원과 부채꼴 — 호·현·활꼴과 중심각 실전 완전정복 · 연습 10제

먼저 · 원과 부채꼴을 여는 무기 여섯 가지

낱말부터 정확히 — 호는 원 위의 굽은 부분, 현은 원 위의 두 점을 곧게 이은 선분. 굽었나 곧은가로 먼저 갈린다.

⭐ 둘러싼 선을 보면 이름이 나온다 — 두 반지름 + 호 = 부채꼴, 현 + 호 = 활꼴. 경계선 하나만 확인하면 절대 헷갈리지 않는다.

중심각은 부채꼴의 두 반지름이 이루는 각 — 호 AB 에 대한 중심각은 ∠AOB. 기호는 호 AB · 현 AB · ∠AOB 셋을 따로 쓴다.

⭐⭐ 한 몸으로 움직이는 셋 — 중심각 : 호의 길이 : 부채꼴의 넓이 는 모두 정비례한다. 하나가 3배면 나머지도 3배.

⛔ 따라오지 않는 둘 — 현의 길이와 두 반지름·현이 만드는 삼각형의 넓이는 정비례하지 않는다. 중심각이 2배여도 현은 2배가 안 된다.

「같다」와 「몇 배」는 다른 이야기 — 중심각이 같으면 호도 현도 활꼴도 같다(그 반대도 참). 죽는 것은 「몇 배」뿐이다. 검산은 중심각을 다 더하면 360°(반원이면 180°).

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

피자 한 판을 자를 때 테두리(굽은 쪽)는 각을 두 배로 벌리면 정확히 두 배가 되지만, 자른 자리(곧은 쪽)는 두 배가 되지 않는다 — 오늘 이야기의 전부다.

📐 중1 (핵심)

원의 부분 이름(호·현·활꼴·부채꼴·중심각), 기호 읽기, 중심각과 호·부채꼴의 넓이의 정비례, 현이 정비례하지 않는 까닭, 같은 중심각 ⇔ 같은 호·현.

🎓 그 다음 (확장)

중3의 원주각(중심각의 절반)과 원과 직선, 고등의 호도법·삼각함수로 이어진다. 현의 길이가 2r sin 꼴이라는 것도 그때 밝혀진다.

🐣 먼저 몸으로 — 피자 한 판을 두 배로 벌려 보기

피자를 중심에서 30°만큼 잘라 한 조각을 뺐습니다. 이번엔 60°로 잘라 봅니다. 바깥 테두리(호)는 정확히 두 배가 됩니다. 조각의 넓이도 정확히 두 배입니다.

그런데 칼로 곧게 자른 두 자리를 잇는 선(현)은 어떨까요? 두 배가 되지 않습니다. 각이 벌어질수록 곧은 선은 지름에서 더 이상 길어질 수 없기 때문입니다. 굽은 것은 각을 그대로 따라가고, 곧은 것은 따라가다가 멈춥니다.

굽은 것(호·넓이)은 정비례 · 곧은 것(현)은 정비례하지 않는다

연습 10제 · 전부 손으로 검산한 해설

문제 1용어 · 원의 각 부분 이름

그림과 같이 원 O 위에 두 점 A, B 가 있다. 다음이 가리키는 것의 이름을 각각 쓰시오.

두 점 A, B 를 양 끝으로 하는 원의 일부분(굽은 선)
두 점 A, B 를 곧게 이은 선분
(2)의 선분과 (1)의 굽은 선으로 둘러싸인 도형
두 반지름 OA, OB 와 (1)의 굽은 선으로 둘러싸인 도형
(4)의 도형에서 ∠AOB 를 부르는 이름

풀이 — 둘러싼 선이 무엇인지만 보면 이름이 정해진다

(1) 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 굽은 부분 ⇒ 호 AB.
(2) 그 두 점을 곧게 이은 선분 ⇒ 현 AB.
⭐ 여기가 고비 — 활꼴과 부채꼴은 「경계선 하나」로 갈린다 이 단원에서 학생들이 딱 하나 헷갈리는 자리가 (3)과 (4)입니다. 둘 다 호를 공통으로 가지고 있으니 호만 보면 절대 못 가릅니다. 나머지 경계선을 보십시오 — 현 하나로 막았으면 활꼴, 반지름 둘로 막았으면 부채꼴입니다. (3) 경계가 현 + 호 ⇒ 활꼴. (4) 경계가 반지름 두 개 + 호 ⇒ 부채꼴.
이름의 유래로 외우면 더 쉽습니다 — 부채는 부챗살 두 개(반지름)가 있어야 펴지고, 활은 활줄(현) 하나가 있어야 당겨집니다. 「살이 둘이면 부채, 줄이 하나면 활」.
(5) 부채꼴에서 두 반지름이 이루는 각 ∠AOB ⇒ 중심각.

(1) 호 AB / (2) 현 AB / (3) 활꼴 / (4) 부채꼴 / (5) 중심각

※ 활꼴과 부채꼴은 호를 공유한다. 갈라 주는 것은 나머지 경계선(현 하나냐, 반지름 둘이냐)이다.

문제 2기호 읽기 · 참·거짓

한 원 O 와 그 위의 세 점 A, B, C 에 대하여 다음 중 옳은 것을 모두 고르시오.

두 점 A, B 는 원을 두 개의 호로 나누므로, 특별한 말이 없으면 「호 AB」는 짧은 쪽의 호를 가리킨다.
「현 AB」와 「호 AB」는 같은 것을 가리키는 두 이름이다.
호 BC 에 대한 중심각은 ∠BOC 이다.
원의 중심 O 와 원 위의 점 A 를 이은 선분 OA 도 현이다.
원의 지름은 현이다.

풀이 — 「현은 원 위의 두 점을 잇는다」 이 한 줄이 ②④⑤를 한꺼번에 판정한다

① 두 점이 원을 두 호로 나누고, 관례상 짧은 쪽을 「호 AB」로 쓴다 ⇒ 참.
⭐ 여기가 고비 — 현의 정의는 「원 위의 두 점을 잇는 선분」, 끝점 두 개가 모두 원 위에 있어야 한다 ②④⑤가 한 덩어리입니다. 현은 굽지 않은 선분이고, 양 끝이 모두 원 위에 있어야 합니다. 이 두 조건을 각 보기에 대 보면 답이 바로 갈립니다. ②가 거짓인 까닭 — 현은 곧고 호는 굽어 있습니다. 이름만 닮았을 뿐 다른 도형입니다.
④가 거짓인 까닭 — OA 의 한 끝 O 는 중심이지 원 위의 점이 아닙니다. 그래서 OA 는 반지름이지 현이 아닙니다.
⑤가 참인 까닭 — 지름은 원 위의 두 점을 잇고 곧습니다. 조건을 둘 다 만족하므로 현이고, 게다가 가장 긴 현입니다.
③ 호 BC 의 두 끝을 중심과 이으면 ∠BOC. 이것이 그 호에 대한 중심각 ⇒ 참.

① , ③ , ⑤

※ 반지름은 한 끝이 중심, 현은 두 끝이 모두 원 위. 끝점 위치 하나로 갈린다.

문제 3활꼴 · 현 하나가 만드는 것

그림과 같이 원 O 에 현 AB 를 하나 그었다.

현 AB 는 원의 둘레를 몇 개의 호로 나누는가?
현 AB 는 원의 안쪽을 몇 개의 활꼴로 나누는가?
그렇게 나뉜 두 활꼴이 서로 합동이 되려면 현 AB 는 어떤 현이어야 하는지 쓰시오.

풀이 — 현 하나가 호 둘과 활꼴 둘을 동시에 만든다

(1) 두 점 A, B 가 둘레를 끊으므로 호는 2개(짧은 호와 긴 호).
(2) 현 AB 를 경계로 원 안쪽이 위아래로 갈라지므로 활꼴도 2개.
⭐ 여기가 고비 — 두 활꼴이 같아지는 것은 「현이 중심을 지날 때」 딱 한 경우뿐 두 활꼴이 합동이려면 두 호의 길이가 같아야 하고, 그러려면 두 호에 대한 중심각이 같아야 합니다. 두 중심각을 더하면 360°이니, 같아지려면 각각 360° ÷ 2 = 180° 여야 합니다. 중심각이 180°라는 말은 두 반지름 OA, OB 가 일직선을 이룬다는 뜻이고, 그것은 곧 현 AB 가 중심 O 를 지난다는 뜻입니다. 즉 지름일 때뿐입니다.
이때 두 활꼴은 각각 반원이 되고, 반원은 부채꼴이면서 동시에 활꼴인 유일한 도형입니다. 중심각 180° 하나가 「지름 · 반원 · 두 활꼴 합동」을 한꺼번에 설명합니다.

(1) 2개 / (2) 2개 / (3) 지름 (중심 O 를 지나는 현)

※ 검산 — 두 호의 중심각의 합은 언제나 360°. 180° + 180° = 360° ✔

문제 4중심각과 호 · 정비례 기본

한 원에서 중심각의 크기가 25° 인 부채꼴의 호의 길이가 4 cm 이다. 같은 원에서 다음 부채꼴의 호의 길이를 구하시오.

중심각의 크기가 75° 인 부채꼴
중심각의 크기가 200° 인 부채꼴

풀이 — 각도에서 「몇 배인가」를 먼저 읽는다

⭐ 여기가 고비 — 비례식을 세우기 전에 각도끼리 나누어 배수를 눈으로 확인한다 25 : 75 를 비례식으로 풀어도 되지만, 75 ÷ 25 = 3 이라고 먼저 나누어 두면 계산 실수가 사라집니다. 중심각과 호는 정비례하므로 각이 3배면 호도 그대로 3배입니다. (1) 각이 3배 ⇒ 호도 3배 ⇒ 4 × 3 = 12 (cm).
(2) 200 ÷ 25 = 8 ⇒ 각이 8배 ⇒ 호도 8배 ⇒ 4 × 8 = 32 (cm).
200° 처럼 180° 를 넘는 중심각도 그대로 정비례합니다 — 부채꼴이 반원보다 커졌을 뿐, 규칙은 하나도 바뀌지 않습니다.
검산 — 25 : 4 = 75 : 12 ⇒ 25 × 12 = 300, 75 × 4 = 300 ✔
검산 — 25 : 4 = 200 : 32 ⇒ 25 × 32 = 800, 200 × 4 = 800 ✔

(1) 12 cm / (2) 32 cm

※ 「몇 배」를 각도에서 먼저 읽어 두면, 호든 넓이든 같은 배수를 그대로 곱하면 끝난다.

문제 5호의 비 → 중심각

그림과 같이 원 O 위에 세 점 A, B, C 가 있고 (호 AB) : (호 BC) = 3 : 7 이다. ∠AOB = 54° 일 때,

∠BOC 의 크기를 구하시오.
세 점 A, O, C 는 한 직선 위에 있는가? 그 까닭과 함께 답하시오.

풀이 — 호의 비를 그대로 중심각의 비로 옮긴다

⭐ 여기가 고비 — 「호의 비」를 곧바로 「중심각의 비」로 갈아 끼운다 호의 길이를 실제로 구할 필요가 전혀 없습니다. 호와 중심각이 정비례하므로 호의 비 3 : 7 이 곧 중심각의 비 3 : 7 입니다. 그대로 비례식을 세웁니다. 3 : 7 = 54 : ∠BOC ⇒ 3 × ∠BOC = 7 × 54 = 378 ⇒ ∠BOC = 126°.
더 빠른 길 — 3칸이 54°이니 1칸은 18°, 따라서 7칸은 18 × 7 = 126°. 「한 칸이 얼마인가」를 먼저 구해 두면 항이 더 늘어나도 그대로 쓸 수 있습니다.
(2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 54° + 126° = 180°.
180° 는 평각이므로 두 반지름 OA, OC 는 일직선을 이룬다 ⇒ 세 점은 한 직선 위에 있다(즉 AC 는 지름).

(1) 126° / (2) 한 직선 위에 있다 — ∠AOC = 180° 이므로 AC 는 지름

※ 검산 — 54 : 126 = 3 : 7 ⇒ 54 × 7 = 378, 126 × 3 = 378 ✔

문제 6부채꼴의 넓이도 정비례

원 O 를 세 개의 부채꼴로 나누었더니 세 중심각의 크기의 비가 2 : 3 : 4 였다. 이 원의 넓이가 45 cm² 일 때,

세 중심각의 크기를 각각 구하시오.
세 부채꼴의 넓이를 각각 구하시오.

풀이 — 전체를 「항의 합」으로 나누어 한 칸을 먼저 구한다

⭐ 여기가 고비 — 비로 나눌 때는 항의 합이 분모다 (2+3+4 = 9) 비 문제에서 무너지는 자리는 언제나 같습니다 — 무엇으로 나눌지입니다. 세 부분이 원 전체를 채우므로 중심각의 합은 360°. 그러니 한 칸 = 360° ÷ 9 = 40° 입니다. (1) 40 × 2 = 80°, 40 × 3 = 120°, 40 × 4 = 160°.
(2) 부채꼴의 넓이도 중심각에 정비례하므로 넓이의 비도 그대로 2 : 3 : 4. 넓이의 한 칸은 45 ÷ 9 = 5 (cm²).
⇒ 5 × 2 = 10, 5 × 3 = 15, 5 × 4 = 20 (cm²).
각도의 칸과 넓이의 칸은 「같은 2 : 3 : 4」를 쓰되 전체가 다릅니다 — 각은 360° 를, 넓이는 45 cm² 를 9로 나눕니다.
검산(각) — 80 + 120 + 160 = 360 ✔
검산(넓이) — 10 + 15 + 20 = 45 ✔

(1) 80° , 120° , 160° / (2) 10 cm² , 15 cm² , 20 cm²

※ 넓이의 비를 다시 구할 필요가 없다. 중심각의 비 = 호의 비 = 부채꼴 넓이의 비로 그대로 간다.

문제 7같은 현 ⇒ 같은 중심각 · 설명형

그림과 같이 원 O 에서 현 AB 와 현 CD 의 길이가 같다. 이때 ∠AOB = ∠COD 임을 삼각형의 합동을 이용하여 설명하시오. 또, 그 결과 호 AB 와 호 CD 에 대하여 무엇을 말할 수 있는지 쓰시오.

풀이 — 세 변이 각각 같으므로 SSS 합동

△OAB 와 △OCD 를 비교한다.
⭐ 여기가 고비 — 반지름은 넷 다 같다. 그래서 「변 하나만 더」 같으면 SSS 가 완성된다 원 문제에서 합동을 쓸 때 학생들이 놓치는 것은 늘 반지름입니다. OA, OB, OC, OD 는 모두 이 원의 반지름이므로 길이가 전부 같습니다. 여기에 문제가 준 AB = CD 하나만 얹으면 세 변이 모두 같아집니다. OA = OC (반지름), OB = OD (반지름), AB = CD (주어짐)
⇒ 세 대응변의 길이가 각각 같으므로 △OAB ≡ △OCD (SSS 합동)
⇒ 대응각의 크기가 같으므로 ∠AOB = ∠COD.
그 다음이 이 문제의 열매입니다 — 중심각이 같아졌으므로, 중심각에 정비례하는 호의 길이도 같습니다. 즉 (호 AB) = (호 CD) 이고, 부채꼴 OAB 와 부채꼴 OCD 도 합동입니다.
거꾸로도 참이다 — 중심각이 같으면 SAS 합동으로 현도 같다. 즉 「같다」는 양쪽으로 오간다.

△OAB ≡ △OCD (SSS) ⇒ ∠AOB = ∠COD ⇒ (호 AB) = (호 CD)

※ ⛔ 여기서 따라오는 것은 「같다」뿐이다. 「현이 2배면 중심각도 2배」는 성립하지 않는다(문제 8에서 확인).

문제 8⭐ 현은 정비례하지 않는다 · 반례

반지름의 길이가 9 cm 인 원 O 에서

중심각의 크기가 60° 인 부채꼴에서, 그 중심각에 대한 현의 길이를 구하시오.
중심각의 크기가 180° 인 부채꼴에서, 그 중심각에 대한 현의 길이를 구하시오.
(1), (2)의 결과를 근거로 「현의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다」가 옳은지 판정하시오.

풀이 — 60° 짜리 부채꼴은 정삼각형이 된다

⭐ 여기가 고비 — 중심각 60° 이면 두 반지름과 현이 정삼각형을 이룬다 ⇒ 현 = 반지름 이 문제의 열쇠는 60° 하나입니다. △OAB 에서 OA = OB (반지름)이므로 이등변삼각형이고, 두 밑각은 (180° − 60°) ÷ 2 = 60° 입니다. 세 각이 모두 60° ⇒ 정삼각형 ⇒ 현 AB = 반지름 = 9 cm. (2) 중심각 180° 이면 두 반지름이 일직선을 이루므로 그 현은 지름 ⇒ 9 × 2 = 18 (cm).
(3) 중심각은 60° → 180° 로 3배가 되었는데, 현은 9 → 18 로 2배밖에 되지 않았습니다.
3배가 되어야 할 자리에 2배가 나왔으니 정비례가 아닙니다. 만약 정비례라면 현이 9 × 3 = 27 (cm) 여야 하는데, 이 원에서 27 cm 짜리 현은 존재할 수 없습니다 — 가장 긴 현인 지름이 18 cm 이기 때문입니다.
호로 비교하면 어떨까 — 호는 정확히 3배가 된다. 굽은 것만 각을 그대로 따라간다.

(1) 9 cm / (2) 18 cm / (3) 옳지 않다 — 각은 3배인데 현은 2배

※ 현이 아무리 커져도 지름을 넘을 수 없다. 각은 계속 커질 수 있는데 현은 멈춘다 — 그래서 정비례가 깨진다.

문제 9삼각부등식으로 확인 · 응용

그림과 같이 원 O 위에 세 점 A, B, C 가 있고 ∠AOB = ∠BOC = 40°, 현 AB = 현 BC = 6 cm 이다.

호 AC 는 호 AB 의 몇 배인가?
현 AC 의 길이는 12 cm 인가? 아니라면 현 AC 의 길이의 범위를 구하시오.

풀이 — 세 점이 삼각형을 이루므로 「한 변 < 나머지 두 변의 합」

(1) ∠AOC = 40° + 40° = 80°, 호는 중심각에 정비례하므로 80 ÷ 40 = 2 ⇒ 2배.
⭐ 여기가 고비 — 「호가 2배니 현도 12」로 가면 틀린다. 삼각형 ABC 를 보라 ∠AOC = 80° ≠ 180° 이므로 세 점 A, B, C 는 한 직선 위에 있지 않고, 따라서 삼각형 ABC 가 만들어집니다. 삼각형에서는 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 짧아야 합니다. AC < AB + BC = 6 + 6 = 12 ⇒ 현 AC 는 12 cm 가 될 수 없습니다. 12 가 되려면 B 가 선분 AC 위에 납작하게 올라앉아야 하는데, B 는 원 위에 볼록하게 튀어나와 있으니 불가능합니다.
아래쪽은 어떨까 — 한 원에서는 중심각이 클수록 현도 깁니다. ∠AOC = 80° > ∠AOB = 40° 이므로 AC > AB = 6.
⇒ 6 cm < AC < 12 cm. 「같다」는 살아 있지만 「2배」는 죽는다 — 이 문제가 그 경계를 눈으로 보여 줍니다.
덧붙임 — 실제로 재어 보면 AC ≈ 11.3 cm 로, 12 보다 조금 짧다. 「조금 모자란다」가 현의 성질이다.

(1) 2배 / (2) 12 cm 가 아니다 — 6 cm < (현 AC) < 12 cm

※ 호는 정확히 2배, 현은 2배보다 짧다. 굽은 길은 늘어나고 곧은 길은 지름에 막힌다.

문제 10개수 세기 · 용어 종합

그림과 같이 원 위에 서로 다른 다섯 개의 점 A, B, C, D, E 가 있다.

이 다섯 점 중 두 점을 이어 만들 수 있는 현은 모두 몇 개인가?
이 다섯 점이 원의 둘레를 나눌 때, 이웃한 두 점 사이의 호는 모두 몇 개인가?
(1)에서 만든 현들이 각각 원을 나누는 활꼴은 모두 몇 개인가? (현마다 따로 센다)

풀이 — 빠뜨리지 않으려면 「기준 점을 앞에서부터 고정」해 센다

⭐ 여기가 고비 — 현 하나는 두 점 한 쌍과 정확히 짝을 이룬다. 그러니 쌍을 차례대로 센다 아무 데나 그으면 반드시 빠지거나 겹칩니다. 앞 점을 하나씩 고정하고 뒤에 남은 점하고만 이으면 중복 없이 전부 셉니다. A 에서 — AB, AC, AD, AE ⇒ 4개
B 에서 (A 는 이미 셈) — BC, BD, BE ⇒ 3개
C 에서 — CD, CE ⇒ 2개 · D 에서 — DE ⇒ 1개
⇒ 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (개). 「뒤로 갈수록 하나씩 줄어든다」가 이 세는 법의 서명입니다.
(2) 점 다섯 개가 둘레를 다섯 도막으로 끊는다 ⇒ 이웃한 두 점 사이의 호는 5개.
(3) 현 하나가 원을 활꼴 둘로 나눈다(문제 3) ⇒ 10 × 2 = 20 (개).

(1) 10개 / (2) 5개 / (3) 20개

※ (2)의 5개와 (1)의 10개를 헷갈리지 말 것. 이웃한 것만이면 점의 개수와 같고, 두 점을 마음대로 고르면 쌍의 개수가 된다.

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 1호의 비 1 : 1 : 2 · 지름 찾기

원 O 위의 세 점 A, B, C 에 대하여 (호 AB) : (호 BC) : (호 CA) = 1 : 1 : 2 이다.

∠AOB, ∠BOC, ∠COA 의 크기를 각각 구하시오.
선분 CA 는 이 원의 무엇인지 쓰시오.
호 CA 는 호 AB 의 2배이다. 그렇다면 현 CA 도 현 AB 의 2배인가? 판정하고 까닭을 쓰시오.

풀이 — 네 칸으로 나누면 한 칸이 90°

(1) 세 호가 원 전체를 채우므로 중심각의 합은 360°. 한 칸 = 360 ÷ (1+1+2) = 360 ÷ 4 = 90°.
⇒ ∠AOB = 90°, ∠BOC = 90°, ∠COA = 90 × 2 = 180°. 검산 90 + 90 + 180 = 360 ✔
(2) ∠COA = 180° ⇒ 두 반지름 OC, OA 가 일직선 ⇒ CA 는 지름.
⭐ 여기가 고비 — 「호가 2배니 현도 2배」를 삼각부등식 한 줄로 무너뜨린다 호는 분명히 2배지만, 현은 그렇지 않습니다. 세 점 A, B, C 로 삼각형을 만들어 보면 한 줄로 끝납니다. ∠AOB = ∠BOC = 90° 이므로 현 AB = 현 BC (같은 중심각 ⇒ 같은 현).
삼각형 ABC 에서 한 변은 나머지 두 변의 합보다 짧으므로
CA < AB + BC = AB + AB = 2 × AB
⇒ 현 CA 는 현 AB 의 2배보다 짧습니다. 따라서 2배가 아닙니다.
「2배가 되려면 B 가 선분 CA 위에 납작하게 놓여야 하는데, B 는 원 위로 튀어나와 있다」 — 이 그림 한 장이 증명입니다.

(1) 90° , 90° , 180° / (2) 지름 / (3) 2배가 아니다 (2배보다 짧다)

※ 호가 2배 ⇒ 중심각도 2배 ⇒ 부채꼴의 넓이도 2배. 오직 현만 따라오지 않는다.

도전 2반원 · 합이 180°

그림과 같이 AB 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 C, D 가 있고 (호 AC) : (호 CD) : (호 DB) = 2 : 3 : 4 이다.

∠COD 의 크기를 구하시오.
∠AOC 와 ∠DOB 의 크기를 각각 구하시오.

풀이 — 전체가 반원이면 나눌 대상은 180°

⭐ 여기가 고비 — 습관적으로 360° 를 나누면 답이 정확히 두 배로 틀린다 비 문제에서 가장 자주 나는 사고가 여기입니다. 세 호가 채우는 것은 원 전체가 아니라 반원입니다. A 와 B 가 지름의 양 끝이므로 ∠AOB = 180° 이고, 세 중심각의 합도 180° 입니다. 한 칸 = 180 ÷ (2+3+4) = 180 ÷ 9 = 20°.
(1) ∠COD = 20 × 3 = 60°
(2) ∠AOC = 20 × 2 = 40°, ∠DOB = 20 × 4 = 80°
검산 — 40 + 60 + 80 = 180 ✔ 「전체가 무엇인가」를 문제에서 먼저 찾아 적어 두면 이 사고는 다시 나지 않습니다.
덧붙임 — ∠COD = 60° 이므로 현 CD 는 반지름과 같은 길이이다(문제 8의 정삼각형).

(1) 60° / (2) ∠AOC = 40° , ∠DOB = 80°

※ 반원이면 180°, 원이면 360°. 「무엇을 나누는가」를 첫 줄에 적고 시작한다.

도전 3평행선의 엇각 + 이등변삼각형

그림과 같이 원 O 위에 세 점 A, B, C 가 있다. ∠AOB = 70° 이고 OA ∥ BC 일 때,

∠OBC 의 크기를 구하시오.
∠BOC 의 크기를 구하시오.
(호 AB) : (호 BC) 를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

풀이 — 엇각으로 각을 옮기고, 반지름으로 이등변삼각형을 만든다

⭐ 여기가 고비 — 선분 OB 가 두 평행선 OA, BC 를 가로지르는 한 직선이라는 것을 알아채는 것 그림에 각이 하나뿐이라 막히기 쉽습니다. 그런데 OA ∥ BC 이고 OB 가 그 둘을 가로지르고 있습니다. 그러면 ∠AOB 와 ∠OBC 는 엇각이므로 크기가 같습니다 — 각 하나가 원 반대편으로 그대로 옮겨 갑니다. (1) 엇각 ⇒ ∠OBC = ∠AOB = 70°.
(2) △OBC 에서 OB = OC (반지름)이므로 이등변삼각형 ⇒ 두 밑각이 같다 ⇒ ∠OCB = ∠OBC = 70°.
세 각의 합이 180° 이므로 ∠BOC = 180° − 70° − 70° = 40°.
「평행 ⇒ 엇각으로 옮기고, 반지름 ⇒ 이등변으로 되돌린다」 — 원 문제에서 되풀이되는 두 걸음입니다.
(3) 호는 중심각에 정비례하므로 (호 AB) : (호 BC) = 70 : 40 = 7 : 4.
검산 — 70 ÷ 10 = 7, 40 ÷ 10 = 4, 두 수의 최대공약수는 1 ⇒ 더 줄일 수 없다 ✔

(1) 70° / (2) 40° / (3) 7 : 4

※ 원 안에서 평행이 보이면 엇각, 반지름 두 개가 보이면 이등변삼각형. 이 두 신호를 먼저 찾는다.

도전 4세 현의 대소 · 부등식으로 판정

그림과 같이 원 O 위에 세 점 A, B, C 가 있고 ∠AOB = 40°, ∠BOC = 80° 이다. 현 AB, 현 BC, 현 AC 의 길이를 각각 a, b, c 라 할 때,

∠AOC 의 크기를 구하시오.
a, b, c 의 대소를 부등호로 나타내시오.
c 와 3a 의 대소를 비교하고, 그 결과가 무엇을 말해 주는지 쓰시오.

풀이 — 대소는 살아 있고, 배수만 죽는다

(1) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 40° + 80° = 120°.
(2) 한 원에서 중심각이 클수록 현도 길다(0° 와 180° 사이). 40° < 80° < 120° ⇒ a < b < c.
⭐ 여기가 고비 — 삼각부등식을 두 번 써서 c < 3a 를 만든다 「120° 는 40° 의 3배이니 c = 3a 아닌가?」 하는 유혹을 부등식으로 잘라야 합니다. 삼각부등식을 두 번 쓰면 손으로 딱 잡힙니다. 첫째 — 삼각형 ABC 에서 c < a + b.
둘째 — ∠BOC = 80° 를 40° + 40° 로 쪼개는 점을 호 BC 위에 잡으면, 40° 짜리 현 두 개가 생기고 각각의 길이는 a 입니다. 다시 삼각부등식으로 b < a + a = 2a.
둘을 합치면 c < a + b < a + 2a = 3a ⇒ c < 3a.
중심각은 정확히 3배인데 현은 3배에 「못 미친다」 — 이것이 현이 중심각에 정비례하지 않는다는 것의 증명입니다. (호와 부채꼴의 넓이는 정확히 3배가 됩니다.)
실제로 재어 보면 a : b : c ≈ 1 : 1.88 : 2.53 으로, 1 : 2 : 3 에 모두 못 미친다 ✔

(1) 120° / (2) a < b < c / (3) c < 3a — 현은 중심각에 정비례하지 않는다

※ 대소(클수록 길다)는 참, 배수(몇 배면 몇 배)는 거짓. 이 둘을 갈라 두는 것이 이 단원의 핵심이다.

도전 56등분 · 현의 가짓수

반지름의 길이가 5 cm 인 원 O 의 둘레를 여섯 등분하는 점을 A, B, C, D, E, F 라 하자.

이 여섯 점 중 두 점을 이어 만드는 현은 모두 몇 개인가?
그 현들의 길이는 모두 몇 가지인가?
길이가 5 cm 인 현과 10 cm 인 현은 각각 몇 개인가?

풀이 — 현의 길이는 「몇 칸을 건너뛰었나」로만 정해진다

(1) 문제 10과 같은 방법으로 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (개).
⭐ 여기가 고비 — 현의 길이를 정하는 것은 중심각뿐. 그러니 「몇 칸」만 세면 된다 15개를 하나하나 재려 들면 끝이 없습니다. 둘레를 여섯 등분했으니 한 칸의 중심각은 360° ÷ 6 = 60° 입니다. 두 점 사이가 몇 칸이냐에 따라 중심각이 정해지고, 중심각이 같으면 현의 길이도 같습니다(문제 7). 한 칸(60°) · 두 칸(120°) · 세 칸(180°) — 네 칸은 반대쪽으로 두 칸과 같으므로 새 길이가 아닙니다. ⇒ 3가지.
60° ⇒ 두 반지름과 현이 정삼각형 ⇒ 현 = 반지름 = 5 cm. 이런 현은 이웃한 두 점끼리 6개(AB, BC, CD, DE, EF, FA).
180° ⇒ 지름 ⇒ 5 × 2 = 10 cm. 마주 보는 짝이므로 3개(AD, BE, CF).
남은 120° 짜리는 6개로, 길이는 5 cm 보다 길고 10 cm 보다 짧습니다. 검산 6 + 6 + 3 = 15 ✔

(1) 15개 / (2) 3가지 / (3) 5 cm 인 현 6개, 10 cm 인 현 3개

※ 중심각 60° 는 정삼각형(현 = 반지름), 180° 는 지름(현 = 지름). 이 두 자리만 값이 딱 떨어진다.

도전 6총정리 · 참·거짓 여섯

한 원에 대한 다음 설명 중 옳은 것에는 ○, 옳지 않은 것에는 × 를 하시오.

길이가 같은 두 현에 대한 중심각의 크기는 서로 같다.
중심각의 크기가 2배가 되면 그 중심각에 대한 현의 길이도 2배가 된다.
부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례한다.
활꼴은 두 반지름과 호로 둘러싸인 도형이다.
크기가 같은 두 중심각에 대한 두 활꼴은 서로 합동이다.
현 하나는 원의 둘레를 두 개의 호로 나눈다.

판정 — 「같다」인가 「몇 배」인가로 먼저 갈라 읽는다

① ○ — △OAB ≡ △OCD (SSS, 반지름 넷이 같고 현이 같다) ⇒ 중심각도 같다(문제 7).
⭐ 여기가 고비 — ②와 ⑤가 겉보기엔 같은 말 같지만, 「몇 배」와 「같다」로 갈린다 이 여섯 보기의 승부는 ②와 ⑤에서 납니다. 둘 다 현·활꼴 이야기인데 하나는 ×, 하나는 ○ 입니다. 갈라 주는 낱말은 「2배」와 「같다」 입니다. ② 는 × — 중심각 60° 의 현은 반지름 r, 120° 의 현은 2r 보다 짧습니다(삼각부등식). 「2배」는 깨집니다.
⑤ 는 ○ — 중심각이 같으면 호도 같고 현도 같으므로, 그 호와 현으로 둘러싸인 활꼴도 포개집니다. 「같다」는 살아 있습니다.
정비례가 깨지는 것은 「배수」일 뿐, 「같음」까지 깨지는 것이 아닙니다. 이 한 줄을 시험장에서 그대로 꺼내 쓰면 됩니다.
③ ○ — 중심각 : 호의 길이 : 부채꼴의 넓이는 모두 정비례.
④ × — 두 반지름과 호로 둘러싸인 것은 부채꼴. 활꼴은 현과 호로 둘러싸인다.
⑥ ○ — 현의 두 끝점이 둘레를 끊으므로 호는 2개(문제 3).

○ : ① , ③ , ⑤ , ⑥ / × : ② , ④

※ 「2배·3배」가 나오면 현을 의심하고, 「같다」가 나오면 현도 믿는다. 이 한 줄이 이 단원 판정 문제의 전부다.

🧭 마지막에 한 번만 더 — 시험장에서 손이 멈추면 이 네 줄

원과 부채꼴은 「무엇이 따라오고 무엇이 안 따라오는가」가 전부입니다.

① 이름이 헷갈리면 경계선을 본다 — 반지름 둘이면 부채꼴, 현 하나면 활꼴.
② 중심각 · 호의 길이 · 부채꼴의 넓이 는 한 몸 — 하나가 몇 배면 나머지도 그대로 몇 배.
③ 현은 「같다」만 따라오고 「몇 배」는 따라오지 않는다 — 삼각부등식으로 잘라 낸다.
④ 비로 나눌 땐 항의 합으로 나눈다 — 원이면 360°, 반원이면 180°. 마지막에 합으로 검산.

※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 값·판정을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 값·도형이 다를 수 있음). 짝 강의 「원과 부채꼴」에 실린 예제(40°:120°=3배 · 20°:80°=4배 · 호 6:15 · 12°:30° · 호 3:4:5 · 150°→30 · 90°→27 · 호 5:4 반원 · AB ∥ OC 로 36° · 30°와 60° 판정 다섯 등)와 수치·설정을 모두 바꾸어 겹치지 않게 새로 지었습니다. 또한 짝 소단원 「부채꼴의 호의 길이와 넓이」와 겹치지 않도록 호의 길이·넓이 공식(2πr · πr²)을 한 번도 쓰지 않고 낱말과 성질(비례·비례하지 않음)만으로 풀었습니다.

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