⭐ 여기가 고비 — 근이 둘 나와도 「문제 상황에 맞는 것」만 답이다
식을 풀면 n = 11 과 n = −12 이 나옵니다. 방정식으로만 보면 둘 다 옳은 근입니다 — 실제로 n = −12 이면 (−12) × (−11) = 132 로 곱이 132 가 맞습니다. 그런데 문제는 「자연수」라고 못박았으므로 n = −12 은 답이 될 수 없습니다.이 마지막 거르기가 활용 문제의 절반입니다 — 「자연수」·「길이」·「사람 수」·「시각」 같은 말이 곧 체입니다. 그러니 답을 쓰기 전에 「문제가 무엇이라고 했더라」를 되읽는 버릇을 들이십시오. 남은 n = 11 이니 두 수는 11과 12, 합은 23. 검산 — 11 × 12 = 132 ✔
"연속하는 자연수는 엑스, 엑스플러스1로 놓고, 조건을 그대로 식으로 옮겨."— 장대경 선생님 특강 26편 「이차방정식의 활용 — 상황을 식으로 옮긴다」
합 = 23
문제 2수의 성질 · 진가
어떤 자연수를 제곱해야 할 것을 실수로 2배 하여 63만큼 작은 45를 얻었다. 원래 구하려던 값을 구하라.
풀이 — 조건을 그대로 식으로
⭐ 여기가 고비 — 문장을 「무엇을 x 로 둘까」부터 정하고 한 조각씩 옮긴다
이 문제의 어려움은 계산이 아니라 문장 읽기에 있습니다. 조각을 나눠 봅니다 — · 「어떤 자연수」 ⇒ 이것을 x 라 둡니다. · 「제곱해야 할 것」 ⇒ 진짜 구하려던 값은 x². · 「실수로 2배 했다」 ⇒ 얻은 값은 2x. · 「63 만큼 작은 45」 ⇒ 얻은 값 2x = 45 는 원래 값 x² 보다 63 이 작다 ⇒ 2x = x² − 63.
여기까지가 이 문제의 전부입니다 — 식만 서면 나머지는 기계입니다. x² − 2x − 63 = 0 ⇒ (x − 9)(x + 7) = 0, 자연수이므로 x = 9. 그리고 묻는 것이 x 가 아니라는 데 한 번 더 걸립니다 — 「원래 구하려던 값」은 x² = 81 이므로 답은 81. 검산 — 2 × 9 = 18 이고 81 − 63 = 18 ✔ 두 값이 같습니다.
묻는 것은 x = 9 가 아니라 원래 구하려던 값x² ⇒ 81.
원래 값(x²) = 81
문제 3도형 · 기본
가로가 세로보다 3cm 긴 직사각형의 넓이가 54cm²일 때, 세로의 길이를 구하라.
풀이 — 세로 x, 가로 x+3
⭐ 여기가 고비 — 「긴 쪽」이 아니라 「짧은 쪽」을 x 로 두면 식이 깨끗해진다
가로가 세로보다 3 길다고 했으니 세로를 x 로 두면 가로는 x + 3 입니다. (가로를 x 로 두면 세로가 x − 3 가 되어 식에 뺄셈이 들어갑니다 — 답은 같지만 손이 더 갑니다.) 넓이 조건을 그대로 옮기면 x(x + 3) = 54.
풀면 x² + 3x − 54 = 0 ⇒ (x + 9)(x − 6) = 0 ⇒ x = −9 또는 x = 6. 길이는 음수가 될 수 없으므로x = −9 은 버리고 x = 6cm. 「무엇을 x 로 둘까」는 취향이 아니라 셈의 길이를 정합니다 — 여럿 중 가장 작은 것이나 기준이 되는 것을 x 로 두면 대개 식이 짧아집니다.
검산 — 세로 6, 가로 6 + 3 = 9 이므로 넓이는 6 × 9 = 54cm² ✔
"가로 세로를 한 문자로 놓고, 넓이 조건을 식으로 세워."— 장대경 선생님 특강 26편 「이차방정식의 활용 — 상황을 식으로 옮긴다」
6cm
문제 4도형 · 진가
정사각형의 가로의 길이를 4cm만큼 늘이고, 세로의 길이를 3cm만큼 줄여서 만든 직사각형의 넓이가 60cm²일 때, 처음 정사각형의 한 변의 길이를 구하라.
풀이 — 정사각형 한 변 a
⭐ 여기가 고비 — 정사각형이라 「가로도 세로도 같은 a」에서 출발한다
처음이 정사각형이라는 말이 열쇠입니다 — 가로와 세로가 같은 a 이므로 미지수가 하나로 끝납니다. 거기서 가로는 4 늘고 세로는 3 줄었으니 가로 a + 4 · 세로 a − 3 이고, 넓이 조건은 (a + 4)(a − 3) = 60.
펼치면 a² + a − 12 = 60 ⇒ a² + a − 72 = 0 ⇒ (a + 9)(a − 8) = 0 ⇒ a = −9 또는 a = 8. 길이는 양수이므로 a = 8cm. 「늘이고 줄인다」에서 부호를 뒤집지 않도록 주의하십시오 — 늘이면 +, 줄이면 −. 검산 — 12 × 5 = 60 ✔ 그리고 8 − 3 = 5 > 0 이니 세로가 음수가 되지도 않습니다 ✔
⭐ 여기가 고비 — 두 근이 모두 답이다 — 같은 높이를 「두 번」 지나간다
앞의 문제들에서는 근 하나를 버렸는데, 여기서는 둘 다 답입니다. 위로 던진 물체는 올라가면서 한 번, 내려오면서 한 번 같은 높이를 지나기 때문입니다 — t = 2 는 올라가는 중, t = 4 는 내려오는 중.
「근을 거른다」가 「무조건 하나를 버린다」는 뜻이 아니라는 것이 이 문제의 값어치입니다. 버리는 잣대는 언제나 「문제 상황에 맞는가」이고, 여기서는 둘 다 t > 0 인 실제 시각이라 둘 다 살아남습니다. 그림으로 보면 더 뚜렷합니다 — h = −5t² + 30t 는 위로 볼록한 포물선이고, 높이 40 인 가로선은 그 포물선을 두 점에서 자릅니다. 가장 높이 오르는 때는 두 시각의 한가운데인 t = 3 이고, 그때 높이는 −45 + 90 = 45m 입니다. 검산 — t = 2 : −20 + 60 = 40 ✔, t = 4 : −80 + 120 = 40 ✔
"위로 던진 공은 올라가면서 한 번, 내려오면서 한 번, 같은 높이를 두 번 지나가."— 장대경 선생님 특강 26편 「이차방정식의 활용 — 상황을 식으로 옮긴다」
2초 후, 4초 후
문제 6분배 문제
사탕 88개를 남김없이 학생들에게 똑같이 나누어 주려고 한다. 한 사람이 받는 사탕의 개수가 학생 수보다 3만큼 많을 때, 학생 수를 구하라.
풀이 — 학생 수 x, 한 사람 몫 x+3
⭐ 여기가 고비 — 「학생 수」와 「한 사람 몫」을 한 문자로 이어 놓는 것
모르는 것이 둘(학생 수·한 사람 몫)로 보이지만, 문제가 둘 사이의 관계를 주었습니다 — 「한 사람이 받는 개수가 학생 수보다 3 만큼 많다」. 그러니 학생 수를 x 라 두면 몫은 x + 3 로 미지수가 하나가 됩니다.
「남김없이 똑같이 나누어 준다」는 말이 곱셈식을 만들어 줍니다 — (학생 수) × (한 사람 몫) = 전체 ⇒ x(x + 3) = 88. 풀면 x² + 3x − 88 = 0 ⇒ (x + 11)(x − 8) = 0 ⇒ x = −11 또는 x = 8. 사람 수는 자연수이므로 8명. 검산 — 학생 8명이 한 사람에 11개씩 받으면 8 × 11 = 88 ✔ 그리고 11 = 8 + 3 로 조건과 맞습니다 ✔
검산 — 학생 8명·한 사람 몫 8 + 3 = 11개 이므로 8 × 11 = 88 ✔
"학생 수와 몫 같은 관계를 한 문자로 놓고 곱셈식을 세워."— 장대경 선생님 특강 26편 「이차방정식의 활용 — 상황을 식으로 옮긴다」
8명
문제 7도형 · 종합
직각삼각형의 밑변이 높이보다 7cm 길고, 넓이가 30cm²일 때, 높이를 구하라.
풀이 — 높이 x, 밑변 x+7
⭐ 여기가 고비 — 삼각형의 넓이라 「½」이 하나 더 붙는다
직사각형 문제들과 겉모습이 같아 x(x + 7) = 30 라고 쓰기 쉽습니다. 그러나 이것은 직각삼각형이므로 넓이는 밑변 × 높이 ÷ 2 — 식에 ½ 이 하나 더 붙습니다 ⇒ (1/2)x(x + 7) = 30.
양변에 2 를 곱해 분수를 없애면 x(x + 7) = 60 ⇒ x² + 7x − 60 = 0 ⇒ (x + 12)(x − 5) = 0. 길이는 양수이므로 x = 5cm. ½ 을 빠뜨리면x² + 7x − 30 = 0 가 되어 (x + 10)(x − 3) = 0 ⇒ x = 3 라는 딱 떨어지지 않는 답이 나옵니다 — 「답이 지저분하면 식을 의심하라」는 것도 하나의 잣대입니다. 검산 — 높이 5, 밑변 12 이면 5 × 12 ÷ 2 = 30cm² ✔
검산 — 높이 5, 밑변 5 + 7 = 12 이므로 넓이는 5 × 12 ÷ 2 = 30cm² ✔
5cm
문제 8발사체 운동 · 기본
지면에서 초속 20m로 쏘아 올린 물체의 t초 후 높이가 (−5t²+20t)m일 때, 물체가 다시 지면에 떨어지는 것은 몇 초 후인지 구하라.
풀이 — 높이가 0이 되는 시각
⭐ 여기가 고비 — 「지면에 떨어진다」를 「높이가 0」으로 갈아 끼우고, t=0 을 거른다
문장을 식으로 옮기는 자리는 「지면 = 높이 0」 한 줄입니다 ⇒ −5t² + 20t = 0. 인수분해하면 −5t(t − 4) = 0 이므로 t = 0 또는 t = 4.
t = 0 도 틀린 근이 아닙니다 — 쏘아 올리는 그 순간에도 물체는 지면에 있었으니까요. 다만 묻는 것은 「다시」 떨어지는 때이므로 출발 시각은 거릅니다 ⇒ t = 4초 후. 두 근의 뜻을 각각 읽어 두면 이 유형은 늘 같습니다 — 작은 근은 출발, 큰 근은 착지. 그리고 그 한가운데(t = 2)가 가장 높이 오르는 때입니다. 검산 — −5 × 16 + 20 × 4 = −80 + 80 = 0 ✔
검산 — t = 4 를 높이 식에 넣으면 −5 × 16 + 20 × 4 = 0 ✔
"높이는 마이너스5티제곱 플러스 브이제로티 꼴. 두 근은 같은 높이를 지나는 두 시각이야."— 장대경 선생님 특강 26편 「이차방정식의 활용 — 상황을 식으로 옮긴다」
4초 후
문제 9수의 관계
어떤 수에서 3을 뺀 수와 그 수에 2를 더한 수의 곱이 50일 때, 이 조건을 만족하는 양수를 구하라.
풀이 — 어떤 수 x
⭐ 여기가 고비 — 「어떤 수」가 두 곳에 나오지만 「같은 x」다
문장에 수가 여럿 나와 미지수를 둘로 두기 쉽습니다. 그러나 「어떤 수에서 3 을 뺀 수」와 「그 수에 2 를 더한 수」의 「그 수」는 앞의 「어떤 수」와 같은 것입니다 — 그러니 둘 다 x 하나로 씁니다 ⇒ (x − 3)(x + 2) = 50.
펼치면 x² − x − 6 = 50 ⇒ x² − x − 56 = 0 ⇒ (x − 8)(x + 7) = 0 ⇒ x = 8 또는 x = −7. 양수를 구하라 했으므로x = 8. 「그 수」·「이 수」·「그것」 같은 말이 나오면 앞의 무엇을 가리키는지 밑줄을 그으십시오 — 미지수를 하나로 묶느냐 둘로 벌리느냐가 여기서 갈립니다. 검산 — (8 − 3)(8 + 2) = 5 × 10 = 50 ✔
검산 — (8 − 3)(8 + 2) = 5 × 10 = 50 ✔
8
문제 10종합 · 통로 문제
가로 12m, 세로 8m인 직사각형 잔디밭에 폭이 일정한 십자형 통로를 만들었더니 남은 잔디밭의 넓이가 60m²였다. 통로의 폭을 구하라.
풀이 — 통로를 한쪽으로 밀어 붙여 생각(이동 공식)
⭐ 여기가 고비 — 통로를 「한쪽으로 밀어붙여」 생각하면 남는 잔디가 직사각형 하나가 된다
십자형 통로를 그대로 두고 넓이를 세면 가로 통로와 세로 통로가 겹치는 네모를 두 번 빼게 되어 헷갈립니다. 그런데 통로를 가로는 맨 아래로, 세로는 맨 오른쪽으로 밀어붙여도 남는 잔디의 넓이는 똑같습니다 — 조각을 옮겨 붙였을 뿐이니까요. 그러면 남는 것은 직사각형 하나가 되어 (12 − x)(8 − x) 로 한 줄에 써집니다.
이 「밀어붙이기」가 이 유형의 전부입니다 — 통로가 십자든, 두 줄이든, 비스듬하지만 않으면 언제나 통합니다. 그리고 마지막에 근을 거릅니다 — 통로의 폭은 세로 8m 보다 작아야 하므로 큰 근은 버립니다. 「길이는 양수」만으로는 모자라고, 「원래 도형 안에 들어가는가」까지 보아야 한다는 것이 이 문제가 더 얹는 조건입니다.
"문자로 놓고, 식 세우고, 근을 걸러낸다."— 장대경 선생님 특강 26편 「이차방정식의 활용 — 상황을 식으로 옮긴다」
2m
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"상황을 식으로, 근을 걸러낸다" 하나로 최적화·물리까지
이차방정식의 활용에서 익힌 "조건을 식으로 옮기고 맞는 근만 남긴다"는 눈이, 학년이 올라가면 이차함수의 최적화·물리학 운동으로 그대로 이어집니다.
① 공통수학1 · 이차함수와 이차방정식의 관계
공통수학1 · 이차함수
이차방정식의 해는 이차함수 그래프와 x축의 교점이에요. 오늘 배운 근이 바로 그 교점의 x좌표예요.
② 공통수학1 · 최댓값·최솟값(최적화)
공통수학1 · 이차함수의 최대최소
넓이나 이익을 최대로 만드는 문제는 이차함수의 꼭짓점을 찾는 것과 같아요. 오늘의 도형 문제가 그 출발점이에요.
③ 물리학 · 포물선 운동
물리학
공을 던지거나 발사체를 쏘아 올리는 운동은 모두 이차식(포물선)으로 나타나요. 오늘의 발사체 문제가 실제 물리학의 기본 모델이에요.
④ 경제학 · 손익분기점
경제·경영
가격을 올리면 판매량이 줄어드는 상황에서 이익 함수는 이차식이 되고, 손익분기점은 이차방정식의 해로 구해요.
⑤ 건축·공학 · 최적 설계
공학·건축
일정한 재료로 넓이를 최대로 만드는 울타리·구조물 설계는 이차방정식·이차함수의 대표적인 실전 응용이에요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"상황을 식으로, 근을 걸러낸다" 하나로 함수·최적화·물리까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 공통수학이차함수와의 관계
이차함수 y=x²−5x+6의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표를 구하라.
풀이 — y=0인 이차방정식
⭐ 여기가 고비 — 「x축과 만난다」를 「y = 0」으로 갈아 끼우는 것
그래프 문제처럼 보이지만 손은 이차방정식입니다. x축 위의 점은 y 좌표가 0 이므로, 「x축과 만나는 점」을 찾는 일은 x² − 5x + 6 = 0 을 푸는 일과 똑같습니다 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2, 3.
이 한 줄이 「이차방정식」과 「이차함수」를 잇는 다리입니다 — 방정식의 근 = 그래프가 x축을 만나는 자리. 그래서 근이 둘이면 두 점에서 만나고, 중근이면 한 점에서 스치고, 근이 없으면 만나지 않습니다. 앞 단원에서 배운 판별식이 곧 「몇 점에서 만나는가」였던 까닭도 여기 있습니다. 검산 — 2² − 10 + 6 = 0 ✔, 3² − 15 + 6 = 0 ✔
검산 — 2² − 5·2 + 6 = 0 ✔, 3² − 5·3 + 6 = 0 ✔
x = 2, 3
도전 · 공통수학최적화
둘레가 20m인 직사각형 중 넓이가 최대가 되는 가로의 길이를 구하라.
풀이 — 가로 x, 세로 10−x, 넓이 S=x(10−x)
⭐ 여기가 고비 — 둘레가 20 이면 「가로 + 세로」가 10 이다 — 20 이 아니다
이 문제에서 갈리는 곳은 계산이 아니라 둘레를 반으로 나누는 한 걸음입니다. 직사각형의 둘레는 (가로 + 세로) × 2 이므로, 둘레가 20 이면 가로 + 세로 = 10. 그러니 가로를 x 라 두면 세로는 10 − x 이고 넓이는 S = x(10 − x) 입니다.
완전제곱으로 바꾸면 S = −x² + 10x = −(x − 5)² + 25 — 위로 볼록한 포물선이라 꼭짓점에서 최대입니다 ⇒ x = 5m(이때 넓이 25). 가로가 5 이면 세로도 10 − 5 = 5 로 「정사각형」입니다 — 둘레가 정해진 직사각형 중에서는 정사각형의 넓이가 가장 크다는 사실이 여기서 나옵니다. 이 문제는 근을 거르는 문제가 아니라 「꼭짓점을 찾는 문제」라는 점도 눈여겨 두십시오 — 최대·최소를 물으면 인수분해가 아니라 완전제곱으로 갑니다.
검산 — 가로 5·세로 5 이면 둘레 (5 + 5) × 2 = 20m 로 조건과 맞고, 넓이는 25m² 로 가장 크다 ✔
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면둘레 20 을 그대로 「가로 + 세로」로 보아 세로를 20 − x 로 두면 넓이가 S = x(20 − x) = −(x − 10)² + 100 가 되고, 꼭짓점은 x = 10 가 된다.그런데 x = 10 이면 세로도 10 이라 둘레가 40 이 되어 버린다 — 문제의 20 과 두 배 어긋난다.⇨ 둘레는 네 변의 합이다. 「가로 + 세로」는 그 절반이라는 걸음을 빠뜨리지 않는다.
5m (이때 정사각형)
도전 · 물리포물선 운동
지면에서 초속 40m로 쏘아 올린 물체가 지면에 다시 떨어지는 시각을 구하라. (h=−5t²+40t)
풀이
⭐ 여기가 고비 — 초속만 바뀌었을 뿐, 문제 8 과 똑같은 문제
식이 h = −5t² + 40t 로 바뀌었지만 「지면 = 높이 0」이라는 손놀림은 그대로입니다 ⇒ −5t² + 40t = 0 ⇒ −5t(t − 8) = 0 ⇒ t = 8초 후(출발 시각 t = 0 은 거릅니다).
여기서 한 가지 규칙이 보입니다 — 문제 8 은 초속 20 에 4초, 이 문제는 초속 40 에 8초. h = −5t² + v₀t 에서 착지 시각은 언제나 t = v₀ ÷ 5 입니다(−5t(t − v₀/5) 로 묶으니까요). 「초속이 두 배면 나는 시간도 두 배」라는 것이 그 뜻입니다. 가장 높이 오르는 때는 그 절반인 t = 4 이고, 그때 높이는 −80 + 160 = 80m 입니다. 검산 — −5 × 64 + 40 × 8 = −320 + 320 = 0 ✔
검산 — t = 8 를 넣으면 −5 × 64 + 40 × 8 = 0 ✔
8초 후
도전 · 경제손익분기점
어떤 상품의 이익이 P=−x²+12x−20(x는 판매 개수, 단위 만원)일 때, 이익이 0이 되는 판매 개수를 모두 구하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 「이익이 0」이 되는 곳이 둘 — 적게 팔아도, 너무 많이 팔아도 0 이다
조건을 옮기는 것은 한 줄입니다 — −x² + 12x − 20 = 0 ⇒ 양변에 −1 을 곱해 x² − 12x + 20 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 10) = 0 ⇒ x = 2, 10.
여기서도 근을 하나 버리지 않습니다 — 둘 다 자연스러운 판매 개수이기 때문입니다. 이익 P 의 그래프는 위로 볼록한 포물선이라 x축을 두 번 지납니다 — 적게 팔면 밑천을 못 뽑아 0, 너무 많이 팔면(값을 내리거나 비용이 늘어) 다시 0 이 되는 셈입니다. 두 근 사이인 2 < x < 10 에서만 이익이 양수이고, 가장 큰 이익은 두 근의 한가운데인 x = 6 에서 −36 + 72 − 20 = 16(만원) 입니다. 검산 — −4 + 24 − 20 = 0 ✔, −100 + 120 − 20 = 0 ✔
벽 한 쪽을 이용해 철망 24m로 나머지 세 변을 둘러 직사각형 밭을 만들 때, 넓이가 최대가 되는 밭의 넓이를 구하라.
풀이 — 벽과 평행한 변 x, 나머지 두 변 각 (24−x)/2
⭐ 여기가 고비 — 벽 한 쪽을 쓰므로 「세 변」만 철망이다 — 나눌 것은 24 가 아니라 (24 − x)
보통의 울타리 문제와 다른 점이 딱 하나 있습니다 — 벽 쪽에는 철망을 치지 않습니다. 그러니 24m 로 두르는 것은 세 변뿐입니다. 벽과 평행한 변을 x 라 두면 나머지 두 변에 24 − x 가 남고, 그것을 둘로 나눠 각각 (24 − x)/2 입니다.
넓이는 S = x · (24 − x)/2 = (1/2)(24x − x²) ⇒ 완전제곱으로 S = (1/2)(−(x − 12)² + 144). 꼭짓점 x = 12 에서 최대이고 그때 S = 72m². 모양을 확인해 보십시오 — 이때 다른 두 변은 각각 (24 − 12)/2 = 6 이므로 밭은 12 × 6 의 직사각형입니다. 정사각형이 아닙니다 — 벽을 한 변 공짜로 얻었기 때문에 「벽과 평행한 변이 두 배」일 때 가장 넓어집니다. 검산 — 12 + 6 + 6 = 24 ✔ 그리고 12 × 6 = 72 ✔
검산 — 세 변이 12 + 6 + 6 = 24 로 철망 24m 를 다 쓰고, 넓이는 12 × 6 = 72m² ✔
72m²
도전 · 종합십자형 통로 응용
가로 10m, 세로 7m인 밭에 폭이 일정한 십자형 통로를 만들었더니 남은 밭의 넓이가 54m²였다. 통로의 폭을 구하라.
풀이 — (10−x)(7−x)=42
⭐ 여기가 고비 — 문제 10 과 똑같이 밀어붙이고, 거르는 잣대는 「세로 7m」이다
십자형 통로를 가로는 한쪽 끝으로, 세로는 다른 쪽 끝으로 밀어붙이면 남는 밭이 직사각형 하나가 되어 (10 − x)(7 − x) 로 써집니다 — 문제 10 과 완전히 같은 손놀림입니다.
달라지는 것은 마지막 거르기입니다. 통로의 폭은 짧은 쪽인 세로 7m 보다 작아야 하므로 큰 근은 버립니다(폭이 세로보다 넓으면 밭이 통째로 사라져 남는 넓이가 있을 수 없습니다). 거르는 잣대는 언제나 「짧은 쪽 변」입니다 — 문제 10 에서는 8m, 여기서는 7m. 「양수인가」에서 한 걸음 더 나아가 「도형 안에 들어가는가」를 묻는 것이 이 유형의 마무리입니다.
※ 이 자료는 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브 비공개 소장분)에서 방법(문자로 놓기·식 세우기·근 걸러내기·발사체 운동)을 가져와, 로컬 음성인식(STT)+화면 프레임 판독으로 확인 후 전수 재검산한 새 예제로 재구성한 교육 자료입니다.