귀류법과 대우증명, 절대부등식, 그리고 컴퓨터의 조건문(if)·논리회로까지 그대로 이어진다.
🐣 먼저 몸으로 — "거꾸로도 맞을까?"
"서울에 살면 대한민국에 산다." 이건 맞습니다. 그러면 거꾸로 "대한민국에 살면 서울에 산다"는 맞을까요? 부산에 사는 사람이 있으니 틀립니다. 이게 역이에요.
그런데 "대한민국에 살지 않으면 서울에 살지 않는다"는 어떨까요? 이건 반드시 맞습니다. 이게 대우예요. 동그라미로 보면 서울이 대한민국 안에 쏙 들어가 있으니, 바깥에 있으면 안쪽에도 없는 게 당연하지요.
역은 틀릴 수 있다 · 대우는 언제나 맞다
연습 10제 · 전부 손으로 검산한 해설
문제 1역·대우 · 기본
명제 「x = 3 이면 x² = 9 이다」 의 역과 대우를 각각 쓰고, 참·거짓을 판정하라.
풀이 — 역은 앞뒤를 바꾸고, 대우는 바꾸고 부정까지
원명제는 참이다: x = 3 ⇒ x² = 9. ✔
역 : x² = 9 이면 x = 3 이다 → 거짓 반례 x = −3 — (−3)² = 9 인데 x ≠ 3.
⭐ 여기가 고비 — 대우는 「따져 볼 것도 없이」 참이다 — 역은 그렇지 않다
대우 x² ≠ 9 이면 x ≠ 3 이다 를 반례를 찾아 가며 확인할 필요가 없습니다. 원명제와 대우는 언제나 참·거짓이 같기 때문입니다. 원명제가 참이니 대우도 참.
왜 한 몸인가 — 원명제 p → q 는 「p 인 것은 모두 q 안에 있다」는 말입니다. 그러면 q 밖에 있는 것은 p 일 수가 없습니다 — 그것이 곧 ~q → ~p, 대우입니다. 같은 그림을 안쪽에서 말하느냐 바깥쪽에서 말하느냐의 차이일 뿐입니다. 반면 역 q → p 는 화살표를 거꾸로 돌린 것이라 그림이 아예 달라집니다 — 그래서 참일 수도 거짓일 수도 있고, 이 문제처럼 반례 하나(x = −3)로 무너지기도 합니다.
"역은 뒤집히는데 대우는 안 뒤집혀. 원명제와 대우는 언제나 한 몸."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제46강 「역·대우와 필요충분조건」
역 : x²=9 ⇒ x=3 (거짓) / 대우 : x²≠9 ⇒ x≠3 (참)
문제 2이(裏) · 기본
명제 「x > 2 이면 x > 1 이다」 에 대하여 이(裏)와 대우를 쓰고 각각의 참·거짓을 판정하라.
풀이 — 이는 "역의 대우"라서 역과 운명을 같이한다
⭐ 여기가 고비 — 부정에서 등호를 빠뜨리지 않는 것
이(裏)는 양쪽을 부정만 한 것입니다. 그러니 x > 2 의 부정을 정확히 써야 하는데, x < 2 가 아니라 x ≤ 2 입니다 — 2 자신이 부정 쪽에 들어갑니다. 그래서 이는 x ≤ 2 이면 x ≤ 1 이다 이고, 반례 x = 1.5 로 거짓.
부등호의 부정은 「방향을 뒤집고 등호를 붙이는 것」입니다 — > ↔ ≤, ≥ ↔ <. 실수는 >, =, < 셋 중 정확히 하나이므로, 「크지 않다」는 「같거나 작다」가 됩니다. 등호 하나를 빠뜨리면 2 라는 값이 어느 쪽에도 속하지 않는 구멍이 생깁니다.
대우 : x ≤ 1 이면 x ≤ 2 이다 → 참 (원명제가 참이므로)
확인 — 역 「x > 1 이면 x > 2」 도 같은 반례 x = 1.5 로 거짓이다. 이는 역의 대우이므로 역과 참·거짓이 같아야 한다. 둘 다 거짓 ✔ 앞뒤가 맞는다.
이 : x≤2 ⇒ x≤1 (거짓) / 대우 : x≤1 ⇒ x≤2 (참)
※ x > 2 의 부정은 x ≤ 2 다. 등호를 빠뜨리면 부정이 아니다.
문제 3드모르간 부정 · 기본
다음 조건의 부정을 각각 쓰라.
a = 1 이고 b = 2
x < 0 또는 x > 3
풀이 — "그리고"는 "또는"으로, "또는"은 "그리고"로
⭐ 여기가 고비 — 「그리고」와 「또는」이 서로 바뀐다 — 그리고 등호가 함께 넘어온다
부정은 낱낱의 조건을 부정하면서 접속사까지 바꾸는 것입니다. (1) a = 1 이고 b = 2 는 둘 다 맞아야 참이므로, 하나라도 어긋나면 거짓 ⇒ 부정은 a ≠ 1 또는 b ≠ 2. (2) x < 0 또는 x > 3 는 하나라도 맞으면 참이므로, 부정은 둘 다 어긋나야 합니다 ⇒ x ≥ 0 그리고 x ≤ 3, 곧 0 ≤ x ≤ 3.
(2)에서 등호가 양쪽에 붙는 것을 놓치지 마십시오 — x < 0 의 부정이 x ≥ 0, x > 3 의 부정이 x ≤ 3 이므로 0 과 3 이 모두 답에 들어옵니다.확인하는 법은 값 하나를 넣어 보는 것 — x = 2 는 원래 조건이 거짓이고 부정은 참 ✔, x = 5 는 원래 조건이 참이고 부정은 거짓 ✔ 원래와 부정은 언제나 반대로 나와야 합니다.
"적어도 하나는의 부정은 모두 아니다 — "또는"은 "그리고"로. 한 글자만 어긋나도 대우가 통째로 틀린다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제54강 「명제의 증명」
자연수 n 에 대하여 명제 「n 이 짝수가 아니면 n² 도 짝수가 아니다」 의 참·거짓을 대우를 이용해 판정하라.
풀이 — 직접 따지기 어려우면 대우로 뒤집는다
대우는 「n² 이 짝수이면 n 도 짝수이다」.
⭐ 여기가 고비 — 대우로 뒤집어야 「홀수 = 2k+1」이라는 식을 세울 수 있다
원명제를 곧이곧대로 따지려면 「n 이 짝수가 아니다」에서 출발해야 하는데, 그 말만으로는 손댈 식이 없습니다. 대우로 뒤집으면 결론이 「n 도 짝수」가 되고, 그 부정인 「n 이 홀수」를 n = 2k + 1 라는 식으로 놓을 수 있습니다. 말이 식으로 바뀌는 순간이 여기입니다.
실제로 n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 이므로 홀수입니다. 곧 「n 이 홀수이면 n² 도 홀수」이니 n² 이 짝수인데 n 이 홀수인 경우는 없습니다. 따라서 대우가 참이고, 원명제와 대우는 한 몸이므로 원명제도 참입니다. 「말로만 홀수」라고 두면 한 발짝도 못 나갑니다 — 반드시 2k+1 로 놓으십시오.
즉 n² 이 짝수인데 n 이 홀수인 경우는 없다. 따라서 대우는 참.
원명제와 대우는 한 몸이므로 원명제도 참이다.
"홀수는 2k−1, 짝수는 2k. 말로 홀수라고만 두면 한 발짝도 못 나간다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제54강 「명제의 증명」
⭐ 여기가 고비 — 진리집합을 그려 놓고 「작은 쪽이 충분, 큰 쪽이 필요」
이 유형은 화살표를 세우기 전에 진리집합부터 적는 것이 빠릅니다. 그리고 어느 쪽이 더 작은가만 봅니다 — 작은 쪽(쏙 들어가는 쪽)이 충분조건, 큰 쪽(감싸는 쪽)이 필요조건, 같으면 필요충분.
(1) P = {2}, Q = {2, −2} → P ⊊ Q. p 가 작은 쪽이므로 충분조건. (2) x² = 4 ⟺ |x| = 2 → P = Q = {2, −2}. 같으므로 필요충분조건. (3) P = {x > 1}, Q = {x > 3} → Q ⊊ P. p 가 큰 쪽이므로 필요조건. 「p 가 q 이기 위한 …」이라고 물었으니 답은 언제나 p 의 이름표입니다 — 어느 쪽을 묻는지부터 확인하십시오.
(1) P = {2}, Q = {2, −2} → P ⊊ Q. 작은 쪽이 p 이므로 충분조건. 충분 (x = −2 는 q 는 만족하지만 p 는 아니다 → 필요조건은 아니다)
(3) P = {x > 1}, Q = {x > 3} → Q ⊊ P. p 가 큰 쪽이므로 필요조건. 필요 (x = 2 는 p 는 맞고 q 는 아니다 → 충분조건은 아니다)
"들어가면 충분, 안 들어가면 필요. 양쪽이 똑같으면 필요충분. 작은 쪽이 충분, 큰 쪽이 필요."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제46강 「역·대우와 필요충분조건」
(1) 충분조건 / (2) 필요충분조건 / (3) 필요조건
문제 6삼단논법 · 진가
세 명제 p → q , q → r , r → s 가 모두 참일 때, 다음 중 반드시 참인 것을 모두 고르라. ㄱ. p → sㄴ. s → pㄷ. ~s → ~pㄹ. ~p → ~s
풀이 — 사슬을 잇고, 그 사슬의 대우까지 챙긴다
ㄱ : p → q → r → s 로 이어지므로 p → s 는 참
ㄷ : ㄱ의 대우이므로 참
⭐ 여기가 고비 — ㄴ과 ㄹ은 「역」과 「이」 — 사슬은 거꾸로 흐르지 않는다
사슬을 이어 p → s 를 얻는 것까지는 쉽습니다. 갈리는 곳은 ㄴ s → p 과 ㄹ ~p → ~s 입니다. ㄴ은 ㄱ의 역, ㄹ은 ㄱ의 이인데, 이는 역의 대우라서 역과 참·거짓이 늘 같습니다. 그러니 둘은 함께 서고 함께 무너집니다 — 여기서는 둘 다 알 수 없다.
말로만 「역은 보장되지 않는다」고 하지 말고 반례를 하나 세워 두면 확실합니다 — p: 서울에 산다, q = r = s: 대한민국에 산다 라 두면 ①~③이 모두 참이고 ㄱ·ㄷ도 참입니다. 그런데 부산 사람은 s 이지만 p 가 아니므로 ㄴ이 깨지고, 이(ㄹ)도 함께 깨집니다. 「반드시 참인 것」을 고르라 했으므로 한 번이라도 깨지면 탈락입니다.
따라서 반드시 참인 것은 ㄱ, ㄷ.
ㄱ, ㄷ
문제 7대우로 미지수 · 진가
명제 「x² − 3x + a ≠ 0 이면 x ≠ 2 이다」 가 참이 되도록 하는 상수 a 의 값을 구하라.
풀이 — 대우로 바꾸면 그냥 대입 문제
⭐ 여기가 고비 — 미지수가 들어 있으면 대우로 바꾸는 순간 「대입 문제」가 된다
원명제 「x² − 3x + a ≠ 0 이면 x ≠ 2 이다」 를 곧이곧대로 다루려면 「0 이 아니다」에서 출발해야 하는데, 식이 0 이 아닌 경우를 다 따질 수는 없습니다. 대우로 뒤집으면 「x = 2 이면 x² − 3x + a = 0 이다」 가 되어 x 에 2 를 넣기만 하면 끝납니다.
넣으면 4 − 6 + a = 0 ⇒ a = 2. 「≠ 두 개」가 「= 두 개」로 바뀌는 것이 이 뒤집기의 이득입니다 — 부정끼리 만나면 다루기 어렵고, 등식끼리 만나면 그냥 대입입니다. 미지수를 구하라는 명제 문제를 만나면 먼저 대우를 써 보십시오.
검산 — a = 2 이면 x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) 이므로 x = 2 에서 값이 0 이다 ✔ 대우가 참이니 원명제도 참.
"모르겠으면 무조건 대우를 찾아라. 미지수를 구하는 문제는 대우로 바꾸는 순간 그냥 대입 문제가 된다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제46강 「역·대우와 필요충분조건」
a = 2
문제 8범위 포함 · 충분조건 · 진가
두 조건 p : |x − 1| < 2 , q : a < x < 5 에 대하여,
p 가 q 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 a 의 최댓값을 구하라.
풀이 — 충분조건이면 P가 Q 속에 쏙 들어가야 한다
|x − 1| < 2 ⟺ −2 < x − 1 < 2 ⟺ −1 < x < 3. 그러므로 P = (−1, 3).
⭐ 여기가 고비 — 충분조건 = P 가 Q 속에 「쏙」 들어간다 — 그리고 끝점 등호를 따로 본다p 가 q 이기 위한 충분조건이면 p → q, 곧 P ⊂ Q 입니다. (−1, 3) ⊂ (a, 5) 이므로 양 끝을 따로 봅니다 — 오른쪽은 3 ≤ 5 로 이미 성립하고, 왼쪽은 a ≤ −1 이어야 합니다. 따라서 a 가 커질 수 있는 한계는 −1.
「a = −1 을 붙여도 되는가」가 진짜 고비입니다. 양 끝이 둘 다 뚫린 경계(<)라 a = −1 이면 Q = (−1, 5) ⊃ (−1, 3) = P 로 여전히 포함됩니다 — 두 구간이 −1 에서 똑같이 뚫려 있으므로 새어 나가는 점이 없습니다. 한쪽이 막힌 경계였다면 이야기가 달라집니다. 조금만 키워 a = −0.9 로 두면 x = −0.95 가 P 에는 있고 Q 에는 없어 곧바로 깨집니다 ✔
따라서 a 의 최댓값은 −1.
"동그라미가 동그라미 안에 있나 — 진리집합 P 가 Q 에 포함되면 명제 p→q 는 항상 참."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제13강 「명제와 집합」
a 의 최댓값 = −1
※ 양 끝이 둘 다 뚫린 경계(<)라 a = −1 을 붙일 수 있다. 한쪽이 막힌 경계(≤)였다면 달라진다.
문제 9범위 포함 · 필요조건 · 진가
두 조건 p : |x| ≤ 4 , q : b ≤ x ≤ 3 에 대하여,
p 가 q 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 b 의 최솟값을 구하라. (단 b ≤ 3)
풀이 — 필요조건이면 방향이 거꾸로다
⭐ 여기가 고비 — 「필요」는 화살표가 거꾸로다 — Q 가 P 안에 들어간다
여기가 이 단원에서 가장 자주 뒤집히는 자리입니다. p 가 q 이기 위한 필요조건이라는 말은 q → p, 곧 Q ⊂ P 입니다 — P 가 아니라 Q 가 안으로 들어갑니다. 「충분」이면 P ⊂ Q, 「필요」면 Q ⊂ P — 화살표는 언제나 「충분 → 필요」 쪽으로 흐릅니다.방향만 바로 잡으면 나머지는 앞 문제와 같습니다 — P : |x| ≤ 4 ⟺ −4 ≤ x ≤ 4, Q = [b, 3] 이므로 [b, 3] ⊂ [−4, 4] 이려면 b ≥ −4(오른쪽은 3 ≤ 4 로 이미 성립). 그래서 b 의 최솟값은 −4. 이번에는 최댓값이 아니라 최솟값을 묻는다는 점에도 눈길을 두십시오 — 들어가는 쪽이 Q 이므로 Q 의 왼쪽 끝 b 가 너무 내려가면 P 를 벗어납니다.
따라서 b 의 최솟값은 −4.
검산 — b = −4 이면 Q = [−4, 3] ⊂ [−4, 4] = P ✔ b = −5 라면 x = −5 가 Q 에는 있고 P 에는 없다 ✔
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면앞 문제 버릇대로 P ⊂ Q 로 잡으면 [−4, 4] ⊂ [b, 3] 가 되어 b 의 최댓값을 묻는 문제가 되어 버린다.게다가 [b, 3] 는 [−4, 4] 를 담을 수 없으므로(오른쪽 끝이 3 < 4) 아예 답이 없다 — 방향이 틀렸다는 신호다.⇨ 「필요」를 보면 화살표를 먼저 q → p 로 적고 집합을 옮긴다.
b 의 최솟값 = −4
문제 10집합식 ↔ 조건 · 진가
두 조건 p, q 의 진리집합 P, Q 에 대하여 P ∪ Q = Q 가 성립한다.
다음 중 반드시 옳은 것을 모두 고르라. ㄱ.p 는 q 이기 위한 충분조건이다.
ㄴ.q 는 p 이기 위한 충분조건이다. ㄷ. P ∩ Qᶜ = ∅ㄹ. Qᶜ ⊂ Pᶜ
풀이 — 집합식을 먼저 포함관계 한 줄로 바꾼다
⭐ 여기가 고비 — 집합식을 「포함관계 한 줄」로 먼저 바꾼다P ∪ Q = Q 라는 식을 그대로 보기에는 손댈 곳이 없습니다. 뜻을 읽으면 P 를 합쳐도 Q 가 커지지 않는다, 곧 P 는 이미 Q 안에 있다는 말이므로 P ⊂ Q 한 줄로 바뀝니다. 이 한 줄이 서면 네 보기가 모두 그 자리에서 판정됩니다.
같은 사실을 네 가지 말로 바꿔 보는 것이 이 문제의 뜻입니다 — P ⊂ Q · p → q · P ∩ Qᶜ = ∅(P 안의 것은 Q 밖과 겹칠 수 없다) · Qᶜ ⊂ Pᶜ(양변에 여집합). ㄹ은 p → q 의 대우 ~q → ~p 를 집합으로 쓴 것입니다. 틀린 것은 ㄴ뿐인데, q → p 는 역이라 보장되지 않습니다 — 반례 P = {1}, Q = {1, 2} 에서 x = 2.
따라서 반드시 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ.
ㄱ, ㄷ, ㄹ
도전 6제 · 한 걸음 더
도전 · 중3대우로 증명하기
자연수 n 에 대하여 「n² 이 3의 배수이면 n 도 3의 배수이다」 가 참임을 대우를 이용해 설명하라.
풀이 — 대우로 바꾸면 경우가 딱 두 가지뿐이다
대우 : 「n 이 3의 배수가 아니면 n² 도 3의 배수가 아니다」.
⭐ 여기가 고비 — 「3의 배수가 아니다」를 나머지로 갈라 놓으면 경우가 딱 둘
「3의 배수가 아니다」는 말로만 두면 무한히 많은 수를 뜻해 손댈 수가 없습니다. 그런데 3 으로 나눈 나머지로 보면 세 갈래뿐이고(0, 1, 2), 그중 나머지 0 을 뺀 딱 두 경우가 남습니다 — n = 3k + 1 또는 n = 3k + 2. 무한을 둘로 줄이는 것이 이 걸음의 전부입니다.
두 경우를 실제로 제곱해 봅니다 — (3k+1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1 로 나머지 1, (3k+2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1 로 역시 나머지 1. 어느 쪽이든 n² 은 3 으로 나누어떨어지지 않습니다 ⇒ 대우가 참 ⇒ 원명제도 참. 이 명제가 바로 √3 이 무리수임을 보일 때 쓰는 부품입니다.
"안 되면 대우, 그래도 안 되면 아니라고 해 놓는다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제54강 「명제의 증명」
대우가 참이므로 원명제도 참
※ √3 이 무리수임을 보일 때 바로 이 명제를 쓴다. 대우 증명은 귀류법의 짝이다.
도전 · 고1필요충분조건 · 계수 결정
두 조건 p : x² − 5x + 6 = 0 , q : x² − ax + b = 0 에 대하여
p 가 q 이기 위한 필요충분조건이 되도록 하는 상수 a, b 에 대하여 a + b 의 값을 구하라.
풀이 — 필요충분이면 두 진리집합이 아예 같다
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → P = {2, 3}.
⭐ 여기가 고비 — 필요충분 = 두 진리집합이 「같다」 — 그래서 근이 통째로 정해진다필요충분조건이라는 말은 P = Q, 곧 q 의 해집합도 {2, 3} 여야 한다는 뜻입니다. 「포함된다」가 아니라 「같다」이므로 부등식이 아니라 등식이 나오고, 답이 범위가 아니라 값으로 떨어집니다.
두 근이 2, 3 인 이차방정식은 근과 계수의 관계로 곧장 세워집니다 — x² − ax + b = 0 에서 두 근의 합이 a, 곱이 b 이므로 a = 2 + 3 = 5, b = 2 × 3 = 6. 부호를 한 번 확인하십시오 — x² + Bx + C = 0 꼴에서 합은 −B 인데, 여기서는 B = −a 이므로 합이 +a 입니다. 검산 — 다시 쓰면 x² − 5x + 6 로 두 방정식이 완전히 같습니다 ✔
a + b = 5 + 6 = 11.
a + b = 11
도전 · 고1두 조건의 교집합 · 범위
세 조건 p : −1 ≤ x ≤ 4 , q : x ≥ a , r : x ≤ b 에 대하여,
p 가 「q 그리고 r」 이기 위한 충분조건이 되도록 하는
a 의 최댓값과 b 의 최솟값을 구하고, 그 합을 구하라.
풀이 — "그리고"는 교집합, 곧 두 범위가 겹치는 구간
「q 그리고 r」 의 진리집합은 Q ∩ R = [a, b] 이다.
⭐ 여기가 고비 — 「그리고」는 교집합 — 그리고 이번엔 등호를 「붙여도」 된다
두 조건이 「그리고」로 묶였으므로 진리집합은 교집합[a, b] 입니다. 충분조건이므로 P ⊂ Q ∩ R, 곧 [−1, 4] ⊂ [a, b] — 양 끝을 따로 보면 왼쪽은 a ≤ −1 ⇒ a 의 최댓값 −1, 오른쪽은 b ≥ 4 ⇒ b 의 최솟값 4.
문제 8 과 견주어 보십시오. 거기서는 경계가 뚫려 있었고 여기서는 둘 다 막혀 있습니다(≤). 막힌 경계끼리는 끝점을 서로 나눠 가질 수 있으므로a = −1, b = 4 를 그대로 붙여도 됩니다 — [−1, 4] ⊂ [−1, 4] 이고, 자기 자신도 부분집합이기 때문입니다 ✔ 따라서 합은 (−1) + 4 = 3.
a 의 최댓값 −1, b 의 최솟값 4 → 합 3
도전 · 고1이차부등식 + 포함관계
명제 「x² − 2x − 8 > 0 이면 x > k 또는 x < −k 이다」 (단 k > 0) 가 참이 되도록 하는
자연수 k 의 최댓값을 구하라.
풀이 — 양쪽으로 갈라진 범위는 양쪽을 따로 본다
x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) > 0 → x < −2 또는 x > 4. 그러므로 P = (−∞, −2) ∪ (4, ∞).
⭐ 여기가 고비 — 갈라진 범위는 「양쪽을 따로」 본다 — 그리고 더 엄한 쪽이 이긴다
P 와 Q 가 모두 두 조각으로 갈라져 있으므로, P ⊂ Q 를 확인하려면 오른쪽 조각과 왼쪽 조각을 각각 봐야 합니다. · 오른쪽 (4, ∞) ⊂ (k, ∞) 이려면 k ≤ 4 · 왼쪽 (−∞, −2) ⊂ (−∞, −k) 이려면 −2 ≤ −k, 곧 k ≤ 2두 조건을 「모두」 만족해야 하므로 더 엄한 쪽인 k ≤ 2 가 답입니다. 자연수이므로 최댓값 2. 왼쪽에서 부등호가 뒤집히는 것이 이 문제의 진짜 함정입니다 — −2 ≤ −k 의 양변에 −1 을 곱하면 k ≤ 2 이 됩니다. 음수를 곱하면 부등호가 뒤집힌다는 그 규칙이 여기서 답을 4 에서 2 로 끌어내립니다.
검산 — k = 2 이면 Q = (−∞,−2) ∪ (2,∞) 이고 P = (−∞,−2) ∪ (4,∞) ⊂ Q ✔ k = 3 이면 x = −2.5 ∈ P 인데 −2.5 ∉ (−∞,−3) 이라 깨진다 ✔
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면오른쪽 조각만 보고 k ≤ 4 라 하면 자연수 최댓값이 4 라는 답이 나온다.k = 4 로 두면 Q = (−∞,−4) ∪ (4,∞) 인데, x = −3 를 넣어 보면 x ∈ P 이지만 x < −4 도 x > 4 도 아니다 — P 의 왼쪽 조각이 Q 밖으로 새어 나간다.⇨ 갈라진 범위는 반드시 양쪽을 다 본다. 한쪽만 보면 조건이 헐거워진다.
k 의 최댓값 = 2
※ 왼쪽 조건을 빠뜨리고 오른쪽만 보면 k = 4 라는 오답이 나온다. 갈라진 범위는 반드시 양쪽을 다 본다.
도전 · 고1절댓값 · 방향 함정
실수 x, y 에 대하여 다음을 판정하라.
「x² + y² = 0」 은 「|x| + |y| = 0」 이기 위한 어떤 조건인가?
「xy = 0」 은 「x = 0 이고 y = 0」 이기 위한 어떤 조건인가?
풀이 — 진리집합을 끝까지 풀어 쓴 다음에 견준다
⭐ 여기가 고비 — 진리집합을 「끝까지 풀어 쓴 뒤」에 견준다
조건의 겉모양이 아니라 실제로 어떤 값들이 걸리는지를 끝까지 풀어야 판정이 섭니다. (1) 실수의 제곱도 절댓값도 0 이상이므로, 0 이 되려면 더해지는 것이 모두 0 이어야 합니다 — x² + y² = 0 ⟺ x = 0 이고 y = 0 이고 |x| + |y| = 0 ⟺ x = 0 이고 y = 0. 두 진리집합이 모두 {(0, 0)} 로 같으므로 필요충분조건. (2) xy = 0 ⟺ x = 0 또는 y = 0 인데 q 는 x = 0 그리고 y = 0 — 「또는」과 「그리고」가 다릅니다.(2)에서 Q = {(0,0)} ⊊ P 이므로 q → p 는 참, p → q 는 거짓 — 반례 (x, y) = (0, 1) 는 xy = 0 이지만 y ≠ 0 입니다. p 가 큰 쪽이므로 필요조건입니다. 「또는」은 범위를 넓히고 「그리고」는 좁힙니다 — 낱말 하나가 집합의 크기를 바꾸고, 집합의 크기가 곧 「충분이냐 필요냐」를 정합니다.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면(2)에서 xy = 0 를 x = 0 이고 y = 0 로 읽어 버리면 두 조건이 같아 보여 필요충분조건이라 답하게 된다.그러나 (x, y) = (0, 1) 을 넣어 보면 0 × 1 = 0 로 p 는 참인데, y = 1 ≠ 0 이라 q 는 거짓이다 — 같은 집합이 아니다.⇨ 곱이 0 이라는 말은 「둘 중 하나만 0 이어도 된다」는 뜻이다. 낱말을 끝까지 풀어 쓴다.
"들어가면 충분, 안 들어가면 필요. 작은 쪽이 충분, 큰 쪽이 필요."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제46강 「역·대우와 필요충분조건」
(1) 필요충분조건 / (2) 필요조건
※ "또는"과 "그리고"를 바꿔 읽으면 답이 통째로 뒤집힌다. 명제 문제에서 가장 흔한 실수다.
도전 · 경시논리 사슬 · 대우 총동원
어느 모임에서 다음 세 가지가 모두 참이라고 한다.
축구를 좋아하는 사람은 야구도 좋아한다.
농구를 좋아하지 않는 사람은 야구도 좋아하지 않는다.
배구를 좋아하는 사람은 농구를 좋아하지 않는다.
이때 반드시 참인 것을 말하라.
풀이 — 각각의 대우를 다 써 놓으면 사슬이 저절로 이어진다
기호로 정리하자. ① 축구 → 야구 ② ~농구 → ~야구 ③ 배구 → ~농구
⭐ 여기가 고비 — 그대로는 안 이어진다 — 대우로 화살표 방향을 맞춘다
①의 끝은 야구인데 ②의 시작은 ~농구, ③의 시작은 배구 — 이대로는 하나도 안 이어집니다. 그럴 때 각각의 대우를 써 놓으면 방향이 맞아떨어집니다 — ②의 대우 야구 → 농구, ③의 대우 농구 → ~배구.
이제 ①과 이어 붙이면 축구 → 야구 → 농구 → ~배구 로 한 줄이 됩니다 ⇒ 축구를 좋아하는 사람은 배구를 좋아하지 않는다. 대우는 「같은 사실을 반대 방향에서 말한 것」이므로 마음대로 갈아 끼워도 참이 상하지 않습니다 — 그것이 사슬을 잇는 열쇠입니다. 그 결론의 대우인 배구를 좋아하는 사람은 축구를 좋아하지 않는다 도 참입니다. 확인 — ①②③을 모두 만족하는 예로 축구·야구·농구를 좋아하고 배구는 싫어하는 사람을 들면 결론과 어긋나지 않습니다 ✔
축구를 좋아하는 사람은 배구를 좋아하지 않는다
※ 전제가 그대로는 안 이어질 때, 대우를 써서 화살표 방향을 맞춰 주는 것이 핵심이다.
🧭 마지막에 한 번만 더 — 헷갈릴 때 보는 표
시험장에서 흔들리면 이 네 줄만 떠올리면 됩니다.
① 원명제 ⇔ 대우 — 참·거짓이 언제나 같다. 역은 따로 따진다.
② 부정하면 "그리고" ↔ "또는" 이 뒤바뀐다.
③ P ⊂ Q 이면 작은 p 가 충분, 큰 q 가 필요. 같으면 필요충분.
④ "p 가 q 이기 위한" 이면 p 를 왼쪽(작은 쪽 자리)에 놓고 들어가는지 본다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 판정·값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).