이차함수 실전 완전정복
— 완전제곱식으로 바꾸면 꼭짓점이 보인다 · 연습 10제

풀이 — 「x²이 보이나」가 아니라 「전개한 뒤 x²이 남아 있나」

1. ⭐ 여기가 고비 — ③을 「x의 −1차」라고 부르면 안 된다 ①과 ②는 눈으로 바로 갈립니다. 학생이 걸리는 것은 늘 ③ y = 1/x입니다. ③은 「차수가 −1인 함수」가 아니라, 애초에 차수를 셀 수 있는 식이 아닙니다. 까닭은 x가 분모에 들어 있기 때문입니다. 다항식은 x를 곱하기만 해서 만든 식이라 x², x³처럼 0 이상의 정수 차수만 나옵니다. 나누기가 끼면 다항식 바깥으로 나갑니다. 그래서 판별 순서는 ① 분모에 x가 있나(있으면 탈락) → ② 전개해서 x²이 남나 — 이 두 걸음입니다. ③은 첫 걸음에서 이미 떨어지고, 이름은 반비례입니다.
2. ① y = 3x + 1 → 일차함수. ③ y = 1/x → 반비례(다항식 아님).
3. x²항이 남는 ②만 이차함수.

풀이 — 말로 준 상황을 반드시 「식」으로 바꿔 놓고 센다

1. ⭐ 여기가 고비 — ㄷ은 전개하기 전에는 이차인지 보이지 않는다 ㄱ·ㄴ·ㄹ은 식을 세우자마자 차수가 드러납니다. 오직 ㄷ만 곱셈 꼴이라 (x+1)(x+3)인 채로는 몇 차인지 알 수 없습니다. 여기서 「괄호가 둘이니 이차겠지」로 넘겨짚으면 다음 문제에서 반드시 미끄러집니다. 전개해 봐야 합니다 — (x+1)(x+3) = x² + 4x + 3. x²이 실제로 남았으므로 이차함수.
   왜 넘겨짚으면 안 되는가 : 만약 문제가 (x+1)(x+3) − x²이었다면 괄호는 그대로 둘이지만 전개하면 4x + 3으로 x²이 사라져 일차함수가 됩니다. 차수는 「괄호 수」가 아니라 「전개하고 정리한 뒤 남은 최고차항」이 정합니다.
2. ㄱ. 정사각형 둘레 y = 4x → 1차.
3. ㄴ. 정육면체 부피 y = x³ → 3차.
4. ㄷ. y = (x+1)(x+3) = x² + 4x + 3 → 2차.
5. ㄹ. 원의 넓이 y = πx² → 2차. (π는 상수이지 문자가 아니다.)

풀이 — 완전제곱식으로 변형

1. ⭐ 여기가 고비 — 「−9」는 어디서 튀어나온 수인가 x² − 6x를 (x−3)²으로 바꾸는 순간, 원래 식에 없던 9가 몰래 딸려 들어옵니다. 그 9를 그대로 두면 다른 함수가 되어 버립니다. 실제로 펴 보면 (x−3)² = x² − 6x + 9입니다. 우리가 원한 것은 x² − 6x뿐인데 +9가 더 붙었지요. 그래서 붙은 만큼 곧바로 빼 줍니다 — x² − 6x = (x−3)² − 9. 「더한 만큼 뺀다」 — 이 한 손동작이 완전제곱식의 전부입니다. 빼는 수 9는 언제나 (x의 계수의 절반)의 제곱이고, 여기서는 (−6 ÷ 2)² = 9입니다.
2. y = (x−3)² − 9 + 5 = (x−3)² − 4 → 꼭짓점 (3, −4).
3. 검산: x = 3을 원래 식에 넣으면 9 − 18 + 5 = −4 ✓

풀이 — 연립 후 판별식 D=0

풀이 — 표준형의 꼭짓점 y좌표

1. x²의 계수 −2를 먼저 앞으로 묶는다: y = −2(x² − 2x) + 1.
2. ⭐ 여기가 고비 — 괄호 밖으로 나올 때 「−2가 곱해져」 부호가 뒤집힌다 이 문제에서 틀리는 사람은 거의 전부 같은 한 곳에서 틀립니다. 괄호 안에서 x² − 2x = (x−1)² − 1로 1을 뺐는데, 그 −1이 괄호 밖으로 나올 때 −2가 곱해져 +2가 된다는 것을 놓칩니다. 차례대로 펴 보면 —
   y = −2[(x−1)² − 1] + 1 = −2(x−1)² + 2 + 1 = −2(x−1)² + 3
   괄호 안의 수는 밖으로 나올 때 반드시 앞의 계수를 한 번 통과합니다. 여기서 −2 × (−1) = +2. 이걸 −1인 채로 두면 답이 3이 아니라 0이 됩니다.
3. y = −2(x−1)² + 3. x²의 계수가 음수 → 위로 볼록이므로 꼭짓점이 가장 높은 자리.
4. 최댓값 3 (x = 1일 때). 검산: x=1을 원래 식에 넣으면 −2 + 4 + 1 = 3 ✓

풀이 — 연립 후 D>0

1. ⭐ 여기가 고비 — 「서로 다른 두 점」이라는 국어를 부등호로 옮기기 문제의 조건은 말로 주어졌습니다. 이것을 부등호 하나로 정확히 옮기는 것이 이 문제의 전부입니다. · 「만난다」만 있으면 접하는 경우까지 포함이라 D ≥ 0.
   · 「서로 다른 두 점에서」는 접하는 경우를 빼라는 뜻이므로 D > 0 — 등호가 빠집니다.
   · 「한 점에서만」이면 D = 0.
   「서로 다른」이라는 넉 자가 등호를 지웁니다. 이것을 놓치면 답이 k ≥ −5/4가 되어 틀립니다.
2. 연립: x²-2x+1=x+k → x²-3x+(1-k)=0.
3. D=9-4(1-k)=4k+5>0 → k>-5/4.

풀이 — 부호가 반대로 들어가는 까닭

1. ⭐ 여기가 고비 — 오른쪽으로 2 옮겼는데 왜 식에는 (x − 2)인가 +2 옮겼으니 +2를 넣자가 가장 흔한 실수입니다. 실제로는 반대 부호가 들어갑니다. 움직인 그래프 위의 점을 (x, y)라 하면, 그 점을 도로 왼쪽으로 2 밀어 놓은 점 (x−2, y)가 원래 y = x² 위에 있어야 합니다. 그러니 y = (x−2)². 「새 좌표에서 이동량을 도로 빼야 옛 그래프로 돌아간다」 — 그래서 부호가 뒤집힙니다.
   숫자로 확인해 보면 확실합니다. y=x²의 꼭짓점 (0,0)이 오른쪽 2·아래 3으로 가면 (2, −3)이어야 하는데, y=(x−2)²−3의 꼭짓점이 정확히 (2, −3)입니다 ✓ (y=(x+2)²−3이라면 꼭짓점이 (−2,−3)으로 왼쪽이 되어 어긋납니다.)
2. x 자리에 (x−2)를 넣고, y축 이동 −3은 그대로 더한다: y=(x-2)²-3.

풀이 — 합차공식

1. 두 항 다 제곱수다: 49x² = (7x)², 16 = 4² → 합차공식 A²−B²=(A−B)(A+B).
2. ⭐ 여기가 고비 — 문제가 정한 꼴 (ax+b)(ax+c)에 「끼워 맞추기」 인수분해까지는 대개 해냅니다. 갈리는 곳은 구한 결과를 문제가 정해 준 틀에 앉히는 자리입니다. 문제의 두 괄호는 x의 계수가 둘 다 똑같이 a입니다 — 그래서 a = 7로 먼저 못 박힙니다. 그러면 (7x−4)(7x+4)에서 남은 자리는 b와 c뿐이고, 값은 −4와 4입니다. 둘 중 누가 b인가? 단서는 문제 끝의 조건 b > c 하나뿐입니다 → b = 4, c = −4.
   이런 문제에서 답을 정하는 것은 계산이 아니라 「단서 한 줄」입니다. b와 c를 뒤집어 놓아도 a+b+c는 7로 같지만, b·c를 따로 물으면 그때 갈립니다.
3. a+b+c = 7 + 4 + (−4) = 7. 검산: (7x−4)(7x+4) = 49x² − 16 ✓

풀이 — 짝수 공식 D/4를 쓸 수 있는 자리

1. ⭐ 여기가 고비 — D를 통째로 쓰지 않고 D/4로 줄여도 되는 까닭 D = b² − 4ac = 16 − 4m으로 풀어도 답은 같습니다. 그런데 x의 계수가 짝수(−4)이면 절반만 쓰는 공식으로 계산이 확 짧아집니다. b = 2b′(여기서는 b′ = −2)라 두면 D = 4b′² − 4ac = 4(b′² − ac). 어차피 4가 통째로 묶여 나오므로 부호를 따지는 데는 괄호 안 b′² − ac만 보면 충분합니다 — 이것이 D/4입니다. 여기서는 D/4 = (−2)² − 1·m = 4 − m.
   「서로 다른 두 실근」 → D > 0 → D/4 > 0이므로 4 − m > 0 → m < 4. 4는 양수라 부등호 방향이 그대로입니다.
2. D/4=4-m>0 → m<4. 검산: m=0이면 x²−4x=0 → x=0, 4 — 두 실근 ✓

풀이 — 미지수를 하나로 줄이는 것이 첫 걸음

1. ⭐ 여기가 고비 — 세로를 「20 − x」가 아니라 「10 − x」로 두는 것 둘레 20을 보고 곧장 세로를 20 − x로 두면 그 뒤 계산이 전부 어긋납니다. 둘레는 가로와 세로를 각각 두 번씩 센 것이기 때문입니다. 2 × (가로 + 세로) = 20 → 먼저 2로 나눠 가로 + 세로 = 10을 얻습니다. 그래서 세로는 10 − x.
   이 한 줄로 미지수가 x 하나로 줄고, 넓이가 비로소 x만의 이차식이 되어 꼭짓점을 물을 수 있게 됩니다. (덤으로 0 < x < 10이라는 범위도 여기서 나옵니다 — x=5는 그 안 ✓)
2. 넓이 S=x(10-x)=-x²+10x=-(x-5)²+25 → 위로 볼록, 꼭짓점에서 최대.
3. 최댓값은 x=5일 때. 이때 세로도 10−5=5 → 정사각형. 넓이 25㎡.

풀이 — 부등호 방향은 그래프가 알려 준다

1. 인수분해: x²−5x+6 = (x−2)(x−3). 두 근은 2와 3.
2. ⭐ 여기가 고비 — 답이 「사이」인지 「바깥」인지 두 근 2, 3까지는 다들 구합니다. 갈리는 것은 답이 2<x<3인가 x<2 또는 x>3인가입니다. 외우려 들면 반드시 뒤집힙니다 — 포물선을 한 번 그리면 끝납니다. y=(x−2)(x−3)은 x²의 계수가 양수라 아래로 볼록, x축을 2와 3에서 뚫습니다. 그리면 가운데가 푹 꺼져 x축 아래에 있고, 양 바깥은 x축 위로 솟습니다.
   문제는 < 0, 곧 「그래프가 x축 아래인 구간」을 묻고 있으므로 답은 가운데 — 2 < x < 3. 부등호가 >0이었다면 바깥 두 조각이 답이 됩니다.
3. 따라서 2<x<3. 검산: x=2.5이면 (0.5)(−0.5)=−0.25<0 ✓

풀이 — 「항상 양수」 = 그래프가 x축에 닿지도 않는다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「모든 실수에서 >0」이라는 말을 그림으로 옮기기 이 문제는 계산이 두 줄뿐이고, 말을 그림으로 바꾸는 첫 걸음이 전부입니다. y = x² − 2x + k는 x²의 계수가 양수라 아래로 볼록 — 그릇 모양입니다. 그릇이 어디서도 0 이하가 되지 않으려면 그릇 전체가 x축 위로 완전히 떠 있어야 합니다. 곧 x축과 만나는 점이 하나도 없다는 뜻이고, 그것이 D < 0입니다.
   같은 말을 꼭짓점으로 해도 됩니다 — y=(x−1)²+k−1이므로 최솟값이 k−1, 이것이 > 0이어야 하니 역시 k > 1 ✓ (두 길이 같은 답)
2. D/4 = 1 − k < 0 → k > 1. (통째로 써도 4-4k<0 → k>1로 같다.)

풀이 — 구간이 붙으면 꼭짓점이 그 안에 있는지부터 본다

1. 표준형으로: y = x²−4x+7 = (x−2)² + 3 → 꼭짓점 (2, 3), 아래로 볼록.
2. ⭐ 여기가 고비 — 꼭짓점이 구간 0 ≤ x ≤ 3 안에 있는가 구간이 없는 문제라면 꼭짓점이 곧 답입니다. 그런데 구간이 붙는 순간 물음이 하나 늘어납니다 — 꼭짓점 x=2가 그 구간 안에 들어 있는가? · 안에 있으면 (지금이 그 경우) 최솟값은 꼭짓점의 값 3. 구간 끝은 볼 것도 없습니다.
   · 밖에 있으면 그릇의 한쪽 비탈만 잘라 온 셈이라 최솟값은 구간의 끝점에서 납니다. 예를 들어 구간이 3 ≤ x ≤ 5였다면 꼭짓점 2가 밖이므로 x=3에서 최솟값 4가 됩니다.
   그러니 순서는 「표준형 → 꼭짓점 → 구간 안인가 밖인가」 셋입니다. 0 ≤ 2 ≤ 3이므로 여기서는 안 ✓
3. 최솟값 3 (x=2). 참고로 구간 끝값은 x=0 → 7, x=3 → 4로 둘 다 3보다 크다 ✓

풀이 — 도함수의 근이 뜻하는 것

1. 3x²-3=0 → x²=1 → x=±1.
2. ⭐ 여기가 고비 — x=±1은 「극값」이 아니라 「극값이 나는 자리」 구한 ±1을 그대로 극값이라고 답하면 묻는 것과 다른 것을 답한 셈입니다. f′(x)는 기울기이므로, f′(x)=0은 접선이 평평해지는 x자리를 말해 줍니다. 극값(값 자체)은 그 x를 원래 함수에 넣어야 나옵니다 — f(1) = 1 − 3 = −2, f(−1) = −1 + 3 = 2. 그래서 극댓값 2(x=−1) · 극솟값 −2(x=1)입니다.
   그리고 f′=0이라고 반드시 극값인 것도 아닙니다. 기울기의 부호가 실제로 바뀌어야 극값입니다 (y=x³은 x=0에서 f′=0이지만 계속 올라가기만 해 극값이 없습니다). 여기서는 f′=3(x−1)(x+1)이라 −1과 1을 지날 때마다 부호가 바뀌므로 둘 다 진짜 극값 ✓
3. 따라서 x=±1은 극값이 나타나는 x좌표(제21강 참고).

풀이 — 던진 공의 높이도 결국 이차함수

1. −5를 앞으로 묶는다: h(t) = −5(t² − 4t).
2. ⭐ 여기가 고비 — 괄호 안에서 뺀 4가 밖에서 +20이 된다 t² − 4t = (t−2)² − 4까지는 갑니다. 그 −4가 괄호 밖으로 나올 때 −5를 통과하는 것이 고비입니다. h(t) = −5[(t−2)² − 4] = −5(t−2)² + 20 — −5 × (−4) = +20입니다. −4인 채로 두면 최고 높이가 −4m라는 말이 안 되는 답이 나옵니다.
   그리고 실제 문제에서는 「그 시각이 진짜 가능한가」를 한 번 더 봅니다. 시간은 t ≥ 0인데 t=2는 그 안이니 괜찮습니다 ✓ (h(0)=0에서 던져 h(4)=0에 떨어지므로 딱 가운데인 2초에 가장 높다 — 대칭으로도 맞습니다.)
3. h(t)=-5(t-2)²+20 → 최고 높이 20m, t=2초. 검산: h(2) = −20 + 40 = 20 ✓

풀이 — 이윤·매출 최적화도 꼭짓점 찾기

1. ⭐ 여기가 고비 — 큰 수 100의 절반 50이 그대로 답이 된다 숫자가 커지면 겁이 나지만, 하는 일은 문제 10(텃밭)과 한 글자도 다르지 않습니다. −x² + 100x에서 x의 계수 100의 절반인 50이 꼭짓점의 x입니다. 펴 보면 R(x) = −(x² − 100x) + 3000 = −[(x−50)² − 2500] + 3000 = −(x−50)² + 5500. 여기서도 괄호 안의 −2500이 밖으로 나오며 +2500이 됩니다.
   x²의 계수가 음수라 위로 볼록이므로 꼭짓점이 가장 높은 자리 → 매출이 최대인 것은 x=50일 때.
   뜻으로 읽으면 가격을 무조건 많이 내린다고 매출이 늘지 않는다는 말입니다. 50원까지는 판매량이 는 만큼 이득이지만 그 뒤로는 깎아 준 값이 더 커집니다.
2. R(x)=-(x-50)²+2500+3000 → 최댓값은 x=50일 때(그때 5500만원).