평균변화율 실전 완전정복 — 할선의 기울기에서 접선의 기울기로 연습 10제

먼저 · 평균변화율, 이 다섯 가지면 끝난다

평균변화율이란 — \(x\)가 \(a\)에서 \(b\)까지 변할 때 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). 분모는 가로, 분자는 세로. 뒤집어 쓰면 그 순간 다 틀린다.

그림에서는 할선의 기울기 — 곡선 위의 두 점을 곧게 이은 직선이 할선이다. 가는 도중이 완만했든 가팔랐든 상관없다. 출발점과 도착점만 이어서 잰 값이다.

두 점을 붙이면 접선 — 뒤의 점을 앞의 점 쪽으로 한없이 당기면 할선이 그 점에서 곡선에 닿는 접선이 된다. 이것이 평균변화율과 순간변화율을 잇는 다리다.

그 기울기가 미분계수 — \(f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\). 두 꼴은 같은 말이다(\(\Delta x\)를 \(h\)라 부른 것뿐). 평균변화율에 \(\lim\)만 씌운 것.

계산의 지름길 — \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)에서 분자를 인수분해하면 \((b-a)\)가 통째로 약분된다. \(x^2\)꼴이면 \(a+b+(\text{일차항 계수})\), \(x^3\)꼴이면 \(a^2+ab+b^2\). 대입보다 이 길이 빠르고, 검산까지 된다.

\(f(x)=x^2-x\)에서 할선 A(1, 0)–B(3, 6)의 기울기와, \(x=2\)에서의 접선의 기울기가 둘 다 3이라 나란하다.
그림은 가로 한 칸과 세로 한 칸을 똑같은 길이로 그렸다 — 자로 재도 기울기가 맞다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

계단을 가로 2칸 가는 동안 세로 6칸 올랐다면 한 칸에 3칸씩. 도중이 완만했어도 평균은 3.

📐 중2 (핵심)

일차함수의 기울기 = \(\dfrac{\text{세로 변화량}}{\text{가로 변화량}}\). 이 문장이 그대로 평균변화율이다.

🎓 고2 (확장)

미분계수·도함수, 그리고 평균값 정리 — 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 구간 안에 반드시 있다.

🐣 저학년 직관 — "계단을 오르는 평균 기울기"

계단을 오릅니다. 가로로 2칸 가는 동안 세로로 6칸 올라갔어요. 그러면 한 칸 갈 때마다 평균 몇 칸씩 올라간 걸까요? 6 ÷ 2 = 3, 한 칸에 3칸씩입니다.

재미있는 건, 처음엔 낮은 계단이었다가 나중에 높은 계단이었어도 평균은 똑같이 3이라는 거예요. 그리고 그 계단들 중에는 정확히 3칸짜리 계단이 반드시 하나 있습니다. 이게 고등학교에서 배우는 큰 이야기의 씨앗이랍니다.

가로 2칸 · 세로 6칸 → 한 칸에 3칸

연습 10제 · 두 길로 검산

난이도 배분 — C 2제 : B 7제 : A 1제 (20 : 70 : 10). 모든 답은 정의식에 대입하는 길과 인수분해해 약분하는 길 둘로 검산했습니다.

문제 1C · 정의 그대로

함수 \(f(x)=x^2-x\)에서 \(x\)의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율을 구하여라.

그림의 점선 직각삼각형이 곧 \(\Delta x\)와 \(\Delta y\)다. 할선의 기울기를 눈으로 먼저 재 보자.

풀이 — 분모는 가로, 분자는 세로

⭐ 여기가 고비 — 「무엇을 무엇으로 나누는가」 평균변화율은 변한 값을 걸린 값으로 나눈 것입니다. 그러니 분모에는 가로의 변화량 \(b-a\)가, 분자에는 세로의 변화량 \(f(b)-f(a)\)가 옵니다. 왜 이 순서인가요? 「1칸 갈 때마다 몇 칸 오르나」를 묻는 값이기 때문입니다. 「1칸 오를 때마다 몇 칸 가나」가 아니지요. 그래서 가로가 언제나 분모입니다. 여기서 한 번 뒤집으면 뒤의 모든 계산이 통째로 틀립니다.
\(f(1)=1-1=0\), \(f(3)=9-3=6\).
\(\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{6-0}{2}=3\).
다른 길로 검산: \(\dfrac{(b^2-b)-(a^2-a)}{b-a}=\dfrac{(b-a)(b+a)-(b-a)}{b-a}=a+b-1=1+3-1=3\) ✓

"기울기가 바로 뭐냐면 미분이다."— 장대경 선생님 「접선」 특강 원본 1:20

평균변화율 = 3

문제 2C · 나누는 것을 잊지 않기

함수 \(f(x)=x^2+2x\)에서 \(x\)의 값이 0에서 4까지 변할 때의 평균변화율을 구하여라.

풀이 — 변화량을 구했으면 반드시 나눈다

\(f(0)=0+0=0\), \(f(4)=16+8=24\).
⭐ 여기가 고비 — 24 는 답이 아니다 \(f(4)-f(0)=24\)까지 구해 놓고 여기서 멈추는 실수가 가장 많습니다. 24는 세로로 변한 양일 뿐이고, 물어본 것은 「율」입니다. 반드시 가로로 변한 양 4로 나누어야 답이 됩니다 — \(24 \div 4 = 6\). 왜 자꾸 잊을까요? 「변화량」과 「변화율」이 한 글자 차이여서입니다. 문제에 「율」이 붙어 있으면 반드시 나눗셈이 한 번 더 남아 있다고 생각하세요.
다른 길로 검산: \(\dfrac{(b^2+2b)-(a^2+2a)}{b-a}=a+b+2=0+4+2=6\) ✓

⛔ 자주 하는 실수 \(f(4)-f(0)=24\) 이니까 평균변화율은 24 ✗ → 「변화량」이 아니라 「변화율」. 가로 변화량 4로 나누어 6.

평균변화율 = 6

문제 3B · 평균변화율 = 순간변화율

함수 \(f(x)=x^2-x\)에서 \(x\)의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율과 순간변화율 \(f'(c)\)가 같아지는 \(c\)를 구하여라. (단 \(1<c<3\))

풀이 — 구간의 값을 먼저 구하고, 그것을 한 점에서 찾는다

문제 1에서 평균변화율은 3.
⭐ 여기가 고비 — 「구간의 값」을 「한 점의 값」과 같다고 놓는다 평균변화율 3은 구간 [1, 3] 전체를 하나로 뭉뚱그린 값이고, \(f'(c)\)는 딱 한 점 \(x=c\)에서의 값입니다. 성질이 다른 두 값이지요. 이 문제는 그 다른 두 값이 같아지는 자리를 묻습니다. 그래서 \(f'(x)=2x-1\)에 3을 대입하는 것이 아니라, \(2x-1=3\)이라는 방정식을 세우는 것입니다. 그런 \(c\)가 정말 있나요? 매끄러운 함수라면 반드시 구간 안에 있습니다 — 고2에서 배울 평균값 정리가 바로 이 이야기입니다. 계단을 평균 3칸씩 올랐다면 정확히 3칸짜리 계단이 그 안에 반드시 하나 있다는 뜻이지요.
\(f'(x)=2x-1\) 이므로 \(2c-1=3\) → \(2c=4\) → \(c=2\).
\(1<2<3\) 이므로 조건을 만족한다.
다른 길로 검산(정의식): \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(h^2+3h)}{h}=\lim_{h\to0}(h+3)=3\) ✓

"어려운 게 아냐."— 장대경 선생님 원본 강의 13:31

c = 2

문제 4B · 삼차식의 약분

함수 \(f(x)=x^3\)에서 \(x\)의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율을 구하여라.

풀이 — 대입해도 되지만, 인수분해가 검산까지 해 준다

\(f(1)=1\), \(f(3)=27\) → \(\dfrac{27-1}{3-1}=\dfrac{26}{2}=13\).
⭐ 여기가 고비 — \(b^3-a^3\)에는 \((b-a)\)가 숨어 있다 평균변화율의 분모는 언제나 \(b-a\)입니다. 그런데 \(b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)\) 이므로 분모가 통째로 약분됩니다. 남는 것은 \(a^2+ab+b^2=1+3+9=13\). 왜 늘 약분이 되나요? \(x=a\)를 넣으면 분자가 0이 되기 때문입니다. 분자가 0이 되는 자리가 \(a\)라는 것은 곧 \((x-a)\)를 인수로 갖는다는 뜻이지요. 그래서 평균변화율 계산에서 「약분이 안 되면 어딘가 틀린 것」입니다. 이 성질은 뒤에 미분계수의 극한을 계산할 때 그대로 다시 쓰입니다.
두 길의 값이 13으로 같다 ✓

"대입이 막히면 지워라 — 0/0은 막힌 게 아니라, 아직 못 지운 공통인수가 숨어 있다는 신호다."— 장대경 선생님 제35강 「함수의 극한」

평균변화율 = 13

문제 5B · 거꾸로 구간 찾기

함수 \(f(x)=x^2\)에서 \(x\)의 값이 2에서 \(b\)까지 변할 때의 평균변화율이 6이다. \(b\)의 값을 구하여라. (단 \(b>2\))

풀이 — 약분을 먼저 하고 나서 방정식을 세운다

⭐ 여기가 고비 — 「약분 → 방정식」 순서를 지킨다 \(\dfrac{b^2-4}{b-2}=6\)을 그대로 놓고 양변에 \(b-2\)를 곱하면 \(b^2-6b+8=0\)이라는 이차방정식이 되어 \(b=2\) 또는 \(b=4\)가 나옵니다. 그런데 \(b=2\)는 분모를 0으로 만드는 값이라 애초에 쓸 수 없습니다. 먼저 약분해서 \(b+2=6\)이라는 일차식으로 만든 다음 풀면 이런 가짜 답이 생기지 않습니다. 왜 가짜 답이 생기나요? 분모를 곱해 없애는 순간, 「분모가 0이면 안 된다」는 조건이 사라지기 때문입니다. 약분을 먼저 하면 그 조건이 살아 있는 채로 풀립니다.
\(\dfrac{b^2-2^2}{b-2}=\dfrac{(b-2)(b+2)}{b-2}=b+2\).
\(b+2=6\) → \(b=4\).
다른 길로 검산(대입): \(\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=\dfrac{12}{2}=6\) ✓

b = 4

문제 6B · h 로 나타내기

함수 \(f(x)=x^2-4x+1\)에서 \(x\)의 값이 1에서 \(1+h\)까지 변할 때의 평균변화율을 \(h\)로 나타내고, \(h\to 0\)일 때의 값을 구하여라.

풀이 — 평균변화율 식 자체가 \(h\)의 함수다

\(f(1+h)=(1+h)^2-4(1+h)+1=1+2h+h^2-4-4h+1=h^2-2h-2\).
\(f(1)=1-4+1=-2\).
⭐ 여기가 고비 — 분모의 \(h\)가 반드시 지워진다 분자는 \((h^2-2h-2)-(-2)=h^2-2h=h(h-2)\). 여기서 \(h\)가 통째로 묶여 나오기 때문에 분모의 \(h\)와 약분되어 평균변화율은 \(h-2\)라는 깔끔한 일차식이 됩니다. 왜 반드시 지워지나요? \(h=0\)이면 두 점이 같은 점이 되어 분자가 0이 되기 때문입니다. 그래서 분자는 항상 \(h\)를 인수로 갖습니다. 약분하고 나서야 비로소 \(h\)에 0을 넣을 수 있고, 그 값이 미분계수입니다 — \(h-2\)에 \(h=0\)을 넣으면 \(-2\).
따라서 평균변화율 = \(h-2\), \(h\to0\)이면 −2.
다른 길로 검산(도함수): \(f'(x)=2x-4\), \(f'(1)=2-4=-2\) ✓

평균변화율 = h − 2 · h → 0 일 때 −2

문제 7B · 정의식으로 미분계수

함수 \(f(x)=2x^2+1\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)의 값을 구하여라.

풀이 — 이 식의 이름이 곧 \(f'(1)\)

⭐ 여기가 고비 — 이 꼴을 보면 「아, 미분계수구나」라고 읽는다 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)는 미분계수 \(f'(a)\)의 정의식 그 자체입니다. 그러니 이 문제는 사실 「\(f'(1)\)을 구하시오」와 똑같은 말입니다. 정의식대로 전개해도 되고, 도함수를 구해 대입해도 됩니다. 답은 반드시 같아야 합니다. 왜 굳이 두 길을 다 해 보나요? 정의식은 「왜 그런가」를 보여 주고, 도함수는 「빠르게 답을 낸다」이기 때문입니다. 시험에서는 도함수로 풀되, 정의식 꼴을 알아보지 못하면 문제 자체를 못 읽습니다. \(\lim\) 안에 \(f(a+h)-f(a)\)와 분모 \(h\)가 보이면 곧바로 \(f'(a)\)라고 옮겨 적으세요.
\(f(1+h)=2(1+h)^2+1=2(1+2h+h^2)+1=2h^2+4h+3\), \(f(1)=2+1=3\).
\(\dfrac{(2h^2+4h+3)-3}{h}=\dfrac{2h^2+4h}{h}=2h+4\).
\(h\to0\)이면 4.
다른 길로 검산(도함수): \(f'(x)=4x\), \(f'(1)=4\) ✓

문제 8B · 답이 정수가 아닐 때

함수 \(f(x)=x^3-3x\)에서 \(x\)의 값이 0에서 3까지 변할 때의 평균변화율과 순간변화율이 같아지는 \(x\)의 값을 구하여라. (단 \(0<x<3\))

풀이 — 구간의 값을 구하고, 도함수를 그 값과 같다 놓는다

\(f(0)=0\), \(f(3)=27-9=18\) → 평균변화율 \(=\dfrac{18-0}{3-0}=6\).
\(f'(x)=3x^2-3\) 이므로 \(3x^2-3=6\) → \(3x^2=9\) → \(x^2=3\) → \(x=\pm\sqrt{3}\).
⭐ 여기가 고비 — 두 근 중 하나는 버려야 한다 \(x^2=3\)에서 나오는 근은 \(\sqrt{3}\)과 \(-\sqrt{3}\) 둘입니다. 그런데 문제가 준 구간은 \(0<x<3\)이고, \(-\sqrt{3}\approx-1.73\)은 그 구간 밖입니다. 그래서 답은 \(x=\sqrt{3}\) 하나뿐입니다(\(\sqrt{3}\approx1.73\)으로 0과 3 사이). 왜 구간을 매번 확인해야 하나요? 평균변화율과 같아지는 순간변화율은 「그 구간 안에서」 이야기이기 때문입니다. 구간 밖의 점은 이 문제와 아무 상관이 없습니다. 답이 무리수라고 해서 틀린 것이 아닙니다 — 구간 안에 있는지만 확인하면 됩니다.
다른 길로 검산(인수분해): \(\dfrac{(b^3-3b)-(a^3-3a)}{b-a}=a^2+ab+b^2-3=0+0+9-3=6\) ✓ (평균변화율이 6으로 같다)

"산꼭대기는 평평하다 — 오르막이 끝나고 내리막이 시작되는 곳에서 기울기가 0."— 장대경 선생님 제21강 「도함수의 활용」

x = √3

문제 9B · 할선과 접선의 식

함수 \(f(x)=x^2-x\)에 대하여 ① 두 점 \(\mathrm{A}(1,\,0)\), \(\mathrm{B}(3,\,6)\)을 지나는 할선의 방정식과 ② \(x=2\)에서의 접선의 방정식을 각각 구하여라.

두 직선은 기울기가 같아 나란하다. 다른 것은 지나는 점뿐이다.

풀이 — 기울기는 같고, 지나는 점만 다르다

① 할선의 기울기 = 평균변화율 = \(\dfrac{6-0}{3-1}=3\). A(1, 0)을 지나므로 \(y=3(x-1)+0=3x-3\).
B(3, 6)을 넣어 확인: \(3\cdot3-3=6\) ✓
② \(f'(x)=2x-1\) 이므로 접선의 기울기 \(f'(2)=3\). 접점은 \((2,\,f(2))=(2,\,2)\).
\(y=3(x-2)+2=3x-4\).
⭐ 여기가 고비 — 「정말 접하는가」는 중근으로 확인한다 접선이 맞는지 검산하는 방법은 곡선과 연립해 보는 것입니다. \(x^2-x=3x-4\) → \(x^2-4x+4=0\) → \((x-2)^2=0\). 중근이 나왔으므로 정말 「닿기만」 합니다. 만약 서로 다른 두 근이 나왔다면 그건 접선이 아니라 할선입니다. 할선과 접선의 차이가 여기서 또렷해집니다. 할선을 연립하면 서로 다른 두 근(만나는 두 점), 접선을 연립하면 중근(두 점이 겹친 것)입니다. 할선 \(y=3x-3\)으로 확인해 보면 \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0\) — 정확히 A와 B가 나옵니다. 「두 점을 붙이면 접선」이라는 말이 식에서는 「두 근이 중근이 된다」로 나타나는 것입니다.

① 할선 y = 3x − 3 · ② 접선 y = 3x − 4

문제 10A · 일반화와 반례

이차함수 \(f(x)=ax^2+bx+c\)\((a\neq0)\)에서 \(x\)의 값이 \(p\)에서 \(q\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(f'(m)\)과 같다고 한다.
① \(m\)을 \(p,\,q\)로 나타내어라. ② \(f(x)=x^2-x\), 구간 \([1,\,3]\)에서 ①이 맞는지 확인하여라. ③ 이 성질이 삼차함수에서도 성립하는지 \(f(x)=x^3\), 구간 \([0,\,3]\)으로 판정하여라.

풀이 — 문자로 한 번 풀어 두면 모든 이차함수가 한꺼번에 풀린다

① 분자 \(f(q)-f(p)=a(q^2-p^2)+b(q-p)=(q-p)\{a(q+p)+b\}\).
분모 \(q-p\)로 나누면 평균변화율 \(=a(p+q)+b\).
\(f'(x)=2ax+b\) 이므로 \(f'(m)=2am+b\).
\(a(p+q)+b=2am+b\) → \(2am=a(p+q)\), \(a\neq0\) 이므로 \(m=\dfrac{p+q}{2}\) — 구간의 한가운데.
② \(p=1,\ q=3\) → \(m=\dfrac{1+3}{2}=2\). \(f'(x)=2x-1\), \(f'(2)=3\). 평균변화율도 3 ✓ (문제 1·3과 일치)
⭐ 여기가 고비 — ③ 「언제나 한가운데」라고 외우면 틀린다 ①에서 \(m\)이 한가운데가 된 까닭은 \(f'\)가 \(x\)에 대해 일차식(\(2ax+b\))이었기 때문입니다. 일차식이라야 「평균 높이 = 한가운데 높이」가 성립하지요. 삼차함수는 \(f'\)가 이차식이라 이 논리가 무너집니다. 직접 확인해 봅시다 — \(f(x)=x^3\), \([0,\,3]\)의 평균변화율은 \(\dfrac{27-0}{3-0}=9\)인데, 한가운데 \(m=\dfrac{0+3}{2}=1.5\)에서 \(f'(1.5)=3(1.5)^2=6.75\). \(9\neq6.75\) — 성립하지 않습니다. (실제로는 \(3x^2=9\), 곧 \(x=\sqrt3\approx1.73\)에서 같아집니다. 한가운데가 아닙니다.) 그러면 무엇이 늘 참인가요? 「평균변화율과 같아지는 점이 구간 안에 반드시 하나는 있다」까지가 늘 참이고(평균값 정리), 「그 점이 한가운데다」는 이차함수에서만 참입니다. 늘 참인 것과, 이번 경우에만 참인 것을 갈라 두는 것 — 이게 이 문제가 묻는 전부입니다.

🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「중점 공식」으로 외우면 \(f(x)=x^3\), \([0,\,3]\) → \(m=1.5\) 라고 답하면 ✗ (\(f'(1.5)=6.75\neq9\)) → 이차함수에서만 한가운데. 일반적으로는 \(f'(x)=(\text{평균변화율})\)이라는 방정식을 풀어야 한다.

① m = (p+q)/2 · ② m = 2, 양쪽 다 3 ✓ · ③ 성립하지 않는다 (9 ≠ 6.75)

이 한 줄이 어디까지 가는가

🌉 평균변화율은 「다리」다

오늘 익힌 Δy/Δx 와 두 점을 붙이면 접선은 고2에서 끝나지 않습니다. 변화를 재는 모든 자리에 그대로 다시 나타납니다.

① 중2 · 일차함수의 기울기

중2 · 일차함수

일차함수는 어느 구간을 잡아도 평균변화율이 늘 같습니다 — 그 값이 바로 기울기 \(a\)입니다. 거꾸로 말하면, 평균변화율이 구간마다 달라지는 함수가 곡선입니다.

② 고2 · 접선의 방정식

수학Ⅱ · 미분

오늘 얻은 \(f'(a)\)가 곧 접선의 기울기입니다. 점 \((a,\,f(a))\)와 기울기 \(f'(a)\)만 있으면 접선의 식이 나옵니다 — 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 \(t\)로 두고 풉니다.

③ 고2 · 속도와 가속도

수학Ⅱ · 미분의 활용

위치를 시간으로 나눈 평균속도가 평균변화율이고, 거기에 \(\lim\)을 씌운 순간속도가 미분계수입니다. 「시속 60으로 달렸다」와 「지금 계기판이 60이다」의 차이가 정확히 이 차이입니다.

④ 고2 · 평균값 정리

수학Ⅱ · 미분의 활용

문제 3·8·10이 그 씨앗입니다. 구간의 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 구간 안에 반드시 있다. 증가·감소 판정도, 부등식 증명도 여기서 나옵니다.

⑤ 여러 가지 변화율

수학Ⅱ · 미분의 활용

넓이의 변화율, 부피의 변화율, 농도의 변화율 — 이름만 바뀔 뿐 전부 \(\dfrac{\Delta(\text{그것})}{\Delta(\text{시간})}\)에 \(\lim\)입니다. 문제를 읽고 무엇을 무엇으로 나누는지만 정하면 끝납니다.

⑥ 미분이 안 되는 자리

수학Ⅱ · 미분계수

그래프가 끊어졌거나 뾰족하면 왼쪽에서 다가간 기울기와 오른쪽에서 다가간 기울기가 달라 접선이 하나로 정해지지 않습니다. 매끄러워야 미분이 됩니다.

※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 열 문제 모두 서로 다른 두 길로 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음). 인용한 구호는 선생님이 실제로 하신 말씀이며, 뒤에 그 출처를 적어 두었습니다.

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