YEON MATH · 행복수학

평균변화율 실전 완전정복
— 미분계수는 접선의 기울기다 · 연습 10제

기울기의 최대·최소(완전제곱) · 접선이 축과 만나는 점(접점을 t로) · 수직 조건과 미정계수 · 곡선 밖의 점에서 그은 접선 · 접할 조건 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 실전은 이 다섯 가지면 끝난다

1
기울기 = 미분한 값 — 곡선 위의 점 \((x_1,\,y_1)\)에서 그은 접선의 기울기는 그 자리의 미분계수 \(f'(x_1)\). 문제에 「기울기」라는 말이 보이면 먼저 미분한다.
2
접선의 방정식 — \(y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1)\). 기울기 하나와 점 하나면 직선이 정해진다.
3
「최대·최소」가 나오면 완전제곱 — 미분한 식(=기울기)을 \(a(x-p)^2+q\) 꼴로 고친다. \(a>0\)이면 최솟값 \(q\), \(a<0\)이면 최댓값 \(q\), 모두 \(x=p\)에서.
4
접점을 모르면 \(t\)로 잡는다 — 곡선 밖의 점에서 그은 접선, 곡선과 직선이 접할 조건, 접선이 축과 만나는 점 — 전부 접점을 \((t,\,f(t))\)로 두고 시작한다.
5
접한다 = 조건 두 개 — ① 기울기가 같다 ② 점이 같다. 두 식을 세우면 미지수가 몇 개든 풀린다. (검산은 빼서 인수분해 — 중근이 나오면 정말 접한다.)
“기울기를 찾으려고 미분을 해야 된다.” — 장대경 선생님 (원본 강의 전사 9:24)

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 중2 (뿌리)
일차함수의 기울기 = 가로로 간 칸 분의 세로로 간 칸. 두 점만 있으면 잰다.
📐 고2 (핵심)
곡선에서는 한 점에서도 기울기를 잰다 — 그게 미분계수이고, 그 기울기를 가진 직선이 접선이다.
🎓 확장
속도(위치의 접선 기울기), 최적화, 뉴턴의 방법 — 전부 「접선의 기울기」 한 줄에서 갈라져 나온다.

🐣 한눈에 — "미분한 식"은 기울기표다

곡선을 미분하면 나오는 \(f'(x)\)는 자리마다의 기울기를 적어 둔 표예요. \(x\)를 하나 넣으면 그 자리 기울기가 튀어나오죠.

그러니까 「기울기가 가장 작은 곳」을 물으면 그 표의 최솟값을 찾으면 되고, 「기울기가 9인 곳」을 물으면 표에서 9가 나오는 \(x\)를 찾으면 돼요. 어렵게 생각할 것이 하나도 없어요.

문제에 「기울기」가 보이면 → 먼저 미분!

연습 10제 · 전부 두 길로 검산

문제 1C · 공식 그대로
곡선 \(y=x^{2}-4x+5\) 위의 점 \((3,\,2)\)에서의 접선의 방정식을 구하여라.

풀이

  1. 점이 곡선 위에 있는지부터 확인: \(3^{2}-4\cdot3+5=9-12+5=2\) ✓
  2. 미분: \(y'=2x-4\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 「기울기」는 \(y\)가 아니라 \(y'\)에 3을 넣은 값이다 접선의 기울기는 그 점의 \(y\)좌표가 아니라 그 자리의 미분계수다.
    \(f'(3)=2\cdot3-4=\mathbf{2}\). 정의식으로도 확인 — \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^{2}+2h}{h}=2\) ✓ 두 길이 같다.
  4. 접선: \(y-2=2(x-3)\).
  5. 정리하면 \(y=2x-4\).
  6. 검산(빼서 인수분해): \(x^{2}-4x+5-(2x-4)=x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\) → 중근이므로 \(x=3\)에서 실제로 접한다 ✓
“기울기를 찾으려고 미분을 해야 된다.” — 장대경 선생님 (전사 9:24)

답  \(y=2x-4\)

문제 2C · 거꾸로 찾기
곡선 \(y=x^{3}-6x^{2}+5\) 위의 점 가운데 접선의 기울기가 \(-9\)인 점의 좌표를 모두 구하여라.

풀이

  1. 미분: \(y'=3x^{2}-12x\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 구하는 것은 \(x\)가 아니라 「점」이다 기울기가 \(-9\) ⇒ \(3x^{2}-12x=-9\) ⇒ \(3x^{2}-12x+9=0\) ⇒ \(3(x-1)(x-3)=0\) ⇒ \(x=1\) 또는 \(x=3\).
    여기서 멈추면 안 된다. 「점의 좌표」를 물었으니 각 \(x\)를 원래 곡선에 넣어 \(y\)까지 구해야 한다. ⛔ 흔한 실수 — \(y'\)에 넣어서 \(y\)를 구하는 것. \(y'\)은 기울기표일 뿐, 곡선의 높이가 아니다.
  3. \(x=1\): \(y=1-6+5=0\) → 점 \((1,\,0)\).
  4. \(x=3\): \(y=27-54+5=-22\) → 점 \((3,\,-22)\).
  5. 검산(정의식): \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=-9\), \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=-9\) ✓ 두 길이 같다.
  6. 검산(접선): \(x=1\)의 접선 \(y=-9x+9\), 빼면 \((x-1)^{2}(x-4)\) → 중근 ✓ / \(x=3\)의 접선 \(y=-9x+5\), 빼면 \(x(x-3)^{2}\) → 중근 ✓

답  \((1,\,0)\), \((3,\,-22)\)

문제 3B · 완전제곱 · 최소
곡선 \(y=x^{3}+3x^{2}+5x+2\) 위의 점에서 그은 접선 가운데 기울기가 가장 작은 접선의 방정식을 구하여라.

풀이

  1. 기울기 = 미분한 값: \(y'=3x^{2}+6x+5\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「최소」라는 말이 나오면 완전제곱으로 고친다 \(3x^{2}+6x+5=3(x^{2}+2x)+5=3(x^{2}+2x+1)-3+5=\mathbf{3(x+1)^{2}+2}\).
    펼쳐서 검산: \(3x^{2}+6x+3+2=3x^{2}+6x+5\) ✓
    \((x+1)^{2}\ge 0\)이므로 최솟값은 2, 그때 \(x=-1\). 이게 이 유형의 전부다 — 최댓값·최솟값을 판별식이나 그래프로 헤맬 필요가 없다. 괄호 밖에 남은 상수가 곧 답이다.
  3. 접점의 \(y\): \(f(-1)=-1+3-5+2=-1\) → 접점 \((-1,\,-1)\).
  4. 접선: \(y+1=2(x+1)\).
  5. 정리하면 \(y=2x+1\).
  6. 검산(빼서 인수분해): \(x^{3}+3x^{2}+5x+2-(2x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x+1=(x+1)^{3}\) → \(x=-1\)에서 접한다 ✓
“최대 최소를 하기 위해서는 … 완전제곱을 만들어야 된다.” — 장대경 선생님 (전사 9:55 ~ 10:06)

답  \(y=2x+1\)

문제 4B · 완전제곱 · 최대(부호 뒤집힘)
곡선 \(y=-x^{3}+6x^{2}-9x+1\) 위의 점에서 그은 접선 가운데 기울기가 가장 큰 접선의 방정식을 구하여라.

풀이

  1. 미분: \(y'=-3x^{2}+12x-9\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — \(x^{2}\)의 계수가 음수면 「최소」가 아니라 「최대」다 \(-3x^{2}+12x-9=-3(x^{2}-4x+3)=-3(x^{2}-4x+4)+12-9=\mathbf{-3(x-2)^{2}+3}\).
    펼쳐서 검산: \(-3x^{2}+12x-12+3=-3x^{2}+12x-9\) ✓
    \(-3(x-2)^{2}\le 0\)이므로 최댓값은 3, 그때 \(x=2\). 문제 3과 똑같은 절차인데 부호 하나 때문에 결론이 뒤집힌다. 「\(a>0\)이면 최소, \(a<0\)이면 최대」 — 여기만 조심하면 된다.
  3. 접점의 \(y\): \(f(2)=-8+24-18+1=-1\) → 접점 \((2,\,-1)\).
  4. 접선: \(y+1=3(x-2)\).
  5. 정리하면 \(y=3x-7\).
  6. 검산(빼서 인수분해): \(-x^{3}+6x^{2}-9x+1-(3x-7)=-(x-2)^{3}\) → \(x=2\)에서 접한다 ✓
⛔ 함정 — 「최대」인데 최솟값을 구해 버린다 ✗ \(-3(x-2)^{2}+3\)을 보고 "제곱이 있으니 최솟값 3" 이라고 쓴다. ✓ 제곱 앞에 \(-3\)이 붙어 있다. 제곱이 커질수록 값은 작아진다. 그래서 \(x=2\)일 때가 최대이고, 최댓값이 3이다.

답  \(y=3x-7\)

문제 5B · 접점을 t로 · y절편
곡선 \(y=x^{2}+2x-3\) 위의 점 \((t,\,f(t))\)에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점의 \(y\)좌표를 \(g(t)\)라 하자. ① \(g(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내고, ② \(g(t)\)의 최댓값을 구하여라.

풀이

  1. 미분: \(f'(x)=2x+2\) → 접점에서의 기울기는 \(2t+2\).
  2. 접점의 \(y\): \(f(t)=t^{2}+2t-3\).
  3. 접선: \(y-(t^{2}+2t-3)=(2t+2)(x-t)\) → 정리하면 \(y=(2t+2)x-t^{2}-3\).
  4. ⭐ 여기가 고비 — 「\(y\)축과 만나는 점」은 \(x=0\)을 넣으라는 말이다 \(y\)축 위의 점은 모두 \(x=0\)이다. 그러니 접선식에 \(x=0\)만 넣으면 끝난다.
    \(g(t)=(2t+2)\cdot 0-t^{2}-3=\mathbf{-t^{2}-3}\). 다른 길로도 나온다 — 접선의 \(y\)절편은 언제나 \(f(t)-t\,f'(t)\). 넣어 보면 \((t^{2}+2t-3)-t(2t+2)=-t^{2}-3\) ✓ 두 길이 같다.
  5. ② \(-t^{2}\le 0\)이므로 \(g(t)\le -3\). 최댓값은 \(-3\), 그때 \(t=0\).
  6. 검산(수치): \(t=1\)이면 접점 \((1,\,0)\), 기울기 4, 접선 \(y=4x-4\), \(y\)절편 \(-4\). 식에 \(t=1\)을 넣어도 \(-1-3=-4\) ✓
  7. 검산(접함): \(x^{2}+2x-3-(4x-4)=(x-1)^{2}\) → 중근 ✓

답  ① \(g(t)=-t^{2}-3\)  ② 최댓값 \(-3\) (\(t=0\)일 때)

문제 6B · x절편 · 답이 문자
\(t>0\)일 때, 곡선 \(y=x^{2}\) 위의 점 \((t,\,t^{2})\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(t\)로 나타내어라.
x y 1 2 3 3 6 9 (3, 9) 3/2
그림은 \(t=3\)인 경우다 — 접선 \(y=6x-9\)가 \(x\)축을 \(x=\tfrac32\)에서 자른다. 정확히 \(t\)의 절반이다.

풀이

  1. 미분: \(y'=2x\) → 접점 \((t,\,t^{2})\)에서의 기울기는 \(2t\).
  2. 접선: \(y-t^{2}=2t(x-t)\) → 정리하면 \(y=2tx-t^{2}\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 이번엔 \(x\)축이니까 \(y=0\)을 넣는다 문제 5는 \(y\)축이라 \(x=0\)을 넣었다. 여기는 \(x\)축이므로 반대로 \(y=0\)이다.
    \(0=2tx-t^{2}\) ⇒ \(2tx=t^{2}\) ⇒ \(t>0\)이라 \(2t\ne 0\)이므로 양변을 \(2t\)로 나눠 \(x=\dfrac{t}{2}\). \(t>0\)이라는 조건이 왜 붙었나 — \(2t\)로 나누기 위해서다. \(t=0\)이면 접선이 \(y=0\) 자체(즉 \(x\)축과 겹친다)라 「만나는 점」이 하나로 정해지지 않는다.
  4. 검산(수치): \(t=3\)이면 접선 \(y=6x-9\), \(y=0\)에서 \(x=\tfrac32=\tfrac{3}{2}\) ✓ (그림과 같다)
  5. 검산(접함): \(x^{2}-(6x-9)=(x-3)^{2}\) → 중근 ✓

답  \(x=\dfrac{t}{2}\)

문제 7B · 수직 조건 · 미정계수
곡선 \(y=ax^{3}+bx^{2}\)이 점 \((1,\,3)\)을 지나고, 그 점에서의 접선이 직선 \(x+5y-3=0\)과 수직일 때, 상수 \(a,\;b\)의 값을 구하여라.

풀이

  1. 주어진 직선을 \(y\)에 대해 풀면 \(y=-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{3}{5}\) → 기울기 \(-\dfrac{1}{5}\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「수직」을 기울기의 곱 \(=-1\)로 바꿔 쓴다 접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 \(m\times\left(-\dfrac{1}{5}\right)=-1\) ⇒ \(m=\mathbf{5}\).
    이 한 줄이 「수직」이라는 말을 「기울기가 5」라는 수로 바꿔 준다. 여기부터는 평범한 계산이다. ⛔ 수직인데 기울기가 같다고 놓거나, \(-\frac15\)을 그대로 접선의 기울기로 쓰는 것이 가장 흔한 실수다. 수직 = 곱해서 \(-1\), 평행 = 서로 같다.
  3. 조건 ① 점 \((1,\,3)\)을 지난다: \(a+b=3\).
  4. 조건 ② 미분: \(y'=3ax^{2}+2bx\) → \(y'(1)=3a+2b=5\).
  5. 두 식을 연립: \(b=3-a\)를 대입하면 \(3a+6-2a=5\) ⇒ \(a=-1\), 따라서 \(b=4\).
  6. 검산: 곡선은 \(y=-x^{3}+4x^{2}\). \(y(1)=-1+4=3\) ✓ / \(y'=-3x^{2}+8x\), \(y'(1)=5\) ✓ / \(5\times\left(-\tfrac15\right)=-1\) ✓ 수직.
  7. 검산(정의식): \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{y(1+h)-y(1)}{h}=5\) ✓ 두 길이 같다.
“수직이라는 말은 기울기끼리 곱하면 \(-1\)이 나온다는 거야.” — 장대경 선생님 (전사 16:30)

답  \(a=-1,\;b=4\)

문제 8B · 곡선 밖의 점 · 답이 두 개
점 \((0,\,-4)\)에서 곡선 \(y=x^{2}\)에 그은 접선의 방정식을 모두 구하여라.

풀이

  1. 먼저 확인: \((0,\,-4)\)는 \(y=x^{2}\) 위에 있는가? \(0^{2}=0\ne-4\) → 곡선 밖의 점이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — \((0,\,-4)\)는 접점이 아니다. 접점을 \(t\)로 새로 잡는다 곡선 밖의 점에서는 \(f'(0)\)을 구해도 아무 뜻이 없다. 접점을 \((t,\,t^{2})\)로 두고, 그 접선이 \((0,\,-4)\)를 지나간다는 조건을 쓴다.
    접선: \(y=2tx-t^{2}\)  →  \((0,\,-4)\) 대입: \(-4=-t^{2}\) ⇒ \(t^{2}=4\) ⇒ \(t=\pm2\). 그래서 답이 두 개다. 곡선 밖의 한 점에서 포물선에 접선을 그으면 왼쪽·오른쪽으로 두 줄이 나간다.
  3. \(t=2\): 접점 \((2,\,4)\), 기울기 4 → \(y=4x-4\).
  4. \(t=-2\): 접점 \((-2,\,4)\), 기울기 \(-4\) → \(y=-4x-4\).
  5. 검산(지나가는가): 두 식 모두 \(x=0\)일 때 \(y=-4\) ✓
  6. 검산(접하는가): \(x^{2}-(4x-4)=(x-2)^{2}\) ✓ / \(x^{2}-(-4x-4)=(x+2)^{2}\) ✓ 둘 다 중근.
“기울기는 찾았는데 접점을 모른다 이 말이야. 그 접점을 찾아야 된다.” — 장대경 선생님 (전사 18:14)
⛔ 함정 — 주어진 점을 접점으로 착각한다 ✗ \(y'=2x\)에 \(x=0\)을 넣어 기울기 0, 접선 \(y=-4\). ✓ \(y=-4\)는 곡선 \(y=x^{2}\)과 만나지도 않는다(\(x^{2}=-4\)는 해가 없다). 곡선 위의 점이 아니면 그 점의 미분계수를 접선의 기울기로 쓸 수 없다.

답  \(y=4x-4\), \(y=-4x-4\)

문제 9B · 접할 조건 · 두 식
곡선 \(y=x^{3}+2\)와 직선 \(y=3x+k\)가 접할 때, 모든 상수 \(k\)의 값의 합을 구하여라.

풀이

  1. 접점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 하자.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「접한다」는 조건 두 개다 ① 기울기가 같다: \(y'=3x^{2}\)이므로 \(3t^{2}=3\) ⇒ \(t^{2}=1\) ⇒ \(t=\pm1\).
    ② 점이 같다: 접점이 직선 위에도 있어야 한다 ⇒ \(t^{3}+2=3t+k\). 둘 중 하나만 쓰면 답이 안 나온다. ①로 접점을 찾고, ②로 \(k\)를 찾는다 — 이 차례가 이 유형의 뼈대다.
  3. \(t=1\): \(k=t^{3}+2-3t=1+2-3=0\).
  4. \(t=-1\): \(k=-1+2+3=4\).
  5. 따라서 \(k=0\) 또는 \(k=4\), 그 합은 \(0+4=4\).
  6. 검산(빼서 인수분해): \(k=0\) ⇒ \(x^{3}+2-3x=(x-1)^{2}(x+2)\) → \(x=1\)에서 중근 ✓ / \(k=4\) ⇒ \(x^{3}+2-3x-4=x^{3}-3x-2=(x+1)^{2}(x-2)\) → \(x=-1\)에서 중근 ✓

답  \(k=0\) 또는 \(k=4\), 합은 \(4\)

문제 10A · 일반화 · 무엇이 사라지는가
함수 \(f(x)=x^{3}+ax+b\) (\(a,\,b\)는 상수)의 그래프 위의 점 \((t,\,f(t))\)에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점의 \(y\)좌표를 \(g(t)\)라 하자.
① \(g(t)\)를 구하여라.  ② \(g(t)>b\)가 되는 \(t\)의 범위를 구하여라.  ③ ②의 답이 \(a\)의 값에 전혀 영향을 받지 않는 까닭을 설명하여라.

풀이

  1. 미분: \(f'(x)=3x^{2}+a\) → 접점에서의 기울기는 \(3t^{2}+a\).
  2. 접선: \(y-(t^{3}+at+b)=(3t^{2}+a)(x-t)\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — \(x=0\)을 넣으면 \(a\)가 통째로 지워진다 \(y\)절편은 \(f(t)-t\,f'(t)\)이므로
    \(g(t)=(t^{3}+at+b)-t(3t^{2}+a)=t^{3}+\underline{at}+b-3t^{3}-\underline{at}=\mathbf{-2t^{3}+b}\).
    \(at\)가 두 번 나와 서로 지워졌다. 그래서 \(g(t)\)에는 \(a\)가 아예 남지 않는다. 왜 그런가 — \(a x\)는 일차식이고, 일차식의 그래프는 자기 자신이 자기 접선이라 \(y\)절편에 아무 변화를 주지 않는다. \(f(x)=x^{3}+b\)에 직선 \(ax\)를 더하면 그래프도, 접선도 똑같이 \(ax\)만큼 들리므로 차이인 \(y\)절편은 그대로다.
  4. ② \(g(t)>b\) ⇔ \(-2t^{3}+b>b\) ⇔ \(-2t^{3}>0\) ⇔ \(t^{3}<0\) ⇔ \(t<0\).
  5. ③ ①에서 본 대로 \(g(t)=-2t^{3}+b\)에 \(a\)가 들어 있지 않다. 그러므로 \(a\)를 아무리 바꿔도 부등식 \(-2t^{3}>0\)은 그대로이고, 답은 언제나 \(t<0\)이다.
  6. 검산(수치): \(a=5,\;b=7,\;t=-2\) ⇒ \(f(-2)=-8-10+7=-11\), \(f'(-2)=12+5=17\), 접선 \(y=17x+23\), \(y\)절편 \(23\). 식 \(-2t^{3}+b=16+7=23\) ✓ 그리고 \(23>7=b\), \(t=-2<0\) ✓
  7. 검산(다른 \(a\)): \(a=-100,\;b=7,\;t=-2\) ⇒ \(f(-2)=-8+200+7=199\), \(f'(-2)=12-100=-88\), 접선의 \(y\)절편 \(=199-(-2)(-88)=199-176=23\) ✓ \(a\)를 바꿔도 23 그대로.

답  ① \(g(t)=-2t^{3}+b\)  ② \(t<0\)  ③ \(g(t)\)에서 \(at\)가 서로 지워져 \(a\)가 남지 않기 때문

이 한 줄이 어디까지 가는가

🗝️ 「미분계수 = 접선의 기울기」 한 줄

오늘 푼 열 문제는 겉모습만 다르지 전부 같은 한 줄에서 나왔습니다. 그 한 줄이 어디까지 가는지 봅니다.

① 접선의 방정식 — 오늘의 본체
수학Ⅱ · 미분
점이 주어지면 바로(문제 1·3·4), 접점을 모르면 \(t\)로(문제 5·6·8·9). 이 두 갈래가 접선 문제의 전부입니다.
② 「최대·최소」와 완전제곱
중3 이차함수 → 고2 미분
문제 3·4에서 쓴 완전제곱은 중3에서 배운 그것 그대로입니다. 달라진 것은 완전제곱을 하는 대상이 함수가 아니라 도함수라는 점뿐입니다.
③ 접할 조건 = 중근 조건
고1 이차방정식 → 고2 미분
문제 8·9의 검산에서 늘 중근이 나왔습니다. 「접한다」는 곧 「빼서 인수분해하면 중근」입니다. 이차식이면 판별식 \(D=0\)으로도 같은 말을 할 수 있습니다.
④ 속도와 가속도
수학Ⅱ · 미분의 활용
위치를 시간으로 미분하면 속도입니다. 위치 그래프에 접선을 그은 그 기울기가 바로 그 순간의 속도예요. 오늘 한 일과 똑같은 계산입니다.
⑤ 최적화 — 가장 싸게, 가장 크게
수학Ⅱ · 미분의 활용
「비용이 가장 적게 드는 곳」, 「부피가 가장 큰 곳」 — 전부 기울기가 0이 되는 자리를 찾는 일입니다. 문제 3·4에서 기울기의 최솟값·최댓값을 찾은 것과 한 뿌리입니다.
⑥ 뉴턴의 방법 — 방정식을 접선으로 푼다
대학 · 수치해석
문제 6에서 접선의 \(x\)절편을 구했지요. 그 \(x\)절편에서 다시 접선을 긋고, 또 긋고 — 그러면 방정식의 해에 점점 가까워집니다. 계산기가 \(\sqrt{2}\)를 구하는 방법이 바로 이것입니다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법(기울기는 미분 · 완전제곱 · 접점을 \(t\)로 · 접한다는 조건 두 개)을 수학적으로 정확한 값으로 새로 설계·검산한 교육 자료입니다. 열 문제 모두 서로 다른 두 길(도함수 대입 ↔ 미분계수의 정의식, 또는 접선식 ↔ 빼서 인수분해한 중근)로 직접 검산했습니다. 원본 강의와 숫자·예제가 다릅니다. 인용한 구호는 선생님이 실제로 하신 말씀이며, 뒤에 그 출처(전사 시각)를 적어 두었습니다. 난이도 배분 — C 2문항(1·2) : B 7문항(3·4·5·6·7·8·9) : A 1문항(10).
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