삼각형의 작도 실전 완전정복
— 자와 컴퍼스로 정확히 · 연습 10제

풀이 — 가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합

1. ⭐ 여기가 고비 — 부등식을 셋 다 쓰지 않고 둘로 나눠 생각한다 삼각형 성립 조건은 「가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합」 하나입니다. 그런데 x는 값에 따라 가장 긴 변일 수도, 아닐 수도 있습니다. 「누가 가장 긴가」로 경우를 가르는 것이 이 문제의 전부입니다. · x가 가장 길 때 : x < 4 + 9 = 13
   · 9가 가장 길 때 : 9 < x + 4 → x > 5
   4가 가장 길 경우는 왜 안 세나요? 4는 9보다 작으므로 절대 가장 긴 변이 될 수 없습니다. 그래서 경우는 딱 둘입니다.
   두 결과는 「동시에」 지켜져야 하므로 겹치는 구간이 답입니다 → 5 < x < 13. 두 수 4·9의 「차보다 크고 합보다 작다」는 꼴로도 외울 수 있습니다.
2. x가 가장 길면: x < 4+9=13.
3. 9가 가장 길면: x+4 > 9 → x > 5.

풀이 — 두 변이 같을 때는 그 차가 0

1. ⭐ 여기가 고비 — 아래쪽 조건이 x > 0으로 사실상 사라진다 앞 문제와 똑같이 두 경우를 세우는데, 두 변이 같아서 아래쪽 조건이 시시해집니다. 여기서 「뭔가 빠뜨렸나?」 하고 멈칫하게 되는데, 그것이 정상입니다. 6이 가장 길다고 두면 6 < x + 6 → x > 0 — 길이는 어차피 양수이니 아무 제약이 아닙니다.
   까닭은 두 변의 차가 0이기 때문입니다. 앞 문제에서 답이 「차보다 크고 합보다 작다」였는데, 여기서는 차가 6 − 6 = 0이라 아래끝이 0이 됩니다.
   그러니 실제로 일하는 조건은 위쪽 하나뿐입니다 → x < 12. x가 12에 가까워지면 삼각형이 점점 납작해지다가 12에서 일직선이 되어 무너집니다.
2. x가 가장 길면: x < 6+6=12.
3. 6이 가장 길면: x+6 > 6 → x > 0 (길이라면 늘 참).

풀이 — 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 커야 한다(등호는 안 됨)

1. ⭐ 여기가 고비 — 5+5=10처럼 딱 같을 때는 되나 안 되나 네 조합 중 셋은 부등호가 뚜렷해 쉽게 갈립니다. 답이 갈리는 것은 (5,5,10) 하나입니다. 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 크지도 작지도 않고 딱 같은 경우 — 이때는 삼각형이 되지 않습니다. 막대 세 개로 직접 해 보면 눈에 보입니다. 5cm 막대 둘을 이어 붙이면 정확히 10cm. 10cm 막대 위에 그대로 포개져 납작하게 눌린 선분이 됩니다 — 넓이가 0이라 삼각형이라 부를 수 없습니다.
   그래서 조건의 부등호에는 등호가 없습니다 — a + b > c이지 ≥가 아닙니다. 「같으면 일직선」이 이 단원에서 가장 자주 나오는 함정입니다.
2. (3,4,5): 3+4=7 > 5 → 된다.
3. (3,4,8): 3+4=7 < 8 → 안 된다.
4. (5,5,10): 5+5=10, 합과 같아 일직선이 됨 → 안 된다.
5. (6,7,8): 6+7=13 > 8 → 된다.

풀이 — 삼각형 내각의 합은 180°

1. ⭐ 여기가 고비 — 「180°」가 왜 늘 같은 값인가 계산은 뺄셈 한 번입니다. 정작 남겨 둘 것은 왜 어떤 삼각형이든 세 각의 합이 꼭 180°인가입니다. 종이 삼각형의 세 모서리를 뜯어 한 점에 모아 붙여 보면 늘 납작한 일직선이 됩니다. 일직선이 180°이니 세 각의 합도 180°입니다.
   (수학으로는 한 꼭짓점을 지나며 마주 보는 변과 평행한 선을 그으면 엇각으로 세 각이 그 직선 위에 나란히 모입니다 — 같은 이야기입니다.)
   이 값이 「고정」이라는 것이 힘입니다 — 두 각만 알면 나머지 하나는 셀 것도 없이 정해집니다. 여기서는 180 − 55 − 65 = 60°.
2. 180−55−65=60°. 검산: 55+65+60=180 ✓

풀이

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — ④가 「두 변과 한 각」인데도 안 되는 까닭 ①②③은 대개 맞힙니다. 답이 갈리는 것은 ④입니다. "두 변과 한 각이 있으니 SAS 아닌가?" 싶지만, SAS의 A는 아무 각이 아니라 「낀 각」입니다. 주어진 두 변 AB와 BC가 함께 만나는 꼭짓점은 B이므로, 이 두 변이 끼고 있는 각은 ∠B입니다. 그런데 문제가 준 것은 ∠A — 낀 각이 아닙니다.
   낀 각이 아닌 각을 주면(이른바 SSA) 조건에 맞는 삼각형이 두 개 그려지는 경우가 생겨 하나로 정해지지 않습니다.
   ③은 이유가 다릅니다 — 세 각만 주면 모양은 하나로 정해지지만 크기가 안 정해집니다. 같은 모양을 확대·축소한 삼각형이 무수히 많습니다(닮음).
   정리하면 : 길이가 적어도 하나는 있어야 하고, 각은 「낀 각」이어야 한다.
2. ① 세 변 → SSS → 결정된다.
3. ② AB의 양 끝 각(∠A, ∠B) → ASA → 결정된다.
4. ③ 세 각만으로는 크기가 다른 삼각형이 무수히 많다(모양은 같지만 크기가 다름) → 결정 안 된다.
5. ④ AB, BC 사이의 낀 각은 ∠B인데 주어진 각은 ∠A(낀 각이 아님) → 결정 안 된다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 자를 「못 쓰는 것」이 아니라 「눈금을 못 쓰는 것」 "자를 쓰면 안 된다"고 잘못 외우는 학생이 많습니다. 자는 씁니다 — 다만 「선을 곧게 긋는 데만」 씁니다. 길이를 재거나 옮기는 일은 오직 컴퍼스의 몫입니다. 까닭은 작도가 「눈대중을 없애려고 만든 규칙」이기 때문입니다. 눈금을 읽는 순간 사람의 눈이 개입해 정확함이 무너집니다. 컴퍼스는 벌린 폭을 그대로 옮기므로 읽을 필요가 없습니다 — 그래서 오차가 없습니다.
   도구별로 할 일이 정확히 갈립니다 —
   · 눈금 없는 자 : 두 점을 잇는 직선 긋기
   · 컴퍼스 : 길이 옮기기 · 길이 견주기 · 원(호) 그리기
   여기서 가장 많이 틀립니다.
2. 길이를 옮기는 도구는 컴퍼스다. 작도는 눈금 없는 자(직선만 긋는 용도)와 컴퍼스만 사용하는 것이 규칙이기 때문에, 눈금으로 길이를 재는 자는 쓸 수 없다.

풀이 — A, B를 중심으로 AB 길이를 반지름으로

1. ⭐ 여기가 고비 — 반지름을 한 변과 「똑같이」 두는 것이 곧 증명이다 "반지름 8cm"라는 답보다 왜 그것이 정삼각형을 만들어 내는가가 이 문제의 알맹이입니다. A를 중심으로 반지름 8인 원을 그리면 그 원 위의 모든 점은 A에서 8만큼 떨어져 있습니다. B를 중심으로 반지름 8인 원도 마찬가지지요. 그러니 두 원이 만나는 점 C는 A에서도 8, B에서도 8 —
   AB = 8(원래 변) · AC = 8 · BC = 8 → 세 변이 모두 같은 정삼각형입니다 ✓
   「반지름은 어디를 재도 같다」는 원의 성질 하나가, 자로 재지 않고도 길이를 똑같이 맞춰 줍니다. 이것이 컴퍼스를 쓰는 진짜 까닭입니다.
   세 변이 같으면 세 각도 같으므로 한 내각은 180 ÷ 3 = 60°.
2. 반지름은 AB=8cm와 같게 그린다.
3. 정삼각형은 세 변이 같으므로 세 각도 같고, 180÷3=60°.

풀이 — x>0이면 x+5가 항상 가장 긴 변이다

1. ⭐ 여기가 고비 — 부등식 셋 중 일을 하는 하나를 고른다 삼각부등식을 셋 다 세워도 틀리지는 않습니다. 그런데 셋 다 쓰면 학생은 「셋을 다 외워야 하는 줄」 압니다. 여기서는 가장 긴 변이 누구인지 이미 정해져 있어 한 줄이면 끝납니다. x > 0이므로 x < x+2 < x+5 — 가장 긴 변은 언제나 x+5입니다. 앞 문제들처럼 경우를 나눌 필요가 없습니다.
   그러니 딱 한 줄 : x + (x+2) > x+5 → 2x+2 > x+5 → x > 3.
   나머지 두 부등식은 어떻게 되나요? x + (x+5) > x+2는 정리하면 x > −3, (x+2)+(x+5) > x는 x > −7 — x>0이면 저절로 참이라 아무 일도 하지 않습니다.
   일을 하는 것은 「가장 긴 변의 것」 하나뿐입니다.
2. 가장 긴 변 x+5보다 나머지 두 변의 합이 커야 한다: x+(x+2) > x+5 → 2x+2 > x+5 → x > 3.
3. 검산 — x=4면 세 변 4, 6, 9 → 4+6=10 > 9 ✓ / x=3이면 3, 5, 8 → 3+5=8로 일직선 ✗

풀이 — 가장 긴 변부터

1. 먼저 삼각형의 성립조건을 확인한다: 5+7=12 > 9 → 작도 가능.
2. ⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 가장 긴 변부터 긋나 짧은 변부터 그어도 삼각형은 나옵니다. 그런데 가장 긴 변부터 그으면 손이 훨씬 편합니다. 가장 긴 변 9를 밑에 깔면, 양 끝에서 그린 두 호(반지름 5와 7)가 그 변 위쪽에서 시원하게 만납니다. 성립 조건 5+7 > 9이 바로 「두 호가 만난다」는 보증입니다 — 두 호를 쭉 펴면 12가 되어 9를 덮고도 남으니까요.
   거꾸로 5+7 < 9였다면 두 호가 서로 닿지 못해 만나는 점이 아예 없습니다. 「조건을 만족한다」는 말과 「호가 만난다」는 말이 같은 뜻인 셈입니다.
   반면 짧은 변 5를 먼저 깔면 남은 두 호(7과 9)가 아주 납작한 각으로 만나 교점을 짚기 어렵습니다.
3. 가장 긴 변 9cm를 먼저 곧게 긋는다.
4. 한쪽 끝에서 반지름 5cm, 다른 쪽 끝에서 반지름 7cm인 컴퍼스 호를 그려 만나는 점을 찾아 세 꼭짓점을 잇는다.

풀이

1. 둘레 조건: 5+5+x=18 → x=8.
2. ⭐ 여기가 고비 — 길이를 구했다고 끝이 아니다, 성립하는지까지 물었다 x=8을 구하고 답을 쓰면 문제의 절반만 푼 것입니다. 문제가 "삼각형이 성립하는지 확인하라"고 한 걸음을 더 요구했습니다. 둘레라는 산술 조건만으로는 삼각형이 보장되지 않습니다. 예컨대 둘레가 22라면 x=12인데, 두 변이 5·5이므로 5+5=10 < 12이라 그런 삼각형은 존재하지 않습니다. 둘레 식은 멀쩡히 풀리는데 도형이 없는 것이지요.
   그래서 구한 뒤 성립 조건에 대 봅니다 — 두 변이 5, 5이니 문제 2와 똑같이 0 < x < 10. 8은 그 안 ✓ 비로소 답이 됩니다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「돌아가면 멀다」는 당연한 말을 성립 조건 한 줄로 바꾸기 누구나 아는 사실인데 「설명하라」고 하면 막힙니다. 근거로 댈 것이 무엇인지가 안 보이기 때문입니다. 세 점 A·X·B를 「삼각형으로 보는 것」이 그 열쇠입니다. X가 직선 AB 위에 있지 않다고 했으니 A·X·B는 진짜 삼각형을 이룹니다. 그 삼각형의 세 변은 AX, XB, AB입니다.
   삼각형 성립 조건은 「어느 두 변의 합이든 나머지 한 변보다 크다」였으므로 AX + XB > AB — 이 한 줄이 곧 「돌아가면 멀다」입니다.
   등호가 성립하는 때는 X가 선분 AB 위에 놓일 때뿐이고, 그때는 돌아간 것이 아니라 곧게 간 것입니다. 문제가 「X는 직선 AB 위에 있지 않다」는 단서를 굳이 달아 둔 까닭이 이것입니다.
2. 따라서 AX+XB > AB가 항상 성립한다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 좌표평면으로 무대가 바뀌어도 조건은 그대로 「세 점이 삼각형을 이룬다」는 말이 낯설어 보이지만, 문제 1과 숫자만 다른 같은 문제입니다. 세 점이 삼각형을 이루지 못하는 경우는 딱 하나 — 세 점이 한 직선 위에 놓일 때입니다. 그리고 그 순간이 바로 두 변의 합이 나머지 한 변과 같아지는 때이지요. 그러니 「삼각형이 된다 = 성립 조건을 만족한다」로 그대로 옮겨집니다.
   · x가 가장 길면 x < 12 + 5 = 17
   · 12가 가장 길면 12 < x + 5 → x > 7
   「두 수의 차보다 크고 합보다 작다」 → 12−5=7, 12+5=17 → 7 < x < 17. 이 꼴이 다음 문제의 벡터에서 글자만 바뀌어 또 나옵니다.
2. x가 가장 길면: x<12+5=17.
3. 12가 가장 길면: x+5>12 → x>7.

풀이 — 삼각부등식 ||a|−|b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|

1. ⭐ 여기가 고비 — 삼각형 때와 달리 등호가 살아 있다 숫자를 넣는 방법은 문제 1·앞 문제와 똑같습니다. 다른 것은 부등호에 등호가 붙는다는 점입니다. 삼각형에서는 <였는데 여기서는 ≤입니다. 까닭은 벡터는 「납작하게 눌린 경우」도 허용하기 때문입니다.
   · 두 벡터가 같은 방향이면 그냥 이어 붙은 셈이라 |a+b| = 7 + 10 = 17 — 최댓값.
   · 반대 방향이면 서로 상쇄되어 |a+b| = |10 − 7| = 3 — 최솟값.
   · 그 사이 어떤 각이든 3과 17 사이의 값이 됩니다(그때가 진짜 삼각형).
   삼각형은 「일직선이면 도형이 무너져」 등호를 뺐지만, 벡터는 일직선이어도 멀쩡한 벡터라 등호를 그대로 씁니다. 그래서 3 ≤ |a+b| ≤ 17.
2. |10−7|=3, 10+7=17.

풀이 — 복소수는 방향이 일직선일 때 등호가 성립할 수 있다

1. ⭐ 여기가 고비 — 복소수를 화살표로 바꿔 놓고 본다 z₁, z₂라는 글자만 보면 새 단원 같지만, 복소수는 평면 위의 화살표이고 |z|는 그 길이입니다. 그렇게 바꿔 놓는 순간 앞 문제와 완전히 같은 그림이 됩니다. 길이 3짜리 화살표와 길이 5짜리 화살표를 꼬리에 머리를 이어 붙인 것이 z₁+z₂입니다.
   · 같은 방향으로 이으면 가장 멀리 갑니다 → 3 + 5 = 8 (최댓값)
   · 반대 방향이면 5에서 3을 되돌아온 만큼 → |5 − 3| = 2 (최솟값)
   여기서도 등호가 살아 있는 까닭은 「같은 방향·반대 방향」이 실제로 일어날 수 있기 때문입니다. 중1의 막대 세 개 이야기가 그대로 여기까지 옵니다.
2. 최댓값: 같은 방향일 때 3+5=8.
3. 최솟값: 반대 방향일 때 |5−3|=2.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 부호가 같은가 다른가, 그 하나로 갈린다 "항상 성립함을 설명하라"는 말에 막히지만, 따질 경우는 딱 둘뿐입니다 — 부호가 같은가, 다른가. · 같은 부호(또는 하나가 0) : 서로 밀어 주므로 그대로 더해집니다 → |a+b| = |a| + |b| — 등호. 보기 : a=3, b=5 → |8| = 3+5 ✓
   · 다른 부호 : 서로 깎아 먹습니다 → |a+b| < |a| + |b|. 보기 : a=3, b=−5 → |−2| = 2 < 8 ✓
   어느 경우에도 왼쪽이 오른쪽을 넘지 못하므로 |a+b| ≤ |a|+|b|가 늘 참입니다.
   등호 조건을 함께 말해야 답이 완성됩니다 — 「같은 부호이거나 둘 중 하나가 0일 때」. 실수 → 벡터 → 복소수 → 함수까지, 「거리」라 부를 수 있는 모든 것이 이 부등식을 지킵니다.
2. a, b가 같은 부호(또는 둘 중 하나가 0)이면 |a+b|=|a|+|b|로 등호가 성립하고, 부호가 다르면 상쇄되어 |a+b| < |a|+|b|가 된다.