⭐ 여기가 고비 — 교집합을 「눈으로 찾지」 말고 왜 12뿐인지를 말할 수 있어야 한다
두 집합을 노려보며 같은 수를 찾는 것도 답은 나옵니다. 하지만 수가 커지면 반드시 놓칩니다.
4의 배수이면서 동시에 6의 배수인 수는 곧 12의 배수입니다(4와 6의 최소공배수가 12).
그러니 \(A \cap B\) 는 20 이하의 12의 배수이고, 그건 12 하나뿐입니다.
(24는 20을 넘습니다.) 교집합 = 최소공배수의 배수 — 이 한 줄을 알면
「20 이하」가 「100 이하」로 바뀌어도 세는 법이 똑같습니다.
\(A - B\) 는 \(A\) 에서 12만 덜어낸 것 → \(\{4, 8, 16, 20\}\).
⚠️ 함정 — 「20 이하」인가 「20 미만」인가20을 빼먹으면 \(A = \{4, 8, 12, 16\}\) 이 되어 \(A - B\) 가 세 개가 됩니다.「이하」는 20도 들어간다 — 낱말 하나가 원소 하나를 바꾼다.
A ∩ B = {12}, A − B = {4, 8, 16, 20}
문제 2C밖을 먼저 걷어낸다
전체집합 \(U\) 의 두 부분집합 \(A\), \(B\) 에 대하여
\(n(U) = 45\), \(n(A) = 26\), \(n(B) = 19\), \(n\bigl((A \cup B)^{c}\bigr) = 7\) 일 때,
\(n(A \cap B)\) 를 구하여라.
풀이 — 합집합부터 구한 뒤 공식을 뒤집는다
⭐ 여기가 고비 — 주어진 것이 「밖」이라는 것을 알아채기
\(n\bigl((A \cup B)^{c}\bigr) = 7\) 은 A에도 B에도 안 들어간 사람이 7명이라는 뜻입니다.
곧 벤 다이어그램의 네 번째 칸이지요. 이 값은 공식에 그대로 넣는 것이 아니라
전체에서 빼서 합집합을 만드는 데 씁니다.
\(n(A \cup B) = n(U) - n\bigl((A \cup B)^{c}\bigr) = 45 - 7 = 38\).
이제 공식 \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\) 에 넣으면
\(38 = 26 + 19 - n(A \cap B)\) 이므로 \(n(A \cap B) = 45 - 38 = 7\).
여기서 7이 두 번 나오는 것은 우연입니다 — 밖도 7, 교집합도 7. 헷갈리지 마세요.
"그렇게 어렵지 않다 라는 것을 우리가 잘 이용해서, 요 식을 잘 이용해서 한번 문제를 풀어보세요."— 장대경 선생님 [5RqFKANdiaY · 4:35~4:44]
n(A ∩ B) = 7
문제 3B드모르간
전체집합 \(U = \{1, 2, \cdots, 9\}\) 의 두 부분집합
\(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\) 에 대하여
\(\bigl(A^{c} \cup B^{c}\bigr)^{c} \cup (A - B)\) 를 구하여라.
풀이 — 씌운 것부터 벗긴다
⭐ 여기가 고비 — 여집합을 하나하나 구하지 말고 드모르간으로 통째로 벗긴다
\(A^{c} = \{5,6,7,8,9\}\), \(B^{c} = \{1,2,7,8,9\}\) 를 구해 합치고 다시 여집합을 취해도 답은 나옵니다.
그런데 원소가 열 개만 넘어가도 이 길은 반드시 실수가 납니다.
드모르간을 거꾸로 쓰면 한 줄입니다.
\(\bigl(A^{c} \cup B^{c}\bigr)^{c} = (A^{c})^{c} \cap (B^{c})^{c} = A \cap B\).
곧 앞부분은 그냥 \(A \cap B = \{3, 4\}\) 입니다.
뒷부분은 \(A - B = \{1, 2\}\).
둘을 합치면 \(\{1,2,3,4\}\), 그런데 이건 정확히 \(A\) 입니다.
당연합니다 — \(A\) 의 원소는 B에 들어가거나(교집합) 안 들어가거나(차집합) 둘 중 하나뿐이니,
그 둘을 합치면 \(A\) 가 통째로 돌아옵니다. \((A \cap B) \cup (A - B) = A\).
확인 — \(\{3,4\} \cup \{1,2\} = \{1,2,3,4\} = A\) ✓
"드 모르간의 법칙은 여러분 기본 (교과)서를 또는 참고서나 문제집을 잘 이용해서 공부를 하(기) 바랍니다."— 장대경 선생님 [atVKW9wRuh8 · 27:45~27:55]
{1, 2, 3, 4} (= A)
문제 4B그림 → 집합 거꾸로
전체집합 \(U = \{1, 2, \cdots, 10\}\) 의 두 부분집합 \(A\), \(B\) 에 대하여
\(A \cap B = \{2, 6\}\), \(A - B = \{1, 9\}\), \((A \cup B)^{c} = \{4, 7, 10\}\) 이다.
집합 \(B\) 를 원소나열법으로 나타내어라.
칸이 넷인데 셋을 주었다. 남는 한 칸만 채우면 끝난다.
풀이 — 남는 칸을 찾아 채운다
밖이 \(\{4,7,10\}\) 이므로 \(A \cup B = U - \{4,7,10\} = \{1,2,3,5,6,8,9\}\).
⭐ 여기가 고비 — \(B\) 는 「남은 칸 + 교집합」이다
\(B\) 를 곧바로 찾으려 하면 막힙니다. 합집합 안은 칸이 셋뿐이라는 것을 보세요 —
A만(= A−B) · 겹치는 곳(= A∩B) · B만(= B−A).
셋을 다 합치면 합집합이니, B만은 합집합에서 나머지 둘을 덜어내면 나옵니다.
\(B - A = (A \cup B) - (A - B) - (A \cap B)\)
\(= \{1,2,3,5,6,8,9\} - \{1,9\} - \{2,6\} = \{3, 5, 8\}\).
그리고 \(B = (B - A) \cup (A \cap B) = \{3,5,8\} \cup \{2,6\} = \)
\(\{2, 3, 5, 6, 8\}\). 덤으로 \(A = (A-B) \cup (A \cap B) = \{1, 2, 6, 9\}\) 까지 한꺼번에 나옵니다.
되짚기 — \(A \cap B = \{2,6\}\) ✓ · \(A - B = \{1,9\}\) ✓ · \((A \cup B)^{c} = \{4,7,10\}\) ✓ (네 칸이 모두 맞물린다)
⚠️ 함정 — 「B만」과 「B」를 섞지 마라\(\{3,5,8\}\) 을 답으로 쓰면 틀립니다. 그건 B 중 A에 안 들어가는 부분일 뿐입니다.B에는 겹치는 칸 \(\{2,6\}\) 도 들어 있다. 칸을 세었으면 반드시 다시 합쳐라.
B = {2, 3, 5, 6, 8}
문제 5B교집합으로 미정계수
두 집합 \(A = \{2,\ 5,\ a^{2} - a\}\), \(B = \{1,\ 2,\ 6,\ a + 4\}\) 에 대하여
\(A \cap B = \{2, 6\}\) 일 때, 실수 \(a\) 의 값을 구하여라.
풀이 — 교집합이 방정식을 준다, 그리고 「집합이 되는지」를 본다
\(6 \in A\) 인데 \(A\) 에서 6이 될 수 있는 것은 \(a^{2}-a\) 뿐이다 → \(a^{2} - a = 6\).
\(a^{2} - a - 6 = 0\), 인수분해하면 \((a-3)(a+2) = 0\) → \(a = 3\) 또는 \(a = -2\).
⭐ 여기가 고비 — 두 값을 둘 다 넣어 보고 하나를 버린다
여기서 멈추고 「\(a = 3\) 또는 \(-2\)」라고 답하면 틀립니다.
집합은 같은 원소를 두 번 가질 수 없다는 조건이 아직 남아 있으니까요.
· \(a = 3\) : \(A = \{2, 5, 6\}\), \(B = \{1, 2, 6, 7\}\) →
원소가 모두 서로 다르고 \(A \cap B = \{2, 6\}\) ✓ 맞습니다.
· \(a = -2\) : \(a + 4 = 2\) 가 되어 \(B = \{1, 2, 6, 2\}\) —
2가 두 번 들어가 집합이 되지 않습니다. 그래서 버립니다. 선생님도 꼭 이 자리에서 되짚으십니다 — "(원소가) 1 1이 (되어) 집합이 (안) 된다".
방정식의 근을 구했으면 반드시 원래 집합에 되넣어 보세요.
확인 — \(a = 3\) 일 때 \(A \cap B = \{2, 6\}\), 문제의 조건과 딱 맞는다.
a = 3
문제 6B배수의 집합
자연수 \(n\) 에 대하여 \(A_{n}\) 을 \(n\) 의 양의 배수의 집합이라 하자.
\(A_{12} \cap A_{18} = A_{m}\), \(A_{8} \cup A_{24} = A_{k}\) 일 때, \(m + k\) 의 값을 구하여라.
풀이 — 교집합은 최소공배수, 포함되면 큰 쪽이 남는다
⭐ 여기가 고비 — \(\cap\) 과 \(\cup\) 에서 답이 정반대 방향으로 간다
둘 다 「공통」을 찾는 일 같지만 전혀 다릅니다.
\(A_{12} \cap A_{18}\) 은 12의 배수이면서 동시에 18의 배수인 수들 —
곧 최소공배수 36의 배수입니다. 12, 24, 36, 48 … 과 18, 36, 54 … 를
줄지어 써 보면 처음 만나는 곳이 36이지요.
· \(A_{12} \cap A_{18} = A_{36}\) 이므로 \(m = 36\).
· \(A_{8} \cup A_{24}\) 는 24의 배수가 이미 전부 8의 배수라
(\(24 = 8 \times 3\)) \(A_{24} \subset A_{8}\) 입니다.
작은 집합을 큰 집합에 합치면 큰 집합 그대로이므로 \(A_{8} \cup A_{24} = A_{8}\), \(k = 8\). 「배수가 더 촘촘한 쪽(= 수가 작은 쪽)이 더 큰 집합」 — 이 감각이 이 단원의 전부입니다.
\(m + k = 36 + 8 = 44\).
⚠️ 함정 — \(A_{8}\) 이 \(A_{24}\) 보다 「작아 보인다」8이 24보다 작으니 \(A_{8}\) 도 작은 집합이라고 생각하기 쉽습니다.거꾸로다 — 8, 16, 24, 32… 가 24, 48, 72… 보다 훨씬 많다. 수가 작을수록 배수는 많다.
m + k = 44
문제 7B개수 공식 실전
어느 학교 학생 100명을 조사했더니 수학 동아리에 든 학생이 58명, 과학 동아리에 든 학생이 47명,
둘 다 들지 않은 학생이 12명이었다. 두 동아리에 모두 든 학생 수를 구하여라.
⭐ 여기가 고비 — 말을 기호로 바꾸는 자리
「둘 다 들지 않은」은 A에도 B에도 안 들어간 것 → \((A \cup B)^{c}\) 곧 밖.
「모두 든」은 A에도 B에도 들어간 것 → \(A \cap B\) 곧 가운데 칸.
이 둘을 바꿔 읽으면 답이 통째로 뒤집힙니다.
\(n(A \cup B) = 100 - 12 = 88\).
\(88 = 58 + 47 - n(A \cap B) = 105 - n(A \cap B)\) \(n(A \cap B) = 105 - 88 = 17\)명. 58 + 47 = 105 가 전체 100보다 큰 것이 바로 겹친 사람이 있다는 증거입니다.
넘친 5명? 아닙니다 — 넘친 5명은 최솟값일 뿐이고, 밖에 12명이 있으니 실제로는 17명이 겹칩니다.
되짚기 — 수학만 \(58-17=41\), 과학만 \(47-17=30\), 둘 다 17, 밖 12 → 합 \(41+30+17+12 = 100\) ✓
"그래서 우리(가) 요 원소(의) 개수 공식을 꼭 우리가 알아(둬야) 된다."— 장대경 선생님 [atVKW9wRuh8 · 38:45~38:52]
17명
문제 8B세 집합 공식
어느 반 학생 40명에게 세 가지 방과후 강좌 A, B, C의 신청을 조사했더니
A가 23명, B가 19명, C가 16명이고,
A와 B를 모두 신청한 학생이 9명, B와 C가 7명, C와 A가 8명,
셋을 모두 신청한 학생이 4명이었다.
세 강좌를 하나도 신청하지 않은 학생 수를 구하여라.
풀이 — 더하고, 두 개씩 빼고, 셋을 다시 더한다
세 집합 공식 : \(n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)\).
⭐ 여기가 고비 — 마지막에 왜 다시 더하는가
그냥 셋을 더하면 두 군데 겹친 사람은 두 번 세어집니다. 그래서 두 개씩 겹친 것 셋을 뺍니다.
그런데 셋 다 신청한 사람은 처음에 세 번 세어졌다가, 뺄 때도 세 번(\(A\cap B\), \(B \cap C\), \(C \cap A\) 에 모두 들어 있으니) 빠집니다.
세 번 더하고 세 번 뺐으니 0번 — 아예 사라져 버린 거지요.
그래서 마지막에 한 번 다시 더해 주어야 딱 한 번 세어집니다.
\(n(A \cup B \cup C) = 23 + 19 + 16 - 9 - 7 - 8 + 4 = 38\). 하나도 신청하지 않은 학생 = 40 − 38 = 2명.
"요거 아주 중요한 공식(이)니까 잘 기억(하)도록 하지요."— 장대경 선생님 [5RqFKANdiaY · 10:22~10:25]
2명
문제 9B교집합의 최대·최소
어느 동아리 학생 45명 중 축구를 할 줄 아는 학생이 30명, 야구를 할 줄 아는 학생이 24명이다.
두 가지를 모두 할 줄 아는 학생 수의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\) 이라 할 때,
\(M + m\) 의 값을 구하여라.
풀이 — 넘치는 만큼은 반드시 겹친다
⭐ 여기가 고비 — 최솟값은 0이 아니다
「최소로 겹치면 아예 안 겹칠 수도 있지 않나?」 — 여기서는 안 됩니다.
\(30 + 24 = 54\) 인데 전체는 45명뿐입니다.
54명분의 자리를 45명 안에 앉히려면 9명은 반드시 두 자리를 겸해야 합니다.
\(n(A \cup B) \le n(U) = 45\) 이므로
\(n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) \ge 54 - 45 = 9\) → \(m = 9\).
최댓값은 작은 쪽이 큰 쪽에 통째로 들어갈 때입니다.
야구 24명이 모두 축구도 할 줄 알면 \(A \cap B = B\) 이므로 \(M = 24\)
(이때 \(n(A \cup B) = 30 \le 45\) 이라 전체 안에 잘 들어갑니다). \(M + m = 24 + 9 = 33\).
확인 — 겹치는 수를 \(k\) 라 하면 칸은 \(30-k\), \(k\), \(24-k\), 밖 \(45-(54-k)\). 모두 0 이상이려면 \(9 \le k \le 24\) ✓
⚠️ 함정 — 최댓값을 「전체 45」나 「큰 쪽 30」으로 쓰기교집합은 A에도 B에도 들어가야 하므로 \(B\) 보다 커질 수 없습니다.교집합의 최댓값은 언제나 둘 중 작은 쪽이다 — 여기서는 24.
M + m = 33
문제 10A배수의 집합 · 담는 쪽과 담기는 쪽
자연수 \(n\) 에 대하여 \(A_{n}\) 을 \(n\) 의 양의 배수의 집합이라 하자.
\(A_{24} \cap A_{36} = A_{p}\) 이고,
\(\bigl(A_{8} \cup A_{12}\bigr) \subset A_{q}\) 를 만족시키는 자연수 \(q\) 중 가장 큰 것을 \(Q\) 라 할 때,
\(p + Q\) 의 값을 구하여라.
⭐ 여기가 고비 — \(\subset\) 이 나오면 방향이 뒤집힌다
앞 칸처럼 「공배수」라고 생각하면 반드시 틀립니다. 여기서는 담는 쪽을 묻고 있으니까요.
\(\bigl(A_{8} \cup A_{12}\bigr) \subset A_{q}\) 는
8의 배수도 전부 \(A_q\) 에 들어가고, 12의 배수도 전부 \(A_q\) 에 들어간다는 뜻입니다.
곧 \(A_{8} \subset A_{q}\) 이고 \(A_{12} \subset A_{q}\).
그런데 \(A_{8} \subset A_{q}\) 가 되려면 8 자신이 \(q\) 의 배수여야 하니
\(q\) 는 8의 약수. 마찬가지로 \(q\) 는 12의 약수.
둘 다 나누는 수 중 가장 큰 것 = 최대공약수 \(\gcd(8, 12) = 4\) → \(Q = 4\).
(실제로 \(q\) 가 될 수 있는 값은 1, 2, 4 셋뿐입니다. 예컨대 \(q = 8\) 이면
12는 8의 배수가 아니라 \(A_{12} \not\subset A_{8}\) 이라 안 됩니다.) \(p + Q = 72 + 4 = 76\).
한 줄 정리 — \(\cap\) 은 최소공배수(더 촘촘해진다), 「담는 \(A_k\)」 는 최대공약수(더 성글어진다).
⚠️ 함정 — \(A_{8} \cup A_{12} = A_{4}\) 라고 쓰기4의 배수인 20은 8의 배수도 12의 배수도 아니므로 \(A_{8} \cup A_{12}\) 에 없습니다.
두 집합의 합집합은 \(A_{4}\) 와 같지 않고, \(A_{4}\) 에 들어갈 뿐입니다.문제도 \(=\) 가 아니라 \(\subset\) 으로 물었다 — 기호를 정확히 읽는 것이 곧 국어다.
"요런 센스는 우리가 수학 공부하는 데 굉장히 중요하다는 사실을 필히 명심을 (하)세요."— 장대경 선생님 [Zqt0QXGaOhk · 33:51~33:58]
p + Q = 76
"이해가 안되는 사람은 몇 번이고 이렇게 이해가 될 때까지 한번 반복(적)으로 문제를 풀어보(면) … 훨씬 쉽게 답을 찾을 수가 있다."— 장대경 선생님 [Zqt0QXGaOhk · 19:24~19:31]
"이제까지 집합 부분을 공부를 다 했습니다. 자 이어서 다음 시간에 명제를 시작을 하니까, 집에서 혹시 다른 (참고)책을 보면서 기본 공식은 살짝 (익혀) 주면은 훨씬 더 공부(에) 도움이 됩니다."— 장대경 선생님, 집합 단원을 닫는 말 [5RqFKANdiaY · 28:25~28:48]
※ 이 자료의 열 문항은 장대경 선생님의 방법을 따라 새로 지은 것이며, 모든 답을 직접 검산했습니다
(원소를 나열하는 문항은 실제 집합을 만들어 다시 세고, 개수 문항은 벤 다이어그램의 모든 칸이 0 이상이고 합이 전체와 같은지까지 되짚었습니다).
원본 강의에서 전사의 값이 계산과 어긋난 세 자리(A₈∩A₁₂ 를 「16」, A₄∪A₆ 를 담는 최대 m 을 「6」, A₂₄∪A₃₆ 을 담는 최대 m 을 「36」이라 하신 대목)는
값을 옮기지 않았고, 6번·10번을 같은 갈래의 새 문항으로 지어 실었습니다.
또한 이 자료는 연산과 원소의 개수만 다룹니다 — 부분집합의 개수는 형제 편 「장대경_집합」·「장대경_집합실전」의 몫입니다.
자세한 까닭은 짝 강의 index.html 맨 위 주석에 적어 두었습니다.