삼각형의 외심 실전 완전정복
— 반지름이 다 같다 · 연습 10제

풀이 — 세 각을 하나씩만 더하면 90°

1. OA=OB=OC 이므로 △OAB, △OBC, △OCA는 모두 이등변삼각형 → 같은 각이 세 쌍.
2. ⭐ 여기가 고비 — 세 쌍을 「하나씩만」 더하면 왜 90° 인가 외심에서 그은 세 선분이 삼각형을 이등변삼각형 셋으로 나누고, 그 밑각이 같은 각 세 쌍이 됩니다 — ∠OAB = ∠OBA, ∠OBC = ∠OCB, ∠OCA = ∠OAC. 여섯 각을 모두 더하면 그것이 곧 △ABC 의 세 내각을 다 더한 것이라 180° 입니다. 쌍마다 두 개씩 있으니 쌍에서 하나씩만 골라 더하면 그 절반인 90° ⇒ ∠OAB + ∠OBC + ∠OCA = 90°. 고르는 자리에 규칙이 있습니다 — ∠OAB, ∠OBC, ∠OCA 처럼 세 꼭짓점 A, B, C 가 한 번씩 나오도록 골라야 합니다. 한 꼭짓점을 두 번 쓰면 짝이 어긋나 90° 가 되지 않습니다. 넣으면 32° + 28° + ∠OCA = 90° ⇒ ∠OCA = 30°.

풀이 — 중심각은 원주각의 두 배

1. ⭐ 여기가 고비 — 중심각은 원주각의 「두 배」 — 어느 각의 두 배인지가 중요하다 ∠BOC 는 호 BC 를 바라보는 중심각이고, ∠A 는 같은 호 BC 를 바라보는 원주각입니다. 같은 호를 보는 두 각이라야 두 배 관계가 섭니다 ⇒ ∠BOC = 2∠A = 2 × 54° = 108°. 짝을 확인하는 손쉬운 방법 — 각 이름에서 꼭짓점 글자를 빼 보십시오. ∠BOC 에서 O 를 빼면 BC, ∠A(= ∠BAC) 에서 A 를 빼면 역시 BC — 같은 호입니다. 이 짝만 맞으면 「두 배」는 각의 크기와 상관없이 언제나 성립합니다.
2. 검산 — ∠BOC = 108° 이면 △OBC 의 밑각은 (180° − 108°) ÷ 2 = 36° 로 앞뒤가 맞는다 ✔

풀이 — 90°로 나머지 하나를 먼저 찾고, ∠B는 두 조각의 합

1. 90° 법칙으로 나머지 하나를 먼저 : ∠OAB = 90° − 25° − 40° = 25°.
2. ⭐ 여기가 고비 — ∠B 는 하나의 각이 아니라 「두 조각의 합」이다 구하는 ∠B 는 꼭짓점 B 의 내각인데, 외심 O 로 그은 선분 OB 가 그 각을 둘로 자릅니다 — ∠B = ∠OBA + ∠OBC. 그러니 두 조각을 각각 찾아 더해야 합니다. 한 조각 ∠OBC = 25° 는 이미 주어졌고, 다른 조각 ∠OBA 는 이등변삼각형 OAB 에서 나옵니다 — OA = OB 이므로 밑각이 같아 ∠OBA = ∠OAB = 25°. 따라서 ∠B = 25° + 25° = 50°. 외심 문제의 각은 거의 언제나 「조각으로 잘려 있다」는 것을 먼저 그림에서 확인하십시오 — 90° 법칙이 주는 것은 「조각」이지 「내각」이 아닙니다.

풀이 — 빗변이 지름이므로 외심은 빗변의 중점

풀이 — 빗변이 지름

1. ⭐ 여기가 고비 — 주어진 16 은 반지름이 아니라 「지름」이다 이 문제에서 틀리는 사람은 거의 전부 같은 한 곳에서 틀립니다 — 빗변 16cm 를 그대로 r 자리에 넣는 것입니다. 빗변은 외접원의 지름이므로 반드시 반으로 나눠 반지름을 만들어야 합니다 ⇒ r = 16 ÷ 2 = 8cm. 그다음은 공식에 넣기만 하면 됩니다 — 둘레 2πr = 2 × π × 8 = 16π (cm), 넓이 πr² = π × 8² = 64π (cm²). 「지름 → 반지름 → 공식」 순서를 소리 내어 밟으십시오. 반지름을 16 으로 잘못 넣으면 둘레는 두 배, 넓이는 네 배로 어긋납니다 — 넓이는 반지름의 「제곱」에 비례하므로 실수가 크게 번집니다.
2. 검산 — 반지름 8cm 이면 지름이 16cm 로 빗변과 같다 ✔

풀이 — 세 중심각을 모두 더하면 한 바퀴 360°

1. 비를 3a : 4a : 5a 로 놓으면 3a + 4a + 5a = 12a = 360° → a = 30°.
2. ∠AOB = 90°, ∠BOC = 120°, ∠COA = 150°.
3. ⭐ 여기가 고비 — ∠A 의 짝은 ∠AOB 가 아니라 「마주 보는」 ∠BOC 다 세 중심각을 구한 뒤 어느 내각과 짝을 짓느냐에서 갈립니다. 이름이 비슷해 ∠A 과 ∠AOB 를 묶기 쉬운데, ∠A 가 바라보는 호는 BC 이므로 짝은 ∠BOC 입니다 — 글자가 겹치지 않는 쪽이 짝입니다. 그래서 ∠A = ½∠BOC = 60°, ∠B = ½∠COA = 75°, ∠C = ½∠AOB = 45°. 검산은 세 내각을 더해 보는 것 — 60° + 75° + 45° = 180° ✓ 짝을 잘못 묶었다면 여기서 합이 180° 가 되지 않아 곧바로 들통납니다. 중심각의 합 360° 와 내각의 합 180° — 두 「합」을 모두 확인하는 것이 이 유형의 안전판입니다.

풀이 — 외심에서 내린 수선의 발은 그 변의 중점

1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 수선의 발이 하필 「중점」인가 — 반지름이 다 같기 때문 △OBC 는 OB = OC 인 이등변삼각형입니다. 이등변삼각형에서 꼭지각에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 이등분하므로, 수선의 발 D 는 BC 의 중점이 됩니다 ⇒ BC = 2 × BD = 2 × 4 = 8cm. 이 성질의 뿌리는 「반지름이 다 같다」 하나입니다 — OA=OB=OC 라서 세 삼각형이 모두 이등변이 되고, 그래서 세 수선의 발이 모두 중점이 됩니다(그것이 외심이 세 변의 수직이등분선의 교점인 까닭이기도 합니다). 같은 방식으로 CA = 2 × 5 = 10cm, AB = 2 × 6 = 12cm ⇒ 둘레는 2 × (4 + 5 + 6) = 30cm. 주어진 세 길이를 더해 두 배 하면 끝이라는 것을 알아채면 계산이 한 줄입니다.
2. 검산 — 8 + 10 + 12 = 30cm ✔ 세 변을 각각 두 배 해 더한 것과 같다.

풀이 — 중심각으로 △OBC를 만들고 이등변삼각형을 쓴다

1. ∠BOC = 2∠A = 2 × 40° = 80°.
2. ⭐ 여기가 고비 — 구하는 각이 있는 삼각형(△OBC)으로 옮겨 가는 것 ∠OBC 는 △ABC 안에서 곧바로 보이지 않습니다. 그런데 그 각이 들어 있는 삼각형을 보면 △OBC 이고, 거기서는 OB = OC 인 이등변삼각형이라 밑각이 같습니다. 꼭지각 ∠BOC 만 알면 밑각이 나옵니다 ⇒ ∠OBC = ∠OCB = (180° − 80°) ÷ 2 = 50°. 「구하는 각이 어느 삼각형에 들어 있는가」를 먼저 묻는 것이 도형 문제의 길잡이입니다. 여기서는 중심각 공식이 그 삼각형의 꼭지각을 만들어 주는 다리 노릇을 했습니다. 문제가 준 「AB = AC」는 그림을 그리는 데는 쓰이지만 계산에는 필요 없습니다 — ∠A = 40° 만 알면 ∠OBC 는 정해지니까요.

풀이 — 내심=외심이면 정삼각형

1. ⭐ 여기가 고비 — 내심과 외심이 겹치면 「각의 이등분선 = 변의 수직이등분선」이 된다 내심은 세 내각의 이등분선의 교점, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점입니다. 두 점이 같다면 각 꼭짓점에서 그은 각의 이등분선이 곧 대변의 수직이등분선이 되고, 그러면 그 선을 접는 선으로 좌우가 포개져 세 변과 세 각이 모두 같아집니다 ⇒ 정삼각형(한 내각 60°). 정삼각형에서는 외심·내심·무게중심이 한 점이므로, 그 점은 무게중심이기도 합니다. 무게중심은 높이를 꼭짓점 쪽에서 2 : 1 로 나누므로 외접원의 반지름은 높이의 2/3 입니다 — h = (√3 ÷ 2) × 6 = 3√3 이므로 R = (2/3) × 3√3 = 2√3 (cm). 다른 길로도 확인됩니다 — 사인법칙으로 6 ÷ sin60° = 6 ÷ (√3/2) = 4√3 = 2R → R = 2√3 ✓ 두 길이 같으니 안심하고 넘어갑니다.
2. 검산 — h = 3√3 ≈ 5.196 이고 R = 2√3 ≈ 3.464 이므로 높이의 2/3 이 맞다 ✔

풀이 — 내심으로 ∠A를 먼저 찾고, 그 값을 외심 공식에 넣는다

1. ⭐ 여기가 고비 — 내심 공식과 외심 공식을 「∠A」로 이어 붙이는 것 내심과 외심이 한 문제에 같이 나왔지만, 두 공식을 잇는 다리는 ∠A 하나입니다. 먼저 내심 공식 ∠BIC = 90° + ½∠A 으로 ∠A 를 찾습니다 — 125° = 90° + ½∠A ⇒ ½∠A = 35° ⇒ ∠A = 70°. 그 값을 외심 공식 ∠BOC = 2∠A 에 넣으면 ∠BOC = 2 × 70° = 140°. 두 공식을 헷갈리지 않는 표를 만들어 두십시오 — 내심 ∠BIC = 90° + ½∠A (90° 가 붙고 절반) · 외심 ∠BOC = 2∠A (그냥 두 배). 내심은 변까지의 거리가 같고 외심은 꼭짓점까지의 거리가 같다는 정의 차이가 이 모양 차이를 낳습니다.
2. 검산 — ∠A = 70° 를 내심 공식에 되넣으면 ∠BIC = 90° + 35° = 125° 로 문제와 같다 ✔

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「원 위의 세 점」이라는 말이 곧 「O 는 외심」이라는 말이다 외심이라는 낱말이 문제에 없지만, 세 점 A, B, C 가 모두 원 O 위에 있다는 것은 O 에서 세 점까지의 거리가 모두 반지름으로 같다는 뜻이고, 그것이 바로 외심의 정의입니다. 그러니 원 O 는 △ABC 의 외접원이고 O 는 외심입니다. 외심임을 알아채고 나면 앞에서 쓰던 공식이 그대로 통합니다 — ∠BOC 와 ∠BAC 는 같은 호 BC 를 바라보므로 ∠BOC = 2 × 35° = 70°. 「원 위의 세 점」·「원에 내접하는 삼각형」·「외접원」은 모두 같은 말입니다 — 낱말이 바뀌어도 같은 그림임을 알아보는 것이 이 문제의 고비입니다.
2. 검산 — ∠BOC = 70° 를 되돌리면 원주각은 70° ÷ 2 = 35° 로 문제와 같다 ✔

풀이 — 빗변부터 구하고, 그 절반이 반지름

1. ⭐ 여기가 고비 — 반지름을 구하려면 「빗변부터」 — 주어진 두 변은 반지름과 상관이 없다 주어진 것은 직각을 낀 두 변 6, 8 인데, 외접원의 반지름과 이어지는 것은 빗변뿐입니다. 그러니 먼저 피타고라스로 빗변을 만들어야 합니다 ⇒ √(6² + 8²) = √100 = 10cm. 빗변이 지름이므로 R = 10 ÷ 2 = 5cm. 순서가 곧 방법입니다 — ①직각을 확인 ②빗변을 구한다 ③반으로 나눈다 ④공식에 넣는다. 넓이는 π × 5² = 25π (cm²). 6 이나 8 을 반지름으로 넣고 싶어지는 유혹을 이겨야 합니다 — 그 두 변은 지름의 양 끝을 잇는 변이 아니므로 원의 크기를 직접 알려 주지 않습니다. (3:4:5 의 두 배라 빗변이 10 으로 딱 떨어지는 것도 눈여겨 두십시오.)
2. 검산 — 6, 8, 10 은 3 : 4 : 5 의 두 배라 빗변이 10cm 로 딱 떨어진다. 지름 10cm 이니 R = 5cm ✔

풀이 — ∠A가 직각이므로 외심은 빗변 BC의 중점

1. ⭐ 여기가 고비 — 좌표에서 「직각」을 먼저 알아보는 것 세 점의 좌표만 보고 겁먹을 것 없습니다. A(0,0) 과 B(6,0) 는 x축 위에, A(0,0) 과 C(0,8) 는 y축 위에 놓여 있으니 두 변은 서로 수직입니다 ⇒ ∠A = 90°. 직각을 찾은 순간 이 문제는 앞 문제와 같아집니다 — 빗변은 BC, 외심은 BC 의 중점. 중점은 좌표를 각각 평균 내면 되므로 ((6+0)/2, (0+8)/2) = (3, 4). 반지름은 외심에서 어느 꼭짓점까지의 거리든 같으니 가장 쉬운 A 까지를 재어 √(3² + 4²) = 5. 검산은 나머지 두 꼭짓점까지도 재어 보는 것 — B 까지 √((6−3)² + 4²) = √(9+16) = 5, C 까지 √(3² + (8−4)²) = √(9+16) = 5 ✓ 세 거리가 모두 같아야 비로소 외심입니다.
2. 검산 — (3, 4) 에서 A(0,0) 까지 5, B(6,0) 까지 5, C(0,8) 까지 5 — 세 거리가 모두 같다 ✔

풀이 — 사인법칙 a ÷ sin A = 2R

1. ⭐ 여기가 고비 — 사인법칙이 주는 것은 R 이 아니라 「2R」이다 변 하나와 그 맞은편 각 하나가 주어지면 사인법칙으로 외접원의 크기가 나옵니다 — a ÷ sin A = 2R. 여기서 우변이 R 이 아니라 2R 이라는 것이 이 공식의 함정입니다. 넣으면 10 ÷ sin30° = 10 ÷ ½ = 20 = 2R ⇒ R = 10. 왜 2R 인지는 앞 문제들과 이어집니다 — 각이 90° 일 때 sin 90° = 1 이므로 a = 2R, 곧 「빗변이 지름」이 됩니다. 사인법칙은 그 사실을 모든 각으로 넓힌 것입니다. 짝을 맞추는 것도 잊지 마십시오 — 변 a 와 각 A 는 서로 마주 보아야 합니다. 여기서는 BC 와 ∠A 가 맞은편이라 짝이 맞습니다 ✓
2. 검산 — R = 10 이면 지름이 20 이고 BC = 2R·sin A = 20 × ½ = 10 로 문제의 값과 같다 ✔

풀이 — 코사인법칙으로 a를 구하고, 사인법칙으로 R를 구한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「두 변과 낀 각」이면 코사인법칙 — 사인법칙은 그다음이다 주어진 것은 두 변 b = 8, c = 5 와 그 사이의 각 ∠A = 60° 입니다. 이때는 맞은편 각과 짝지어진 변이 없으므로 사인법칙을 바로 쓸 수 없습니다 — 먼저 코사인법칙으로 나머지 변 a 를 만들어야 합니다 ⇒ a² = b² + c² − 2bc·cos A = 64 + 25 − 2·8·5·½ = 89 − 40 = 49 → a = 7. a 가 나오는 순간 a = 7 과 ∠A = 60° 라는 짝이 갖춰지고, 그때 비로소 사인법칙을 씁니다 — 7 ÷ (√3/2) = 14/√3 = (14√3)/3 = 2R ⇒ R = (7√3)/3. 공식을 고르는 잣대는 하나 — 「변과 그 맞은편 각」이 짝지어져 있으면 사인법칙, 없으면 코사인법칙. 분모의 근호는 유리화해 14/√3 = 14√3/3 꼴로 정리해 두십시오.
2. 검산 — a = 7 이므로 7² = 49 = 64 + 25 − 40 ✔ 그리고 2R = 7 ÷ 0.866 ≈ 8.08, R ≈ 4.04 = 7√3/3 ✔

풀이 — 정삼각형은 외심·내심·무게중심이 모두 한 점

1. ⭐ 여기가 고비 — 한 점에 겹친 그 점이 「무게중심」이라 높이를 2 : 1 로 나눈다 정삼각형에서는 외심·내심·무게중심이 모두 한 점입니다. 그러니 그 점을 무게중심으로 보아 높이를 꼭짓점 쪽에서 2 : 1 로 나눈다는 성질을 그대로 쓸 수 있습니다 — 긴 쪽(2)이 꼭짓점까지의 거리 R, 짧은 쪽(1)이 변까지의 거리 r. 높이가 h = (√3 ÷ 2)a 이므로 R = (2/3)h = (√3/3)a, r = (1/3)h = (√3/6)a ⇒ R : r = (√3/3)a : (√3/6)a = 2 : 1. 사실 길이를 구할 것도 없이 「2 : 1」에서 답이 바로 나옵니다 — R 은 긴 조각, r 은 짧은 조각이니 비는 그대로 2 : 1. 한 변의 길이 a 가 답에 남지 않는 까닭도 여기 있습니다 — 비는 크기와 상관없이 모든 정삼각형에서 같습니다.
2. 검산 — a = 6 로 두면 R = 2√3 ≈ 3.46, r = √3 ≈ 1.73 이므로 3.46 : 1.73 = 2 : 1 ✔