⭐ 여기가 고비 — y축 이동은 왜 부호가 안 뒤집히나
규칙은 y 대신 y−q를 넣는 것입니다. 그런데 결과를 보면 −3이 그대로 붙었습니다.
x축 이동에서는 부호가 뒤집히는데(문제 2) 여기서는 왜 안 뒤집힐까요.
규칙대로 q = −3을 넣으면 y − (−3) = 2x², 곧 y + 3 = 2x²입니다.
여기서 3을 오른쪽으로 넘기는 순간y = 2x² − 3이 되어 부호가 한 번 더 뒤집혀 원래대로 돌아옵니다. x는 왼쪽에 갇혀 있어 뒤집힌 채로 남고, y만 이항할 수 있어 도로 펴집니다.
그래서 y축 이동만 「본 대로」인 것이고, 이 비대칭이 이 단원 실수의 절반을 만듭니다.
y=2x²−3. 꼭짓점은 (0,−3) — 위아래로만 움직였으니 x좌표는 그대로 0.
"y=ax²+q는 y=ax²을 y축 방향으로 q만큼 이동, 꼭짓점 (0,q)."— 장대경 선생님 특강 무기① (y축 방향 이동)
⭐ 여기가 고비 — 오른쪽으로 2 갔는데 식에는 (x−2)+2 갔으니 (x+2)가 가장 흔한 실수입니다. x 쪽은 언제나 반대 부호가 들어갑니다.
까닭 : 옮긴 그래프 위의 점 (x, y)를 왼쪽으로 2 도로 밀면 원래 그래프 위의 점 (x−2, y)가 됩니다.
그러니 x 자리에 x−2를 넣어야 옛 식으로 돌아갑니다. 헷갈리면 꼭짓점으로 1초 만에 확인합니다.y=−3x²의 꼭짓점 (0,0)이
오른쪽 2로 가면 (2, 0)이어야 합니다.
y=−3(x−2)²은 x=2일 때 0이 되니 꼭짓점이 (2,0) ✓
((x+2)²이면 꼭짓점이 (−2,0)으로 왼쪽이라 어긋납니다.)
y=−3(x−2)². 꼭짓점은 (2,0). (a=−3 그대로라 모양·볼록한 방향은 안 변함.)
"y=a(x−p)²는 y=ax²을 x축 방향으로 p만큼 이동, 꼭짓점 (p,0)."— 장대경 선생님 특강 무기② (x축 방향 이동)
y=−3(x−2)², 꼭짓점 (2,0)
문제 3동시 이동
이차함수 y=(1/2)x²의 그래프를 x축의 방향으로 4, y축의 방향으로 −2만큼 평행이동한 그래프의 식과 꼭짓점의 좌표를 구하라.
풀이 — 두 이동을 한꺼번에
⭐ 여기가 고비 — 한 식 안에서 부호가 서로 다르게 들어간다
x축으로 +4, y축으로 −2. 두 이동량의 부호가 식에서 서로 다르게 나타나는 것이 고비입니다.
· x는 뒤집혀 들어갑니다 → (x − 4) (오른쪽 4인데 식에는 −4)
· y는 본 대로 붙습니다 → − 2 (아래 2, 식에도 −2)
그래서 y = ½(x−4)² − 2. 다 쓰고 나서 꼭짓점이 (4, −2)인지만 보면 부호를 틀렸는지 즉시 드러납니다 —
꼭짓점의 두 수가 곧 이동량이니까요. 여기서는 문제가 준 4·−2와 정확히 같습니다 ✓
⭐ 여기가 고비 — 축은 왜 x=3이라 쓰나 (숫자 3이 아니라)
꼭짓점 (3,1)은 대개 맞힙니다. 점수가 깎이는 곳은 축을 「3」이라고만 적는 자리입니다.
축은 점이 아니라 「선」이라 반드시 방정식 꼴로 써야 합니다.
축은 포물선을 좌우로 접었을 때 딱 겹치는 세로선입니다.
그 선 위의 점은 y가 무엇이든 x좌표가 늘 3 — (3,0), (3,1), (3,100) …
그래서 그 선을 나타내는 식이 x = 3입니다. 축은 언제나 꼭짓점의 x좌표를 지나는 세로선이므로, 꼭짓점을 구하면 축은 덤으로 따라옵니다.
(x축 방향으로 그래프가 움직이면 축도 함께 움직입니다.)
y=(x−3)²+1 → 꼭짓점 (3,1), 축의 방정식 x=3.
"그래프가 x축 방향으로 이동하면 축의 방정식도 x=−1에서 x=3으로, 꼭짓점도 (−1,0)에서 (3,0)으로 같이 움직여."— 장대경 선생님 특강 예제② (축의 방정식)
꼭짓점 (3,1), x=3
문제 5지나는 점 · 진가
이차함수 y=−2(x+1)²의 그래프가 점 (k,−8)을 지날 때, k의 값을 모두 구하라.
풀이 — 점의 좌표를 식에 대입
점 (k, −8)을 대입: −8 = −2(k+1)² → (k+1)² = 4.
⭐ 여기가 고비 — 제곱을 벗길 때 답이 둘이 된다(k+1)² = 4에서 k+1 = 2만 쓰고 끝내는 것이 이 문제의 함정입니다.
문제가 "k의 값을 모두"라고 못 박은 까닭이 바로 이것입니다.
제곱해서 4가 되는 수는 2와 −2둘입니다 →
k+1 = ±2.
· k+1 = 2 → k = 1
· k+1 = −2 → k = −3 그림으로 보면 당연합니다. 포물선의 축은 x=−1이고,
높이 −8인 가로선은 포물선을 축의 좌우로 하나씩, 두 곳에서 자릅니다.
1과 −3은 축 −1에서 똑같이 2만큼 떨어진 짝입니다 ✓
k=1 또는 k=−3. 검산: k=−3이면 −2(−2)² = −8 ✓
"그래프가 지나는 점을 식에 대입하면 미지수가 나와."— 장대경 선생님 특강 무기④ (지나는 점)
k = 1 또는 −3
문제 6그래프의 성질
이차함수 y=−4x²의 그래프를 평행이동해도 변하지 않는 것을 모두 고르라. ① 그래프의 모양 ② 그래프가 볼록한 방향 ③ 꼭짓점의 위치 ④ 축의 방정식
풀이 — a가 손대지 않은 것은 다 그대로다
⭐ 여기가 고비 — 무엇이 「모양」이고 무엇이 「위치」인가
네 보기를 두 무더기로 가르는 것이 전부입니다. 가르는 잣대는 딱 하나 —
그것이 a가 정하는 것인가, 아니면 p·q가 정하는 것인가.평행이동은 a를 건드리지 않고 p·q만 바꾸는 일입니다.
· a가 정하는 것 → 안 변한다 : ① 모양(폭), ② 볼록한 방향
· p·q가 정하는 것 → 변한다 : ③ 꼭짓점의 위치, ④ 축의 방정식 「도장을 밀어 다시 찍는다」는 말이 이 표를 그대로 담고 있습니다 —
도장(모양)은 하나도 안 바뀌고 찍히는 자리만 옮겨 갑니다.
따라서 안 변하는 것은 ① 모양과 ② 볼록한 방향.
"도장을 스윽 밀어서 다시 찍으면, 모양은 똑같고 위치만 달라져."— 장대경 선생님 특강 🐣 먼저 쉽게
① , ②
문제 7역방향 추론
이차함수 y=3x²의 그래프를 평행이동했더니 y=3(x+2)²−5가 되었다. x축, y축 방향으로 각각 얼마만큼 이동했는지 구하라.
풀이 — 식을 「표준 꼴」로 다시 써 놓고 읽는다
⭐ 여기가 고비 — (x+2)를 억지로 (x−(−2))로 고쳐 쓴다
거꾸로 읽는 문제라 부호를 두 번 헷갈립니다.(x+2)를 보고 "오른쪽 2"라고 읽으면 틀립니다.
안전한 방법은 하나뿐 — 표준 꼴 y = a(x − p)² + q와 글자 하나까지 똑같이 맞춰 쓰는 것입니다.
y = 3(x + 2)² − 5를 억지로 표준 꼴에 맞추면 y = 3(x − (−2))² + (−5)
이제 p와 q 자리를 눈으로 그냥 읽습니다 → p = −2, q = −5. 고쳐 쓰지 않고 눈으로 뒤집으려 하면 반드시 어느 한쪽을 놓칩니다.
꼭짓점으로도 확인됩니다 — y=3x²의 꼭짓점 (0,0)이
(−2, −5)로 갔으니 이동량이 그대로 (−2, −5) ✓
x축 방향 −2만큼(왼쪽으로 2), y축 방향 −5만큼(아래로 5) 이동.
x축 −2, y축 −5
문제 8그래프 비교
이차함수 y=5(x−1)²+2의 그래프는 y=5x²의 그래프보다 폭이 어떠한지 설명하라.
풀이 — 폭을 정하는 것은 오직 a 하나
⭐ 여기가 고비 — 「+2만큼 올라갔으니 더 좁아 보인다」는 착각
그림을 떠올리면 위로 올라간 포물선이 더 좁아 보이는 착시가 납니다. 하지만 폭은 a 하나만이 정합니다.
폭을 정확히 재는 방법으로 확인해 봅니다 — 꼭짓점에서 위로 5만큼 올라간 높이에서 그래프의 가로 너비를 재 보면
· y=5x² : 5x²=5 → x=±1 → 너비 2
· y=5(x−1)²+2 : 5(x−1)²=5 → x−1=±1 → 너비 2 같습니다. 두 식 모두 a=5이기 때문입니다. a가 클수록 좁고, a가 작을수록 넓다 — 폭 이야기가 나오면 p·q는 아예 보지 않습니다.
이차항의 계수 a=5로 같으므로 폭은 같다(모양은 그대로, 위치만 이동).
폭이 같다
문제 9증가·감소
이차함수 y=(x+2)²−1에서 x<−2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 어떻게 변하는지 구하라.
풀이 — 축을 경계로 증가·감소가 뒤집힌다
꼭짓점 (−2,−1), a=1>0이라 아래로 볼록(그릇 모양). 축은 x=−2.
⭐ 여기가 고비 — 문제가 준 x<−2가 축의 「어느 쪽」인가
이차함수는 일차함수와 달리 한 함수 안에서 증가와 감소가 둘 다 있습니다.
그래서 축을 먼저 찾고, 준 구간이 축의 왼쪽인지 오른쪽인지를 대는 것이 이 문제의 전부입니다.
아래로 볼록한 그릇을 왼쪽부터 오른쪽으로 훑어 가면 —
· 축 왼쪽(x < −2) : 미끄럼틀을 내려가듯 y가 줄어듭니다 → 감소
· 축(x = −2) : 바닥, 가장 낮은 y=−1
· 축 오른쪽 : 다시 올라갑니다 → 증가
문제가 준 것은 x<−2, 곧 왼쪽이므로 감소.
위로 볼록(a<0)이었다면 정확히 반대가 됩니다 — 그래서 a의 부호부터 보는 것입니다.
이차함수 y=a(x−p)²+q의 그래프의 꼭짓점이 (2,−3)이고 점 (4,5)를 지날 때, a의 값을 구하라.
풀이 — 꼭짓점으로 p,q 확정 후 점 대입
⭐ 여기가 고비 — 미지수 셋인데 조건은 둘, 그런데도 풀린다y=a(x−p)²+q에는 모르는 글자가 a·p·q 셋입니다. 조건은 꼭짓점 하나와 점 하나뿐이라
모자라 보입니다. 여기서 순서가 전부입니다.
꼭짓점 조건은 식 하나가 아니라 두 글자를 한꺼번에 정해 줍니다 —
표준 꼴에서 꼭짓점이 곧 (p, q)이므로 p=2, q=−3이 즉시 확정됩니다.
그래서 식이 y = a(x−2)² − 3으로 줄고 남은 미지수는 a 하나.
그다음 지나는 점 (4,5)를 넣으면 미지수 하나짜리 방정식이 되어 그냥 풀립니다. 거꾸로 하면(점부터 대입) 미지수 셋이 뒤엉킨 식이 되어 못 풉니다.꼭짓점 먼저, 점은 나중.
평행이동에서 익힌 "모양은 그대로, 위치만 옮긴다"는 눈이, 학년이 올라가면 함수의 최댓값·최솟값과 도형의 이동으로 그대로 이어집니다.
① 공통수학1 · 이차함수의 최댓값·최솟값
공통수학1 · 이차함수
꼭짓점의 y좌표가 바로 최댓값 또는 최솟값이에요. 오늘 배운 꼭짓점 찾기가 최적화 문제의 첫걸음이에요.
② 공통수학2 · 도형의 평행이동
공통수학2 · 도형의 방정식
원·직선 등 모든 도형의 평행이동은 x 대신 x−p, y 대신 y−q를 대입하는 오늘의 원리와 완전히 같아요.
③ 물리학 · 파동의 이동
물리학
파동이 시간에 따라 이동하는 그래프는 평행이동으로 표현돼요. 오늘의 원리가 파동 함수 해석의 기초예요.
④ 컴퓨터그래픽스 · 오브젝트 이동(translate)
컴퓨터공학
게임·애니메이션에서 물체를 화면 위에서 이동시키는 translate 연산이 바로 이 평행이동 원리예요.
⑤ 건축·설계 · 반복 패턴 배치
건축·디자인
같은 모양의 구조물을 일정 간격으로 반복 배치하는 설계는 평행이동의 반복 적용이에요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"모양은 그대로, 위치만 옮긴다" 하나로 최댓값·도형이동까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 공통수학최댓값·최솟값
이차함수 y=−2(x−1)²+5의 최댓값을 구하라.
풀이 — 꼭짓점의 y좌표
⭐ 여기가 고비 — 꼭짓점이 최대인지 최소인지는 a가 정한다
꼭짓점 (1,5)는 눈으로 읽힙니다. 갈리는 것은 그 5가 최댓값인가 최솟값인가입니다.
y = −2(x−1)² + 5에서 (x−1)²은 무엇을 넣어도 0 이상입니다.
여기에 음수 −2를 곱하면 언제나 0 이하가 되지요.
그러니 y = 5 + (0 이하인 것) → y는 절대로 5를 넘지 못합니다.
5는 x=1일 때 딱 한 번 닿는 천장 — 곧 최댓값입니다. a가 양수였다면 같은 논리로 5가 바닥(최솟값)이 됩니다.
a의 부호 하나가 「천장이냐 바닥이냐」를 정합니다.
위로 볼록(a<0)이므로 꼭짓점 (1,5)에서 최댓값 5.
최댓값 5
도전 · 공통수학도형의 평행이동
원 x²+y²=9를 x축 방향으로 2, y축 방향으로 −1만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하라.
풀이 — 도형이 바뀌어도 규칙은 한 글자도 안 바뀐다
⭐ 여기가 고비 — 이번엔 y도 왼쪽에 갇혀 부호가 뒤집힌다
지금까지 y축 이동은 본 대로 붙었습니다(문제 1). 그런데 원에서는 −1만큼 내렸는데
식에 (y+1)²로 뒤집혀 들어갑니다. 여기서 대부분 멈칫합니다.
규칙 자체는 늘 같습니다 — x 대신 x−p, y 대신 y−q.
여기서 p=2, q=−1이니 (x−2)² + (y−(−1))² = 9 → (x−2)²+(y+1)²=9. 달라 보였던 까닭은 「이항」 때문입니다. 이차함수에서는 y가 y = … 꼴로 홀로 나와
넘길 수 있었기에 부호가 도로 펴졌을 뿐, 원에서는 y가 제곱 안에 갇혀 넘길 수 없어 뒤집힌 채 남습니다. 중심으로 확인하면 확실합니다 — 중심 (0,0)이 (2,−1)로 갔고,
식의 중심도 (2,−1) ✓ 반지름 3은 모양이라 안 변합니다.
(x−2)²+(y+1)²=9.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 이차함수처럼 y를 「본 대로」 두면"y축으로 −1이니까" 하고 (x−2)² + (y−1)² = 9라고 써 보자.
이 원의 중심은 (2, +1) — 내리라고 했는데 올라가 버렸습니다.→ y가 제곱 안에 갇혀 넘길 수 없을 때는 뒤집힌 채로 씁니다. 다 쓰고 중심을 한 번 읽어 확인하십시오.
(x−2)²+(y+1)²=9
도전 · 종합최적화 응용
이차함수 y=(x−3)²−4의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구하라.
풀이 — 「x축과 만난다」를 식으로 옮기면 y=0
⭐ 여기가 고비 — 두 근을 구한 뒤 「빼야」 끝난다
두 걸음이 필요한데 첫 걸음에서 멈추는 실수가 가장 많습니다.
① x축 위의 점은 y가 0이므로 (x−3)²−4 = 0으로 놓아 x=1, 5를 얻고,
② 문제가 물은 것은 「두 점 사이의 거리」이므로 빼야 합니다 → 5−1 = 4.
축으로 보면 더 빨리 보입니다. 축이 x=3이고
(x−3)²=4 → x−3=±2이니, 두 점은 축에서 좌우로 각각 2씩 떨어져 있습니다.
그러니 거리는 2+2 = 4 — 「±2」의 2가 절반이라는 것을 알면 뺄셈도 필요 없습니다.
이 「절반」 감각이 다음 학년의 근과 계수의 관계로 이어집니다.
(x−3)²=4 → x−3=±2 → x=1 또는 x=5. 거리는 5−1=4.
4
도전 · 물리파동 이동
시각 t=0에서의 파동 모양이 y=x²이고, 2초 후 오른쪽으로 3만큼 이동했다면 2초 후의 파동 함수를 구하라.
풀이 — 파동이 흘러가는 것도 평행이동
⭐ 여기가 고비 — 「2초」라는 숫자에 손대지 않는다
문제에 2초와 3 두 수가 나와서 (x−2)나
(x−6)을 쓰고 싶어집니다. 하지만 식을 바꾸는 것은 「얼마나 갔나」뿐입니다.
2초는 「언제」를 말할 뿐이고, 그동안 실제로 옮겨 간 거리는 오른쪽 3입니다.
평행이동의 식은 이동량만 먹습니다 → x 대신 x−3 → y=(x−3)².
(만약 문제가 「초당 3만큼 간다」였다면 2초에 6을 가서 y=(x−6)²이 됩니다.
「초당」이 붙었나 안 붙었나를 읽는 것이 국어의 몫입니다.)
확인 : 처음 마루가 x=0에 있었고 지금은 x=3에 있어야 하는데,
y=(x−3)²의 꼭짓점이 x=3 ✓
따라서 2초 후의 파동 함수는 y=(x−3)².
y=(x−3)²
도전 · 공학translate 연산
화면 좌표 (5,2)에 있는 물체를 x방향으로 −3, y방향으로 4만큼 translate하면 새 좌표는 무엇인가?
풀이 — 점을 옮길 때는 부호가 뒤집히지 않는다
⭐ 여기가 고비 — 여기서만은 「그냥 더한다」
앞 문제들에서 x는 늘 반대 부호였는데 여기서는 −3을 그대로 더합니다.
모순이 아닙니다 — 옮기는 대상이 다릅니다.· 식(그래프)을 옮길 때 : 식은 「어떤 점이 여기 속하나」를 묻는 조건이라,
새 점에서 이동량을 도로 빼서 옛 조건에 물어야 합니다 → 부호가 뒤집힙니다.
· 점 하나를 옮길 때 : 그냥 그만큼 걸어가는 것이니 그대로 더합니다 →
(5 + (−3), 2 + 4) = (2, 6). 「점은 더하고, 식은 뺀다」 — 이 한 줄이 컴퓨터그래픽스의 translate와 수학의 평행이동을 갈라 줍니다.
(5−3, 2+4)=(2,6).
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 점에도 「반대 부호」를 쓰면앞 문제들의 버릇대로 부호를 뒤집어 (5+3, 2−4) = (8, −2)라고 써 보자.
물체를 왼쪽으로 밀라고 했는데 오른쪽으로 갔고, 위로 올리라고 했는데 내려갔습니다. 정확히 반대입니다.
→ 점은 그냥 걸어가는 것이라 이동량을 그대로 더합니다. 뒤집는 것은 식을 고쳐 쓸 때뿐입니다.
(2, 6)
도전 · 종합꼭짓점 역산
이차함수 y=a(x−p)²+q의 그래프의 꼭짓점이 (−1,4)이고 점 (1,−4)를 지날 때, a의 값을 구하라.
풀이 — 꼭짓점 먼저, 점은 나중
꼭짓점이 (−1, 4)이므로 p=−1, q=4 → y=a(x+1)²+4.
⭐ 여기가 고비 — x−p에 p=−1을 넣으면 (x+1)
꼭짓점의 x좌표가 음수일 때 여기서 갈립니다. (x−1)이라 쓰면 그 뒤 계산이 전부 어긋납니다.
x − p에 p = −1을 넣으면 x − (−1) = x + 1.
빼기와 음수가 만나 더하기가 됩니다.
그다음 (1, −4)를 대입할 때도 괄호 안이 1+1 = 2임을 잊지 않습니다 —
−4 = a·2² + 4 → −8 = 4a → a = −2. a가 음수로 나온 것도 그림과 맞습니다 : 꼭짓점 (−1,4)보다
지나는 점 (1,−4)가 아래에 있으니 위로 볼록이어야 하니까요 ✓
검산: y=−2(x+1)²+4에 x=1 → −2·4+4=−4 ✓
a = −2
※ 이 자료는 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브 비공개 소장분)에서 방법(y축이동·x축이동·동시이동·지나는점)을 가져와, 화면 프레임 판독으로 확인 후 전수 재검산한 새 예제로 재구성한 교육 자료입니다.