YEON MATH · 행복수학

집합의 뜻과 원소 실전 완전정복
— 기준이 있으면 집합이다 · 연습 10제

집합의 판별 · 원소나열법과 조건제시법 · 유한·무한·공집합 · ∈와 ⊂ · 부분집합의 개수 2ⁿ · 반드시와 절대 · 적어도 하나 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 집합 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
집합인지부터 본다 — 누가 들어가는지 기준이 분명하면 집합. "키가 큰", "아름다운", "좋아하는" 처럼 사람마다 달라지는 말이 들어가면 집합이 아니다.
2
이하·미만을 먼저 읽는다 — "20 이하"는 20을 포함, "20 미만"은 제외. 원소를 잘못 세면 뒤의 계산은 전부 헛일이다. 수학은 국어다.
3
∈ 와 ⊂ 를 갈라 쓴다 — 원소와 집합 사이는 ∈, 집합과 집합 사이는 ⊂. 그리고 ∅ ⊂ A, A ⊂ A 는 언제나 참이다.
4
⭐ 부분집합의 개수는 2ⁿ — 원소마다 "넣는다 / 뺀다" 두 갈래니까 2를 n 번 곱한다. 자기 자신을 뺀 진부분집합은 2ⁿ − 1.
5
반드시·절대는 지수에서 뺀다 — 반드시 넣는 것 k개, 절대 안 넣는 것 m개면 자유로운 자리는 n − k − m 개라 2ⁿ⁻ᵏ⁻ᵐ. "자기 자신은 안 된다"가 붙으면 여기서 1을 더 뺀다.
6
"적어도 하나"는 빼기로 센다 — (전체) − (하나도 없는 것). 직접 세면 경우가 폭발한다. 후보가 m개면 2ⁿ − 2ⁿ⁻ᵐ.
A = { 1, 2, 3 } 1 { 1, 2 } 1 ∈ A  (원소)  ·  { 1, 2 } ⊂ A  (집합) 원소 1 원소 2 … 원소 n 넣는다/뺀다 넣는다/뺀다 넣는다/뺀다 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ 진부분집합 = 2ⁿ − 1  (자기 자신 제외) 원소 k개인 부분집합 = ₙCₖ 개

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등·중등 (직관)
"우리 반에서 12월에 태어난 사람" 은 손을 들라면 딱 정해지지만, "키가 큰 사람" 은 정해지지 않는다 — 기준이 있느냐 없느냐.
📐 고1 (핵심)
집합의 뜻과 표현, 유한·무한·공집합, 원소의 개수 n(A), ∈와 ⊂, 부분집합·진부분집합의 개수, 조건이 붙은 부분집합 세기.
🎓 그 다음 (확장)
합집합·교집합·여집합과 드모르간, 명제의 진리집합, 경우의 수와 조합 ₙCₖ, 그리고 확률의 표본공간까지 그대로 이어진다.

🐣 먼저 몸으로 — "부분집합이 왜 2ⁿ 개일까?"

사탕이 딸기·포도·레몬 세 개 있어요. 가방에 넣을 것을 고릅니다. 딸기는 넣거나 안 넣거나 두 가지, 포도도 두 가지, 레몬도 두 가지.

그래서 2 × 2 × 2 = 8가지입니다. 하나도 안 넣는 경우(빈 가방 = 공집합)와 셋 다 넣는 경우(자기 자신)까지 포함해서 8가지예요.

여기서 "셋 다 넣기"는 빼고 세라고 하면 7가지 — 이게 진부분집합입니다.

부분집합 2³ = 8개 · 진부분집합 8 − 1 = 7개

연습 10제 · 전부 손으로 검산한 해설

문제 1집합의 판별 · 기본
다음 중 집합인 것을 모두 고르라.
  1. ㄱ. 10보다 작은 자연수의 모임
  2. ㄴ. 키가 큰 학생의 모임
  3. ㄷ. 20 이하의 4의 양의 배수의 모임
  4. ㄹ. 야구를 좋아하는 사람의 모임
  5. ㅁ. 우리 반에서 12월에 태어난 학생의 모임

풀이 — "누가 들어가는지 딱 정해지나?" 하나만 묻는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 다섯을 각각 따지기 전에 잣대 하나를 세운다 다섯 개를 하나씩 「집합 같다 / 아닌 것 같다」로 느낌 따라 고르면 반드시 어긋납니다. 물음은 언제나 하나뿐입니다 — 「어떤 것을 가져와도 들어가는지 아닌지 딱 판정할 수 있는가?」 가르는 것은 「사람마다 답이 달라지는 말이 끼어 있는가」입니다. 큰 · 아름다운 · 잘하는 · 좋아하는 같은 말은 재는 자가 사람마다 달라 판정이 갈립니다 → 집합이 아닙니다. 10보다 작은 · 20 이하의 · 12월에 태어난은 누가 재도 같은 답이 나옵니다 → 집합입니다. (⚠️ 원소를 다 적을 수 있느냐는 잣대가 아닙니다 — 「모든 자연수의 모임」은 다 적을 수 없어도 어엿한 집합입니다. 다 적을 수 있느냐가 아니라, 하나를 집어 물었을 때 예·아니오가 정해지느냐입니다.)
  2. ㄱ : 1, 2, …, 9 로 딱 정해진다 → 집합
  3. ㄴ : 몇 cm부터 "큰" 것인지 기준이 없다 → 집합 아님
  4. ㄷ : 4, 8, 12, 16, 20 으로 딱 정해진다 → 집합
  5. ㄹ : 얼마나 좋아해야 "좋아하는" 것인지 사람마다 다르다 → 집합 아님
  6. ㅁ : 생일을 보면 확인된다 → 집합
"기준이 있으면 집합이다 — 키가 큰 축구선수의 모임은 집합이 아니다. 누가 그런지 확인할 수 없으니까."— 장대경 선생님 제51강 「집합」
ㄱ, ㄷ, ㅁ
※ 판단 기준은 "내 마음"이 끼어드느냐다. 아름다운·큰·잘하는·좋아하는 같은 말이 있으면 거의 집합이 아니다.
문제 2원소나열법 · 기본
다음 집합을 원소나열법으로 나타내고, 원소의 개수를 각각 구하라.
  1. A = { x | x 는 20 이하의 4의 양의 배수 }
  2. B = { x | x 는 12보다 작은 소수 }
  3. C = { x | x 는 18의 양의 약수 }

풀이 — 말을 먼저 정확히 읽고, 하나씩 다 적는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 틀리는 곳은 셈이 아니라 「말의 끝」이다 셋 다 계산이랄 것이 없는데도 점수가 갈립니다. 갈리는 자리는 언제나 조건을 적은 말의 마지막 낱말입니다. 세 곳을 짚어 보십시오 — (1) 「20 이하」는 20을 넣습니다. (「20보다 작은」이었다면 16에서 끊었을 것입니다.) (2) 「소수」는 1을 넣지 않습니다 — 1은 약수가 자기 하나뿐이라 소수가 아닙니다. 9도 3 × 3이라 빠집니다. (3) 「양의 약수」는 1과 자기 자신까지 모두 넣습니다. 이하 · 미만 · 초과 · 이상, 그리고 소수 · 약수 같은 말의 뜻 하나가 답을 통째로 바꿉니다. 조건을 읽을 때 「끝을 넣나 빼나」를 소리 내어 확인하고 나서 원소를 적으십시오.
  2. (1) A = { 4, 8, 12, 16, 20 } — 5개. 「20 이하」이므로 20도 들어간다.
  3. (2) B = { 2, 3, 5, 7, 11 } — 5개. 1은 소수가 아니고, 9 = 3 × 3이라 소수가 아니다.
  4. (3) C = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } — 6개. 검산 : 18 = 2 × 3² → 약수의 개수 (1+1)(2+1) = 6 ✓
"이하냐 미만이냐 — 20 이하면 20도 들어간다. 이걸 놓치면 그 자리에서 틀린다 — 수학은 국어다."— 장대경 선생님 제51강 「집합」
(1) {4,8,12,16,20} 5개  /  (2) {2,3,5,7,11} 5개  /  (3) {1,2,3,6,9,18} 6개
문제 3방정식의 해집합 · 기본
방정식 x³ − x² − 2x = 0 의 해를 원소로 하는 집합을 원소나열법으로 나타내고, 원소의 개수 n(A) 를 구하라.

풀이 — 집합 문제의 속은 그냥 인수분해다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 공통인 x 를 묶고 나서 「x = 0」을 버리지 않는 것 삼차식이라 겁이 나지만 공통인 x 하나만 묶으면 아는 이차식이 나옵니다 — x(x² − x − 2) = 0. 정작 위험한 곳은 그다음입니다. 양변을 x로 나눠 버리면 이차방정식만 남아 x = 0이라는 멀쩡한 해 하나가 소리 없이 사라집니다. 까닭은 0으로는 나눌 수 없기 때문입니다. x가 0일 수도 있는데 나눠 버리면 바로 그 경우를 몰래 지워 버리는 것입니다. 그러니 나누지 말고 계속 인수분해하십시오 — x(x − 2)(x + 1) = 0. 곱해서 0이면 그중 하나는 반드시 0이므로 해는 괄호마다 하나씩, 모두 셋입니다. 문자로 나누고 싶을 때는 언제나 「그 문자가 0이면?」을 먼저 물으십시오.
  2. 공통인 x 를 묶는다 : x(x² − x − 2) = 0 → x(x − 2)(x + 1) = 0
  3. 따라서 x = 0, 2, −1. 집합으로 쓰면 A = { −1, 0, 2 }.
  4. 검산 — x = −1 : (−1) − 1 + 2 = 0 ✔   x = 2 : 8 − 4 − 4 = 0 ✔   x = 0 : 0 ✔
A = {−1, 0, 2} , n(A) = 3
※ 원소는 작은 것부터 적는 것이 보기 좋다. 순서를 바꿔 써도 같은 집합이지만, 빠뜨리기 쉬우니 정렬하는 습관을 들이자.
문제 4유한·무한·공집합 · 기본
다음을 유한집합과 무한집합으로 나누고, 공집합인 것을 찾아라.
  1. ㄱ. { x | x 는 0보다 크고 100보다 작은 4의 배수 }
  2. ㄴ. { x | x 는 5로 나누어떨어지는 자연수 }
  3. ㄷ. { x | x 는 −2보다 크고 2보다 작은 유리수 }
  4. ㄹ. { x | x 는 3보다 작은 자연수이면서 동시에 5보다 큰 수 }

풀이 — "끝이 있나?" 한 가지만 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「사이가 좁으면 유한」이 아니다 (ㄷ) ㄷ은 −2와 2 사이라 범위가 좁으니 몇 개 안 되겠다 싶어 유한집합으로 넘어가기 쉽습니다. 개수를 정하는 것은 범위의 넓이가 아니라 「어떤 수를 세는가」입니다. 같은 범위라도 정수라면 −1, 0, 1로 세 개(유한)이지만, 유리수라면 0과 1 사이만 해도 1/2, 1/3, 1/4, …로 끝없이 많습니다. 「유리수」라는 낱말 하나가 답을 뒤집습니다. 그리고 ㄹ도 함께 보십시오 — 원소가 하나도 없어 공집합인데, 공집합도 「끝이 있는」 집합이므로 유한집합입니다(n(∅) = 0). 「끝이 있나?」 하나만 묻되, 무엇을 세는지부터 확인하십시오.
  2. ㄱ : 4, 8, …, 96 이다. 96 ÷ 4 = 24 이므로 24개 → 유한집합
  3. ㄴ : 5, 10, 15, … 끝이 없다 → 무한집합
  4. ㄷ : 0과 1 사이만 해도 1/2, 1/3, 1/4, … 로 끝없이 많다 → 무한집합
    정수라고 했다면 −1, 0, 1 로 3개(유한)였다. 「유리수」라는 한 낱말이 답을 뒤집는다.
  5. ㄹ : 3보다 작으면서 동시에 5보다 클 수는 없다 → 원소가 없다 → 공집합 ∅
    공집합도 유한집합이다. n(∅) = 0
유한 : ㄱ, ㄹ  /  무한 : ㄴ, ㄷ  /  공집합 : ㄹ
※ ∅ 와 { 0 } 은 다르다. { 0 } 은 원소 0 을 하나 가진 집합이라 n({0}) = 1 이다.
문제 5∈ 와 ⊂ · 기본
A = { 1, 2, 3 } 일 때, □ 안에 ∈, ∉, ⊂ 중 알맞은 것을 넣어라.
  1. 1 □ A
  2. { 1 } □ A
  3. 4 □ A
  4. ∅ □ A
  5. { 1, 2, 3 } □ A

풀이 — 왼쪽이 원소인지 집합인지만 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왼쪽만 보면 다섯 문제가 한 번에 끝난다 기호가 셋이라 어렵게 느껴지지만, 고를 것은 사실 「∈이냐 ⊂이냐」 하나이고 (∉는 ∈인데 A 안에 없을 뿐입니다) 그것을 정하는 것은 왼쪽에 무엇이 서 있느냐뿐입니다. 중괄호가 보이면 집합이니 ⊂ , 안 보이면 원소이니 ∈. 이 잣대로 다섯을 훑으면 — 1과 4는 맨몸이니 ∈ 쪽, {1}, ∅, {1,2,3}은 중괄호를 쓰고 있으니 ⊂ 쪽입니다. 오른쪽 A는 아예 볼 필요가 없습니다. 남는 것은 「그것이 실제로 A 안에 있는가」뿐 — 4는 없으니 ∉가 됩니다. 헷갈리는 두 자리도 이 잣대로 풀립니다 : ∅은 그 자체가 집합이라 ⊂이고(모든 집합의 부분집합), {1,2,3}은 A와 같은 집합인데 「자기 자신도 자기의 부분집합」이므로 역시 ⊂입니다.
  2. (1) 1 은 원소 → 1 ∈ A
  3. (2) { 1 } 은 집합(중괄호가 있다) → { 1 } ⊂ A
  4. (3) 4 는 원소인데 A 안에 없다 → 4 ∉ A
  5. (4) 공집합은 모든 집합의 부분집합 → ∅ ⊂ A
  6. (5) 자기 자신도 자기의 부분집합 → { 1, 2, 3 } ⊂ A
"원소는 ∈, 집합은 ⊂ — 원소면 속한다, 집합이면 포함된다. 이것만 갈라 놓으면 된다."— 장대경 선생님 제51강 「집합」
(1) ∈  (2) ⊂  (3) ∉  (4) ⊂  (5) ⊂
※ 중괄호가 보이면 ⊂ , 안 보이면 ∈ 이라고 외워 두면 실수가 확 준다.
문제 6부분집합 전수 세기 · 진가
A = { x | x 는 8보다 작은 양의 홀수 } 에 대하여 다음을 구하라.
  1. 원소가 1개인 부분집합의 개수
  2. 원소가 2개인 부분집합의 개수
  3. 원소가 3개인 부분집합의 개수
  4. 부분집합 전체의 개수

풀이 — 작은 집합은 전부 적어서 센다. 그러면 절대 안 틀린다

  1. A = { 1, 3, 5, 7 } — 원소 4개.
  2. (1) {1} {3} {5} {7} → 4개　(2) {1,3} {1,5} {1,7} {3,5} {3,7} {5,7} → 6개
  3. (3) {1,3,5} {1,3,7} {1,5,7} {3,5,7} → 4개
  4. ⭐ 여기가 고비 — 「하나씩 다 적기」와 2⁴가 왜 같은 말인가 (4)에서 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16이 나오고, 공식으로도 2⁴ = 16입니다. 둘이 같은 값인 것은 우연이 아닙니다. 그 까닭을 알면 다음 문제부터 적지 않고도 셀 수 있습니다. 부분집합 하나를 만드는 일을 「원소마다 넣을까 말까를 정하는 일」로 바꿔 보십시오. 1에 대해 넣는다·안 넣는다 두 갈래, 3에 대해 또 두 갈래, 5도, 7도 — 원소가 넷이니 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ = 16가지입니다. 넷 다 「안 넣는다」로 하면 공집합, 넷 다 「넣는다」로 하면 A 자신이 되므로 이 16가지 안에 공집합과 자기 자신도 이미 들어 있습니다. 「크기별로 나눠 세기」는 정확하지만 느리고, 「원소마다 두 갈래」는 원소가 10개, 20개여도 그대로 통합니다.
  5. (4) 공집합 1 + 4 + 6 + 4 + 자기 자신 1 = 16개. 공식으로도 2⁴ = 16 ✓
원소 개수01234합
부분집합 수1464116
(1) 4개  (2) 6개  (3) 4개  (4) 16개
※ 1, 4, 6, 4, 1 은 조합 ₄C₀ ~ ₄C₄ 다. 나중에 경우의 수 단원에서 다시 만난다.
문제 7진부분집합 · 기본
A = { x | x 는 9의 양의 약수 } 에 대하여 부분집합의 개수와 진부분집합의 개수를 각각 구하라.

풀이 — 원소부터 정확히 세고 공식에 넣는다

  1. 9의 양의 약수는 1, 3, 9 — 원소 3개. (9 = 3² 이므로 약수는 2+1 = 3개 ✓)
  2. 부분집합 : 2³ = 8 개
  3. ⭐ 여기가 고비 — 「진(眞)부분집합」에서 빼는 것은 딱 하나뿐이다 「진짜 부분집합」이라는 이름 때문에 공집합처럼 어중간해 보이는 것까지 빼려는 마음이 듭니다. 빼는 것은 오직 「자기 자신」 하나입니다 — 8 − 1 = 7. 뜻을 그대로 읽으면 분명합니다. 진부분집합은 「부분집합이면서 자기 자신은 아닌 것」입니다. 공집합은 자기 자신이 아니므로 당당히 진부분집합입니다 — 위 목록에 ∅이 그대로 들어 있는 까닭입니다. 그러니 언제나 「전체 − 1」이고, 원소가 n개면 2ⁿ − 1입니다. ⛔ 「2를 뺀다」고 잘못 외운 학생이 많습니다 — 공집합까지 뺀 것인데, 그럴 까닭이 없습니다.
  4. 진부분집합 : 자기 자신 하나를 빼서 8 − 1 = 7 개
  5. 전수 확인 — ∅, {1}, {3}, {9}, {1,3}, {1,9}, {3,9} = 7개 ✔ (여기에 {1,3,9} 를 더하면 8개)
부분집합 8개 · 진부분집합 7개
※ 공집합은 진부분집합에 들어간다. 빼는 것은 오직 자기 자신 하나뿐이다.
문제 8부등식 + 부분집합 · 진가
부등식 x² + x − 6 < 0 을 만족하는 정수 x 전체의 집합을 A 라 할 때, A 의 부분집합의 개수를 구하라.

풀이 — 원소를 먼저 찾는다. 개수 공식은 맨 마지막이다

−3 −2 −1 0 1 2 −3 < x < 2  — 양 끝은 뚫려 있다
  1. x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) 이고, 이것이 0보다 작으려면 −3 < x < 2.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 부등식의 답과 집합의 원소는 다른 것이다 −3 < x < 2까지 풀고 나서 여기서 곧장 2ⁿ으로 건너뛰려다 막힙니다. 부등식의 답은 이어진 구간이라 원소를 셀 수가 없습니다. 셀 수 있게 만들어 주는 것은 문제에 적힌 「정수」라는 낱말 하나입니다. 그 낱말이 이어진 구간에서 낱개를 골라내 −2, −1, 0, 1 넷을 남깁니다. 경계 −3과 2는 부등호에 등호가 없어 뚫려 있으므로 빠집니다 (x = 2를 넣으면 4 + 2 − 6 = 0으로 「0보다 작다」가 아닙니다). 원소가 넷으로 정해진 다음에야 부분집합의 개수 2⁴ = 16을 셀 수 있습니다. 「원소를 먼저 손에 쥐고, 개수 공식은 맨 마지막」 — 순서가 뒤집히면 반드시 틀립니다.
  3. 그 사이의 정수는 −2, −1, 0, 1 — 4개.
  4. 검산 — x = −2 : 4 − 2 − 6 = −4 < 0 ✔ , x = 1 : 1 + 1 − 6 = −4 < 0 ✔ , x = 2 : 4 + 2 − 6 = 0 이라 안 된다 ✔
  5. 부분집합의 개수 = 2⁴ = 16.
16개
※ 부등호가 ≤ 였다면 −3, 2 까지 들어가 원소가 6개, 부분집합은 2⁶ = 64개가 된다. 등호 하나로 답이 네 배가 된다.
문제 9반드시 포함 · 진가
A = { x | x 는 14의 양의 약수 } 의 부분집합 중, 1을 반드시 포함하고 A 자신은 아닌 집합의 개수를 구하라.

풀이 — 반드시 넣는 원소는 자리가 정해진 것이라 지수에서 뺀다

  1. 14의 양의 약수는 1, 2, 7, 14 — 원소 4개. (14 = 2 × 7 이므로 약수는 2 × 2 = 4개 ✔)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「반드시 넣는다」는 곱셈에서 두 갈래를 한 갈래로 줄이는 일 문제 6에서 본 「원소마다 넣을까 말까 두 갈래」를 여기에 그대로 대 보십시오. 1은 「반드시 넣는다」고 못 박혔으니 갈래가 둘이 아니라 하나입니다. 곱셈에서 2가 1로 바뀌니 2 × 2 × 2 × 2가 1 × 2 × 2 × 2 = 2³ = 8이 됩니다. 그래서 「반드시 넣어라」는 조건 하나가 지수를 1 줄입니다 — 2⁴⁻¹. 여기서 끝내면 안 됩니다. 조건이 하나 더 있습니다 — 「A 자신은 아니어야」. 그런데 A 자신 {1,2,7,14}도 1을 갖고 있어 방금 센 8개 안에 이미 들어 있습니다. 그러니 따로 한 번 더 빼야 합니다 — 8 − 1 = 7. 조건이 둘일 때는 「뒤 조건이 앞에서 이미 세어졌는가」를 반드시 확인하십시오.
  3. 1의 자리가 정해졌으므로 자유로운 원소는 2, 7, 14 셋뿐 → 2⁴⁻¹ = 2³ = 8.
  4. A 자신 {1, 2, 7, 14} 도 그 8개에 들어 있으니 빼면 8 − 1 = 7.
  5. 전수 확인 — {1} {1,2} {1,7} {1,14} {1,2,7} {1,2,14} {1,7,14} = 7개 ✔
7개
문제 10개수에서 원소 수 거꾸로 · 진가
집합 A 의 부분집합 중, A 의 서로 다른 두 원소 a, b 를 모두 포함하는 것이 128개일 때, A 의 원소의 개수 n 을 구하라.

풀이 — 식을 세우고 2의 거듭제곱으로 맞춘다

  1. a, b 두 자리가 정해졌으므로 그런 부분집합은 2ⁿ⁻² 개.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 128을 2⁷으로 고쳐 쓰는 한 걸음 2ⁿ⁻² = 128까지 세우고도 「n을 어떻게 꺼내지?」에서 손이 멈춥니다. 아직 로그를 배우지 않았으니 나눗셈으로는 못 꺼냅니다. 꺼내는 길은 하나 — 오른쪽도 2의 거듭제곱으로 고쳐 쓰는 것입니다. 128 = 2⁷이므로 식은 2ⁿ⁻² = 2⁷이 됩니다. 밑이 같은 거듭제곱이 서로 같으면 지수도 같아야 하므로 n − 2 = 7, 곧 n = 9. 지수를 비교하는 순간 어려운 식이 한 줄짜리 일차방정식으로 바뀝니다. 그러려면 2⁵ = 32 · 2⁶ = 64 · 2⁷ = 128 · 2⁸ = 256 · 2⁹ = 512 · 2¹⁰ = 1024는 눈에 익혀 두어야 합니다 — 여기서 128을 못 알아보면 문제 전체가 멈춥니다.
  3. 2ⁿ⁻² = 128 = 2⁷ → n − 2 = 7 → n = 9.
  4. 검산 — n = 9 이면 자유로운 원소가 7개이므로 2⁷ = 128 ✔
n = 9
※ 2의 거듭제곱은 외워 두자. 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 · 고1적어도 하나 · 소수
A = { x | x = 3n + 1 , n 은 자연수, n < 7 } 이라 하자. A 를 원소나열법으로 나타내고, A 의 부분집합 중 소수인 원소를 적어도 하나 갖는 것의 개수를 구하라.

풀이 — "적어도 하나"는 전체에서 하나도 없는 것을 뺀다

  1. n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 을 넣으면 A = { 4, 7, 10, 13, 16, 19 } — 원소 6개.
  2. 이 중 소수를 가려내자. 4 = 2²(✗), 7(✔), 10 = 2 × 5(✗), 13(✔), 16 = 2⁴(✗), 19(✔) → 소수는 7, 13, 19 3개.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 「적어도 하나」를 정면으로 세면 세 겹으로 겹친다 소수가 7, 13, 19 셋이니 「7을 갖는 것 + 13을 갖는 것 + 19를 갖는 것」으로 더하고 싶어집니다. 그러면 7과 13을 함께 가진 것이 두 번, 셋 다 가진 것이 세 번 세어져 답이 부풀어 오릅니다. 겹치지 않게 세는 길은 뒤로 도는 것입니다. 「소수를 적어도 하나 갖는다」의 반대는 「소수를 하나도 안 갖는다」이고, 이쪽은 겹칠 일이 없이 딱 한 가지 모양입니다 — 소수가 아닌 {4, 10, 16}으로만 만든 부분집합, 곧 2³ = 8개. 전체 2⁶ = 64에서 빼면 64 − 8 = 56. 「적어도」가 보이면 세지 말고 빼십시오.
  4. 전체 부분집합 : 2⁶ = 64 개.
  5. 소수를 하나도 안 갖는 것 : {4, 10, 16} 으로만 만든 것이므로 2³ = 8 개.
  6. 따라서 64 − 8 = 56 개.
  7. 검산 — 13은 2·3으로 나뉘지 않고 3² = 9 < 13 < 16 = 4² 이므로 3까지만 확인하면 된다 ✔ 19도 4² = 16 < 19 < 25 = 5² 이라 2, 3 만 확인하면 된다 ✔
"적어도 하나는 빼기로 센다 — 전체에서 하나도 안 갖는 것을 뺀다. 직접 세려 하면 끝이 없다."— 장대경 선생님 제51강 「집합」
A = {4, 7, 10, 13, 16, 19} , 답 56개
도전 · 고1"또는" 조건 세기
A = { a, b, c, d, e, f } 의 부분집합 중 a 또는 c 를 포함하는 것의 개수를 구하라.

풀이 — "또는"도 결국 여집합으로 빼는 것이 가장 빠르다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「a 또는 c」의 반대는 「a도 없고 c도 없다」 반대를 세우는 자리에서 갈립니다. 「a 또는 c를 포함한다」의 반대를 「a와 c를 둘 다 포함하지 않는다」라고 어정쩡하게 적으면, 그 말이 「둘 다 갖지는 않는다(하나는 가져도 된다)」로도 읽혀 답이 어긋납니다. 「또는」의 반대는 「둘 다 아니다」 — 이것이 정확한 말입니다. 그러니 반대는 a도 없고 c도 없는 부분집합, 곧 {b, d, e, f} 넷으로만 만든 것이므로 2⁴ = 16개. 전체에서 빼면 64 − 16 = 48. 다른 길로도 확인해 두십시오 — a를 갖는 것 2⁵ = 32, c를 갖는 것 32, 그런데 둘 다 갖는 2⁴ = 16개가 두 번 세어졌으니 한 번 돌려줍니다 : 32 + 32 − 16 = 48 ✓ 두 길이 만나면 답을 믿어도 좋습니다.
  2. 전체 부분집합 : 2⁶ = 64 개.
  3. a 도 없고 c 도 없는 것 : {b, d, e, f} 로만 만든 것이므로 2⁴ = 16 개.
  4. 따라서 64 − 16 = 48 개.
  5. 다른 방법으로 검산 (포함·배제) — a 를 갖는 것 2⁵ = 32, c 를 갖는 것 32, 둘 다 갖는 것 2⁴ = 16.
    32 + 32 − 16 = 48 ✔ 두 방법이 일치한다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「a를 갖는 것 + c를 갖는 것」으로 더하면 a 를 갖는 것 32, c 를 갖는 것 32, 더하면 64. 그런데 부분집합 전체가 마침 64개입니다 — 「공집합까지 a나 c를 갖는다」는 말이 되니 어딘가에서 겹쳐 센 것입니다. 겹친 것은 둘 다 갖는 2⁴ = 16개가 두 번 세어진 것. → 32 + 32 − 16 = 48. 반대를 뺀 64 − 16 과 같습니다.
48개
※ "또는"을 직접 세면 겹치는 것을 두 번 세게 된다. 그래서 전체에서 빼거나, 포함·배제로 겹친 것을 한 번 되돌려 준다.
도전 · 고1⭐ 국어 실력 · 공집합 함정
A = { x | x 는 20 이하의 5의 양의 배수 } 라 하자. A 의 부분집합 중 「모든 원소가 5의 배수」인 공집합이 아닌 집합의 개수를 구하라.

풀이 — 선생님이 가장 힘주어 말씀하신 자리

  1. A = { 5, 10, 15, 20 } — 원소 4개. (「20 이하」이므로 20이 들어간다)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 조건 하나는 아무 일도 안 하고, 다른 하나가 답을 정한다 조건이 둘 붙어 있어 복잡해 보이지만, 실제로 일을 하는 것은 뒤엣것 하나뿐입니다. 「모든 원소가 5의 배수」부터 보십시오 — A의 원소는 애초에 전부 5의 배수이니 어떤 부분집합을 가져와도 저절로 참입니다. 아무것도 걸러 내지 않는 조건입니다. 그러니 답을 정하는 것은 「공집합이 아닌」 한 마디입니다 — 2⁴ = 16에서 공집합 하나를 빼 15. 왜 공집합을 굳이 빼라 했을까요. 「모든 원소가 …이다」는 원소가 있어야 말이 되는 문장인데, 공집합에는 원소가 하나도 없어 따질 원소조차 없기 때문입니다. 조건이 여럿일 때는 「이 조건이 실제로 무엇을 걸러 내는가」를 하나씩 물으십시오 — 아무것도 안 거르는 조건에 시간을 쓰지 않게 됩니다.
  3. 「모든 원소가 5의 배수」는 A 의 모든 부분집합이 만족 → 2⁴ = 16 개.
  4. 공집합이 아닌 것만 세므로 하나를 뺀다 : 16 − 1 = 15.
  5. 전수 확인 — 원소 1개 4개 + 2개 6개 + 3개 4개 + 4개 1개 = 15개 ✔
15개
※ 장대경 선생님 말씀 — "수학 실력도 중요하지만, 국어 실력이 중요하다."
「모든 원소가 …이다」처럼 원소가 있음을 전제로 하는 말이 나오면 공집합을 세지 않는지 반드시 확인한다.
도전 · 고1반드시 + 절대 함께
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } 의 부분집합 중 1과 2는 반드시 포함하고, 4는 포함하지 않는 것의 개수를 구하라.

풀이 — 정해진 자리는 넣는 것이든 빼는 것이든 똑같이 지수에서 뺀다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「반드시 넣는다」와 「절대 안 넣는다」가 계산에서는 같은 일을 한다 한쪽은 넣으라 하고 한쪽은 빼라 하니 반대되는 조건 같아 서로 다르게 다뤄야 할 것 같습니다. 계산에서는 똑같습니다. 두 조건이 하는 일은 하나뿐입니다 — 그 원소의 갈래를 둘에서 하나로 줄이는 것. 문제 6의 「원소마다 넣을까 말까 두 갈래」로 돌아가 보십시오. 1과 2는 「넣는다」로 못 박혔으니 갈래가 하나, 4는 「안 넣는다」로 못 박혔으니 역시 갈래가 하나입니다. 자유가 남은 것은 3, 5 둘뿐이니 2² = 4개. 지수는 「전체 − 반드시 − 절대」, 곧 2⁵⁻²⁻¹입니다. 못 박힌 원소가 몇 개인지만 세면 되고, 넣으라 했는지 빼라 했는지는 상관이 없습니다.
  2. 원소 n = 5 개. 반드시 넣는 것 2개(1, 2), 절대 안 넣는 것 1개(4).
  3. 자유로운 원소는 3, 5 둘뿐 → 2⁵⁻²⁻¹ = 2² = 4 개.
  4. 전수 확인 — {1,2} , {1,2,3} , {1,2,5} , {1,2,3,5} = 4개 ✔
4개
※ "반드시 넣는다"와 "절대 안 넣는다"는 둘 다 자유를 뺏는 것이라 계산에서는 똑같이 취급한다.
도전 · 경시적어도 하나 + 진부분집합
A = { x | x 는 1 이상 15 이하의 3의 배수 } 라 하자. A 의 진부분집합 중 홀수인 원소를 적어도 하나 갖는 것의 개수를 구하라.

풀이 — 조건이 둘이면 한 번에 하나씩 차례로 뺀다

  1. A = { 3, 6, 9, 12, 15 } — 원소 5개. (「15 이하」이므로 15가 들어간다)
  2. 홀수는 3, 9, 15 — 3개, 짝수는 6, 12 — 2개.
  3. 먼저 부분집합 전체에서 홀수를 적어도 하나 갖는 것을 센다 : 전체 2⁵ = 32, 홀수가 하나도 없는 것 2² = 4 → 32 − 4 = 28 개.
  4. ⭐ 여기가 고비 — 「28에서 1을 뺄 수 있는가」를 먼저 확인하는 일 조건이 둘이라 빼기를 두 번 하게 되는데, 기계적으로 −1을 하면 위험합니다. 「빼려는 것이 지금 센 28개 안에 있는가」를 먼저 물어야 합니다. 빼려는 것은 A 자신 {3,6,9,12,15}인데 A는 홀수 3을 갖고 있어 「홀수를 적어도 하나」에 들어 있습니다. 그러니 정말로 한 번 더 빼야 합니다 — 28 − 1 = 27. (앞에서 이미 걸러졌다면 또 빼서는 안 됩니다.) 차례를 바꿔 세어도 같습니다 : 2⁵ − 1 = 31개 중 홀수가 없는 넷을 빼 27 ✓
  5. 진부분집합 조건 — A 자신은 위 28개 안에 있으므로 하나 뺀다 : 28 − 1 = 27 개.
  6. 검산 — 다른 길로도 세어 보자. 진부분집합은 2⁵ − 1 = 31 개. 그중 홀수가 하나도 없는 것은 ∅, {6}, {12}, {6,12} 4개인데, 이 넷은 모두 A 자신이 아니므로 전부 진부분집합이다. 31 − 4 = 27 ✔ 두 방법이 일치한다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 진부분집합부터 만들고 시작하면 진부분집합 31 에서 「홀수가 없는 것」 4 를 빼 27. 답은 맞았지만 그 넷 안에 A 자신이 없어 통했을 뿐입니다. → 「빼려는 것이 센 것 안에 있는가」를 매번 확인하십시오.
27개
※ 조건 두 개가 겹칠 때는 "뺄 것이 이미 빠졌는지"를 꼭 확인해야 한다. 여기서는 A 자신이 28개 안에 들어 있었으므로 한 번 더 뺐다.
도전 · 경시사이에 낀 집합 세기
원소가 10개인 집합 A 와, A 의 부분집합 B = { 2, 4, 6, 8 } 이 있다. B ⊂ X ⊂ A 이면서 X ≠ A , X ≠ B 인 집합 X 의 개수를 구하라.

풀이 — B 는 통째로 붙박이, 나머지만 자유롭다

B X A B ⊂ X ⊂ A  — B 밖·A 안의 6개만 자유
  1. ⭐ 여기가 고비 — B ⊂ X ⊂ A라는 두 겹 조건을 한 겹으로 줄이는 일 부등호처럼 겹쳐 있어 어디서부터 세야 할지가 막막합니다. 두 조건을 원소 하나하나의 자유로 옮겨 보십시오. B ⊂ X는 B의 원소 4개는 무조건 넣으라는 뜻이고, X ⊂ A는 A 밖의 것은 절대 넣지 말라는 뜻입니다. 그러면 자유가 남은 원소는 「A에는 있고 B에는 없는」 10 − 4 = 6개뿐입니다 — 이 여섯만 넣거나 말거나 하면 되니 2⁶ = 64가지. 두 겹 조건이 「가운데 여섯 개의 자유」 한 마디로 줄었습니다. 여기서 여섯을 다 넣으면 X = A, 하나도 안 넣으면 X = B가 되는데 문제가 둘 다 아니라 했으니 양 끝 둘을 뺍니다 — 64 − 2 = 62. 「사이에 낀 집합」은 언제나 「사이에 낀 원소의 개수」만 세면 끝입니다.
  2. B 의 원소 4개는 반드시 들어가고, A 밖의 것은 못 들어온다.
  3. 자유로운 원소는 10 − 4 = 6 개 → 2⁶ = 64 개.
  4. 여기서 X = A (여섯 개를 다 넣은 경우) 와 X = B (하나도 안 넣은 경우) 두 가지를 뺀다 : 64 − 2 = 62.
  5. 검산 — 자유로운 6개 중 1개~5개를 고르는 경우와 같으므로 ₆C₁ + ₆C₂ + ₆C₃ + ₆C₄ + ₆C₅ = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 = 62 ✔
62개
※ B ⊂ X ⊂ A 꼴은 "A에는 있고 B에는 없는 원소"의 개수만 세면 끝난다 — 2ⁿ⁽ᴬ⁾⁻ⁿ⁽ᴮ⁾.

🧭 마지막에 한 번만 더 — 헷갈릴 때 보는 표

시험장에서 흔들리면 이 여섯 줄만 떠올리면 됩니다.

① 집합은 기준이 분명한 모임 — "큰·아름다운·좋아하는" 이 있으면 집합이 아니다.
② 이하는 포함, 미만은 제외 — 원소를 잘못 세면 뒤가 다 틀린다.
③ 중괄호가 보이면 ⊂, 안 보이면 ∈. 그리고 ∅ ⊂ A, A ⊂ A.
④ 부분집합 2ⁿ · 진부분집합 2ⁿ − 1 (빼는 것은 자기 자신 하나뿐).
⑤ 반드시 k개·절대 m개 → 2ⁿ⁻ᵏ⁻ᵐ.
⑥ "적어도 하나" → 전체 − 하나도 없는 것.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 개수·값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음). 작은 집합은 전부 나열해서 세어 공식과 맞춰 두었습니다.
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