유리함수 실전 완전정복
— 분자를 분모로 나누면 보인다 · 연습 10제

풀이 — 이미 표준형

1. ⭐ 여기가 고비 — 표준형에서 p 는 「부호를 뒤집어」 읽는다 y = k/(x − p) + q 꼴이면 점근선은 x = p, y = q 입니다. 여기서 p 부호가 뒤집혀 읽히는 것이 유일한 함정입니다 — 주어진 식은 y = 1/(x − 2) + 3 이니 x = −2 이 아니라 x = 2 입니다. 뒤의 상수 +3 은 그대로 y = 3. 왜 뒤집히는가 — 점근선 x = p 는 분모가 0 이 되는 자리입니다. 1/(x − 2) 에서 분모 x − 2 가 0 이 되는 것은 x = 2 일 때이니까요. 「빼는 수가 곧 옮겨 간 자리」 — 이차함수 y = (x − 2)² + 3 의 꼭짓점이 (2, 3) 인 것과 똑같은 이치입니다.
2. 검산 — x = 2 를 넣으면 1/0 로 분모가 0 이라 값이 없다. 점근선이 맞다 ✔

풀이 — 분자를 분모로 나눠서 표준형으로

풀이 — 점근선이 곧 빠지는 값

1. ⭐ 여기가 고비 — 치역에서 빠지는 값은 「가로 점근선」이다 정의역은 쉽습니다 — 분모가 0 이면 안 되므로 x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1. 문제는 치역인데, y 값 가운데 딱 하나가 빠집니다. 그 하나가 가로 점근선 y = 2 입니다. 왜 2 만 빠지는가 — 표준형 y = 2 + 3/(x − 1) 에서 3/(x − 1) 는 절대 0 이 될 수 없습니다(분자가 3 이니까요). 그러니 y 는 2 에 한없이 가까워질 뿐 2 가 되지는 못합니다. 나머지 값은 모두 나옵니다.
   기억할 짝 — 정의역에서 빠지는 값 = 세로 점근선, 치역에서 빠지는 값 = 가로 점근선. 점근선 두 개가 곧 「빠지는 값 두 개」입니다.
2. 검산 — (2x+1)/(x−1) = 2 로 놓고 풀면 2x + 1 = 2x − 2 이 되어 x 가 없다. 곧 y=2 를 내는 x 가 없다 ✔

풀이 — 공통분모로 통일

1. ⭐ 여기가 고비 — 통분하기 전에 분모를 「인수분해」해서 공통분모를 찾는다 두 분모 x² − x 과 x 를 그냥 곱하면 x²(x − 1) 이 되어 나중에 약분해야 합니다. 먼저 x² − x = x(x − 1) 로 인수분해해 보면 x(x − 1) 가 이미 x 를 품고 있다는 것이 보입니다 — 그러니 공통분모는 x(x − 1) 그대로입니다. 뒤의 것만 고쳐 주면 됩니다 — 1/x = (x − 1)/(x(x − 1)). 이제 분자끼리 빼면 [(x + 1) − (x − 1)]/(x(x − 1)) = 2/(x(x − 1)) ⇒ 2/(x² − x). 분자를 뺄 때 괄호를 반드시 치십시오 — 괄호 없이 x + 1 − x − 1 라고 쓰면 0 가 되어 답이 통째로 달라집니다. 「빼기 뒤에는 괄호」가 유리식 계산의 첫째 안전판입니다.
2. 검산 — x = 2 를 넣으면 좌변 3/2 − 1/2 = 1, 우변 2/(4 − 2) = 1 ✔

풀이 — 양변에 분모를 곱한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 분모를 곱해 풀고 나면 반드시 「제 자리에 있는 답인가」를 본다 양변에 (x − 1) 을 곱하면 2 = x − 1 ⇒ x = 3 — 계산은 한 줄입니다. 그런데 여기서 끝내면 안 됩니다. 원래 식에는 x ≠ 1 이라는 숨은 조건이 있었고, 분모를 곱하는 순간 그 조건이 식에서 사라져 버리기 때문입니다. 그러니 마지막에 구한 답이 그 조건을 지키는지 확인합니다 — 3 ≠ 1 이므로 답으로 받습니다 ✔
   유리방정식에서 「무연근」이 생기는 자리가 바로 여기입니다. 분모를 곱한 뒤에 나온 답이 분모를 0 으로 만드는 값이면, 그것은 계산 과정이 만들어 낸 가짜 근이라 버려야 합니다. 「분모를 곱했으면 조건을 확인한다」 — 짝지어 외워 두십시오.
2. 검산 — x = 3 을 넣으면 2/(3 − 1) = 1 ✔

풀이 — 단조감소이므로 양 끝값만 확인

1. ⭐ 여기가 고비 — 구간 안에 점근선이 없는지부터 보고, 그다음 양 끝만 잰다 먼저 2 ≤ x ≤ 4 안에 세로 점근선 x = 1 이 들어 있지 않은지 확인합니다 — 들어 있으면 함수가 그 자리에서 끊겨 최대·최소를 이렇게 구할 수 없습니다. 다행히 1 < 2 이므로 구간 안에서 끊기지 않습니다. 끊기지 않고 단조감소(x 가 커질수록 1/(x − 1) 가 작아짐)이므로 양 끝값만 재면 끝입니다 — x = 2 에서 y = 1/1 + 2 = 3 최댓값, x = 4 에서 y = 1/3 + 2 = 7/3 최솟값.
   「단조」라는 말의 값어치가 여기 있습니다 — 가운데를 하나도 살펴볼 필요가 없어집니다. 왼쪽 끝이 최대이고 오른쪽 끝이 최소라는 것도 감소라는 성질에서 곧바로 나옵니다.
2. 검산 — 가운데 x = 3 에서도 y = 1/2 + 2 = 2.5 로 두 끝값 사이에 있다 ✔

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 분자를 a(x − p) + k 로 억지로 만들 때 「모자란 만큼」을 정확히 센다 분자 3x − 1 를 분모 x + 1 로 나눕니다. 계수를 맞추려고 3(x + 1) 로 쓰면 이는 3x + 3 이므로 원래의 3x − 1 보다 4 가 큽니다 — 그러니 4 를 빼 주어야 합니다 ⇒ (3x − 1)/(x + 1) = [3(x + 1) − 4]/(x + 1) = 3 − 4/(x + 1). 표준형이 되었으니 점근선을 읽습니다 — 분모가 x + 1 이니 x = −1(부호가 뒤집힙니다), 앞의 상수에서 y = 3.
   계수 k 가 음수(−4)인 것도 뜻이 있습니다 — k > 0 이면 그래프가 1·3 사분면 쪽에, k < 0 이면 2·4 사분면 쪽에 놓입니다 (점근선을 축으로 삼아서요). 점근선만 묻는 문제라면 부호는 답에 영향을 주지 않지만, 그래프를 그리라 하면 갈립니다.
2. 검산 — x = 999 이면 y = 2996/1000 ≈ 2.996 로 3 에 다가간다 ✔

풀이 — 인수분해 후 약분

1. ⭐ 여기가 고비 — 약분은 「분모를 0 으로 만들지 않는다」는 약속 아래에서만 된다 x² − 4 = (x + 2)(x − 2) 이므로 (x + 2)(x − 2)/(x + 2) = x − 2 로 (x + 2) 가 지워집니다. 계산은 한 줄인데, 문제가 굳이 x ≠ −2 라고 달아 놓은 까닭을 보아야 합니다. 약분은 「같은 것으로 나누는 일」인데, 0 으로는 나눌 수 없기 때문입니다. x = −2 이면 x + 2 = 0 가 되어 애초에 나눌 수가 없습니다.
   그래서 원래 함수와 약분한 뒤의 함수는 「거의 같지만 딱 한 점이 다릅니다」 — y = x − 2 는 직선인데, y = (x² − 4)/(x + 2) 는 x = −2 자리에 구멍이 뚫린 직선입니다. 그 구멍이 이 조건의 정체입니다.
2. 검산 — x = 3 을 넣으면 좌변 (9 − 4)/5 = 1, 우변 3 − 2 = 1 ✔

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 정의역은 「분모가 0 이 되면 안 된다」 한 줄로 끝난다 분수식에서 쓸 수 없는 값은 분모를 0 으로 만드는 값 하나뿐입니다. 그러니 2x − 6 ≠ 0 라 놓고 풀면 됩니다 — 2x ≠ 6 ⇒ x ≠ 3. 「≠」인 채로 계산해도 등식과 똑같이 다룹니다 — 양변에서 빼고 양변을 나누는 일이 그대로 통합니다 (다만 음수로 나눌 때만 부등호가 뒤집히는데, ≠ 는 방향이 없어 그럴 일도 없습니다).
   헷갈리면 먼저 2x − 6 = 0 를 풀어 「금지된 값」을 구한 뒤, 그 값만 빼면 됩니다 — 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ 3 를 빼서 x ≠ 3 인 모든 실수.
2. 검산 — x = 3 을 넣으면 분모가 2·3 − 6 = 0 이라 정의되지 않는다 ✔

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 분모가 왜 100 + x 인지 — 물을 부으면 「전체」가 늘어난다 식을 그냥 받아 계산하기 전에 그 식이 왜 그렇게 생겼는지를 한 번 읽어 두면 다른 문제도 풀립니다. 농도는 (소금)÷(소금물 전체)×100 인데, 물 x g 을 부으면 소금은 그대로 20g 이고 전체만 (100 + x) g 으로 늘어납니다. 그래서 y = 20/(100 + x) × 100 입니다. 이제 x = 100 을 넣으면 y = 20/200 × 100 = 10 ⇒ 10%.
   이 식이 유리함수인 까닭도 보입니다 — 분모에 x 가 있고 분자는 상수라 k/x 꼴의 반비례 모양입니다. 물을 부을수록 농도가 0 에 가까워지지만 결코 0 이 되지는 않는다는 것이 바로 가로 점근선 y = 0 입니다.
2. 검산 — 물을 넣기 전 농도는 20/100 × 100 = 20% 였다가 10% 로 절반이 되었다. 물이 100g 늘어 전체가 두 배가 되었으니 맞다 ✔

풀이 — 분모의 부호만 확인

1. ⭐ 여기가 고비 — 양변에 분모를 곱하지 말고 「분모의 부호」만 본다 유리부등식에서 양변에 (x − 2) 를 곱하는 것은 위험합니다 — 그 값이 양수인지 음수인지 모르는데 곱하면 부등호를 뒤집어야 할지 알 수 없기 때문입니다. 여기서는 그럴 필요가 없습니다 — 분자가 1 로 양수이니 전체가 양수이려면 분모도 양수여야 합니다 ⇒ x − 2 > 0 ⇒ x > 2. 「분수의 부호는 분자와 분모의 부호가 정한다」 — 둘의 부호가 같으면 양수, 다르면 음수. 그래서 유리부등식은 곱셈 부등식으로 바꿔 풀 수도 있습니다 — 1/(x − 2) > 0 는 1 × (x − 2) > 0 와 같은 답을 냅니다 (다만 이때 x = 2 는 반드시 빼야 합니다).
   어느 길이든 「분모가 0 이 되는 자리」는 답에서 제외합니다.
2. 검산 — x = 3 을 넣으면 1/1 = 1 > 0 로 참, x = 1 을 넣으면 1/(−1) = −1 로 거짓 ✔

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 두 분모를 그대로 곱해 공통분모를 만든다 — 대각선으로 곱해 올린다 x + 1 과 x − 1 은 공통인수가 없으므로 공통분모는 그대로 곱한 (x + 1)(x − 1) 입니다. 각 분수의 분자에는 상대편 분모를 곱해 올립니다 — 첫째 항의 분자에는 (x − 1), 둘째 항의 분자에는 (x + 1). 더하면 [(x − 1) + (x + 1)]/((x + 1)(x − 1)) ⇒ 2x/(x² − 1) (분모는 합차공식으로 (x+1)(x−1) = x² − 1).
   문제 4 와 견주어 보십시오 — 거기서는 분모에 공통인수가 있어 그냥 곱하면 손해였고, 여기서는 공통인수가 없어 그냥 곱하는 것이 최선입니다. 「먼저 인수분해해 보고, 공통인수가 있으면 최소공배수로, 없으면 그대로 곱한다」 — 순서는 늘 같습니다.
2. 검산 — x = 2 를 넣으면 좌변 1/3 + 1/1 = 4/3, 우변 4/(4 − 1) = 4/3 ✔

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 분자에 상수항이 없어도 방법은 같다 — 「없는 것」을 만들어 낸다 분자가 4x 로 상수항이 아예 없습니다. 그래도 하는 일은 같습니다 — 계수를 맞춰 4(x − 2) 로 쓰면 이는 4x − 8 이므로 원래의 4x 보다 8 이 작습니다. 그러니 8 을 더해 주면 됩니다 ⇒ 4x/(x − 2) = [4(x − 2) + 8]/(x − 2) = 4 + 8/(x − 2). 점근선은 x = 2, y = 4.
   더할지 뺄지 헷갈릴 때는 「만든 것」과 「원래 것」을 나란히 쓰고 차이를 보십시오 — 4(x − 2) = 4x − 8, 원래 4x ⇒ 차이가 +8 이니 8 을 더합니다. 이 한 걸음(나눗셈)만 익히면 유리함수의 점근선 문제는 모두 같은 문제입니다 — 이 편의 2·7·13·14번이 그것을 보여 줍니다.
2. 검산 — x = 1002 이면 y = 4008/1000 = 4.008 로 4 에 다가간다 ✔

풀이 — 표준형으로 바꾸면 바로 보인다

1. ⭐ 여기가 고비 — 표준형으로 바꾸면 「무엇이 사라지는지」가 눈에 보인다 (5x − 2)/(x + 3) 를 그대로 두고 x → ∞ 를 생각하면 분자도 분모도 한없이 커져 ∞/∞ 꼴이라 값을 알 수 없습니다. 그런데 분자를 분모로 나눠 5 − 17/(x + 3) 로 바꾸면 x 가 들어 있는 곳이 뒤의 한 덩이뿐이 됩니다. 이제 답이 그대로 보입니다 — x → ∞ 이면 분모가 한없이 커지므로 17/(x + 3) → 0 이고, 남는 것은 앞의 상수 5 입니다.
   「가로 점근선 y = 5」와 「x → ∞ 일 때의 극한 5」는 같은 말입니다 — 가로 점근선이란 곧 「멀리 갔을 때 다가가는 높이」이니까요. 그러니 이 문제는 계산 문제가 아니라 「표준형으로 바꾸는 문제」입니다. (참고 — 5(x + 3) − 17 = 5x − 2 이므로 (5x−2)/(x+3) = 5 − 17/(x+3) ✓)
2. 검산 — x = 1000 을 넣으면 (5000 − 2)/1003 ≈ 4.983 로 이미 5 에 가깝다 ✔

풀이 — 부분분수로 쪼개 소거

1. ⭐ 여기가 고비 — 한 덩이를 「두 조각의 차」로 쪼개면 가운데가 서로 지워진다 99개를 더할 수는 없습니다. 그런데 1/(k(k+1)) 는 1/k − 1/(k+1) 로 쪼개집니다 (분모 두 개의 차가 1 이라 그대로 쪼개집니다). 차례로 쓰면 — (1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ⋯ + (1/99 − 1/100). 앞 항의 뒤쪽과 뒤 항의 앞쪽이 짝을 지어 사라집니다 — 남는 것은 맨 앞의 1/1 과 맨 뒤의 1/100 둘뿐 ⇒ 1 − 1/100 = 99/100.
   대가리와 꼬랑지는 외우지 말고 첫 항과 끝 항을 직접 써 보고 읽으십시오 — 여기서는 분모가 1 · 2 부터 시작하므로 대가리가 1 입니다(만약 2 · 3 부터였다면 ½ 이었을 것입니다).
2. 검산 — 위끝을 3 으로 줄이면 1/2 + 1/6 + 1/12 = 3/4, 공식으로도 1 − 1/4 = 3/4 ✔

풀이 — 통분해서 뒤집기

1. ⭐ 여기가 고비 — 구한 것은 R 이 아니라 1/R 이다 — 마지막에 뒤집어야 한다 통분해 더하면 1/R = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 입니다. 여기서 답을 쓰면 R = 1/2 이라 하게 됩니다. 그러나 구하는 것은 R 이지 1/R 이 아니므로 양변을 뒤집어야 합니다 ⇒ R = 2 (Ω). 이것이 「번분수는 맨 아래층부터」의 뜻입니다 — 아래 한 층을 통분해 하나로 만든 다음 뒤집어 올립니다. 위에서부터 손을 대면 절대 안 풀립니다.
   답이 그럴듯한지 눈으로 확인하는 법 — 병렬로 이으면 합성저항은 가장 작은 저항보다도 작아집니다. 여기서는 6 과 3 이니 3 보다 작아야 하고, 실제로 2 < 3 로 맞습니다 ✔ 만약 답이 9(=6+3)나 4.5 처럼 나왔다면 그 자리에서 틀린 줄 알 수 있습니다.
2. 검산 — R = 2 이면 1/2 = 0.5 이므로 1/6 + 1/3 = 0.1666… + 0.3333… = 0.5 ✔