정비례와 반비례 실전 완전정복
— 곱해서 늘면 정비례, 일정하면 반비례 · 연습 10제

풀이 — y÷x = 비례상수

1. ⭐ 여기가 고비 — 정비례에서는 나눈다(반비례에서는 곱한다) 「비례상수」라는 말은 정비례에도 반비례에도 똑같이 쓰입니다. 그런데 구하는 손이 정반대입니다. 정비례는 y ÷ x, 반비례는 x × y — 여기서 뒤바뀌면 그 뒤가 다 어긋납니다. 식의 꼴에서 곧바로 나옵니다.
   · 정비례 y = ax → 양변을 x로 나누면 a = y/x → 나눈다
   · 반비례 y = a/x → 양변에 x를 곱하면 a = xy → 곱한다
   그러니 여기서는 k = 6 ÷ 2 = 3, 식은 y = 3x.
   「몫이 늘 같으면 정비례, 곱이 늘 같으면 반비례」 — 표를 볼 때도 이 한 줄로 갈라 봅니다.
2. k=y/x=6/2=3. 검산: 3 × 2 = 6 ✓

풀이 — 비례상수를 먼저 구하고 대입

풀이 — x×y = 비례상수

1. ⭐ 여기가 고비 — 반비례에서는 곱이 늘 일정하다 문제 1과 숫자만 다른데 손이 정반대입니다. 5 ÷ 2 = 2.5라고 나눠 버리면 틀립니다. 반비례가 무엇인지 뜻으로 보면 곱하는 까닭이 보입니다. x가 2배가 되면 y는 절반이 됩니다. 그러니 둘을 곱하면 늘 같은 값이 남습니다 — 2배 × ½배 = 1배이니까요.
   그래서 k = xy = 2 × 5 = 10, 식은 y = 10/x.
   확인 : x=5면 y=2 → 곱은 여전히 10 ✓ x=10이면 y=1 → 역시 10 ✓
   「몫이 일정하면 정비례, 곱이 일정하면 반비례」를 한 쌍으로 붙잡아 두십시오.
2. k=xy=2×5=10.

풀이 — 비례상수를 먼저 구하고 대입

풀이 — 볼 것은 「분모」와 「상수항」 둘뿐

1. ⭐ 여기가 고비 — 탈락시키는 잣대가 딱 두 개다 보기가 셋이라 하나씩 따져 봐야 할 것 같지만, 걸러 내는 잣대는 둘뿐입니다. ① 분모에 x가 있나 → 탈락   ② 상수가 더해져 있나 → 탈락. 둘 다 아니면 정비례입니다. · ② y = 5/x — x가 분모에 있다 → 탈락(이것은 반비례)
   · ③ y = x + 5 — 상수 5가 더해져 있다 → 탈락(이것은 일차함수)
   · ① y = 5x — 둘 다 아니다 → 정비례 ✓
   ③이 왜 안 되는지는 원점으로도 보입니다 : x=0일 때 y=5라 원점을 지나지 않습니다. 정비례는 반드시 원점을 지납니다.
   외울 것이 아니라, 분모와 상수항만 체크하면 끝입니다.
2. 정비례는 y=ax 꼴만 해당. ②는 반비례, ③은 일차함수(정비례 아님).

풀이 — 모양이 다른 까닭까지 말할 수 있어야 한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 반비례는 왜 두 조각으로 끊어지나 "직선과 쌍곡선"이라 외우기는 쉽지만, 왜 반비례만 두 조각인지를 말할 수 있어야 그림을 안 틀립니다. 까닭은 x = 0을 넣을 수 없기 때문입니다. y = a/x에서 0으로 나누는 것은 불가능하므로, 그래프에 x=0인 자리가 통째로 비어 있습니다. 그 빈자리에서 선이 끊어져 두 조각이 됩니다.
   게다가 x가 0에 가까워질수록 y는 한없이 커지고, x가 커질수록 y는 0에 한없이 가까워집니다 — 그래서 두 축에 닿을 듯 닿지 않는 모양(점근선)이 됩니다.
   반면 정비례 y = ax는 x=0도 넣을 수 있고 y=0 — 그래서 원점을 지나는 끊김 없는 직선 한 줄입니다.
2. 정비례: 원점을 지나는 직선. 반비례: 원점에 대해 대칭인 두 개의 곡선(쌍곡선).

풀이 — 「1분에 3L」가 곧 비례상수

1. ⭐ 여기가 고비 — 「빈 통」이라는 말이 정비례를 보증한다 y = 3x는 쉽게 나옵니다. 정작 눈여겨볼 것은 「빈 통」이라는 두 글자입니다. 처음에 물이 0 L이어야 원점을 지나고, 그래야 정비례입니다. 만약 처음부터 10 L가 들어 있었다면 식이 y = 3x + 10이 되어 정비례가 아니라 일차함수가 됩니다 — x=0일 때 y=10이니까요.
   「1분에 3 L」의 3이 그대로 비례상수 a이고, 그것이 「x가 1일 때의 y」라는 뜻입니다.
   x=5 → y = 3 × 5 = 15 (L).
   활용 문제에서 「빈」·「처음에는 0」 같은 말이 있는지 먼저 찾으십시오 — 정비례인지 아닌지가 거기서 갈립니다.
2. y=3x. x=5 대입: y=15.

풀이 — 거리 일정이면 속력과 시간은 반비례

1. ⭐ 여기가 고비 — 무엇이 「일정」한지를 찾으면 정비례인지 반비례인지 갈린다 속력·시간·거리 문제에서 정비례와 반비례가 뒤섞여 헷갈립니다. 세 값 가운데 「고정된 것」이 무엇인지를 찾으면 한 번에 갈립니다. 관계식은 늘 거리 = 속력 × 시간 하나입니다. 여기서 —
   · 거리가 일정하면 : 속력 × 시간 = 120 → 곱이 일정 → 반비례 (지금 문제)
   · 속력이 일정하면 : 거리 ÷ 시간 = 속력 → 몫이 일정 → 정비례
   이 문제는 거리 120 km가 고정이므로 반비례 → y = 120/x, x=40 → y = 3(시간).
   상식으로도 맞습니다 — 빨리 갈수록 시간은 줄어듭니다. 시속 60이면 2시간, 시속 120이면 1시간 — 속력이 2배면 시간은 절반 ✓
2. y=120/x. x=40 대입: y=3. 검산: 40 × 3 = 120 ✓

풀이 — 점 하나로 끝내지 말고 세 점을 다 대 본다

1. ⭐ 여기가 고비 — 점이 셋이나 주어진 까닭 비례상수를 구하는 데는 점 하나면 충분합니다. 그런데 문제는 굳이 셋을 주었습니다. 「정말 한 정비례 그래프 위에 있는가」를 확인해 보라는 뜻입니다. 세 점 모두에서 y ÷ x를 해 봅니다 —
   8 ÷ 2 = 4 · 16 ÷ 4 = 4 · 24 ÷ 6 = 4 — 셋이 모두 같은 4입니다 ✓ 그래서 정비례가 맞고, 비례상수는 4입니다.
   만약 한 점이라도 몫이 달랐다면 그 점들은 한 직선 위에 있지 않은 것이고, 정비례라 부를 수 없습니다.
   「몫이 늘 같은가」를 세어 보는 이 손이, 표를 보고 정비례를 판별하는 방법 그 자체입니다.
2. 모든 점에서 y/x=4로 일정 → y = 4x.

풀이 — 맞물린 톱니 「수」가 곧 비례상수

1. ⭐ 여기가 고비 — 240이라는 수가 무엇을 세는 수인가 20 × 12 = 240을 기계적으로 하면 답은 나오지만, 240의 뜻을 알면 다시는 안 헷갈립니다. 240은 「1분 동안 맞물려 지나간 톱니의 개수」입니다. 두 톱니바퀴는 서로 맞물려 돌기 때문에 — 1분에 지나간 톱니 수가 양쪽에서 똑같아야 합니다. 안 그러면 이가 어긋나 부러지겠지요.
   · 왼쪽 : 20개 × 12바퀴 = 240개
   · 오른쪽 : 15개 × y바퀴 = 240개 → y = 16
   「톱니가 적은 바퀴가 더 빨리 돈다」는 상식과도 맞습니다 — 20개짜리가 12바퀴일 때 15개짜리는 더 많은 16바퀴 ✓
   반비례 문제에서 「곱이 일정하다」는 것은, 그 곱이 무언가 뜻 있는 양이라는 말입니다 (여기서는 톱니 수, 앞 문제에서는 거리).
2. k=20×12=240. y=240/15=16.

풀이 — 잣대는 「원점을 지나는가」 하나

1. ⭐ 여기가 고비 — 기울기 3이 있다고 정비례가 아니다 y=3x+2를 보고 "3x가 있으니 정비례"라고 답하기 쉽습니다. 정비례의 잣대는 「x가 곱해져 있는가」가 아니라 「y=ax 꼴 그대로인가」입니다. 가장 빠른 확인은 x = 0을 넣어 보는 것입니다 — y = 3×0 + 2 = 2. 0이 아니므로 원점을 지나지 않습니다 → 정비례가 아닙니다.
   다른 확인법도 같은 답을 줍니다 : y ÷ x가 일정한지 보면 x=1 → 5, x=2 → 4 — 몫이 달라집니다.
   이것은 정비례가 아니라 「일차함수」이고, 정비례는 일차함수 가운데 상수항이 0인 것입니다. 그래프로는 「위로 2만큼 들린 직선」이라 원점을 비껴갑니다.
2. x=0일 때 y=2≠0이므로 원점을 지나지 않는다 → 정비례가 아니다.

풀이 — 비례상수와 기울기는 같은 것을 다르게 부른 이름

1. ⭐ 여기가 고비 — 이름이 둘인데 물건은 하나다 중1에서는 「비례상수 a」, 중2에서는 「기울기」라고 부릅니다. 이름이 바뀌어 새로 배우는 것처럼 느껴지지만 같은 수입니다. y = ax에서 a는 「x가 1 늘 때 y가 얼마 느는가」입니다. 그리고 기울기의 뜻이 정확히 그것이지요 — y칸 ÷ x칸.
   그러니 점 (3, 9) 하나로 k = 9 ÷ 3 = 3, 식은 y = 3x, 기울기도 3.
   「원점에서 그 점까지 x로 3칸, y로 9칸 갔다」고 세어도 9 ÷ 3 = 3으로 같습니다 — 정비례는 원점을 지나므로 원점을 한 점으로 그냥 쓸 수 있어 계산이 짧습니다.
2. k=9/3=3. 정비례의 비례상수가 곧 일차함수의 기울기.

풀이 — 「가까워진다」와 「만난다」는 다르다

1. ⭐ 여기가 고비 — 그래프를 보면 닿을 것 같은데 안 닿는다 y = 6/x의 그래프는 축에 바싹 붙어 그려집니다. 그래서 "만난다"고 답하기 쉽습니다. 「한없이 가까워진다」와 「만난다」는 전혀 다른 말입니다. 두 축을 각각 따져 봅니다 —
   · y축과 만나려면 x = 0이어야 하는데, 6/0은 계산 자체가 되지 않습니다. 그런 점은 그래프에 아예 없습니다.
   · x축과 만나려면 y = 0, 곧 6/x = 0이어야 하는데 분자 6이 0이 아니라 어떤 x로도 0이 될 수 없습니다.
   x가 아주 커지면 y는 0.0001…처럼 0에 한없이 가까워지지만 결코 0이 되지는 않습니다. 이렇게 닿을 듯 닿지 않는 선을 점근선이라 부릅니다.
2. x=0은 정의되지 않고, y=0이 되는 x도 없다 → 축과 만나지 않는다(점근선 x=0, y=0).

풀이 — 반비례는 「평행이동하지 않은 유리함수」다

1. ⭐ 여기가 고비 — −2와 +3이 그래프를 옮겨 놓았다 y = 5/(x−2) + 3도 분모에 x가 있으니 반비례처럼 보입니다. 그런데 반비례는 「원점을 중심으로 대칭인 쌍곡선」이어야 하고, 이 식은 그 자리에서 옮겨져 있습니다. 중2에서 배운 평행이동 그대로입니다 —
   · (x − 2) : 오른쪽으로 2만큼 옮김 → 세로 점근선이 x = 2
   · + 3 : 위로 3만큼 옮김 → 가로 점근선이 y = 3
   점근선이 두 축(x=0, y=0)에서 벗어났으므로 원점 대칭이 아니고, 반비례라 부를 수 없습니다.
   반비례가 되려면 옮긴 값이 둘 다 0이어야 합니다 — p=0, q=0 → 그때 식은 y = 5/x가 되어 중1에서 배운 그 반비례로 돌아옵니다.
2. 점근선이 원점(0,0)을 지나야 하므로 이동값 p=2, q=3이 모두 0이어야 한다.

풀이 — 압력과 부피의 곱이 일정하다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「반비례」라는 말이 곧 PV = 일정 단원 이름(보일의 법칙)이 낯설 뿐, 문제 3·4·8·10과 완전히 같은 일을 합니다. 「반비례한다」는 말이 나오면 손은 곧장 「곱해서 상수부터」로 갑니다. k = 압력 × 부피 = 2 × 10 = 20. 이제 압력 × 부피 = 20이라는 변하지 않는 약속이 생겼습니다.
   압력이 5가 되면 5 × V = 20 → V = 4 (L).
   「몇 배가 되었나」로 보면 더 빠릅니다 : 압력이 2 → 5로 2.5배가 되었으니 부피는 1/2.5배 → 10 ÷ 2.5 = 4 ✓
   뜻으로도 맞습니다 — 세게 누르면(압력↑) 기체는 쪼그라듭니다(부피↓). 수학의 반비례가 실제 자연의 법칙으로 그대로 나타난 자리입니다.
2. k=2×10=20. V=20/5=4.

풀이 — 이번에는 비례상수가 「전압」이라는 이름을 갖는다

1. ⭐ 여기가 고비 — 구한 12가 이미 문제에 나와 있던 수다 k = 4 × 3 = 12를 구하고 나면, 그 12가 문제 첫머리의 「전압 12V」와 같습니다. 우연이 아닙니다 — 비례상수가 곧 전압입니다. 옴의 법칙은 전압 = 저항 × 전류입니다. 그러니 전압이 일정하다는 것은 저항과 전류의 곱이 일정하다는 말이고, 그것이 바로 반비례입니다.
   6 × I = 12 → I = 2 (A).
   「저항이 커지면 전류가 줄어든다」는 것도 상식과 맞습니다 — 길이 좁아지면 물이 덜 흐르는 것과 같지요.
   반비례 문제에서 구한 상수는 대개 「이름이 있는 양」입니다 — 거리(문제 8), 톱니 수(문제 10), 전압(여기). 그 이름을 찾으면 답이 맞았는지 스스로 확인됩니다.
2. k=4×3=12(=전압). I=12/6=2.