YEON MATH · 행복수학

정비례 실전 완전정복
— 오른팔 왼팔, 그리고 몇 칸 갔나 · 연습 10제

y=ax · 원점을 지나는 직선 · 사분면 · 점 대입 · 역수 곱하기 · 활용 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 정비례를 푸는 규칙 여섯 가지

1
정비례의 뜻 — x가 2배·3배가 되면 y도 똑같이 2배·3배. 비율이 변하지 않는다.
2
관계식 — y = ax. 표에서 "얼마씩 커지나"를 찾아 그 수에 x를 곱하면 된다.
3
그래프 — 반드시 원점을 지나는 직선. 곡선이 될 수 없다.
4
오른팔 / 왼팔 — a > 0이면 오른팔 🙋 (제1·제3사분면), a < 0이면 왼팔 (제2·제4사분면).
5
기울기 찾기 — 직각삼각형을 그려 x가 몇 칸, y가 몇 칸 갔는지 센다. 좌표가 −3인지가 아니라 칸 수가 중요하다. 부호는 오른팔/왼팔이 정한다.
6
계수 없애기 — 미지수만 남기려면 그 계수의 역수를 양변에 똑같이 곱해 약분한다.
x 2칸 y 1칸 m = 1/2

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"한 개에 얼마" 하나만 알면 몇 개든 값을 알 수 있다 — 개수가 2배면 값도 2배.
📐 중1 (핵심)
y=ax, 원점을 지나는 직선, 사분면, 점 대입으로 a 찾기, 기울기를 칸 수로 읽기.
🎓 중2·고등 (확장)
일차함수 y=ax+b(b=0이 정비례), 직선의 방정식과 수직 조건, 정비례 상수와 물리 법칙.

🐣 저학년 직관 — "한 개에 얼마?"

색연필 한 자루가 300원이에요. 2자루면 600원, 3자루면 900원, 4자루면 1200원. 자루 수가 2배가 되면 값도 2배가 되지요? 이렇게 "한 개에 얼마"만 알면 몇 개든 값을 알 수 있어요. 그게 바로 정비례예요.

값 = 300 × 자루 수 → y = 300x

연습 10제 · 그림 해설

문제 1표에서 식 세우기 · 기본
아래 표에서 y는 x에 정비례한다. 관계식을 세우고, x = 7일 때의 y를 구하라.
x1234
y6121824

풀이 — "얼마씩 커지나"를 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「6씩 커진다」의 6이 곧 곱하는 수다 표에서 y가 6씩 커지는 것은 금방 보입니다. 그다음 그 6을 어디에 쓰느냐에서 갈립니다. y = x + 6이라 쓰면 안 됩니다 — 더하는 수가 아니라 곱하는 수입니다. 확인하는 법은 표의 한 칸을 그대로 읽는 것입니다. x=1일 때 y=6이니 6은 「x 하나에 딸린 몫」입니다. 그러니 x가 2가 되면 그 몫이 두 벌 → 12, 3이면 세 벌 → 18.
    「x 하나에 얼마」를 찾아 x에 곱한다 — 이것이 y = ax의 뜻 전부입니다.
    정비례인지 확인하는 손쉬운 방법 : 표의 각 칸에서 y ÷ x를 해 보면 6÷1 = 12÷2 = 18÷3 = 24÷4 = 6 — 늘 같은 값이 나오면 정비례입니다.
  2. x가 1씩 갈 때 y는 6씩 커진다 → y = 6x.
  3. x = 7이면 y = 6 × 7 = 42.
"정비례를 식으로 쓰면 y = ax. 여기서 a가 '몇 배인가'를 정해 줘."— 장대경 선생님 특강 핵심① (정비례의 관계식)
y = 6x, x=7일 때 y = 42
문제 2정비례 판별 · 진가
다음 중 y가 x에 정비례하는 것을 모두 골라라.
① y = 7x   ② y = x + 3   ③ y = x4   ④ y = 12 − x

풀이 — y = ax 꼴이어야 하고, 반드시 원점을 지나야 한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — ③ y = x/4는 나누기인데도 정비례다 ②·④는 상수항이 붙어 있어 쉽게 걸러집니다. 답이 갈리는 것은 ③입니다. "나누기니까 반비례 아닌가?" 싶지만, x가 분모에 있어야 반비례입니다. 여기서는 x가 분자에 있습니다. y = x4를 고쳐 쓰면 y = ¼ × x — 정확히 y = ax 꼴이고 a = ¼입니다.
    가르는 잣대는 딱 하나 — 「y = ax 꼴인가」입니다.
    · 상수항이 더해지면 탈락 (②, ④) — x=0인데 y≠0이라 원점을 안 지납니다.
    · 분모에 x가 있으면 탈락 (반비례).
    a가 분수여도, 음수여도 정비례입니다. 다만 a=0이면 y=0이라 직선이 아니지요.
  2. ① y = 7x — a = 7인 정비례. x=0이면 y=0 → 원점을 지난다. ○
  3. ② y = x + 3 — x=0일 때 y=3이라 원점을 지나지 않는다. ✗
  4. ③ y = x/4 = (1/4)x — a = 1/4인 정비례. ○
  5. ④ y = 12 − x — x=0일 때 y=12. 원점을 지나지 않는다. ✗
"정비례 그래프는 언제나 원점을 지나는 직선. 원점을 안 지나면 정비례가 아니다."— 장대경 선생님 특강 핵심② (반드시 원점을 지난다)
①, ③
문제 3점 대입 · a 찾기
y = ax의 그래프가 점 (3, −12)를 지날 때, a의 값과 관계식을 구하라.

풀이 — x 자리에 x값, y 자리에 y값을 그대로 넣는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 3과 −12를 자리를 바꿔 넣지 않기 (3, −12)에서 앞이 x, 뒤가 y입니다. 이것을 뒤집어 3 = a × (−12)라고 쓰면 답이 a = −¼이 되어 완전히 달라집니다. 좌표는 언제나 (x, y) 차례입니다 — 가로가 먼저, 세로가 나중.
    그러니 y = ax의 y 자리에 −12, x 자리에 3 → −12 = a × 3 → a = −4.
    답이 나온 뒤 부호로 한 번 더 대 봅니다 — x가 양수 3인데 y가 음수 −12이니 이 점은 제4사분면에 있고, 원점과 이 점을 이으면 오른쪽 아래로 내려가는 왼팔입니다. 왼팔이면 a가 음수여야 하는데 실제로 a=−4 ✓ 어긋나지 않습니다.
  2. −12 = a × 3 → 양변을 3으로 나누면 a = −4.
  3. 검산: −4 × 3 = −12 ✓
a = −4, y = −4x
문제 4기울기 · 오른팔
아래 그래프의 관계식을 구하라. (원점에서 x축으로 4칸, y축으로 3칸 간 점을 지난다.)
4칸 3칸 O
원점을 지나고 오른쪽 위로 올라가는 직선

풀이 — 직각삼각형을 찾아 칸 수를 센다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 분모·분자가 뒤집히기 쉽다 (4/3인가 3/4인가) 「4칸·3칸」을 보고 4/3이라 쓰는 실수가 절반입니다. 기울기는 「x 한 칸에 y가 몇 칸 가나」이므로 y가 분자, x가 분모입니다. 뜻으로 되새기면 뒤집히지 않습니다 — 4칸 가는 동안 3칸 올라갔으니 한 칸에는 3 ÷ 4칸씩 올라간 셈입니다 → ¾.
    세로 ÷ 가로, 곧 「올라간 칸 나누기 간 칸」입니다.
    그다음 부호는 팔 모양이 알려 줍니다 — 오른쪽 위로 뻗었으니 오른팔 → 플러스.
    검산은 점 하나로 : x=4를 넣어 ¾ × 4 = 3 ✓ (4/3이었다면 16/3 ≈ 5.3으로 그림과 어긋납니다.)
  2. x가 간 거리 4칸, y가 간 거리 3칸 → 기울기 34. 오른팔이므로 부호는 +.
  3. 검산: x=4를 넣으면 (3/4)×4 = 3 ✓
"기울기는 좌표가 −3인지가 아니라, 가로로 몇 칸 세로로 몇 칸 갔느냐로 센다."— 장대경 선생님 원말 (특강 핵심③ · 몇 칸 갔나)
y = 34x
문제 5기울기 · 왼팔
아래 그래프의 관계식을 구하라. (원점에서 x축으로 5칸 갈 때 y축으로 2칸 내려간다.)
5칸 2칸 O
원점을 지나고 오른쪽 아래로 내려가는 직선

풀이 — 칸 수로 크기, 팔 방향으로 부호

  1. ⭐ 여기가 고비 — 크기와 부호를 따로 구한다 앞 문제와 세는 방법은 똑같고, 붙는 부호만 다릅니다. 그림에서 칸을 셀 때는 「내려갔다」는 것을 잠시 잊고 칸 수만 셉니다 — 그러면 헷갈리지 않습니다. ① 크기 : 가로 5칸에 세로 2칸 → 2/5 (칸은 늘 양수로 셉니다)
    ② 부호 : 오른쪽 아래로 내려가니 왼팔 → 마이너스
    합치면 y = −25x.
    팔로 외우는 까닭은 그림만 보고 부호를 즉시 정할 수 있어서입니다 — 오른팔은 1·3사분면, 왼팔은 2·4사분면을 지납니다.
    검산 : x=5 → −(2/5)×5 = −2 ✓ 5칸 갈 때 2칸 내려갑니다.
  2. x가 5칸, y가 2칸 → 크기는 25. 왼팔이므로 부호는 −.
  3. 검산: x=5를 넣으면 −(2/5)×5 = −2 ✓ (5칸 갈 때 2칸 내려감)
y = −25x
문제 6그래프 위의 점 · 진가
y = 32x의 그래프 위에 있는 점을 모두 골라라.
① (2, 3)   ② (4, 6)   ③ (−2, −3)   ④ (6, 8)

풀이 — x값을 넣어 y값이 맞는지 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「그래프 위에 있다」는 말이 「식이 성립한다」는 뜻 그래프를 그려서 눈으로 찍어 보려 하면 ④처럼 아슬아슬한 점에서 반드시 틀립니다. 그래프 위의 점 = 그 식을 참으로 만드는 (x, y) 짝 — 그러니 넣어 보면 그만입니다. x값을 식에 넣어 나온 y와 주어진 y를 견줍니다.
    · ① (3/2)×2 = 3 = 3 ○   · ② (3/2)×4 = 6 = 6 ○
    · ③ (3/2)×(−2) = −3 = −3 ○   · ④ (3/2)×6 = 9 ≠ 8 ✗
    ④는 (6,9)여야 했는데 8이라 「거의 맞지만 아닌」 점입니다 — 눈으로는 못 가립니다.
    정비례에서는 더 빠른 길도 있습니다 — y ÷ x가 모두 3/2인지 보면 됩니다. ④는 8 ÷ 6 = 4/3이라 다릅니다.
  2. ① (3/2)×2 = 3 → 3과 같다. ○
  3. ② (3/2)×4 = 6 → 6과 같다. ○
  4. ③ (3/2)×(−2) = −3 → −3과 같다. ○
  5. ④ (3/2)×6 = 9 → 주어진 8과 다르다. ✗
①, ②, ③ (④만 아니다)
문제 7사분면
y = −5x의 그래프가 지나는 사분면을 모두 말하고, 그 이유를 설명하라.

풀이 — a의 부호가 팔 방향을 정한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — a의 부호 하나가 사분면을 정한다 사분면 번호를 외우려 들면 헷갈립니다. a의 부호 → 팔 모양 → 지나는 두 사분면, 이 차례로 그림을 떠올리면 다시 틀리지 않습니다. a = −5 < 0이므로 왼팔 — 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 직선입니다. 그리고 정비례는 반드시 원점을 지나므로 그 직선은 원점을 뚫고 마주 보는 두 사분면을 지납니다.
    · 오른팔(a>0) → 제1·제3사분면
    · 왼팔(a<0) → 제2·제4사분면
    외우기 싫으면 점 두 개만 찍어 보십시오 — x=1 → y=−5(오른쪽 아래 = 제4), x=−1 → y=5(왼쪽 위 = 제2) ✓ 두 점이면 답이 나옵니다.
  2. a = −5 < 0 → 왼팔. 오른쪽 아래로 내려가는 직선이다.
  3. 왼팔은 제2사분면(x<0, y>0)과 제4사분면(x>0, y<0)을 지난다.
  4. 확인: x=1이면 y=−5 (제4사분면), x=−1이면 y=5 (제2사분면). ✓
"a가 양수면 오른팔 — 1·3사분면. a가 음수면 왼팔 — 2·4사분면. 오른팔 흔들어 주세요."— 장대경 선생님 원말 (특강 핵심② · 오른팔/왼팔)
제2사분면, 제4사분면
문제 8역수 곱하기 · 진가
y = −43x의 그래프가 점 (k, 8)을 지날 때, k의 값을 구하라.

풀이 — 계수를 없애려면 그 역수를 양변에 똑같이 곱한다

  1. 대입하면 8 = −(4/3) × k. (점 (k, 8)에서 k가 x, 8이 y)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 분수 계수를 역수로 지우기 −4/3이 k에 달라붙어 있어 손이 멈춥니다. 분수를 없애는 가장 확실한 손은 그 분수의 역수를 양변에 곱하는 것입니다. −4/3의 역수는 분자·분모를 뒤집은 −3/4입니다. (부호도 그대로 따라갑니다.)
    오른쪽 : (−3/4) × (−4/3) × k = 1 × k = k — 깨끗이 지워집니다.
    왼쪽 : 8 × (−3/4) = −6.
    역수를 곱하면 「곱해서 1」이 되어 계수가 사라진다 — 이 하나로 분수 계수 문제가 다 풀립니다. 검산 : −(4/3) × (−6) = 8 ✓ (부호로도 대 봅니다 — a가 음수인데 y가 양수 8이니 x는 음수여야 합니다 ✓)
  3. 오른쪽은 약분되어 k만 남고, 왼쪽은 8 × (−3/4) = −6.
  4. 검산: −(4/3) × (−6) = 8 ✓
k = −6
문제 9활용 · 물통
어떤 수도로 빈 물통에 물을 받으면 8분에 28 L가 찬다. x분 뒤 물의 양을 y L라 할 때 관계식을 세우고, 20분 뒤의 물의 양을 구하라.

풀이 — "1분에 얼마"라는 기준부터 찾는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「1분에 얼마」를 먼저 만들어야 식이 선다 문제는 「8분에 28 L」라고 덩어리로 줍니다. 이대로는 y = ax에 넣을 수 없습니다. a는 「x가 1일 때의 y」, 곧 1분에 몇 L인가이기 때문입니다. 그래서 먼저 잘게 나눕니다 — 28 ÷ 8 = 3.5 (L/분). 이 3.5가 그대로 정비례 상수 a입니다 → y = 3.5x.
    이 「1당 얼마」를 만드는 걸음이 활용 문제의 첫 관문입니다 — 물통이든 휘발유든 용수철이든 똑같습니다.
    28을 그냥 a로 쓰면 y = 28x가 되어 8분에 224 L라는 엉뚱한 답이 나옵니다. 검산으로 걸립니다 : 3.5 × 8 = 28 ✓
  2. 1분에 28 ÷ 8 = 3.5 L → y = 3.5x. x = 20이면 3.5 × 20 = 70.
  3. 검산: x=8을 넣으면 3.5 × 8 = 28 ✓
y = 3.5x, 20분 뒤 70 L
문제 10활용 · 기온 · 진가
지면의 기온이 0°C이고, 높이가 1 km 올라갈 때마다 기온이 5°C씩 내려간다고 한다. x km 높이의 기온을 y°C라 할 때, ① 관계식 ② 4.5 km 지점의 기온 ③ 기온이 −35°C가 되는 높이를 구하라.

풀이 — "내려간다"가 곧 마이너스

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「내려간다」가 곧 마이너스, 그리고 「지면 0°C」가 원점 보증 문제에 − 기호는 한 번도 나오지 않습니다. 「내려간다」는 우리말이 부호를 정합니다. · 「올라간다·늘어난다·더해진다」 → a > 0 (오른팔)
    · 「내려간다·줄어든다·빠진다」 → a < 0 (왼팔)
    그래서 y = −5x.
    그리고 「지면(x=0)의 기온이 0°C」라는 말이 그냥 있는 것이 아닙니다 — x=0일 때 y=0, 곧 원점을 지난다는 정비례의 보증입니다. 만약 지면이 20°C였다면 y = 20 − 5x가 되어 정비례가 아닙니다.
    ③은 거꾸로 y를 주고 x를 묻습니다 — −35 = −5x → x = 7. 7 km면 −35°C, 부호도 크기도 말이 됩니다 ✓
  2. 1 km에 5도씩 내려가므로 a = −5 → y = −5x. x = 4.5 → y = −22.5.
  3. −35 = −5x → 양변에 −1/5을 곱하면 x = 7.
  4. 검산: −5 × 7 = −35 ✓
① y = −5x   ② −22.5°C   ③ 7 km

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"몇 칸 갔나 + 오른팔/왼팔" 하나로 일차함수·직선의 방정식·물리 법칙까지

오늘 익힌 "기울기는 칸 수, 부호는 팔 방향"이, 학년이 올라가도 그대로 쓰입니다. 정비례는 y = ax + b에서 b = 0인 가장 깨끗한 경우예요.

① 중2 · 일차함수 y = ax + b
중2 · 일차함수
정비례 y = ax를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것이 일차함수예요. 기울기 a를 읽는 방법은 똑같습니다 — 몇 칸 갔나.
② 중2 · 두 점으로 기울기 구하기
중2 · 일차함수
두 점의 y 증가량 ÷ x 증가량이 곧 "y가 몇 칸 ÷ x가 몇 칸"이에요. 이름만 바뀌었지 같은 방법입니다.
③ 고1 · 직선의 방정식과 수직 조건
고1 · 도형의 방정식
원점을 지나는 직선은 y = mx. 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이라는 성질까지 이어집니다.
④ 중·고 과학 · 정비례하는 자연 법칙
과학 · 후크의 법칙, 옴의 법칙
용수철이 늘어난 길이는 매단 무게에 정비례(후크의 법칙), 전류는 전압에 정비례(옴의 법칙). 그래프가 모두 원점을 지나는 직선이에요.
⑤ 고2·경시 · 비례식의 연쇄
함수의 합성
y가 x에 정비례하고 z가 y에 정비례하면, z도 x에 정비례합니다. 정비례 상수는 두 상수를 곱한 값이에요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"몇 칸 갔나 + 오른팔/왼팔" 하나로 일차함수·직선의 방정식·과학까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중2일차함수 · 평행이동
y = 3x의 그래프를 y축 방향으로 4만큼 평행이동한 직선이 점 (2, k)를 지날 때, k를 구하라.

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 옮기는 순간 정비례가 아니게 된다 계산은 두 줄이지만, 이 문제가 말하려는 것은 따로 있습니다. y = 3x는 정비례였는데 위로 4만큼 들어 올리는 순간 원점을 벗어나 더 이상 정비례가 아닙니다. y = 3x + 4는 x=0일 때 y=4 — 원점이 아니라 (0,4)를 지납니다. 이런 것을 일차함수라 부릅니다.
    그런데 기울기 3은 조금도 안 변했습니다 — 직선을 통째로 들어 올렸을 뿐이니까요. 정비례에서 익힌 「몇 칸 갔나」는 일차함수에서 글자 하나 안 바뀌고 그대로 쓰입니다.
    정비례는 일차함수 가운데 「원점을 지나는 것」일 뿐입니다.
    x=2 → k = 3×2 + 4 = 10.
  2. y축 방향으로 4만큼 이동하면 y = 3x + 4. x = 2를 넣으면 k = 10.
k = 10
도전 · 중2두 점으로 기울기 · 진가
두 점 (1, 2)와 (4, 11)을 지나는 직선의 기울기를 구하고, 이 직선이 정비례 그래프인지 판정하라.

풀이 — "y가 몇 칸 ÷ x가 몇 칸"과 같다

  1. x가 4 − 1 = 3칸 갈 때 y는 11 − 2 = 9칸 갔다 → 기울기 9 ÷ 3 = 3.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 기울기가 나왔다고 정비례인 것은 아니다 기울기 3까지 구하고 "그러니 y = 3x"라고 쓰면 이 문제는 틀립니다. 기울기는 「방향」만 말해 줄 뿐, 「원점을 지나는가」는 아무 말도 하지 않습니다. 확인은 점 하나를 넣어 보는 것으로 끝납니다 — y=3x에 x=1을 넣으면 3인데, 주어진 점의 y는 2입니다. 1만큼 어긋납니다.
    그래서 실제 직선은 y = 3x − 1이고, x=0일 때 y=−1 — 원점을 지나지 않으니 정비례가 아닙니다.
    정비례의 잣대는 언제나 둘 : ① y=ax 꼴인가 ② 원점을 지나는가. 검산 : x=4 → 3×4 − 1 = 11 ✓
  3. 즉 이 직선은 y = 3x − 1이고, x=0일 때 y=−1이라 원점을 지나지 않는다.
  4. 검산: x=4 → 3×4 − 1 = 11 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 기울기만 보고 정비례라 하면 "기울기가 3으로 일정하니까 y = 3x, 정비례!" 그 식에 주어진 점 (1, 2)를 넣어 보면 3 × 1 = 3 ≠ 2 — 그 직선은 이 점을 지나지도 않습니다. → 기울기는 「방향」만 말할 뿐입니다. 정비례이려면 원점을 지나야 하고, 그것은 점 하나를 대입해 보면 곧바로 드러납니다.
기울기 3, 정비례가 아니다 (y = 3x − 1)
도전 · 고1직선의 방정식 · 수직
원점을 지나고 기울기가 −23인 직선 ℓ이 있다. ① ℓ의 방정식 ② ℓ에 수직이고 원점을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

풀이 — 수직이면 기울기의 곱이 −1

  1. 원점을 지나므로 y = −(2/3)x.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 수직인 기울기는 뒤집고 부호를 바꾼다 "수직이니까 기울기도 2/3" 또는 "−3/2"라고 쓰는 실수가 많습니다. 규칙은 「곱해서 −1」 하나이고, 그 결과가 「뒤집고 부호 바꾸기」입니다. m × (−2/3) = −1에서 양변에 −3/2를 곱하면 m = 3/2.
    보기로 익히면 빠릅니다 : −2/3 → 뒤집으면 −3/2 → 부호 바꾸면 3/2.
    왼팔(−)에 수직인 직선은 반드시 오른팔(+)입니다 — 부호가 늘 반대가 되지요. 그림으로도 당연합니다 : 내려가는 직선과 직각으로 만나려면 올라가야 하니까요.
    검산 : (3/2) × (−2/3) = −1 ✓
  3. 양변에 −3/2를 곱하면 m = 3/2. 원점을 지나므로 y = (3/2)x.
  4. 검산: (3/2) × (−2/3) = −1 ✓
① y = −23x   ② y = 32x
도전 · 고1정비례 상수
y는 x에 정비례하고, x = 6일 때 y = −15이다. x = −4일 때 y의 값을 구하라.

풀이 — 먼저 정비례 상수 a부터 구한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — a부터 구한다, 곧장 답으로 뛰지 않는다 x=6에서 x=−4로 가니 비율로 바로 답을 내고 싶어집니다. 그러다 부호를 놓칩니다. 정비례 문제의 안전한 순서는 언제나 「a 먼저, 답은 나중」입니다. ① a 구하기 : −15 = a × 6 → a = −15/6 = −5/2
    ② 식 세우기 : y = −(5/2)x
    ③ 답 내기 : x=−4 → −(5/2)×(−4) = 10
    a가 약분되는 것도 놓치지 마십시오 — −15/6은 3으로 약분해 −5/2.
    부호로 대 보면 답이 맞는지 바로 보입니다 : a가 음수인데 x도 음수이니 y는 양수여야 합니다 ✓ 검산 : x=6 → −(5/2)×6 = −15 ✓
  2. −15 = a × 6 → a = −15/6 = −5/2 → y = −(5/2)x.
  3. x = −4 → −(5/2) × (−4) = 10.
  4. 검산: x=6 → −(5/2) × 6 = −15 ✓
y = 10
도전 · 과학후크의 법칙 · 진가
어떤 용수철에 20 g짜리 추를 매달았더니 5 cm 늘어났다. 늘어난 길이가 매단 무게에 정비례할 때, 32 cm 늘어나게 하려면 몇 g을 매달아야 하는가?

풀이 — "1 g에 얼마 늘어나나"가 기준

  1. ⭐ 여기가 고비 — 무엇이 x이고 무엇이 y인지 먼저 못 박는다 숫자 20·5·32가 뒤섞여 있어 어느 것을 어디에 넣을지가 헷갈립니다. 문제 문장이 정해 줍니다 — "늘어난 길이가 매단 무게에 정비례". 「~에 정비례」 앞이 y, 뒤가 x입니다 → y = 늘어난 길이, x = 무게. 그다음은 문제 9와 같습니다 — 「1 g에 얼마」를 만듭니다 : 5 ÷ 20 = 1/4 (cm/g) → y = (1/4)x.
    묻는 것은 「32 cm 늘어나게 하려면 몇 g」이므로 y를 주고 x를 찾는 거꾸로 문제입니다 — 32 = (1/4)x → 역수 4를 양변에 곱해 x = 128.
    x와 y를 뒤바꿔 두었다면 y = 4x가 되어 답이 8 g이라는 말이 안 되는 값이 나옵니다(5 cm 늘리는 데 20 g이 들었는데 32 cm를 8 g으로?). 답의 크기가 상식과 맞는지 대 보는 것이 마지막 안전판입니다.
  2. 1 g에 5 ÷ 20 = 1/4 cm 늘어난다 → y = (1/4)x (x: 무게 g, y: 늘어난 길이 cm).
  3. 32 = (1/4)x → 1/4의 역수 4를 양변에 곱하면 x = 128.
  4. 검산: (1/4) × 128 = 32 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — x와 y를 뒤바꿔 두면 무게를 y, 길이를 x로 두면 20 = a × 5 → a = 4 → y = 4 × 32 = 128. 이번에는 우연히 답이 같습니다 — 묻는 것이 마침 「무게」였기 때문입니다. 하지만 「200 g을 달면 몇 cm 늘어나나」로 물었다면 4 × 200 = 800cm라는 엉뚱한 답이 나옵니다(참값 50cm). → 「~에 정비례」 앞이 y, 뒤가 x. 이름을 먼저 못 박아 두면 어느 쪽을 물어도 흔들리지 않습니다.
128 g
도전 · 경시정비례의 연쇄
y는 x에 정비례하여 y = 3x이고, z는 y에 정비례하여 z = 5y이다. ① z를 x로 나타내고 ② z가 x에 정비례함을 설명하라. ③ z = 90일 때 x를 구하라.

풀이 — 대입하면 정비례 상수끼리 곱해진다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 상수가 더해지지 않고 곱해진다 y=3x, z=5y를 이었을 때 3+5=8이라고 쓰는 실수가 나옵니다. 정비례를 이으면 상수끼리 곱해집니다. 그냥 대입해 보면 눈에 보입니다 — z = 5y = 5 × (3x) = 15x. 3 × 5 = 15입니다.
    뜻으로 읽어도 같습니다 : x가 1 늘면 y는 3 늘고, y가 3 늘면 z는 그 5배인 15가 늡니다. 「3배의 5배는 15배」이지 8배가 아니지요.
    그리고 z = 15x는 z = (상수)×x 꼴이고 x=0일 때 z=0이므로 z도 x에 정비례합니다 — 정비례를 이어도 여전히 정비례입니다.
    검산 : x=6 → y=18 → z=5×18=90 ✓
  2. z = 5y = 5 × (3x) = 15x.
  3. z = 15x는 z = (상수)×x 꼴이고 x=0일 때 z=0이라 원점을 지난다 → 정비례한다. 정비례 상수는 3 × 5 = 15.
  4. 90 = 15x → 양변에 1/15을 곱하면 x = 6.
  5. 검산: x=6 → y=18, z=5×18=90 ✓
① z = 15x   ② 정비례 상수 15   ③ x = 6
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님의 방법(오른팔·왼팔, 몇 칸 갔나, 역수 곱하기)을 그대로 쓰되, 숫자는 새로 만들어 전부 직접 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다릅니다).
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