집합의 원소 개수 — 못 푸는 게 아니라 못 읽어서 틀린다 연습 10제

먼저 · 세는 법, 이 일곱 가지면 끝난다

왜 \(2^n\) 인가 — 원소 하나마다 넣느냐 빼느냐 두 갈래. 그게 \(n\)번 되풀이되니 \(2^n\). 진부분집합은 자기 자신 하나만 뺀 \(2^n-1\).

정해진 것은 지수에서 뺀다 — 「반드시 갖는다」와 「절대 안 갖는다」는 고를 자유가 없는 원소다. 그런 게 \(k\)개면 \(2^{\,n-k}\).

「적어도」는 빼기로 센다 — 곧이곧대로 1개·2개·3개…를 다 세지 말고, 전체 − 하나도 없는 것.

지수를 묶는다 — \(2^6-2^3=2^3(2^3-1)=8\times 7=56\). 큰 수를 안 만들고 끝난다.

모든 부분집합의 원소 합 — 다 적지 말고 원소 하나만 본다. 각 원소는 \(2^{\,n-1}\)개의 부분집합에 들어간다. 총합 = (원소 전체의 합) \(\times\ 2^{\,n-1}\).

원소 개수 공식 — \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). 셋이면 \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\).

교집합의 최대와 최소 — 최솟값 \(=n(A)+n(B)-n(U)\) (음수면 0), 최댓값 \(=\) 작은 쪽.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

사탕 3개를 가방에 넣을까 말까 하나씩 정하면 담는 방법이 2×2×2 = 8가지. 아무것도 안 담는 것도 한 가지로 센다.

📐 중등 (이음새)

경우의 수의 곱의 법칙이 그대로 \(2^n\)이 된다. 「적어도」를 여사건으로 뒤집어 세는 버릇도 여기서 붙는다.

🎓 고1 (핵심)

부분집합의 개수, 원소 개수 공식 \(n(A\cup B)\), 세 집합 공식, 교집합의 최대·최소. 확률·경우의 수로 그대로 이어진다.

⛔ 이 단원에서 답을 바꾸는 낱말 넷 — 문제를 읽을 때 손가락으로 짚어라 「적어도」 — 곧이곧대로 세지 말고 전체에서 하나도 없는 것을 뺀다. 「진」부분집합 — 자기 자신 하나를 더 뺀다. \(2^n\) 이 아니라 \(2^n-1\). 「반드시 / 절대」 — 개수를 빼는 게 아니라 지수를 뺀다. 「모든 · 원소의 합」 — 부분집합을 세라는 건지 수를 더하라는 건지 먼저 가른다. ✔ 낱말 하나를 놓치면 55가 56이 되고, 63이 되고, 8이 56이 된다. 계산이 아니라 독해가 답을 가른다.

연습 10제 · 고비 표시 해설

문제 1C손으로 세면 빠뜨린다

집합 \(A=\{1,\,3,\,5,\,7\}\) 의 부분집합 중 원소가 3개인 것을 모두 적고, 그 개수를 구하라.

풀이 — 빠뜨리지 않으려면 「빼는 원소」를 센다

원소가 4개인 집합에서 3개를 고른다.
⭐ 여기가 고비 — 「고르는 3개」가 아니라 「버리는 1개」를 세라 3개를 고르려고 하면 {1,3,5}, {1,3,7}… 하고 적어 나가다가 거의 반드시 하나를 빠뜨립니다. 뒤집으세요. 4개 중 3개를 갖는다 = 1개를 버린다입니다. 버릴 원소는 1, 3, 5, 7 넷 중 하나 — 그러니 정확히 4가지입니다. 버리는 원소를 정하면 나머지 셋은 자동으로 정해집니다. 그래서 셀 것이 하나뿐이고, 빠뜨릴 자리가 없어집니다. 실제로 7을 버리면 {1,3,5}, 5를 버리면 {1,3,7}, 3을 버리면 {1,5,7}, 1을 버리면 {3,5,7} — 이렇게 적으면 넷이 저절로 나옵니다. 손으로 적을 때 가장 자주 빠지는 것이 바로 {1,5,7} 입니다.
목록: {1,3,5}, {1,3,7}, {1,5,7}, {3,5,7} — 네 개.
검산: 원소 개수별로 더하면 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴ ✓ (부분집합 전체와 맞는다)

"우리가 말의 의미 뜻을 잘 몰라서, 잘 이해할 수 없어서 문제를 많이 틀린다."— 장대경 선생님 (집합 연습문제 회차 27:37)

⛔ 여기서 틀린다 ✗ "{1,3,5}, {1,3,7}, {3,5,7} … 세 개밖에 없네" — {1,5,7}이 빠졌다. ✔ 손으로 적어 셀 때는 반드시 공식으로 한 번 더 확인한다. 그래서 공식을 쓰는 것이다.

{1,3,5}, {1,3,7}, {1,5,7}, {3,5,7} — 모두 4개

문제 2C「진」 한 글자

12의 양의 약수의 집합을 \(A\)라 할 때, \(A\)의 부분집합의 개수와 진부분집합의 개수를 각각 구하라.

풀이 — 먼저 원소를 빠짐없이 적는다

12의 양의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 — 6개. (12 = 2²·3 이므로 약수는 (2+1)(1+1) = 6개 ✓)
부분집합의 개수 = 2⁶ = 64.
⭐ 여기가 고비 — 「진」이 빼는 것은 공집합이 아니라 자기 자신이다 많은 학생이 진부분집합을 「공집합을 뺀 것」으로 잘못 외웁니다. 거꾸로입니다. 진부분집합은 자기 자신을 뺀 부분집합이고, 공집합은 그대로 진부분집합에 들어갑니다. 그래서 2⁶ − 1 = 63. 선생님 말씀 그대로 — "진부분집합은 부분집합에서 한 개를 빼 줘야 돼요. 자기 자신 거는 안 된다." 빼는 것이 딱 하나라는 것도 중요합니다. 공집합까지 같이 빼서 62라고 쓰면 틀립니다.
검산: 6개짜리 집합에서 자기 자신만 뺀 것이므로 64 − 1 = 63 ✓

"진 부분집합은 부분집합에서 한 개를 빼 줘야 돼요. 자기 자신 거는 안 된다 이 말이야."— 장대경 선생님 (부분집합의 개수 회차 36:17)

부분집합 64개 · 진부분집합 63개

문제 3B「적어도」는 빼기로

\(U=\{1,\,2,\,3,\,\cdots,\,10\}\) 의 부분집합 중 3의 배수를 적어도 하나 갖는 것은 몇 개인가?

풀이 — 「적어도 하나」를 곧이곧대로 세면 안 된다

1부터 10까지 중 3의 배수: 3, 6, 9 — 3개. 나머지는 7개.
⭐ 여기가 고비 — 「적어도 하나」의 반대는 「하나도 없다」 뿐이다 3의 배수를 1개 갖는 경우, 2개 갖는 경우, 3개 갖는 경우를 따로 세면 3·2⁷ + 3·2⁷ + 1·2⁷ 처럼 갈래가 늘어나고 반드시 어디선가 틀립니다. 그런데 「적어도 하나 있다」의 반대는 「하나도 없다」 딱 하나뿐입니다. 그러니 전체에서 그것만 빼면 됩니다. 3의 배수를 하나도 안 갖는 부분집합은 나머지 7개만으로 만드니까 2⁷ = 128개. 전체는 2¹⁰ = 1024개. 그래서 1024 − 128 = 896개입니다. 갈래를 나누지 않아 틀릴 자리가 없습니다.
묶어서 셈해도 된다: 2¹⁰ − 2⁷ = 2⁷(2³ − 1) = 128 × 7 = 896 ✓ — 큰 수를 안 만들고 끝난다.

"자꾸 뭐 외워서 하지 말고, 아 좀 간단하게 할 수 있는 방법도 있으니까 요런 방법을 또 이용해서 문제를 풀도록."— 장대경 선생님 (부분집합의 개수 회차 33:39)

896개

문제 4B거꾸로 n 찾기

집합 \(A\)의 진부분집합의 개수가 127일 때, \(A\)의 원소의 개수 \(n\)을 구하라. 또 \(A\)의 부분집합 중 정해진 세 원소를 반드시 갖는 것은 몇 개인가?

풀이 — 밑을 2로 맞추면 지수만 남는다

진부분집합이 127개이므로 2ⁿ − 1 = 127, 곧 2ⁿ = 128.
⭐ 여기가 고비 — 127을 그대로 보지 말고 128로 되돌려라 127은 2의 거듭제곱이 아닙니다. 그래서 여기서 막힙니다. 「진」 때문에 1을 빼 둔 것이니, 그 1을 먼저 되돌려 놓아야 2의 거듭제곱이 보입니다. 127 + 1 = 128 = 2⁷ 이므로 n = 7. 이 단원의 거꾸로 문제는 모두 「밑을 2로 맞추는 일」입니다. 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 64 = 2⁶, 128 = 2⁷ — 이 네 개만 외워 두면 지수끼리 견주는 것으로 끝납니다. 밑이 같아지면 지수가 같다, 그것뿐입니다.
정해진 3개는 「넣기」로 이미 정해졌으니 고를 자유가 없다 → 2⁷⁻³ = 2⁴ = 16.
검산: 원소 7개 중 4개만 자유롭게 고르므로 2×2×2×2 = 16 ✓

"요거 필수의 7번 아주 중요한 거다. 학교 시험에 반드시 출제가 되니까 요거 꼭 기억을 해 놓도록 하자."— 장대경 선생님 (부분집합의 개수 회차 31:27)

n = 7 · 반드시 세 원소를 갖는 부분집합 16개

문제 5B부분집합의 원소 합

집합 \(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}\) 의 부분집합 32개를 \(A_1,\,A_2,\,\cdots,\,A_{32}\)라 하자. 각 부분집합의 모든 원소의 합을 \(S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_{32}\)라 할 때, \(S_1+S_2+\cdots+S_{32}\) 를 구하라. (공집합의 원소 합은 0으로 본다.)

풀이 — 부분집합을 세지 말고 「원소 하나」를 본다

32개를 다 적어서 더하는 것은 사람이 할 일이 아니다. 보는 자리를 바꾼다.
⭐ 여기가 고비 — 「몇 번 더해지는가」로 뒤집어 본다 총합을 부분집합별로 모으지 말고 원소별로 모으는 것입니다. 숫자 1 은 전체 합에 몇 번 더해질까요? 1을 갖는 부분집합의 개수만큼입니다. 1은 넣기로 정해 두고 나머지 4개를 넣느냐 빼느냐 하면 되니 2⁴ = 16번. 그런데 이 셈은 2에 대해서도, 3에 대해서도, 4·5에 대해서도 똑같습니다. 어느 원소를 잡든 「그 하나를 넣기로 못 박고 나머지 넷을 자유롭게」이니 늘 2⁴ = 16번이지요. 그래서 모든 원소가 똑같이 16번씩 더해집니다. 그러면 총합은 (원소 전체의 합) × 16 한 줄로 끝납니다.
원소의 합 1+2+3+4+5 = 15.
총합 = 15 × 2⁴ = 15 × 16 = 240.
검산(작은 것으로): {1,2} 의 부분집합은 ∅, {1}, {2}, {1,2} → 합은 0+1+2+3 = 6. 공식으로도 (1+2) × 2¹ = 6 ✓ 같은 길이 맞는다.

"이것도 뭔데 수학 실력이 아닌 국어 실력이 항상 필요하다고 내가 얘기를 했다 이 말이야."— 장대경 선생님 (집합 연습문제 회차 28:38, 바로 이 유형에서)

240

문제 6B⭐ 원소의 순환

집합 \(S\)가 다음 두 조건을 모두 만족한다.
(가) \(2 \in S\) (나) \(a \in S\) 이면 \(\dfrac{1}{1-a} \in S\)
이때 \(S\)의 원소의 개수의 최솟값을 구하고, 그 원소를 모두 적어라.

넣어서 나온 값을 다시 넣어 본다 — 언제 제자리로 돌아오는지가 답이다.

풀이 — 나온 값을 다시 넣는다, 제자리로 올 때까지

a = 2 를 넣는다: 1/(1−2) = 1/(−1) = −1. 그러니 −1 ∈ S.
a = −1 을 넣는다: 1/(1−(−1)) = 1/2. 그러니 1/2 ∈ S.
⭐ 여기가 고비 — 한 번 더 넣어 보아야 「끝」인지 알 수 있다 여기서 멈추고 "세 개네" 하면 운이 좋아 맞은 것입니다. 진짜로 끝났는지 확인하려면 세 번째 값을 다시 넣어 보아야 합니다. a = 1/2 를 넣으면 1/(1 − 1/2) = 1/(1/2) = 2 — 처음의 2로 돌아왔습니다. 돌아왔다는 것은 더 이상 새 원소가 생기지 않는다는 뜻입니다. 조건 (나)를 아무리 되풀이해도 2 → −1 → 1/2 → 2 → … 이 셋만 뱅뱅 돕니다. 그래서 이 세 개만 있어도 조건이 다 지켜지고, 세 개보다 적으면 (나)가 깨집니다. 최솟값은 3입니다. 만약 네 번째에서 새 값이 나왔다면 다시 넣어 보아야 하고, 「제자리로 돌아올 때까지」가 멈추는 신호입니다.
검산: 세 값을 각각 넣어 본다. 2 → −1 ✓ · −1 → 1/2 ✓ · 1/2 → 2 ✓ — 셋 다 \(S\) 안에 있으므로 조건 (나)가 지켜진다.

"요놈이 뱅글뱅글 뱅글 뱅글뱅글 돌면서, 똑같이 세 번마다 한 번씩 나타나더라."— 장대경 선생님 (집합 연습문제 회차 25:47)

⛔ 여기서 틀린다 ✗ 1/(1−2) 를 1/1 − 2 = −1 로 우연히 맞히고 넘어간다 — 다음 값에서 반드시 어긋난다. ✗ 두 번째 값까지만 구하고 "두 개"라고 답한다. ✔ 분수는 분수로 끝까지 계산하고, 제자리로 돌아올 때까지 넣어 본다.

최솟값 3 · S = {2, −1, 1/2}

문제 7B바깥부터 지운다

어느 반 학생 45명에게 물었더니 \(A\)를 좋아하는 학생이 28명, \(B\)를 좋아하는 학생이 19명, 둘 다 좋아하지 않는 학생이 6명이었다. 둘 다 좋아하는 학생은 몇 명인가?

「둘 다 아니다」는 합집합 바깥이다. 그림에서 먼저 지우고 시작한다.

풀이 — 합집합부터 만들고 공식에 넣는다

⭐ 여기가 고비 — 「둘 다 아니다」를 교집합과 헷갈리면 안 된다 문제에 나오는 6명은 A에도 B에도 안 들어가는 사람, 곧 (A∪B)ᶜ 입니다. 이걸 A∩B 로 잘못 읽으면 답이 통째로 달라집니다. 먼저 전체에서 이 6명을 지워 합집합의 크기를 만들고, 그 다음에 공식을 씁니다. 「둘 다 아니다」= 바깥, 「둘 다 그렇다」= 가운데. 그림을 그려 놓고 말이 가리키는 칸에 손가락을 얹으면 헷갈릴 일이 없습니다. 선생님이 이 자리에서 늘 "그림을 그려 버려라" 하시는 까닭입니다.
n(A∪B) = 45 − 6 = 39.
공식에 넣으면 39 = 28 + 19 − n(A∩B).
n(A∩B) = 28 + 19 − 39 = 8.
검산(칸으로): A만 28−8 = 20, B만 19−8 = 11, 둘 다 8, 바깥 6 → 20 + 11 + 8 + 6 = 45 ✓

"이 공식을 몰랐을 때 어떻게 풀 수 있을까, 이걸 한번 해보자 … 표를 그려서 하니까 훨씬 더 쉽다."— 장대경 선생님 (원소의 개수 회차 1:33)

8명

문제 8B세 집합 공식

\(n(A)=20\), \(n(B)=18\), \(n(C)=15\), \(n(A\cap B)=8\), \(n(B\cap C)=7\), \(n(C\cap A)=6\), \(n(A\cap B\cap C)=3\) 일 때 \(n(A\cup B\cup C)\) 를 구하라.

풀이 — 두 번 겹친 건 빼고, 세 번 겹친 건 다시 더한다

공식: n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)
⭐ 여기가 고비 — 마지막 항이 왜 「+」인가 앞의 세 개를 그냥 더하면 세 집합에 다 들어 있는 사람은 세 번 세어집니다. 그 다음 세 교집합을 빼는데, 그 사람은 A∩B, B∩C, C∩A 세 곳에 모두 있으므로 세 번 빠집니다. 3 − 3 = 0 — 아예 사라져 버립니다. 그래서 한 번 되돌려 주어야 합니다. 이것이 마지막 항이 + 인 까닭입니다. 외우는 게 아니라 「몇 번 세어졌나」를 손가락으로 따라가면 부호가 저절로 정해집니다. 두 곳에만 있는 사람은 2번 세어졌다가 1번 빠지니 딱 1번 — 그것도 맞습니다.
넣으면 20 + 18 + 15 = 53, 8 + 7 + 6 = 21.
53 − 21 + 3 = 35.
검산(일곱 칸으로): A만 20−8−6+3 = 9 · B만 18−8−7+3 = 6 · C만 15−7−6+3 = 5 · A∩B만 5 · B∩C만 4 · C∩A만 3 · 셋 다 3 → 9+6+5+5+4+3+3 = 35 ✓ (칸이 모두 0 이상이라 조건도 어긋나지 않는다)

"요거 아주 중요한 공식이니까 잘 기억하도록 하지요."— 장대경 선생님 (원소의 개수 회차 10:22)

문제 9B최대와 최소

학생 70명에게 물었더니 축구를 좋아하는 학생이 45명, 야구를 좋아하는 학생이 38명이었다. 둘 다 좋아하는 학생 수의 최댓값과 최솟값의 합을 구하라.

풀이 — 두 원을 손으로 밀어 본다

최댓값부터. 작은 쪽(야구 38명)이 통째로 큰 쪽 안에 들어가면 겹친 사람이 가장 많다 → 38.
⭐ 여기가 고비 — 최솟값은 0이 아니다, 「자리가 모자라서」 겹친다 "겹치지 않게 하면 0명 아닌가요?" 여기서 틀립니다. 전체가 70명뿐이라는 것을 보세요. 45 + 38 = 83 명을 서로 안 겹치게 앉히려면 83칸이 필요한데 70칸밖에 없습니다. 넘치는 83 − 70 = 13 명은 어쩔 수 없이 두 곳에 동시에 있어야 합니다. 그래서 최솟값은 n(A) + n(B) − n(U) 입니다. 만약 이 값이 음수로 나오면 자리가 남는다는 뜻이니 최솟값은 0 입니다. 여기서는 13이 양수이므로 13명이 최솟값입니다. 겹침이 0이 될 수 있는지부터 자리 수로 확인하는 것이 이 문제의 전부입니다.
최솟값 = 45 + 38 − 70 = 13.
합 = 38 + 13 = 51.
검산: 겹침이 13일 때 축구만 45−13 = 32, 야구만 38−13 = 25, 겹침 13 → 32 + 25 + 13 = 70 ✓ (딱 맞아 자리가 남지 않는다)

"아 진짜 더하기 빼기도 (제대로) 못 하나 — (선생님이) 바보."— 장대경 선생님 (원소의 개수 회차 24:57, 이 유형에서 스스로 값을 고치시며)

⛔ 여기서 틀린다 ✗ "겹치지 않게 하면 되니까 최솟값은 0" — 전체 인원을 안 본 것이다. ✗ 최댓값을 「큰 쪽 45」라고 한다 — 작은 쪽보다 많이 겹칠 수는 없다. ✔ 최솟값 = 두 수의 합 − 전체(음수면 0) · 최댓값 = 작은 쪽.

최댓값 38 · 최솟값 13 · 합 51

문제 10A합의 집합 · 개수로 범위를 잡는다

두 집합 \(A=\{1,\,2,\,3,\,4,\,a\}\), \(B=\{1,\,3,\,5\}\) 에 대하여 \(C=\{x+y \mid x \in A,\ y \in B\}\) 라 하자. \(C\)의 원소가 10개가 되게 하는 정수 \(a\)의 최댓값을 구하라. (단 \(a \notin \{1,2,3,4\}\))

풀이 — a를 뺀 부분을 먼저 다 적어 놓는다

\(a\)를 빼고 \(\{1,2,3,4\}\)와 \(B\)를 더해 본다. +1 → 2,3,4,5 · +3 → 4,5,6,7 · +5 → 6,7,8,9.
겹치는 것을 지우면 {2,3,4,5,6,7,8,9} — 8개가 이미 확정이다.
⭐ 여기가 고비 — a가 만드는 세 값 중 「딱 두 개만」 새것이어야 한다 \(a\)는 a+1, a+3, a+5 세 값을 만듭니다. 10개가 되려면 새것이 2개여야 하므로, 세 값 중 하나는 이미 있는 {2,…,9} 안에 들어가야 합니다. \(a+1 < a+3 < a+5\) 이고 \(a\)의 최댓값을 묻고 있으니, 가장 작은 \(a+1\) 하나만 안에 들어가고 나머지 둘은 9를 넘어야 합니다. 그래서 조건이 둘입니다 — ① \(a+1\)이 {2,…,9} 안에 있다 → 2 ≤ a+1 ≤ 9, 곧 \(1 \le a \le 8\). ② \(a+3 > 9\) (그래야 \(a+3\)과 \(a+5\)가 둘 다 새것), 곧 \(a > 6\). 두 조건을 겹치면 6 < a ≤ 8 이므로 \(a\)는 7 또는 8. 최댓값은 8입니다. 선생님이 이 자리에서 "요놈이 똑같아도 된다라는 뜻이란 말이야" 하시는데, 바로 「a+1이 기존 값과 겹쳐도 된다」는 말입니다. 그 한 마디가 이 문제의 열쇠입니다.
\(a = 8\) 로 확인: a+1 = 9(이미 있음), a+3 = 11(새), a+5 = 13(새) → {2,3,4,5,6,7,8,9,11,13} — 정확히 10개 ✓
\(a = 9\) 면? 10, 12, 14 가 모두 새것이라 11개가 되어 조건에 어긋난다 ✓ (그래서 8이 최댓값이다)
덤 — 전수로 확인하면 조건을 만족하는 정수 \(a\)는 −3, −2, 7, 8 넷뿐이다. 음수 쪽은 \(a+5\)가 안에 들어가는 반대 경우다.

"무슨 뜻인지 알겠나, 아주 중요한 거예요. 요놈이 똑같아도 된다라는 뜻이란 말이야. 무슨 뜻인지 이해되나."— 장대경 선생님 (집합 연습문제 회차 20:48, 바로 이 문항에서 두 번 되물으시며)

⛔ 여기서 틀린다 ✗ \(a\)가 만드는 세 값이 모두 새것이어야 한다고 생각한다 → 11개가 되어 버린다. ✗ 부등호에 등호를 잘못 붙인다 — \(a+1\)은 겹쳐도 되니 ≤, \(a+3\)은 겹치면 안 되니 >. ✔ 답을 구한 뒤 반드시 대입해서 원소를 직접 세어 10개인지 확인한다.

a의 최댓값 = 8

🐣 저학년 직관 — "사탕 3개, 가방에 담는 방법은 몇 가지?"

딸기맛·포도맛·레몬맛 사탕이 하나씩 있어요. 가방에 담는 방법은 몇 가지일까요?

딸기를 담을까 말까 2가지, 포도를 담을까 말까 2가지, 레몬을 담을까 말까 2가지. 그래서 2 × 2 × 2 = 8가지예요. 하나도 안 담는 것(빈 가방)도 한 가지로 세는 게 약속이에요.

그럼 딸기는 꼭 담아야 한다면요? 딸기는 이미 정해졌으니 고를 게 포도와 레몬 둘뿐 — 2 × 2 = 4가지. 이게 바로 "반드시 갖는 것은 지수에서 뺀다"예요.

담을까 말까 × 사탕 개수 = 2 × 2 × 2 = 8가지

※ 열 문제 모두 강의에 나온 값과 다른 새 문제입니다. 개수는 전부 컴퓨터로 부분집합을 하나도 빠짐없이 만들어 직접 세어 맞춘 뒤 실었고, 공식으로 센 값과 같은지 두 길로 대조했습니다.
※ 이 문서는 세는 것만 다룹니다. 드모르간의 법칙이나 차집합의 성질 같은 연산 법칙은 『집합의 연산』 편의 몫입니다.

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