YEON MATH · 행복수학

일차방정식의 활용 실전 완전정복
— 말을 그대로 식으로 옮긴다 · 연습 10제

순서대로 옮기기 · 합이 정해진 개수 · 크다 작다 저울 · 나눗셈 · 연속하는 수 · 두 자리 수 자리값 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 활용 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
모르는 것을 x로 두고 읽는 순서대로 옮긴다 — "더하여"는 괄호 안, "몇 배"는 괄호 밖. x에 8을 더하여 4배 → 4(x + 8).
2
합이 정해지면 나머지는 (전체 − x) — 사과가 x개고 합해서 20개면 귤은 20 − x개. 두 개를 각각 x, y로 두지 않는다(중1은 미지수 하나).
3
"~보다 얼마 크다·작다"는 저울이다 — 작은 쪽에 그 차이만큼 더하면 등호가 선다. (같은 말로 큰 쪽에서 빼도 된다.) 오늘 가장 중요한 무기.
4
나눗셈은 곱해서 되돌린다 — (나누는 수) × (몫) + (나머지) = (나누어지는 수). 나머지가 있는 나눗셈 문제는 이 한 줄로 식이 된다.
5
연속하는 수는 가운데를 x로 — 세 짝수·세 홀수는 x − 2, x, x + 2 (둘 다 2씩!), 세 자연수는 x − 1, x, x + 1. 합이 언제나 3x가 된다.
6
두 자리 자연수는 자리값으로 — 10 × (십의 자리) + (일의 자리). 두 숫자를 나란히 붙여 쓰면 안 된다. 자리를 바꾼 수는 10b + a.
큰 쪽작은＋차여기!작은 쪽에 「차이」를 더하면 = 가 선다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"□에 얼마를 넣으면 양쪽이 똑같아질까?" — 빈칸 넣어 보기. 활용은 결국 모르는 것에 이름을 붙이는 일이다.
📐 중1 (핵심)
모르는 것을 x로, 말을 순서대로 식으로. 크다·작다는 작은 쪽에 더한다. 연속하는 수는 가운데를 x로. 두 자리 수는 10a + b.
🎓 중2~고1 (확장)
모르는 것이 둘이면 연립방정식, "이상·이하"면 부등식, 곱·넓이가 나오면 이차방정식, 조건이 갈리면 경우를 나눈다.

🐣 저학년 직관 — "□에 뭘 넣어야 양쪽이 똑같아질까?"

바구니 두 개가 있어요. 왼쪽 바구니에는 「□에 8을 더한 것」을 4묶음 넣고, 오른쪽 바구니에는 「□」를 5묶음 넣었더니 두 바구니의 무게가 똑같아졌대요. □는 얼마일까요?

□에 10을 넣으면 왼쪽은 18이 네 개라 72, 오른쪽은 10이 다섯 개라 50 — 왼쪽이 무거워요. 30을 넣으면 왼쪽 152, 오른쪽 150 — 아직 왼쪽이 조금 무거워요. 32를 넣으면 왼쪽 160, 오른쪽 160 — 딱 맞아요!

이렇게 하나씩 넣어 보는 대신, □에 이름 x를 붙여서 4(x + 8) = 5x라고 적어 두면 한 번에 찾을 수 있어요. 그게 방정식이에요.

답: □ = 32  (4 × 40 = 160 = 5 × 32)

⚠️ 선생님이 강의 중에 직접 두 번이나 고치신 자리

① 개수 문제 — "사과 x개, 귤 20개"라고 두셨다가 "여기서 잘못했다"며 귤을 20 − x로 고치셨습니다. 합이 정해져 있으면 반드시 빼 준다.

② 연속하는 세 홀수 — x + 1, x − 1로 두셨다가 "여기서 잘못했다"며 x + 2, x − 2로 고치셨습니다. 홀수도 2씩 차이가 납니다.

③ 크다·작다의 부호 — 부호를 반대로 넣어 답이 틀리자 "틀렸는데, 어디서 틀렸는지 한번 확인해 보자"며 직접 되짚으셨습니다. 식을 세우기 전에 "누가 작은가"를 손으로 짚는 습관이 여기서 나옵니다.

연습 10제 · 상세 해설

문제 1무기① 순서대로 옮기기 · 기본
어떤 수 x에 5를 더하여 3배 한 것은, x의 4배보다 6만큼 크다. 어떤 수를 구하라.

풀이 — 읽는 순서대로 옮기고, 작은 쪽에 6을 더한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「6만큼 크다」에서 6을 어느 쪽에 붙이나 3(x+5)까지는 대개 씁니다. 답이 갈리는 곳은 6을 왼쪽에 붙이느냐 오른쪽에 붙이느냐입니다. 「크다」가 나오면 손이 먼저 큰 쪽으로 갑니다 — 그런데 6은 작은 쪽에 붙습니다. 저울로 생각하면 한 번에 풀립니다. 문장은 왼쪽이 오른쪽보다 6만큼 무겁다는 말입니다. 저울이 기울어져 있지요. 수평으로 만들려면 가벼운 쪽에 6을 올려 줘야 합니다 → 3(x+5) = 4x + 6.
    「누가 작은지부터 손으로 짚고」 나서 식을 세우는 것 — 이 순서만 지키면 부호가 뒤집힐 일이 없습니다. 여기서는 4x 쪽이 작다고 문장이 말해 주고 있습니다.
  2. "5를 더하여"는 괄호 안, "3배"는 괄호 밖: 3(x + 5).
  3. 괄호를 풀면 3x + 15 = 4x + 6 → 15 − 6 = 4x − 3x → x = 9.
  4. 검산 — 3 × (9 + 5) = 42, 4 × 9 + 6 = 42 ✓
"'더하여'는 괄호 안, '몇 배'는 괄호 밖. 순서를 지켜 적으면 식이 저절로 만들어져."— 장대경 선생님 특강 무기① (읽는 순서대로 옮긴다)
x = 9
문제 2무기① 순서대로 옮기기 · 기본
어떤 수 x에서 6을 빼서 4배 한 것은, x에 3을 더하여 2배 한 것과 같다. 어떤 수를 구하라.

풀이 — 양쪽 다 (괄호) × (배수) 꼴

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「빼서 4배」를 4x − 6이라 쓰면 끝난다 이 문제는 계산이 아니라 괄호를 치느냐 마느냐가 전부입니다. "6을 빼서 4배"는 빼기를 먼저 하고 그 결과를 4배 하라는 뜻이므로 4(x − 6)입니다. 괄호를 빠뜨려 4x − 6이라 쓰면 완전히 다른 식이 됩니다. 낱말의 차례가 곧 계산의 차례입니다.
    · "6을 빼서 4배" → 빼기 먼저 → 4(x−6)
    · "4배 해서 6을 뺀다" → 곱하기 먼저 → 4x − 6
    숫자를 넣어 보면 차이가 확 드러납니다. x=10일 때 앞은 16, 뒤는 34.
    "~해서 ~배"라는 말이 보이면 손이 먼저 괄호를 칩니다. 오른쪽 "3을 더하여 2배"도 같은 이유로 2(x+3).
  2. 그래서 4(x − 6) = 2(x + 3) → 괄호를 풀면 4x − 24 = 2x + 6.
  3. 문자는 왼쪽, 숫자는 오른쪽: 4x − 2x = 6 + 24 → 2x = 30 → x = 15.
  4. 검산 — 4 × (15 − 6) = 36, 2 × (15 + 3) = 36 ✓
x = 15
문제 3무기② 합이 정해진 개수 · 진가
한 권에 700원인 공책과 한 개에 300원인 지우개를 합해서 12개 사고 5600원을 냈다. 공책은 몇 권 샀는가?
공책 x권지우개 (12 − x)개합해서 12개 · 모두 5600원

풀이 — 하나를 x로 두면 나머지는 저절로 (12 − x)

  1. ⭐ 여기가 고비 — 지우개를 「12개」가 아니라 「12 − x개」로 두는 것 강의에서 선생님이 스스로 "여기서 잘못했다"며 고치신 바로 그 자리입니다. 합이 정해져 있으면 둘 중 하나만 정해도 나머지가 저절로 정해집니다. 합이 12인데 공책을 x권 샀다면, 지우개는 남은 만큼이니 12 − x개입니다. 미지수를 하나로 눌러 담는 이 한 걸음이 「활용」의 첫 관문입니다.
    지우개도 12개라고 두면 어떻게 될까요? 700x + 300×12 = 5600 → 700x = 2000 → x = 20/7. 권수가 분수로 나옵니다 — 말이 안 되지요. 답이 분수·음수로 나오면 「식을 잘못 세웠다」는 신호입니다.
  2. 금액을 그대로 옮긴다: 700x + 300(12 − x) = 5600.
  3. 괄호를 풀면 700x + 3600 − 300x = 5600 → 400x = 2000 → x = 5.
  4. 검산 — 700 × 5 = 3500, 300 × 7 = 2100, 합 5600 ✓ 개수도 5 + 7 = 12 ✓
"합이 정해져 있으면 반드시 빼 준다 — 나머지는 (전체 − x)."— 장대경 선생님 특강 무기② (합이 정해진 개수)
공책 5권 (지우개 7개)
※ 지우개를 그냥 12개로 두면 금액이 맞지 않는다. 강의에서 선생님이 바로 이 자리를 "여기서 잘못했다"며 고치셨다.
문제 4무기② + 도형 · 기본
가로가 세로보다 4cm 긴 직사각형의 둘레가 36cm이다. 가로와 세로의 길이를 각각 구하라.
x + 4x + 4xx둘레 36cm

풀이 — 짧은 쪽을 x로 두는 것이 편하다

  1. 세로를 xcm라 하면 가로는 x + 4cm.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 둘레는 「가로 + 세로」가 아니라 그 두 배 도형 문제에서 가장 많이 나는 실수가 (x+4) + x = 36이라 쓰는 것입니다. 둘레는 네 변을 다 도는 길이라서 가로도 두 번, 세로도 두 번 셉니다. 그림에 네 변마다 이름을 다 적어 놓으면 빠뜨릴 수가 없습니다 — 위 x+4, 아래 x+4, 왼쪽 x, 오른쪽 x. 그래서 2{(x+4) + x} = 36.
    여기서 한 걸음 더 줄일 수도 있습니다. 양변을 2로 나누면 (x+4) + x = 18 — 「가로 + 세로 = 둘레의 절반」이라는 더 쓰기 쉬운 꼴이 됩니다. 둘레 문제를 만나면 먼저 2로 나누고 시작하는 습관이 계산을 반으로 줄입니다.
  3. 2(2x + 4) = 36 → 4x + 8 = 36 → 4x = 28 → x = 7.
  4. 검산 — 세로 7, 가로 11 → 둘레 2 × (11 + 7) = 36 ✓, 차 11 − 7 = 4 ✓
가로 11cm, 세로 7cm
※ 긴 쪽을 x로 두면 세로가 x − 4가 되어 계산이 조금 번거로워진다. 짧은 쪽을 x로 두는 습관을 들이자.
문제 5무기③ 저울 + 분수 · 진가
어떤 수 x에서 5를 뺀 후 3배 한 수는, 어떤 수의 ½보다 5만큼 크다. 어떤 수를 구하라.

풀이 — 작은 쪽에 5를 더하고, 분수는 양변에 2를 곱해 없앤다

  1. 누가 작은가? ½x 쪽이 작다 → 거기에 5를 더한다 → 3(x − 5) = ½x + 5.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 2를 곱할 때 오른쪽 5에도 곱한다 분수를 없애려고 양변에 2를 곱하는 것까지는 다 합니다. 그런데 분수가 붙어 있던 ½x에만 곱하고 옆의 5는 그냥 두는 실수가 아주 많습니다. 등식은 「양변 전체」에 똑같이 곱해야 균형이 지켜집니다. 항 하나만 곱하면 저울이 기울어집니다.
    2 × [3(x−5)] = 2 × [½x + 5] → 6(x−5) = x + 10 — 5도 반드시 10이 됩니다.
    5를 그냥 두면 6x − 30 = x + 5 → x = 7이라는 틀린 답이 나옵니다. 검산해 보면 3(7−5)=6인데 7÷2+5=8.5로 안 맞습니다. 「분수를 없앨 때는 모든 항」 — 이것 하나만 붙잡으면 됩니다.
  3. 6(x − 5) = x + 10 → 6x − 30 = x + 10.
  4. 5x = 40 → x = 8.
  5. 검산 — 3 × (8 − 5) = 9, 8 ÷ 2 + 5 = 9 ✓
x = 8
※ 분수를 없앨 때는 모든 항에 곱해야 한다. 오른쪽 5에도 2를 곱해 10이 되는 것을 빠뜨리지 말자.
문제 6무기③ 저울 · 진가
서로 다른 두 자연수의 차가 6이다. 큰 수는 작은 수의 4배보다 3만큼 작다고 할 때, 두 수를 구하라.

풀이 — 작은 수를 a로 두면 큰 수는 a + 6

  1. 작은 수를 a라 하면 (차가 6이므로) 큰 수는 a + 6.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 한 문장 안에 「큰 수」와 「작다」가 같이 나온다 "큰 수는 작은 수의 4배보다 3만큼 작다" — 낱말만 보고 손이 움직이면 반드시 틀립니다. 여기서 「큰 수」는 이름일 뿐이고, 지금 비교되고 있는 두 덩어리는 a+6과 4a입니다. 문장이 말하는 것은 a+6 쪽이 4a보다 3만큼 가볍다는 것입니다. 그러니 무거운 4a에서 3을 덜어 내면 수평이 됩니다 → a + 6 = 4a − 3.
    같은 말을 반대로 적어도 됩니다 — 가벼운 쪽에 3을 올려서 (a+6) + 3 = 4a. 둘 다 a=3으로 같은 답이 나옵니다. 어느 쪽으로 적든, 「누가 무겁고 누가 가벼운가」를 먼저 짚는 순서는 같습니다.
  3. 6 + 3 = 4a − a → 3a = 9 → a = 3.
  4. 검산 — 두 수는 3과 9, 차 9 − 3 = 6 ✓, 4 × 3 − 3 = 9 ✓
"누가 작은지를 먼저 손으로 짚고 나서 식을 세워."— 장대경 선생님 특강 무기③ (저울)
3과 9
※ 같은 식을 작은 쪽에 더해 써도 된다: (a + 6) + 3 = 4a. 결과는 똑같다.
문제 7무기④ 나눗셈 · 진가
큰 수 a를 작은 수 b로 나누었더니 몫이 4이고 나머지가 3이었다. 두 수의 합이 48일 때 두 수를 구하라.

풀이 — 나눗셈은 곱해서 되돌린다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 나눗셈을 곱셈 한 줄로 되돌리기 a ÷ b = 4 … 3이라는 말을 그대로 두면 식으로 쓸 수가 없습니다. 나눗셈은 반드시 곱셈 꼴로 되돌려 놓아야 방정식이 됩니다. (나누는 수) × (몫) + (나머지) = (나누어지는 수) → b × 4 + 3 = a, 곧 a = 4b + 3.
    숫자로 확인해 보면 규칙이 몸에 붙습니다 — 17 ÷ 5 = 3 … 2이고 정말로 5 × 3 + 2 = 17입니다 ✓
    이렇게 식이 하나 서고, 「합이 48」에서 a = 48 − b가 또 하나 서면 미지수는 둘인데 식도 둘이라 풀립니다.
  2. 합이 48이므로 a = 48 − b. 두 식을 잇는다: 48 − b = 4b + 3 → 45 = 5b → b = 9.
  3. a = 48 − 9 = 39.
  4. 검산 — 39 ÷ 9 = 4 … 3 ✓, 39 + 9 = 48 ✓, 나머지 3 < 나누는 수 9 ✓
큰 수 39, 작은 수 9
※ 나머지는 반드시 나누는 수보다 작아야 한다. 답을 구한 뒤 이것까지 확인하면 실수를 잡을 수 있다.
문제 8잘못 계산 + 무기③ · 진가
어떤 수의 4배에서 3을 빼야 할 것을, 잘못하여 어떤 수에 4를 더한 뒤 3배 했더니 바르게 구한 수보다 5만큼 커졌다. 바르게 구한 수를 구하라.

풀이 — 두 식을 각각 적고, 작은 쪽에 5를 더한다

  1. 어떤 수를 x라 하자. 바른 것 4x − 3, 잘못한 것 3(x + 4).
  2. "잘못한 것이 5만큼 크다" → 작은 쪽인 바른 값에 5를 더한다: 3(x + 4) = (4x − 3) + 5 → 3x + 12 = 4x + 2 → x = 10.
  3. ⭐ 여기가 고비 — x = 10은 답이 아니다 식도 맞고 계산도 맞았는데 0점이 되는 자리가 바로 여기입니다. 우리가 x라고 이름 붙인 것은 "어떤 수"이고, 문제가 물은 것은 "바르게 구한 수"입니다. 둘은 다른 것입니다. 그러니 한 걸음이 더 남아 있습니다 — 4x − 3에 x=10을 넣어 4 × 10 − 3 = 37.
    「내가 x라고 부른 것」과 「문제가 물은 것」이 같은지를 답을 쓰기 직전에 한 번 대 보는 것, 이것이 활용 문제의 마지막 관문입니다. 구한 값에 이름을 붙여 읽어 보면 걸러집니다 — "어떤 수는 10이다. 그런데 물은 것은?"
  4. 검산 — 잘못한 값 3 × (10 + 4) = 42, 42 − 37 = 5 ✓
바르게 구한 수 = 37
※ x = 10에서 멈추면 오답이다. 문제가 무엇을 물었는지 마지막에 반드시 다시 읽자.
문제 9무기⑤ 연속하는 수 · 기본
연속하는 세 자연수의 합이 87이다. 세 수를 구하라.
+1+1x − 1xx + 1

풀이 — 가운데를 x로 두면 ±1이 서로 지워진다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 가운데를 x로 두나 맨 앞을 x로 두어도 답은 나옵니다. 그런데 가운데를 x로 두면 계산이 통째로 사라집니다. · 가운데를 x로 : (x−1) + x + (x+1) — −1과 +1이 서로 지워져 곧장 3x = 87. 나누기 한 번으로 끝입니다.
    · 맨 앞을 x로 : x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3 = 87 — 3을 넘기는 걸음이 하나 더 듭니다.
    세 수든 다섯 수든, 가운데를 x로 두면 양옆이 짝을 지어 서로 지워집니다. 짝수·홀수일 때는 ±1이 아니라 ±2가 된다는 것만 갈아 끼우면 그대로 씁니다.
  2. 합: (x − 1) + x + (x + 1) = 3x = 87 → x = 29 → 세 수는 28, 29, 30.
  3. 검산 — 28 + 29 + 30 = 87 ✓
"맨 앞을 x로 두면 식이 길어져. 가운데를 x로 두는 것이 훨씬 빠르다."— 장대경 선생님 특강 무기⑤ (연속하는 수)
28, 29, 30
※ 맨 앞을 x로 두면 x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3 = 87이 되어 한 걸음이 더 든다. 가운데를 x로.
문제 10무기⑥ 자리값 + 무기③ · 진가
각 자리 숫자의 합이 11인 두 자리 자연수가 있다. 십의 자리와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 27만큼 크다고 한다. 처음 수를 구하라.
a11 − a십의 자리일의 자리처음 수 = 10a + (11 − a)

풀이 — 자리값으로 쓰고, 작은 쪽에 27을 더한다

  1. 십의 자리를 a라 하면 합이 11이므로 일의 자리는 11 − a.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 두 숫자를 나란히 붙여 쓰면 안 된다 십의 자리가 a, 일의 자리가 11−a라고 해서 그 수를 a(11−a)처럼 붙여 쓰거나 곱해 버리면 이 문제는 그 자리에서 끝납니다. 수는 자리값으로 만들어집니다. 47이 무엇인지 뜯어보면 47 = 10×4 + 7입니다. 그러니 십의 자리 a, 일의 자리 b인 두 자리 수는 10a + b입니다.
    · 처음 수 = 10a + (11−a) = 9a + 11
    · 바꾼 수는 두 자리를 맞바꾼 것이므로 = 10(11−a) + a = 110 − 9a
    이 두 줄만 정확히 세우면 나머지는 문제 1과 똑같은 저울입니다 — 작은 쪽(처음 수)에 27을 더합니다.
  3. "바꾼 수가 27만큼 크다" → 작은 쪽인 처음 수에 27을 더한다:
    110 − 9a = (9a + 11) + 27 = 9a + 38.
  4. 110 − 38 = 9a + 9a → 18a = 72 → a = 4.
  5. 처음 수 = 9 × 4 + 11 = 47.
  6. 검산 — 4 + 7 = 11 ✓, 바꾼 수 74, 74 − 47 = 27 ✓
"두 숫자를 그냥 나란히 붙여 쓰면 안 돼. 반드시 자리값으로 푼다."— 장대경 선생님 특강 무기⑥ (두 자리 수 = 10a + b)
처음 수 = 47
※ 두 자리 수를 「a11−a」처럼 붙여 쓰면 절대 안 된다. 반드시 10 × (십의 자리) + (일의 자리).

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"말을 그대로 식으로" 하나로 부등식·연립방정식·이차방정식·경우 나누기까지

오늘 익힌 모르는 것에 이름 붙이기 · 작은 쪽에 더하기 · 자리값 · 가운데를 x로는 학년이 올라가도 그대로 쓰입니다. 바뀌는 것은 식의 종류뿐이에요.

① 중1 · "이상·이하"가 나오면 등호를 부등호로 바꾼다
중1 · 일차부등식
"딱 얼마"가 아니라 "얼마 이하로"라고 물으면 = 자리에 ≤를 넣습니다. 세우는 방법은 완전히 똑같아요. 다만 양변을 음수로 나누면 부등호가 뒤집힌다는 것만 더 챙기면 됩니다.
② 중2 · 모르는 것이 둘이면 x, y 두 개로 (연립방정식)
중2 · 연립일차방정식
중1에서는 "합이 20개"를 20 − x로 눌러 담았지만, 중2에서는 x + y = 20이라고 솔직하게 한 줄 더 쓰면 됩니다. 식이 두 개면 미지수도 두 개 — 오히려 읽은 그대로라 쉬워요.
③ 중2 · 답이 하나면 방정식, 관계면 함수
중2 · 일차함수
"물이 몇 분 뒤에 30L가 되나"는 방정식이지만, "x분 뒤의 물의 양"을 물으면 y = ax + b라는 일차함수가 됩니다. 같은 상황을 한 점으로 보느냐, 전체 흐름으로 보느냐의 차이예요.
④ 중3 · 곱·넓이가 나오면 x가 두 번 곱해진다
중3 · 이차방정식의 활용
"연속하는 두 수의 곱", "가로 × 세로 넓이"처럼 x끼리 곱해지면 이차방정식이 됩니다. 그런데 모르는 것에 이름 붙이는 첫 걸음은 똑같아요. 다만 답이 둘 나오므로 자연수·길이 조건으로 하나를 버려야 합니다.
⑤ 고1 · 조건이 갈리면 경우를 나눈다
고1 · 절댓값·부호가 있는 방정식
절댓값 |2x − 6|처럼 안이 양수냐 음수냐에 따라 뜻이 달라지는 식은, 두 경우로 나누어 각각 일차방정식으로 풀고 마지막에 조건에 맞는 답만 남깁니다. 결국 오늘의 일차방정식이 그대로 쓰여요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"모르는 것에 이름을 붙이고 말을 그대로 옮긴다" 하나로 부등식·연립방정식·이차방정식·절댓값까지. 학년별 문제!

도전 · 중1연속하는 세 홀수 + 저울
연속하는 세 홀수에서, 가장 큰 수의 3배는 나머지 두 수의 합보다 21만큼 크다. 세 홀수를 구하라.

풀이 — 홀수도 2씩! 가운데를 x로

  1. ⭐ 여기가 고비 — 홀수인데 왜 ±1이 아니라 ±2인가 강의에서 선생님이 x+1, x−1로 쓰셨다가 "여기서 잘못했다"며 바로 고치신 자리입니다. 「연속」이라는 말에 손이 자동으로 1씩 움직입니다. 그런데 연속하는 홀수는 1씩이 아니라 2씩입니다. 실제로 세어 보면 바로 보입니다 — 11, 13, 15. 사이가 2씩이지요. (11 다음 수인 12는 짝수라 건너뜁니다.)
    · 연속하는 자연수 → x−1, x, x+1
    · 연속하는 홀수·짝수 → x−2, x, x+2
    가운데를 x로 두는 것은 똑같고, 간격만 갈아 끼웁니다. 다 풀고 나서 세 수가 정말 홀수인지 눈으로 확인하는 것이 마지막 안전판입니다.
  2. 세 홀수를 x − 2, x, x + 2라 하면 가장 큰 수는 x + 2, 나머지 두 수의 합은 (x − 2) + x = 2x − 2.
  3. 작은 쪽에 21을 더한다: 3(x + 2) = (2x − 2) + 21.
  4. 3x + 6 = 2x + 19 → x = 13 → 세 홀수는 11, 13, 15.
  5. 검산 — 3 × 15 = 45, 11 + 13 = 24, 24 + 21 = 45 ✓ 세 수 모두 홀수 ✓
11, 13, 15
도전 · 중1자리값 + 배수 조건
십의 자리 숫자가 일의 자리 숫자의 2배인 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수는 각 자리 숫자의 합의 6배보다 3만큼 크다. 이 자연수를 구하라.

풀이 — 일의 자리를 b로 두면 십의 자리는 2b

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「2배인 쪽」이 아니라 「배 당하는 쪽」을 문자로 둔다 "십의 자리가 일의 자리의 2배"를 읽고 눈에 먼저 들어온 십의 자리를 a로 두면 일의 자리가 a ÷ 2가 되어 분수가 끼어듭니다. 기준이 되는 쪽(배 당하는 쪽)을 문자로 두면 나머지가 곱셈으로 깨끗하게 나옵니다. 일의 자리를 b로 두면 십의 자리는 2b — 분수가 없습니다.
    그러면 그 수는 10 × 2b + b = 21b로 아주 짧아지고, 각 자리 숫자의 합도 2b + b = 3b로 단정해집니다.
    「A는 B의 몇 배」라는 문장에서는 언제나 B를 문자로 — 이 습관 하나로 분수를 피합니다.
  2. 자연수 = 10 × 2b + b = 21b. 각 자리 숫자의 합 = 2b + b = 3b.
  3. 작은 쪽인 6 × 3b에 3을 더한다: 21b = 18b + 3.
  4. 3b = 3 → b = 1 → 자연수는 21.
  5. 검산 — 21의 십의 자리 2 = 2 × 1 ✓, 합 2 + 1 = 3, 3 × 6 + 3 = 21 ✓
21
※ 십의 자리를 a로 두면 일의 자리가 a ÷ 2가 되어 분수가 생긴다. 배수 관계에서는 「배 당하는 쪽」을 문자로 두자.
도전 · 중2연립방정식으로 다시 쓰기
어른과 어린이가 모두 14명 미술관에 갔다. 입장료가 어른은 3000원, 어린이는 1500원이고 모두 33000원을 냈다. 어른은 몇 명인가? (연립방정식으로도 세워 보라.)

풀이 — 중1 방식과 중2 방식이 결국 같다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 방식이 「다른 방법」이 아니라 같은 것을 두 가지로 적은 것 중1 방식과 중2 방식을 서로 다른 기술로 외우면 둘 다 흔들립니다. 실은 완전히 같은 식입니다. 중2 방식의 첫 줄 x + y = 14를 y에 대해 풀면 y = 14 − x. 이것을 둘째 줄에 그대로 대입하면 3000x + 1500(14 − x) = 33000 — 중1 방식의 식 그 자체가 됩니다.
    중1은 「나머지를 14−x로 눌러 담아」 미지수를 하나로 줄인 것이고, 중2는 「솔직하게 한 줄 더 써서」 미지수를 둘로 둔 것입니다.
    줄여 쓰면 식이 하나, 솔직하게 쓰면 식이 둘 — 어느 쪽이든 답은 같습니다.
  2. 중1 방식 — 어른 x명이면 어린이는 14 − x명.
    3000x + 1500(14 − x) = 33000 → 1500x + 21000 = 33000 → 1500x = 12000 → x = 8.
  3. 중2 방식 — 어른 x명, 어린이 y명으로 두 줄:
    x + y = 14  /  3000x + 1500y = 33000.
    아래 식을 1500으로 나누면 2x + y = 22. 두 식을 빼면 x = 8.
  4. 검산 — 어른 8명 × 3000 = 24000, 어린이 6명 × 1500 = 9000, 합 33000 ✓ 인원 8 + 6 = 14 ✓
어른 8명 (어린이 6명)
※ y = 14 − x를 대입하면 중2 방식이 그대로 중1 방식이 된다. 같은 생각을 두 가지로 적은 것일 뿐이다.
도전 · 중1~중2등호를 부등호로 — 일차부등식
한 개에 800원인 과자를 몇 개 사고, 1000원짜리 상자에 담으려 한다. 전체 금액이 9000원을 넘지 않게 하려면 과자를 최대 몇 개까지 살 수 있는가?

풀이 — 세우는 방법은 방정식과 똑같고, = 자리에 ≤ 만 넣는다

  1. 과자를 x개라 하면 전체 금액은 800x + 1000원.
  2. "9000원을 넘지 않는다" → 800x + 1000 ≤ 9000 → 800x ≤ 8000 → x ≤ 10.
  3. ⭐ 여기가 고비 — x ≤ 10은 아직 답이 아니다 방정식은 x = 10이 곧 답이지만, 부등식은 답이 「범위」로 나옵니다. 그 범위에서 문제가 실제로 물은 하나를 골라내는 걸음이 남아 있습니다. 문제는 "최대 몇 개"를 물었습니다. x ≤ 10 안의 수 가운데 가장 큰 것이면서 개수로 말이 되는 것은 10입니다.
    개수·사람 수·횟수는 자연수라는 숨은 조건이 늘 붙어 있습니다. 만약 x ≤ 10.6처럼 나왔다면 답은 10.6이 아니라 10입니다.
    양 끝을 넣어 확인하는 것이 가장 확실합니다 — 10개면 딱 9000원(넘지 않음 ✓), 11개면 9800원(넘음 ✗).
  4. 검산 — 10개면 800 × 10 + 1000 = 9000 (딱 넘지 않음) ✓, 11개면 9800 > 9000 ✗
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 상자값 1000원을 빠뜨리면 800x ≤ 9000 → x ≤ 11.25 → "최대 11개". 11개를 실제로 사 보면 800 × 11 + 1000 = 9800원 — 9000원을 넘습니다. → 「한 번만 드는 값」(상자·배송비·기본요금)은 개수와 상관없이 따로 한 번 더해 줍니다.
최대 10개
※ "넘지 않는다 = 이하 ≤", "초과 = >". 낱말 하나로 부등호가 달라지니 문제를 똑바로 읽자.
도전 · 중3곱이 나오면 이차방정식
연속하는 두 자연수의 곱이 156이다. 두 수를 구하라.

풀이 — 이름 붙이는 첫 걸음은 똑같다. x가 두 번 곱해질 뿐

  1. 작은 수를 x라 하면 다음 수는 x + 1 → x(x + 1) = 156 → x² + x − 156 = 0.
  2. 156을 두 수의 곱으로 갈라 합이 1이 되게: 13 × 12 = 156, 13 − 12 = 1 → (x + 13)(x − 12) = 0.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 답이 둘 나오면 하나를 버려야 한다 일차방정식에는 없던 마지막 한 걸음이 여기서 생깁니다. x = −13과 x = 12 둘 다 식은 만족시킵니다 — 실제로 (−13) × (−12) = 156으로 곱도 맞습니다. 그런데 문제가 "두 자연수"라고 못 박았습니다. −13은 자연수가 아니므로 버립니다.
    「식을 만족한다」와 「문제의 답이다」는 다릅니다. 식은 숫자만 보지만, 문제에는 자연수·길이는 양수·사람 수는 정수 같은 조건이 숨어 있습니다.
    이차방정식 활용에서는 답을 구한 뒤 반드시 「말이 되는가」를 한 번 대 봅니다. 이 걸음을 빼먹어 감점되는 일이 이 단원에서 가장 많습니다.
  4. 검산 — 12 × 13 = 156 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「연속하는 두 수」를 x와 x로 두면 "두 수의 곱이 156이니까" 하고 x × x = 156이라 써 보자. x² = 156에서 x = √156 ≈ 12.49 — 자연수가 아닙니다. 「연속하는」이라는 말을 식에 담지 않은 것이 잘못입니다. 두 수는 1만큼 차이가 납니다. → x와 x+1로 두어야 「연속」이 식 안에 들어갑니다. (다만 12.49가 12와 13 사이라는 것은 답을 짐작하는 데는 쓸 만합니다.)
12와 13
※ 이차방정식은 답이 둘 나온다. 문제의 조건(자연수·길이는 양수)으로 하나를 반드시 버려야 한다 — 일차방정식에는 없던 마지막 걸음.
도전 · 고1절댓값 — 경우를 나눈다
방정식 |2x − 6| = x의 해를 모두 구하라.

풀이 — 절댓값 안의 부호로 두 경우, 각각은 그냥 일차방정식

  1. ⭐ 여기가 고비 — 나눈 조건으로 되돌아가 확인해야 끝난다 절댓값을 두 경우로 벗기는 것까지는 배운 대로 합니다. 갈리는 곳은 그다음 — 각 경우에서 나온 답이 「그 경우의 조건」을 만족하는지 되돌려 보는 걸음입니다. 경우를 나눈다는 것은 「x ≥ 3인 세상에서만 이 식이 옳다」고 약속한 것입니다. 그 세상에서 나온 답이 정작 그 세상 밖의 수라면 가짜 해라 버려야 합니다.
    · 경우 1 (x ≥ 3) → x = 6. 6은 3 이상 ✓ 살아남습니다.
    · 경우 2 (x < 3) → x = 2. 2는 3보다 작다 ✓ 살아남습니다.
    이번에는 둘 다 살아남았지만, 죽는 경우가 더 흔합니다. 예를 들어 경우 1에서 x = 1이 나왔다면 1 ≥ 3이 거짓이라 버려야 합니다. 「풀고 → 조건에 대 보고 → 살릴지 버릴지」가 한 묶음입니다.
  2. [경우 1] 2x − 6 ≥ 0 즉 x ≥ 3일 때 → 2x − 6 = x → x = 6.
    조건 6 ≥ 3 ✓ — 해가 된다.
  3. [경우 2] 2x − 6 < 0 즉 x < 3일 때 → −(2x − 6) = x → 6 − 2x = x → 3x = 6 → x = 2.
    조건 2 < 3 ✓ — 해가 된다.
  4. 검산 — |2 × 6 − 6| = |6| = 6 ✓   |2 × 2 − 6| = |−2| = 2 ✓
x = 2 또는 x = 6
※ 절댓값은 왼쪽이 항상 0 이상이므로 오른쪽 x도 0 이상이어야 한다. 나눈 뒤 조건에 맞는지 반드시 되돌려 확인하는 것이 핵심이다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로