장대경 선생님 특강 · 집합의 원소 개수 — "못 푸는 게 아니라 못 읽어서 틀린다"

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오늘은 세는 시간

"이것도 뭔데 수학 실력이 아닌 국어 실력이 항상 필요하다고 내가 얘기를 했다 이 말이야.
그래서 수학을 잘하고 싶은 학생이 있으면 반드시 국어를 하기 바란다."

세는 문제는 계산이 어려운 게 아니다 → 무엇을 세라고 했는지를 못 읽어서 틀린다

「적어도」 · 「진」 · 「반드시」 · 「모든」 — 낱말 하나가 답을 통째로 바꾼다. 오늘은 그 낱말을 읽는 법부터 배운다.

먼저 · 왜 2ⁿ 인가

원소 하나마다 넣느냐 빼느냐, 딱 두 갈래

부분집합의 개수 = 2ⁿ
진부분집합 → 자기 자신 하나만 뺀다
= 2ⁿ − 1
원소 5개 → 32개 · 진부분집합 31개

손으로 다 적어 세면 반드시 하나를 빠뜨린다 — 그래서 공식으로 센다. 외우는 게 아니라 따져 보면 나오는 것이다.

첫째 열쇠 · 정해진 것은 지수에서 뺀다

8 이하의 자연수 — 반드시 2개, 절대 1개

원소	넣을까 뺄까	고를 자유
반드시 갖는 2개	이미 넣기로 정해짐	없다
절대 안 갖는 1개	이미 빼기로 정해짐	없다
나머지 5개	넣어도 되고 빼도 된다	2µ= 32가지

2⁸ → 2⁸⁻³ = 2µ = 32 · 정해진 것은 개수를 줄이는 게 아니라 지수를 줄인다

⭐ 둘째 열쇠 · 「적어도」는 빼기로 센다

원소 5개 중 4의 배수가 3개 · 적어도 하나는 갖는 부분집합

✗ 곧이곧대로 세면

4의 배수를 1개 갖는 경우 + 2개 갖는 경우 + 3개 갖는 경우
— 세 갈래를 다 세야 한다. 하나라도 빠뜨리면 끝.

✓ 뒤집어서 빼면

전체 2µ = 32 − 하나도 없는 것 2² = 4
= 28 — 한 줄로 끝난다.

「하나도 없는 것」은 남은 2개만으로 만드니까 2² = 4 → 32 − 4 = 28

셈 요령 · "다른 방법이 없을까"

2⁶ − 2³

그냥 셈하면
64 − 8 = 56

묶어서 셈하면
2⁶ = 2³ × 2³ → 공통인 2³ 을 묶는다
2³(2³ − 1) = 8 × 7 = 56
같은 답 · 큰 수를 안 만들고 끝난다

"자꾸 뭐 외워서 하지 말고, 아 좀 간단하게 할 수 있는 방법도 있으니까 요런 방법을 또 이용해서 문제를 풀도록."

⭐ 두 낱말이 한 문제에 겹치면

18의 양의 약수의 부분집합 중, 홀수를 적어도 하나 갖는 진부분집합

{1, 2, 3, 6, 9, 18}18의 양의 약수 · 6개

{1, 3, 9}그중 홀수 · 3개

① 「진」이니까 전체가 2⁶ − 1 = 63
② 「적어도」니까 홀수가 하나도 없는 것 2³ = 8 을 뺀다
63 − 8 = 55 (부분집합 64개 중 홀수를 가진 56개에서 자기 자신을 뺀 것과 같다 ✓)

「적어도」만 챙기고 「진」을 놓치면 56, 「진」만 챙기고 「적어도」를 놓치면 63. 둘 다 읽어야 55가 나온다.

거꾸로 · 개수를 주고 n을 찾는다

주어진 것	세운 식	밑을 맞추면	답
정해진 원소 4개 · 부분집합 16개	2ⁿ⁻⁴ = 16	16 = 2⁴ → n − 4 = 4	n = 8
12 이하의 2의 양의 배수 6개를 반드시 갖는 부분집합 64개	2ⁿ⁻⁶ = 64	64 = 2⁶ → n − 6 = 6	n = 12

2, 4, 6, 8, 10, 12 — 12 이하의 2의 양의 배수는 6개 · 밑이 같으면 지수끼리만 견주면 끝난다

조건이 부등식으로 올 때

|x| ≤ 3 인 정수의 집합에서, |x| ≤ 1 인 정수를 반드시 갖는 부분집합

전체 7개
정해진 것 3개
→ 2⁷⁻³ = 2⁴ = 16
개수만 세고 나면 앞 문제와 똑같다

부등식이 나오면 겁먹지 말고 정수를 하나하나 적어 개수부터 센다.

⭐ 첫 번째 명장면 · 원소의 순환

a ∈ S 이면 1∕(1 − a) ∈ S · 5 ∈ S 일 때 원소 개수의 최솟값

1∕(1 − 5) = 1∕(−4) = −1/4
1∕(1 + 1/4) = 1∕(5/4) = 4/5
1∕(1 − 4/5) = 1∕(1/5) = 5 → 제자리
원소는 5, −1/4, 4/5 — 최소 3개

"요놈이 뱅글뱅글 돌면서 똑같이 세 번마다 한 번씩 나타나더라."

⭐ 두 번째 명장면 · 부분집합의 원소 합

{−1, 0, 1, 2} 의 부분집합 16개 A₁ ~ A₁₆ · 원소 합의 총합

16개를 다 적을 필요가 없다 — 원소 하나만 본다.
−1 이 반드시 들어 있는 부분집합은? 나머지 3개를 넣느냐 빼느냐 → 2³ = 8 개.
0 도 8개 · 1 도 8개 · 2 도 8개 — 모든 원소가 똑같이 8번씩 들어간다.

(−1 + 0 + 1 + 2) × 8원소의 합 × 들어간 횟수

2 × 8 = 16총합

선생님도 "이게 도대체 무슨 말이냐" 하고 한 번 되물으신다 — 그리고 "수학 실력이 아닌 국어 실력이 항상 필요하다" 로 이으신다.

여기서부터 · 부분집합이 아니라 원소를 센다

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

전체 80 · n(A∩B) = 20 · n((A∪B)ᶜ) = 13 · n(A) = 52 → n(B)?
n(A∪B) = 80 − 13 = 67
67 = 52 + n(B) − 20
n(B) = 67 − 52 + 20 = 35
한 벌 더 — 전체 50, 교집합 18, 바깥 15 → n(A∪B) = 35, n(A)+n(B) = 35 + 18 = 53

"이 공식을 몰랐을 때 어떻게 풀 수 있을까 — 표를 그려서 하니까 훨씬 더 쉽다." 공식과 그림, 두 길을 나란히 놓으신다.

"요거 아주 중요한 공식이니까 잘 기억하도록 하자"

n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)

두 개씩 겹친 건 빼고, 셋이 한꺼번에 겹친 건 다시 더한다.

A∩C = ∅ · n(A∪B) = 16 · n(A) = 11 · n(B) = 10 · n(B∪C) = 13 · n(C) = 8
n(A∩B) = 11 + 10 − 16 = 5 · n(B∩C) = 10 + 8 − 13 = 5 · n(A∩C) = 0
11 + 10 + 8 − 5 − 5 − 0 + 0 → n(A∪B∪C) = 19

A와 C가 서로소면 그 자리는 0, 셋이 한꺼번에 겹치는 자리도 0 — 공식이 저절로 짧아진다.

이야기로 된 문제 · 바깥부터 지운다

40명 중 수학 22, 과학 18, 둘 다 틀린 사람 10 → 수학만 맞힌 사람은?

둘 다 틀린 10명은 합집합 바깥 → n(A∪B) = 40 − 10 = 30
30 = 22 + 18 − n(A∩B) → 둘 다 맞힌 사람 = 10
수학만 = 22 − 10 = 12명

한 벌 더 — 전체 50, A를 본 사람 28, 둘 다 본 사람 11, 둘 다 안 본 사람 9
n(A∪B) = 50 − 9 = 41 → n(B) = 41 − 28 + 11 = 24명

⭐ 오늘 마지막 · 겹친 사람의 최대와 최소

60명 중 설악산 42, 지리산 33 — 둘 다 오른 사람의 최댓값 + 최솟값

최솟값 — 될 수 있는 대로 안 겹치게

42 + 33 = 75 인데 전체는 60뿐
넘치는 75 − 60 = 15 는 어쩔 수 없이 겹친다 → 15

최댓값 — 작은 쪽이 통째로 들어갈 때

지리산 33명이 모두 설악산에도 올랐다면
겹친 사람이 가장 많다 → 33

15 + 33 = 48 · 선생님이 처음에 13이라 하셨다가 — "아 진짜 더하기 빼기도 못 하나" — 15로 고쳐 48을 내신다. 고치신 값이 맞다.

같은 꼴 둘 — 40명에 26과 19면 최소 5 · 최대 19, 50명에 33과 26이면 최소 9 · 최대 26.

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못 푸는 게 아니라 못 읽어서 틀린다

① 부분집합 2ⁿ · 진부분집합 2ⁿ − 1
② 반드시 갖는 것과 절대 안 갖는 것은 지수에서 뺀다
③ 「적어도」 는 전체에서 하나도 없는 것을 뺀다
④ 2⁶ − 2³ = 2³(2³ − 1) — 묶으면 편하다
⑤ 부분집합 전체의 원소 합 — 각 원소가 2ⁿ⁻¹ 번씩 들어간다
⑥ n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
⑦ 교집합의 최솟값 = 두 수의 합 − 전체 · 최댓값 = 작은 쪽 "말을 이렇게 못 꽂아 놓고 1등급이 되고 싶다고, 웃긴 소리 하지 말아라" — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학

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