이등변삼각형의 성질 실전 완전정복
— 두 밑각은 같다 · 연습 10제

풀이 — 빼고, 반으로 나눈다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「두 밑각은 같다」가 미지수 두 개를 하나로 줄인다 삼각형의 세 각을 그냥 두면 미지수가 둘(∠B, ∠C)이라 식 하나로는 풀 수 없습니다. 그런데 AB = AC 이므로 두 밑각이 같다는 사실이 ∠B = ∠C 라는 식 하나를 더 줍니다 — 그러면 미지수가 사실상 하나가 되어 답이 정해집니다. 나머지는 빼고, 반으로 나누는 것뿐입니다 — ∠B + ∠C = 180° − 44° = 136° ⇒ ∠B = 136° ÷ 2 = 68°.
   어느 각이 「밑각」인지 헷갈리지 마십시오 — 같은 두 변이 만나는 꼭짓점의 각이 꼭지각이고, 나머지 둘이 밑각입니다. 여기서는 AB 와 AC 가 만나는 ∠A 가 꼭지각, ∠B 와 ∠C 가 밑각입니다.
2. 검산 — 44° + 68° + 68° = 180° ✔

풀이 — 밑각 하나를 알면 다른 하나도 안다

1. ⭐ 여기가 고비 — 밑각 하나를 알면 「나머지 밑각도 공짜로」 알게 된다 앞 문제와 묻는 방향만 반대입니다. 주어진 것이 밑각 ∠C = 57° 인데, ∠B = ∠C 이므로 다른 밑각도 곧바로 57° 입니다 — 이것이 이 문제의 전부입니다. 두 각이 채워졌으니 꼭지각은 빼기만 하면 됩니다 — ∠A = 180° − 57° − 57° = 66°.
   「밑각 하나 = 밑각 둘」이라는 것이 이등변삼각형이 주는 이득입니다. 거꾸로 꼭지각이 주어지면(문제 1) 「빼고 반으로 나누고」, 밑각이 주어지면(이 문제) 「두 배 하고 빼는」 — 방향만 다를 뿐 같은 성질입니다.
2. 검산 — 66° + 57° + 57° = 180° ✔

풀이 — 이등분선이 곧 수직이등분선

1. ⭐ 여기가 고비 — 꼭지각의 이등분선이 왜 「수직이등분선」까지 되는가 이등분선 AD 를 그으면 △ABD 와 △ACD 에서 AB = AC(주어짐), ∠BAD = ∠CAD(이등분), AD 공통(공통) — SAS 합동입니다. 합동이면 대응하는 변과 각이 모두 같으므로 두 가지가 한꺼번에 나옵니다. ① BD = DC — 밑변이 이등분됩니다 ⇒ BD = DC = 10 ÷ 2 = 5cm.
   ② ∠ADB = ∠ADC 인데 두 각을 더하면 평각 180° 이므로 각각 90° — 수직입니다.
   그래서 「꼭지각의 이등분선 = 밑변의 수직이등분선 = 높이 = 중선」이 모두 한 선이 됩니다. 이등변삼각형 문제에서 보조선을 그으라면 십중팔구 이 선입니다.
2. 검산 — 여기에 피타고라스를 쓰면 높이 AD = √(13² − 5²) = √144 = 12cm 까지 나온다(문제 12 에서 다시 만난다).

풀이 — 밑각을 구하고, 반으로 나누고, 외각을 쓴다

풀이 — 두 각이 같으면 두 변도 같다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「두 각이 같으면 두 변도 같다」 — 성질을 거꾸로 쓴다 지금까지는 변이 같으니 각이 같다로 썼는데, 이 문제는 각이 같으니 변이 같다는 거꾸로 방향입니다. 이것도 참인데, 까닭은 합동으로 확인됩니다 — ∠A 의 이등분선을 그으면 △ABD 와 △ACD 에서 두 각과 낀 변이 같아 ASA 합동이고, 그래서 AB = AC. 따라서 AC = AB = 9cm 입니다. 각은 빼기만 하면 되므로 ∠A = 180° − 52° − 52° = 76°.
   「같은 각과 마주 보는 변이 같다」는 표현으로 기억해 두십시오 — ∠B 와 ∠C 가 같으니 그와 마주 보는 AC 과 AB 가 같다는 뜻입니다. 이 「마주 보는」이라는 말이 다음 문제에서 답을 가릅니다.

풀이 — 각을 물어 놓고 길이를 구하게 하는 문제

1. 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합 : 80° = ∠A + ∠B → ∠B = 80° − 40° = 40°.
2. ∠A = ∠B = 40° → △ABC 는 이등변삼각형.
3. ⭐ 여기가 고비 — 같은 두 각과 「마주 보는」 변을 정확히 짚는 것 이등변삼각형이라는 데까지는 쉽게 옵니다. 갈리는 곳은 어느 두 변이 같은가입니다. 같은 각과 마주 보는 변이 같습니다 — ∠A 와 마주 보는 변은 BC, ∠B 와 마주 보는 변은 AC. 그러므로 AC = BC 이고, BC = 7cm 이니 AC = 7cm. 「마주 본다」를 찾는 손쉬운 방법 — 각의 이름에 들어 있지 않은 두 글자가 그 변입니다. ∠A 에서 A 를 뺀 BC, ∠B 에서 B 를 뺀 AC 처럼요.
   여기서 AB = AC 라고 잘못 짚으면 문제가 준 7cm 를 쓸 자리가 없어집니다 — 주어진 값이 쓰이지 않으면 어딘가 잘못 짚은 것이라는 신호로 삼으십시오.

풀이 — 이등변삼각형이 하나 더 있다

1. 큰 삼각형의 밑각: ∠ABC = ∠ACB = (180° − 20°) ÷ 2 = 80°.
2. ⭐ 여기가 고비 — 삼각형이 하나가 아니다 — △DBC 라는 「숨은 이등변삼각형」을 찾는 것 문제가 준 BD = BC 는 또 하나의 이등변삼각형 △DBC 가 있다는 말입니다. 이 삼각형에서 같은 두 변과 마주 보는 각이 같으므로 ∠BDC = ∠BCD 인데, ∠BCD(= ∠ACB) 는 큰 삼각형의 밑각이라 이미 80° 로 알고 있습니다 ⇒ ∠BDC = ∠BCD = 80°. 그러면 △DBC 의 남은 각은 ∠DBC = 180° − 80° − 80° = 20°.
   구하는 ∠ABD 는 큰 밑각에서 이 조각을 덜어낸 것입니다 ⇒ ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 80° − 20° = 60°.
   검산 — △ABD 에서 ∠ADB = 180° − 20° − 60° = 100° 이고, 100° + 80° = 180° 이 평각 180° 가 되어 A·D·C 가 한 직선 위임과 맞아떨어집니다 ✔ 「같은 길이 표시가 있으면 그 두 변을 품은 삼각형을 찾는다」 — 이 한 걸음이 고비입니다.

풀이 — AP로 잘라 넓이를 둘로 나눈다

풀이 — 접은 각은 같다 + 평행선의 엇각

풀이 — 보조선 하나로 정삼각형과 이등변삼각형을 동시에 만든다

풀이 — 이등변삼각형이 두 개, 사이에 평각

1. 큰 삼각형의 밑각: ∠ABC = ∠ACB = (180° − 100°) ÷ 2 = 40°.
2. ⭐ 여기가 고비 — 연장선 위의 점이니 「평각 180°」로 각을 넘겨받는다 D 는 CB 를 B 쪽으로 늘린 선 위에 있으므로 D, B, C 가 한 직선입니다. 그러니 ∠ABD 와 ∠ABC 를 더하면 평각 180° 가 되고, 여기서 ∠ABD = 180° − 40° = 140° 를 얻습니다. 구하는 각이 들어 있는 삼각형(△ABD)의 한 각을 이렇게 넘겨받는 것이 고비입니다. △ABD 는 BA = BD 인 이등변삼각형이므로 두 밑각이 같고, 꼭지각이 140° 이니 ∠ADB = ∠DAB = (180° − 140°) ÷ 2 = 20°.
   140° 라는 큰 각에 놀라지 마십시오 — 이등변삼각형의 꼭지각은 180° 보다만 작으면 됩니다. 둔각이 꼭지각이면 밑각 두 개는 아주 작아집니다(여기서는 20° 씩).
3. 검산 — 140° + 20° + 20° = 180° ✔

풀이 — 이등분선이 밑변을 반으로 자르며 직각을 만든다

풀이 — 반지름 두 개는 길이가 같다

1. ⭐ 여기가 고비 — 원 안에서 반지름 두 개를 보면 「자동으로 이등변삼각형」 문제에 「이등변삼각형」이라는 말이 한 번도 나오지 않지만, OA 와 OB 는 둘 다 반지름이라 OA = OB 입니다. 그러므로 △OAB 는 이등변삼각형 — 이 한 걸음이 문제를 통째로 바꿉니다. 나머지는 늘 하던 대로입니다 — 꼭지각이 ∠AOB = 40° 이니 두 밑각은 ∠OAB = ∠OBA = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°.
   「원 위의 점을 중심과 이으면 그 두 선분은 반드시 같다」 — 이 눈 하나로 원 문제의 절반이 이등변삼각형 문제가 됩니다(외심·내심·원주각이 모두 여기서 출발합니다).
2. 검산 — 40° + 70° + 70° = 180° ✔

풀이 — 빗변을 먼저 구하고 피타고라스로 마무리

1. ⭐ 여기가 고비 — 앞 문제에서 얻은 「빗변 = 짧은 변의 두 배」를 부품으로 쓴다 이 문제만 놓고 보면 삼각비 없이는 막막합니다. 그런데 문제 10 에서 이미 증명해 둔 것이 있습니다 — 30° 인 직각삼각형은 빗변이 짧은 변(30° 와 마주 보는 변)의 두 배. 여기서 ∠B = 30° 와 마주 보는 변이 AC = 5cm 이므로 AB = 2 × 5 = 10cm. 빗변이 나오면 나머지는 피타고라스입니다 ⇒ BC = √(10² − 5²) = √75 = 5√3 (cm).
   「두 배」인 것이 어느 변인지 반드시 확인하십시오 — 30° 와 마주 보는 변이 짧은 변입니다. 검산은 삼각비로 — tan 30° = AC ÷ BC = 5 ÷ 5√3 = 1/√3 ✓, sin 30° = 5 ÷ 10 = ½ ✓ 앞에서 스스로 만든 결론을 뒤에서 부품으로 쓰는 것, 그것이 이 편의 짜임입니다.

풀이 — PA = PB 이면 △PAB는 이등변삼각형

1. x축 위의 점이므로 P(a, 0) 으로 놓는다.
2. ⭐ 여기가 고비 — 거리가 아니라 「거리의 제곱」으로 견주면 근호가 한 번도 안 나온다 조건은 PA = PB 인데, 거리를 그대로 쓰면 √{(a−1)² + 25} = √{(a+3)² + 1} 처럼 양변에 근호가 붙어 다루기 나쁩니다. 두 거리가 같으면 두 거리의 제곱도 같으므로(둘 다 0 이상이니까요) 제곱한 채로 견줍니다 — PA² = (a − 1)² + 25, PB² = (a + 3)² + 1. PA² = PB² 를 펼치면 a² − 2a + 26 = a² + 6a + 10 이 되고, 양변에서 a² 이 지워져 일차방정식이 됩니다 ⇒ −2a + 26 = 6a + 10 ⇒ 8a = 16 ⇒ a = 2.
   이차항이 저절로 지워지는 것이 이 방법의 이득입니다.
   이 문제의 뜻 — 두 점에서 같은 거리에 있는 점들은 AB 의 수직이등분선을 이루고, 그 선이 x축과 만나는 자리가 P 입니다.
3. 검산 — PA² = 1 + 25 = 26, PB² = 25 + 1 = 26 ✔ (두 거리가 √26 으로 같다)

풀이 — 같은 모양의 작은 삼각형을 찾아 닮음비를 세운다

1. 밑각 ∠B = ∠C = (180° − 36°) ÷ 2 = 72°, 이등분해서 ∠ABD = ∠DBC = 36°.
2. △ABD 에서 ∠A = ∠ABD = 36° → DA = DB. △DBC 에서 ∠BDC = 180° − 36° − 72° = 72° = ∠C → BD = BC. 따라서 AD = BD = BC 이고, 이 길이를 x 라 하자.
3. ⭐ 여기가 고비 — 작은 삼각형이 큰 삼각형과 「같은 모양」이라는 것 — 거기서 방정식이 나온다 길이를 직접 잴 수 없으니 닮음으로 식을 세워야 합니다. △ABC 와 △BCD 는 세 각이 모두 36°, 72°, 72° 로 같아 닮음입니다(A↔B, B↔C, C↔D). 그러므로 AB : BC = BC : CD. 이제 길이를 x 로 채워 넣습니다 — AC = AB = 1 이고 CD = AC − AD = 1 − x 이므로 1 : x = x : (1 − x) ⇒ x² = 1 − x ⇒ x² + x − 1 = 0.
   풀면 x = (−1 + √5) ÷ 2 ≈ 0.618 (길이이므로 양수만) — 황금비입니다.
   「자기 안에 자기와 닮은 것이 들어 있다」는 것이 황금비가 태어나는 자리입니다. 이 36°–72°–72° 삼각형이 정오각형의 뼈대이기도 합니다.
4. 검산 — x² = (6 − 2√5) ÷ 4 = (3 − √5) ÷ 2, 1 − x = (3 − √5) ÷ 2 ✔ 같다.