이가 같아야 되고."— 장대경 선생님 특강 (되는 조건 ④ 증명)
□EBFD 는 평행사변형 (조건 ④) · ∠OBE = ∠ODF
문제 10좌표 · 고등 연결
좌표평면 위의 세 점 A(1, 2), B(−2, −1), C(4, 0) 에 대하여 사각형 ABCD 가 평행사변형이 되도록 점 D 의 좌표를 구하라.
A B C D = ? O x y

풀이 — 「두 대각선의 중점이 같다」로 잡는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — ABCD 라는 차례가 대각선을 정해 준다 사각형의 이름을 A → B → C → D 순서로 부르면 마주 보는 꼭짓점은 A 와 C, 그리고 B 와 D 입니다. 곧 대각선은 AC 와 BD 이고, 평행사변형이려면 성질 ③ 에 의해 이 둘의 중점이 같은 점이어야 합니다. 여기서 D 를 A 옆에 있는 점으로 착각해 AD 를 대각선으로 잡는 실수가 많습니다. 이름을 부르는 차례가 곧 변을 도는 차례입니다 — AB, BC, CD, DA 가 변이고, 건너뛴 AC, BD 가 대각선입니다. 차례를 먼저 못 박고 손을 대세요.
  2. AC 의 중점 = ((1+4)/2, (2+0)/2) = (5/2, 1).
  3. D(x, y) 라 하면 BD 의 중점 = ((−2+x)/2, (−1+y)/2).
  4. 두 중점이 같으므로 −2 + x = 5 → x = 7, −1 + y = 2 → y = 3.
  5. 검산: AD⃗ = (7−1, 3−2) = (6, 1), BC⃗ = (4−(−2), 0−(−1)) = (6, 1) — 같다 ✓  AB⃗ = (−3, −3), DC⃗ = (4−7, 0−3) = (−3, −3) — 같다 ✓ 두 쌍의 대변이 평행하고 길이도 같으므로 평행사변형이다 ✓
"AB하고 CD하고, AD하고 BC하고 서로 평행하다. 그래서 ABCD는 평행사변형이다."— 장대경 선생님 특강 (되는 조건 ③ 증명 마무리)
D(7, 3)

다른 학년은 이걸 이렇게 쓴다

평행사변형 한 줄이 뻗어 나가는 자리

지금 배운 「짝을 바르게 지어라」가 위 학년에서 그대로 다시 나온다.

중2 · 여러 가지 사각형
바로 다음 시간
평행사변형에 조건을 하나씩 더하면 직사각형(한 각이 90°) · 마름모(이웃한 두 변이 같음) · 정사각형(둘 다)이 된다. 그래서 평행사변형의 성질 셋은 이 셋에도 전부 그대로 살아 있다. 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 것 — 이건 넷 모두에서 참이다.
중3 · 닮음과 평행선
한 해 뒤
삼각형의 두 변의 중점을 이으면 나머지 한 변과 평행하고 길이는 반이다(중점연결정리). 이걸 증명할 때 쓰는 도구가 바로 「한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형」(조건 ⑤)이다.
고1~고2 · 좌표와 벡터
세 해 뒤
10번처럼 「두 대각선의 중점이 같다」가 평행사변형 판정의 표준이 된다. 벡터로 쓰면 AB⃗ = DC⃗ 한 줄이면 끝이고, 두 힘을 합칠 때 쓰는 평행사변형 법칙도 여기서 나온다.
※ 열 문제 모두 답을 두 길로 확인했습니다 — 식으로 풀어 값을 얻고, 그 값을 도로 넣어 둘레·넓이·좌표·각의 합이 아귀가 맞는지 다시 확인했습니다. 그림은 좌표를 계산해 그려, 4번의 이등분선은 실제로 각을 반으로 나누고(각각 57.5°), 8번의 두 이등분선은 실제로 90° 로 만납니다.
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