점·직선·평면의 위치 관계 실전 완전정복 — 연습 10제

먼저 · 위치 관계를 세는 무기 여섯 가지

점은 두 가지뿐 — 선·면 안에 박혀 있으면 「위에 있다」, 밖에 있으면 「위에 있지 않다」. "위"는 높이가 아니다.

한 평면 위의 두 직선은 셋 — 한 점에서 만난다 · 일치한다 · 평행하다. ⛔ 여기에 꼬인 위치는 없다.

⭐ 공간에서는 하나가 더 붙는다 — 만나지도 않고 평행하지도 않으면 꼬인 위치. 두 가지를 모두 만족해야 한다.

⭐ 세는 차례를 고정한다 — ①만나는 것 ②평행한 것 ③남는 것이 꼬인 위치. 그리고 만남 + 평행 + 꼬임 = (전체 모서리) − 1 로 반드시 검산한다.

직선과 평면은 셋, 두 평면은 둘 — 직선은 포함·만남·평행, 평면은 만남(교선이 생긴다)·평행. 면 기준으로 셀 때는 포함 + 수직 + 평행 = 12 (직육면체)로 검산한다.

전개도가 나오면 접어서 주사위로 — 마주 보는 면은 평행, 나머지 넷은 전부 수직. 그러니 「수직인 면을 모두」는 마주 보는 면 하나만 빼면 끝이다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

교실 천장의 두 모서리는 어떤 것은 만나고, 어떤 것은 아무리 늘여도 안 만난다 — 그 "안 만나는" 것이 두 종류라는 것이 오늘의 이야기다.

📐 중1 (핵심)

점과 직선·평면, 두 직선(만남·평행·꼬인 위치), 직선과 평면(포함·수직·평행·거리), 두 평면(교선·평행·수직), 전개도.

🎓 그 다음 (확장)

삼수선의 정리, 정사영, 이면각으로 이어지고, 고등 공간좌표에서 방향벡터·법선벡터로 그대로 다시 만난다.

🐣 먼저 몸으로 — 교실 천장과 바닥에서 찾아보기

교실 천장의 앞쪽 모서리와 바닥의 오른쪽 모서리를 봅니다. 둘은 만나지 않습니다. 그런데 평행하지도 않습니다 — 방향이 아예 다르니까요. 층이 다르고 방향도 달라서 영영 만날 일이 없는 이 관계가 꼬인 위치입니다.

반대로 천장의 앞쪽 모서리와 바닥의 앞쪽 모서리는 만나지 않지만 방향이 같아 평행합니다. "안 만난다"는 말만으로는 평행인지 꼬임인지 알 수 없습니다.

만나지 않는다 = 평행 또는 꼬인 위치 — 둘 중 하나를 반드시 가려야 한다

연습 10제 · 전부 손으로 검산한 해설

문제 1점과 직선·평면 · 기본

아래 그림에서 평면 P 와 직선 l 은 점 A 에서 만나고, 점 B 는 직선 l 위에, 점 C 는 평면 P 위에 있다. 다음 중 옳은 것을 모두 고르시오.

점 A 는 평면 P 위에 있다.
점 B 는 평면 P 위에 있다.
점 C 는 직선 l 위에 있다.
점 A 는 직선 l 위에 있다.

풀이 — 만나는 점은 두 곳에 모두 있고, 나머지는 한 곳에만 있다

⭐ 여기가 고비 — 「위에 있다」는 「올라타 있다」가 아니라 「그 안에 박혀 있다」 이 단원은 낱말부터 바로 읽어야 합니다. 「점이 직선 위에 있다」는 말은 점이 직선에 박혀 있다는 뜻이지 위쪽에 떠 있다는 뜻이 아닙니다. 그러면 답이 저절로 갈립니다 — 평면과 직선이 만나는 점 A 하나만이 두 곳에 동시에 박혀 있고, 나머지는 한 곳에만 있습니다. 그래서 ①과 ④가 참입니다 — A 는 평면 위의 점이면서 직선 위의 점입니다.
②가 거짓인 까닭 — 직선이 평면에 포함되지 않고 만나면 만나는 점은 딱 하나뿐이니, B 는 직선 위에 있어도 평면에서는 뚝 떨어져 있습니다.
③이 거짓인 까닭 — C 는 평면 위에 있지만 직선 l 밖입니다. 「두 곳에 동시에 있는 점은 오직 만나는 점 하나」 — 이 한 줄이 네 보기를 모두 판정합니다.

"위에 있다는 말은, 선생님이 위에 서 있다는 그 위가 아니야. 선 안에 박혀 있다는 뜻이야."— 장대경 선생님 특강 제60강 「점·직선·평면의 위치 관계」

① , ④

※ 직선이 평면에 포함되지 않고 만나면 만나는 점은 딱 하나다. 그 하나가 두 곳에 동시에 있는 유일한 점이다.

문제 2평면도형 · 변 위의 꼭짓점

오각형 ABCDE 에 대하여 다음을 구하시오.

변 CD 위에 있지 않은 꼭짓점을 모두 구하시오.
변 BC 와 변 CD 에 동시에 있는 꼭짓점을 구하시오.
변 AB 와 변 CD 에 동시에 있는 꼭짓점의 개수를 구하시오.

풀이 — 변 위의 꼭짓점은 그 변의 두 끝뿐이다

⭐ 여기가 고비 — 변 위의 꼭짓점은 「그 변의 두 끝」 둘뿐이다 오각형을 그려 놓고 세려 들면 헷갈립니다. 변 CD 위에 있는 꼭짓점은 양 끝인 C, D 둘뿐 — 이 한 줄만 잡으면 세 물음이 모두 뺄셈과 교집합으로 끝납니다. (1) 꼭짓점 다섯에서 C, D 를 빼면 A, B, E — 3개.
(2) 변 BC 위는 B, C, 변 CD 위는 C, D ⇒ 공통은 C 하나. 두 변이 만나는 자리가 곧 답입니다.
(3) 변 AB 위는 A, B, 변 CD 위는 C, D ⇒ 공통이 없어 0개. 「동시에 있는 꼭짓점」은 두 변이 이웃할 때만 생깁니다.
검산 — (있지 않은 3개) + (있는 2개) = 5 로 오각형의 꼭짓점 개수와 같습니다 ✔

(1) A, B, E / (2) C / (3) 0개

※ 「동시에 있는 꼭짓점」은 두 변이 이웃할 때만 생긴다. 이웃하지 않으면 답이 0이다.

문제 3두 직선 · 가능한 관계 고르기

한 평면 위에 있는 서로 다른 두 직선 l, m 의 위치 관계로 가능한 것을 모두 고르시오.

한 점에서 만난다
평행하다
꼬인 위치에 있다
서로 수직이다

풀이 — 「한 평면 위」와 「서로 다른」, 두 낱말이 답을 정한다

① 가능 — 한 평면 위의 두 직선이 만나는 가장 흔한 경우다.
② 가능 — 만나지 않으면 평행이다.
③ 불가능 — 꼬인 위치는 한 평면 위에 있지 않을 때만 생긴다. 「한 평면 위」라고 이미 못박혀 있으므로 될 수 없다.
⭐ 여기가 고비 — ④ 수직은 「따로 있는 관계」가 아니라 「만남 속의 특별한 경우」다 두 직선의 위치 관계를 만난다 · 일치한다 · 평행하다 셋으로 외운 학생은 ④를 빼 버립니다 — 목록에 「수직」이 없으니까요. 그러나 수직은 만나는 것 중에서 각이 90° 인 경우일 뿐입니다. 만날 수 있으면 직각으로도 만날 수 있으므로 ④는 가능. 「관계의 이름」과 「관계의 갈래」를 갈라 두십시오 — 갈래는 만남·평행(·일치·꼬임)이고, 수직·직교는 그 갈래에 붙는 꾸밈말입니다.
「일치한다」가 보기에 없는 까닭도 함께 보아 두십시오 — 문제가 「서로 다른」 두 직선이라 했으므로 일치는 애초에 빠졌습니다. 문제의 낱말 하나하나가 보기를 지우거나 살립니다.

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 「위치 관계는 만남·평행·꼬임 셋」이라고만 외우면 ④를 불가능으로 찍게 된다. 그러나 십자로 만나는 두 직선을 종이에 그려 보라 — 한 평면 위에 있고, 만나고, 직각이다. 실제로 그릴 수 있으면 「가능」이다. ⇨ 「가능한 것을 고르라」는 그려 보면 끝난다. 하나라도 그려지면 가능이다.

① , ② , ④

※ ⛔ ④를 빠뜨리기 쉽다. 수직은 만남과 따로 있는 관계가 아니라 만남 안에 든 특별한 경우다.

문제 4직육면체 · 꼬인 위치의 개수

직육면체 ABCD-EFGH 에서 모서리 AB 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 구하시오.

풀이 — 만나는 것 먼저, 평행 다음, 남는 것이 꼬임

모서리 열둘은 AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH 다. 자기 자신 AB 를 빼면 11개를 가려야 한다.
⭐ 여기가 고비 — 세는 「순서」가 곧 답이다 — 만남 먼저, 평행 다음, 남는 것이 꼬임 꼬인 위치를 바로 찾으려 들면 반드시 빠뜨립니다. 「만나지도 평행하지도 않다」는 두 조건을 동시에 확인해야 하니까요. 그래서 쉬운 것부터 지웁니다 — ①만나는 것(양 끝 A, B 에 붙은 것) AD, AE, BC, BF → 4개, ②평행한 것(방향이 같은 것) DC, EF, HG → 3개, ③남는 것이 꼬임 FG, HE, CG, DH → 4개. 이 순서의 힘은 「검산이 저절로 된다」는 것입니다 — 4 + 3 + 4 = 11 = 12 − 1 ✔ 합이 안 맞으면 어딘가를 빠뜨렸거나 두 번 센 것이라 그 자리에서 알 수 있습니다. 꼬인 위치를 눈으로 찾는 대신, 만남과 평행을 지우고 「남는 것」으로 받는 것 — 이것이 이 단원의 손버릇입니다.

"만남 먼저, 평행 다음, 남는 것이 꼬임. 이 순서로 세면 하나도 안 빠뜨린다."— 장대경 선생님 특강 제60강 「점·직선·평면의 위치 관계」

4개 (FG, HE, CG, DH)

※ 직육면체에서는 어느 모서리를 잡아도 만남 4 · 평행 3 · 꼬임 4 로 언제나 같다. 외우지 말고 세는 순서를 외운다.

문제 5삼각기둥 · 셋으로 갈라 세기

삼각기둥 ABC-DEF 에서 모서리 CF 에 대하여 다음을 구하시오.

한 점에서 만나는 모서리를 모두 구하시오.
평행한 모서리를 모두 구하시오.
꼬인 위치에 있는 모서리를 모두 구하시오.

풀이 — 세로 모서리를 기준으로 잡으면 짜임이 한눈에 보인다

모서리 아홉은 AB, BC, CA / DE, EF, FD 와 세로의 AD, BE, CF 다. 자기 자신을 빼면 8개를 가린다.
① 만나는 것 — C 에서 BC, CA, F 에서 EF, FD → 4개
⭐ 여기가 고비 — 도형이 바뀌면 숫자도 바뀐다 — 직육면체의 4·3·4 를 외워 오면 틀린다 앞 문제에서 만남 4 · 평행 3 · 꼬임 4 였다고 여기서도 그러리라 여기면 어긋납니다. 삼각기둥의 세로 모서리 CF 와 평행한 것은 다른 세로 모서리 AD, BE 둘뿐입니다 — 직육면체에는 같은 방향이 넷씩 있었지만 삼각기둥의 세로는 셋뿐이니까요. 그래서 4 · 2 · 2. 남는 AB 와 DE 가 꼬인 위치입니다 — AB 는 C 를 지나지 않고 세로도 아니며, DE 도 F 를 지나지 않습니다.
검산 — 4 + 2 + 2 = 8 = 9 − 1 ✔ 「숫자를 외우지 말고 순서를 외운다」 — 순서만 지키면 도형이 무엇이든 같은 손놀림으로 셀 수 있고, 합이 맞는지로 스스로 채점까지 됩니다.

"모서리는 모두 아홉 개인데 자기 자신 하나를 빼면 여덟 개. 이렇게 세면 절대 안 빠뜨려."— 장대경 선생님 특강 제60강 「점·직선·평면의 위치 관계」

(1) BC, CA, EF, FD / (2) AD, BE / (3) AB, DE

※ 직육면체(4·3·4)와 달리 삼각기둥의 세로 모서리는 4 · 2 · 2 다. 도형이 바뀌면 숫자도 바뀐다 — 그래서 매번 세어야 한다.

문제 6직선과 평면 · 12개를 셋으로

직육면체 ABCD-EFGH 에서 면 BFGC 에 대하여 다음을 구하시오.

이 면에 포함된 모서리를 모두 구하시오.
이 면과 수직인 모서리를 모두 구하시오.
이 면과 평행한 모서리를 모두 구하시오.

풀이 — 오른쪽 옆면 하나를 기준으로 열두 모서리를 셋으로 나눈다

⭐ 여기가 고비 — 기준이 「면」이면 모서리 열둘이 포함·수직·평행 셋으로 남김없이 갈린다 면 BFGC 를 기준으로 잡으면 모서리 하나하나가 셋 중 하나에 반드시 들어갑니다 — ①테두리(포함) BC, CG, GF, FB, ②그 면을 정면으로 뚫는 방향(수직) AB, DC, EF, HG, ③마주 보는 면의 테두리(평행) AD, DH, HE, EA. ②를 알아보는 눈 — 면에 직각으로 꽂히는 모서리를 찾습니다. AB 는 B 에서, DC 는 C 에서, EF 는 F 에서, HG 는 G 에서 각각 꽂힙니다.
검산 — 4 + 4 + 4 = 12 ✔ 열두 모서리가 하나도 남지 않고 셋에 나뉩니다. 합이 12 가 안 되면 어느 모서리를 빠뜨린 것이니 그 자리에서 되짚으면 됩니다.

(1) BC, CG, GF, FB / (2) AB, DC, EF, HG / (3) AD, DH, HE, EA

※ 직육면체에서는 어느 면을 잡아도 포함 4 · 수직 4 · 평행 4 다. 다만 어느 넷인지는 면마다 다르니 반드시 그려서 짚는다.

문제 7두 평면 · 교선

직육면체 ABCD-EFGH 에서 면 ABFE 에 대하여 다음을 구하시오.

평행한 면을 구하시오.
수직인 면을 모두 구하시오.
교선이 모서리 BF 인 면을 구하시오.

풀이 — 여섯 면에서 마주 보는 하나만 떼어 내면 된다

여섯 면은 ABCD(위), EFGH(밑), ABFE(앞), DCGH(뒤), ADHE(왼쪽), BCGF(오른쪽) 이다.
① 평행한 면 — 앞면과 마주 보는 DCGH 하나뿐 → 1개. ② 수직인 면 — 마주 보는 면만 빼면 나머지가 전부 수직 : ABCD, EFGH, ADHE, BCGF → 4개. (검산 — 1(자기) + 1(평행) + 4(수직) = 6 ✔)
⭐ 여기가 고비 — ③ 교선을 묻는 것은 「그 모서리를 함께 나눠 갖는 면」을 묻는 것 「교선이 BF 인 면」이라는 말이 낯설지만, 뜻은 간단합니다 — ABFE 와 BF 를 함께 나눠 갖는 면이 누구냐입니다. B, F 를 함께 가진 다른 면은 BCGF 하나입니다. 답이 하나로 딱 정해지는 까닭이 이 문제의 뼈대입니다 — 모든 모서리는 정확히 두 면이 나눠 갖습니다. BF 는 ABFE 와 BCGF 둘이 나눠 가지고 있으니, 그중 하나를 빼면 남는 것은 하나뿐입니다 ✔
이 사실은 뒤의 문제 13(3)에서도 그대로 쓰입니다 — 「모서리를 포함하는 면의 개수」는 어떤 입체에서든 2.

"모든 모서리는 언제나 두 면이 나눠 갖고 있어."— 장대경 선생님 특강 제60강 「점·직선·평면의 위치 관계」

(1) DCGH / (2) ABCD, EFGH, ADHE, BCGF / (3) BCGF

※ 두 평면은 만나거나 평행하거나 둘뿐이다. 만나면 반드시 직선 하나가 생기고 그것이 교선이다.

문제 8사각뿔 · 평행이 하나도 없는 도형

밑면이 사각형 ABCD 이고 꼭짓점이 O 인 사각뿔에서, 모서리 AB 와 꼬인 위치에 있는 모서리를 모두 구하시오.

풀이 — 뿔에는 세로 모서리가 없으니 평행이 잘 나오지 않는다

모서리는 밑면의 AB, BC, CD, DA 와 옆의 OA, OB, OC, OD — 모두 8개. 자기 자신을 빼면 7개를 가린다.
⭐ 여기가 고비 — 옆 모서리 OA·OB 는 「꼬임」이 아니라 「만남」이다 뿔에는 기둥 같은 세로 모서리가 없어 평행이 잘 나오지 않습니다. 그래서 남는 것을 다 꼬임으로 몰아넣기 쉬운데, OA 와 OB 는 각각 A, B 에서 AB 와 만납니다. 꼭짓점 O 에서 서로 만난다는 것에 눈이 가려 양 끝 A·B 에서도 만난다는 것을 놓치면 안 됩니다. 순서대로 세면 — ①만남 AD, OA, BC, OB → 4개, ②평행 DC → 1개(밑면이 평행사변형 꼴일 때), ③남는 것 OC, OD → 2개가 꼬인 위치입니다.
검산 — 4 + 1 + 2 = 7 = 8 − 1 ✔ 「기준 모서리의 양 끝 두 점을 먼저 짚고, 거기 붙은 것을 모두 지운다」 — 이 걸음을 건너뛰면 만남을 꼬임으로 잘못 셉니다.

OC, OD (2개)

※ 옆 모서리 OA, OB 는 꼭짓점 O 에서 서로 만나지만, AB 와는 A·B 에서 만난다. 만나는 것을 꼬임으로 세지 않도록 양 끝부터 짚는다.

문제 9전개도 · 접어서 주사위로

아래 전개도를 접어 정육면체를 만들 때, 면 ㉢ 에 대하여 다음을 구하시오.

평행한 면을 구하시오.
수직인 면을 모두 구하시오.

풀이 — 가운데 넉 줄은 띠가 되어 감기고, 위아래 둘이 뚜껑이 된다

⭐ 여기가 고비 — 가로로 이어진 넉 장은 「띠」가 되어 한 칸 건너뛴 것끼리 마주 본다 전개도를 머릿속에서 접기 어려우면 「띠」부터 찾으십시오. 가로로 이어진 넉 장 ㉡㉢㉣㉤ 은 접으면 옆을 한 바퀴 도는 띠가 되고, 띠에서는 한 칸 건너뛴 것끼리 마주 봅니다 ⇒ ㉡ ↔ ㉣, ㉢ ↔ ㉤. 남은 ㉠ 과 ㉥ 이 위아래 두 뚜껑이 되어 서로 마주 봅니다 ⇒ ㉠ ↔ ㉥. 마주 보는 짝 세 쌍이 정해지면 두 물음이 함께 풀립니다 — ①평행한 면은 마주 보는 ㉤ 하나, ②수직인 면은 마주 보는 것 하나만 빼면 나머지 전부이므로 ㉠, ㉡, ㉣, ㉥ 4개.
검산 — 짝은 (㉠,㉥) (㉡,㉣) (㉢,㉤) 로 세 쌍, 면은 여섯 ✔ 그리고 1(자기) + 1(평행) + 4(수직) = 6 ✔ 그래도 안 그려지면 선생님 말씀대로 실제로 만들어 잘라 보는 것이 가장 빠릅니다.

"입체가 머릿속에 안 그려지면, 두부를 사 와서 잘라 봐."— 장대경 선생님 특강 제60강 「점·직선·평면의 위치 관계」

(1) ㉤ / (2) ㉠, ㉡, ㉣, ㉥

※ 주사위로 생각하면 더 쉽다 — 마주 보는 두 수를 더하면 언제나 7. 「수직인 면을 모두」는 마주 보는 면 하나만 빼는 문제다.

문제 10거리 · 수직으로 내린 길이

직육면체 ABCD-EFGH 에서 AB = 5 cm, AD = 4 cm, AE = 3 cm 일 때 다음을 구하시오.

점 A 와 면 EFGH 사이의 거리를 구하시오.
모서리 AD 와 면 BFGC 사이의 거리를 구하시오.

풀이 — 거리는 언제나 수직으로 내린 길이다

(1) 점 A 에서 밑면 EFGH 로 곧게 내려간 선분이 AE 다. 밑면과 수직이므로 이것이 거리 ⇒ 3 cm.
⭐ 여기가 고비 — (2) 재기 전에 「평행한가」부터 확인한다 「직선과 평면 사이의 거리」는 둘이 평행할 때만 말할 수 있습니다. 만나 버리면 재는 자리마다 값이 달라져 거리가 하나로 정해지지 않기 때문입니다. 그래서 먼저 확인합니다 — AD 는 BC 와 평행하고 BC 는 면 BFGC 안에 있으며, A, D 는 그 면 위에 없습니다 ⇒ AD 는 면 BFGC 와 평행합니다. 평행이 확인되었으니 이제 아무 점에서나 수직으로 내리면 됩니다 — A 에서 그 면으로 곧게 그은 것은 AB 이고 (문제 6의 ②에서 AB 가 이 면과 수직임을 이미 보았습니다), 거리는 AB = 5 cm.
검산 — D 에서 그어도 DC = AB = 5 cm 로 같습니다 ✔ 「어느 점에서 재도 같은 값이 나온다」는 것이 곧 평행의 뜻입니다.

(1) 3 cm / (2) 5 cm

※ ⛔ 평행할 때만 「직선과 평면 사이의 거리」를 말할 수 있다. 만나 버리면 잰 자리마다 값이 달라져서 거리가 정해지지 않는다.

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 · 중1대각선과 모서리 · 전수 세기

정육면체 ABCD-EFGH 에서 대각선 AG 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 구하시오.

풀이 — 대각선은 양 끝 두 꼭짓점에서만 모서리와 만난다

① 만나는 것 — A 에 모인 AB, AD, AE 셋과 G 에 모인 GC, GF, GH 셋 → 6개. (한 꼭짓점에는 언제나 모서리 3개가 모인다)
② 평행한 것 — AG 는 정육면체를 비스듬히 가로지르므로 가로·세로·높이 어느 방향과도 같지 않다 → 0개.
⭐ 여기가 고비 — 대각선은 모서리 목록에 없다 — 그래서 12에서 1을 빼지 않는다 앞의 문제들에서는 늘 「전체 − 자기 자신」으로 셌습니다. 그런데 여기서 기준은 대각선 AG 이고, 대각선은 모서리가 아닙니다. 그러니 12 에서 뺄 것이 없습니다 — 세어야 할 것은 12개 전부입니다. 따라서 12 − 6 − 0 = 6개. 남는 여섯은 BC, CD, EF, HE, BF, DH 로, A 도 G 도 지나지 않습니다.
왜 겉의 모서리와 그 여섯이 안 닿는지 — 대각선 AG 는 정육면체 속을 지나므로 겉면의 모서리와는 양 끝 A, G 말고는 닿을 수가 없습니다 ✔
「기준이 그 목록 안에 들어 있는가」를 먼저 묻는 것 — 개수 세기 문제의 첫 걸음입니다.

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 버릇대로 12 − 1 − 6 − 0 로 세면 5개라는 답이 나온다. 그런데 실제로 적어 보면 BC, CD, EF, HE, BF, DH 여섯이다 — 하나가 사라졌다. 빼 버린 「자기 자신」이 애초에 목록에 없었기 때문이다. ⇨ 기준이 모서리이면 −1, 대각선이면 −0. 세기 전에 기준의 신분부터 확인한다.

6개 (BC, CD, EF, HE, BF, DH)

※ ⛔ 모서리끼리 셀 때는 「전체 − 1」, 대각선을 기준으로 셀 때는 「전체」 다. 기준이 모서리 목록에 들어 있는지 아닌지를 먼저 확인한다.

도전 · 중1오각기둥 · 평행이 하나뿐

밑면이 정오각형인 오각기둥 ABCDE-FGHIJ (A 와 F, B 와 G, … 가 각각 세로 모서리로 이어진다) 에서 모서리 AB 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 구하시오.

풀이 — 정오각형에는 평행한 변이 하나도 없다는 것이 열쇠

모서리는 윗면 AB, BC, CD, DE, EA, 밑면 FG, GH, HI, IJ, JF, 세로 AF, BG, CH, DI, EJ — 모두 15개. 자기 자신을 빼면 14개를 가린다.
① 만나는 것 — A 에서 EA, AF, B 에서 BC, BG → 4개
⭐ 여기가 고비 — 「정오각형」이라는 말 하나가 평행의 개수를 정한다 변의 개수가 홀수인 다각형에는 마주 보는 변이 없습니다. 정오각형의 한 변 AB 를 잡으면 맞은편에는 변이 아니라 꼭짓점이 옵니다. 그래서 윗면 안에는 AB 와 평행한 변이 하나도 없고, 평행한 것은 바로 아래의 FG 하나뿐입니다(세로 모서리는 방향이 아예 다릅니다). 그러므로 ③남는 것은 14 − 4 − 1 = 9개 — 윗면의 CD, DE 둘, 밑면의 GH, HI, IJ, JF 넷, 세로의 CH, DI, EJ 셋 ⇒ 2 + 4 + 3 = 9 ✔
검산 — 4 + 1 + 9 = 14 = 15 − 1 ✔ 밑면 모양이 답을 바꿉니다 — 정육각형이었다면 마주 보는 변이 생겨 평행이 3개(윗면 1·밑면 2)가 됩니다.

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 직육면체 버릇으로 「윗면에도 마주 보는 변이 있겠지」 하고 평행을 3개로 세면 꼬임이 14 − 4 − 3 = 7개 가 된다. 그러나 정오각형을 실제로 그려 AB 의 맞은편을 보라 — 거기 있는 것은 꼭짓점 D 이지 변이 아니다. ⇨ 변의 개수가 홀수면 마주 보는 변이 없다. 「정오각형」이라는 낱말을 흘리지 않는다.

9개

※ 만약 밑면이 정육각형이었다면 마주 보는 변이 생겨 평행이 3개(윗면 1 · 밑면 2)가 된다. 밑면 모양이 답을 바꾼다 — "정오각형"이라는 말을 흘리면 안 된다.

도전 · 중1삼각기둥 · 면 기준으로 세기

삼각기둥 ABC-DEF 에서 다음을 각각 구하시오.

면 ADEB 와 평행한 모서리의 개수
면 ABC 와 수직인 모서리의 개수
모서리 CF 를 포함하는 면의 개수

풀이 — 기준이 면이면 「닿는가, 닿지 않는가」부터 가른다

(1) 면 ADEB 의 테두리는 AB, BE, ED, DA(포함 4개). 나머지 다섯 BC, CA, EF, FD, CF 중 BC, CA 는 B, A 에서, EF, FD 는 E, D 에서 이 면에 닿는다. 닿지 않는 것은 CF 하나이고, 세로 모서리라 면 안의 AD·BE 와 방향이 같아 평행 → 1개. (검산 — 포함 4 + 만남 4 + 평행 1 = 9 ✔)
⭐ 여기가 고비 — 「수직인 면」과 「수직인 모서리」 — 묻는 것이 무엇인지부터 밑줄을 긋는다 (2)에서 가장 많이 어긋나는 것은 계산이 아니라 읽기입니다. 묻는 것은 면 ABC 와 수직인 모서리이지 면이 아닙니다. 면 ABC 는 윗면이므로 여기에 기둥처럼 곧게 꽂힌 모서리는 세로 모서리 AD, BE, CF → 3개. (만약 「수직인 면」을 물었다면 옆면 셋이 답이 되어 다른 문제가 됩니다.) 검산 — 포함 3(AB, BC, CA) + 수직 3 + 평행 3(DE, EF, FD) = 9 ✔
(3) 모서리 CF 를 품은 면은 두 옆면 BCFE 와 ACFD → 2개 — 윗면 ABC 는 C 만, 밑면 DEF 는 F 만 가지므로 품지 못합니다.
문제 7 에서 본 대로 「모든 모서리는 정확히 두 면이 나눠 갖는다」이므로, (3)의 답은 어떤 입체에서든 언제나 2 입니다.

(1) 1개 / (2) 3개 / (3) 2개

※ ⛔ (2)에서 「수직인 면」과 「수직인 모서리」를 바꿔 읽지 않도록 한다. 묻는 것이 모서리인지 면인지부터 밑줄을 긋는다.

도전 · 중1+전수 조사 · 짝의 개수

직육면체 ABCD-EFGH 의 모서리 12개 중에서 두 개를 뽑을 때, 두 모서리가 서로 꼬인 위치에 있는 경우의 수를 구하시오.

풀이 — 전체에서 평행인 짝과 만나는 짝을 빼면 남는 것이 꼬임이다

전체 — 모서리 12개에서 두 개를 뽑는 경우의 수는 12 × 11 ÷ 2 = 66 가지.
평행인 짝 — 방향이 셋이고 각 방향에 4개씩이므로 4 × 3 ÷ 2 = 6, 세 방향이라 6 × 3 = 18 가지.
⭐ 여기가 고비 — 만나는 짝을 셀 때 「두 번 세지 않았는가」를 확인하는 것 두 모서리가 만나는 곳은 반드시 꼭짓점입니다. 한 꼭짓점에 모서리가 3개 모이므로 그중 둘을 뽑아 3 × 2 ÷ 2 = 3 가지, 꼭짓점이 8개이니 3 × 8 = 24 가지.
여기서 반드시 물어야 할 것이 있습니다 — 같은 짝을 두 꼭짓점에서 두 번 세지는 않았는가? 답은 「아니다」입니다. 서로 다른 두 직선이 두 점에서 만나는 일은 없기 때문입니다 (두 점을 지나는 직선은 하나뿐이니, 두 곳에서 만나면 같은 직선이 됩니다). 그러므로 겹쳐 세지 않았고, 꼬인 짝은 66 − 18 − 24 = 24 가지.
검산은 아예 다른 길로 — 모서리 하나마다 꼬인 것이 언제나 4개(문제 4)이므로 12 × 4 = 48, 그런데 한 짝을 양쪽에서 두 번씩 세었으니 48 ÷ 2 = 24 ✔ 두 길이 같으니 안심합니다.

24가지

※ 두 가지 방법으로 세어 같은 값이 나오는지 맞춰 보는 것이 가장 확실한 검산이다.

도전 · 중1+참·거짓 · 반례 찾기

공간에서 서로 다른 두 직선 l, m 과 서로 다른 두 평면 P, Q 에 대하여, 다음 중 옳은 것을 모두 고르시오.

한 직선과 만나지 않는 두 직선은 서로 평행하다.
한 평면 위에 있는 서로 다른 두 직선은 만나거나 평행하다.
한 평면에 평행한 두 직선은 서로 평행하다.
한 직선에 수직인 두 평면은 서로 평행하다.
한 평면에 수직인 두 직선은 서로 평행하다.

풀이 — 거짓이라 생각되면 직육면체에서 반례를 하나 찾으면 끝난다

⭐ 여기가 고비 — 거짓이라 생각되면 「직육면체에서 반례 하나」를 찾아 끝낸다 참·거짓 다섯을 머릿속으로 상상하면 헷갈립니다. 직육면체를 하나 그려 놓고 실제로 짚는 것이 빠릅니다.
① 거짓 — 반례 : AB 와 만나지 않는 것에는 평행인 EF 도 있고 꼬인 CG 도 있는데, EF 와 CG 는 서로 꼬인 위치입니다. ⭐ 안 만난다고 평행인 것이 아닙니다 — 공간에는 꼬임이라는 넷째 경우가 있습니다.
③ 거짓 — 반례 : 밑면 EFGH 에 평행한 직선으로 윗면의 AB 와 AD 를 잡으면 둘 다 밑면과 평행하지만 A 에서 만납니다. ② 참 — 한 평면 위에서는 꼬임이 생기지 않으므로 만나거나 평행하거나 둘뿐입니다.
④ 참 — 한 직선이 두 평면을 같은 방향으로 곧게 뚫으므로 두 평면은 만날 수 없습니다 (AE 에 수직인 ABCD 와 EFGH) ✔
⑤ 참 — 한 평면에 수직인 직선은 모두 같은 방향이 됩니다 (AE, BF, CG, DH 는 서로 모두 평행) ✔
반례는 거의 언제나 직육면체 안에 있습니다 — 「반례 하나면 무너진다」는 것이 이런 문제의 열쇠입니다.

"만나지도 않고, 평행하지도 않으면, 꼬인 위치에 있다고 해. 두 가지를 다 만족해야 돼."— 장대경 선생님 특강 제60강 「점·직선·평면의 위치 관계」

② , ④ , ⑤

※ 이런 참·거짓 문제는 머릿속으로 상상하지 말고 직육면체 하나를 그려 놓고 모서리·면을 실제로 짚어 본다. 반례는 거의 언제나 직육면체 안에 있다.

도전 · 중1+대각선끼리 · 네 경우 전부

정육면체 ABCD-EFGH 에서 다음 두 직선의 위치 관계를 각각 구하시오.

AG 와 BH
AG 와 BC
AG 와 EG
AF 와 DG

풀이 — 네 문항이 각각 다른 경우 하나씩이다

⭐ 여기가 고비 — 대각선끼리라도 「한 직사각형 안에 들어가면」 반드시 만난다 대각선끼리는 「어차피 꼬였겠지」 하고 넘기기 쉽지만, (1)은 만납니다. 까닭은 네 점 A, B, G, H 가 한 직사각형 ABGH 를 이루기 때문입니다 — 직사각형의 두 대각선은 반드시 만납니다(그 교점이 곧 정육면체의 한가운데입니다). 네 답이 저마다 다른 경우라는 것도 눈여겨 두십시오 — 만남 · 꼬임 · 만남 · 평행.
(2) AG 가 겉에서 닿는 점은 A 와 G 뿐인데 BC 는 그 둘을 지나지 않고 방향도 다르므로 꼬인 위치.
(3) AG 와 EG 는 끝점 G 를 함께 가지므로 G 에서 만납니다.
(4) AD 와 FG 가 평행하고 길이가 같아 ADGF 가 평행사변형이므로 AF // DG ✔
「같은 평면 위에 놓이는가」를 먼저 묻는 것 — 두 직선이 한 평면에 들어가면 만나거나 평행이고, 들어가지 못할 때에만 꼬인 위치입니다.

"안 되는 것부터 지우면 훨씬 빨라."— 장대경 선생님 특강 제60강 「점·직선·평면의 위치 관계」

(1) 한 점(정육면체의 중심)에서 만난다 / (2) 꼬인 위치 / (3) 점 G 에서 만난다 / (4) 평행하다

※ ⛔ 대각선끼리는 「어차피 꼬였겠지」 하고 넘기면 안 된다. (1)처럼 한 직사각형 안에 들어가는지를 확인하면 만나는지 아닌지가 곧바로 갈린다.

🧭 마지막에 한 번만 더 — 위치 관계가 헷갈릴 때 보는 표

시험장에서 손이 멈추면 이 네 줄만 순서대로 짚으면 됩니다.

① 두 직선이면 → 만나나? 아니면 → 평행한가? 둘 다 아니면 꼬인 위치.
② 셀 때는 만남 → 평행 → 남는 것 순서. 합이 (전체 − 1) 이어야 안 빠뜨린 것.
③ 면이 기준이면 포함 · 수직 · 평행 셋으로 갈라 합이 12(직육면체)인지 본다.
④ 전개도는 접어서 주사위로 — 수직인 면은 마주 보는 하나만 빼면 전부.

※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 개수·판정을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 도형·기준이 다를 수 있음). 짝 강의에 실린 문항(삼각기둥 AB 기준 · 직육면체 면 ABCD 기준 · 사각뿔 AE 기준 · 꼬인 짝 여섯 보기 등)과 기준을 모두 바꾸어 겹치지 않게 새로 지었습니다.

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