고차방정식은 조립제법·치환 — 3차·4차식은 인수 하나를 찾아 조립제법으로 낮추거나, 반복되는 덩어리를 한 문자로 치환한다.
2
연립이차방정식은 인수분해되는 식부터 — 두 식 중 인수분해되는 식을 먼저 처리해서 관계식을 얻고, 나머지 식에 대입한다.
3
접선·한 쌍의 해 조건은 판별식=0 — 직선과 이차식이 오직 한 점에서 만나면 판별식 D=0이다.
＋
부정방정식은 강제 인수분해 — 정수 조건이 있으면 식을 (일차식)×(일차식)=상수 꼴로 억지로 만들어 약수 쌍을 따진다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"반복되는 덩어리를 상자 하나로 묶어서" 생각하는 치환의 감각을 체험한다.
📐 고1 (핵심)
고차방정식 치환·조립제법, 연립이차방정식, 부정방정식.
🎓 고등 (확장)
삼차함수의 그래프와 근의 개수, 복소수 범위의 해, 정수론의 디오판토스 방정식.
🐣 저학년 직관 — "반복되는 덩어리는 상자 하나로"
(사과+배)를 두 번 곱하고, 거기에 (사과+배)를 한 번 더 더하는 계산이 있다고 해봐요. 매번 "사과+배"를 따로 계산하지 말고, "사과+배 = 상자"라고 이름 붙이면 계산이 훨씬 쉬워져요.
반복되는 덩어리 = 치환(대신 문자로 바꾸기)
연습 10제 · 그림 해설
문제 1고차방정식 · 기본
삼차방정식 x³-3x²+2x=0의 모든 실근을 구하라.
풀이 — 공통인수부터
⭐ 여기가 고비 — 항이 셋인데 상수항이 없다 — 공통인수 x 부터 뽑는다
삼차라고 조립제법부터 꺼내지 마십시오. x³ − 3x² + 2x 은 모든 항에 x 가 들어 있습니다. 상수항이 없다는 것은 x = 0 이 이미 근이라는 뜻이고, 그러니 x 로 묶는 순간 차수가 하나 내려갑니다 — x(x² − 3x + 2). 남은 것은 낯익은 이차식입니다.
고차방정식에서 맨 먼저 볼 것은 「공통인수가 있는가」입니다. 있으면 조립제법도 근의 공식도 필요 없습니다. 남은 x² − 3x + 2 은 곱해서 2·더해서 −3 인 두 수 −1, −2 로 (x−1)(x−2) ⇒ 근은 x = 0, 1, 2. 다만 묶어낸 x 를 지우면 안 됩니다 — 그 x 가 곧 근 0 입니다.
검산 — x = 2 이면 8 − 12 + 4 = 0 ✓
x = 0, 1, 2
문제 2고차방정식 · 조립제법 · 진가
삼차방정식 2x³-x²-5x-2=0의 모든 실근의 곱을 구하라.
풀이 — 조립제법으로 인수 하나씩 찾기
⭐ 여기가 고비 — 근을 「찍는 것」이 아니라 상수항의 약수에서 「고르는 것」
조립제법은 근을 하나 알아야 시작됩니다. 그 하나를 아무 데서나 찾는 것이 아니라 ±(상수항의 약수) ÷ (최고차항의 약수) 안에서 고릅니다. 여기서는 상수항 −2, 최고차항 2 이니 후보는 ±1, ±2, ±1/2 — 여덟 개뿐입니다. 차례로 넣어 보면 x = 2 에서 16 − 4 − 10 − 2 = 0 ⇒ 근입니다.
후보가 유한하다는 것이 이 방법의 힘입니다. 아무 수나 대입해 보는 것이 아니라 많아야 여덟 번이면 반드시 걸립니다(유리근이 있다면). 근 하나를 찾으면 나누어 (x−2)(2x² + 3x + 1) 이 되고, 남은 이차식은 십자곱으로 (x+1)(2x+1). 「차수를 하나 내리는 것」이 조립제법의 전부입니다.
실근은 x = 2, −1, −1/2.
세 실근의 곱: 2 × (−1) × (−1/2) = 1.
검산 — 삼차방정식 ax³+bx²+cx+d=0 의 세 근의 곱은 −d/a 이므로 −(−2)/2 = 1 ✓
"고차식은 조립제법과 치환으로, 정수 조건은 강제 인수분해로. 외우는 게 아니라 덩어리를 상자로 보는 거야."— 장대경 선생님 특강 20편 「여러 가지 방정식 — 덩어리는 치환」
1
문제 3고차방정식 · 치환 · 진가
방정식 (x²+x)²+(x²+x)-56=0을 풀어라.
풀이 — 반복되는 덩어리를 t로 치환
⭐ 여기가 고비 — 되풀이되는 덩어리에 이름을 붙인다 — 그리고 「되돌아가야」 끝난다
펼치면 사차식이 되지만, 자세히 보면 x² + x 이라는 같은 덩어리가 두 번 나옵니다. 그러니 그 덩어리에 이름을 붙입니다 — t = x² + x 로 두면 t² + t − 56 = 0 라는 보던 이차식이 되고, (t + 8)(t − 7) = 0 ⇒ t = −8 또는 t = 7.
여기서 답을 쓰면 안 됩니다. 묻는 것은 t 가 아니라 x 이니 이름을 붙였던 자리로 되돌아가x² + x = −8, x² + x = 7 를 각각 풀어야 합니다. 치환 문제에서 잃는 점수의 거의 전부가 이 「되돌아가기」를 빠뜨린 것입니다. 되돌아가면 t 하나가 x 두 개를 낳으므로, 근이 모두 넷이 됩니다.
x² + x + 8 = 0(t=−8): 판별식 1 − 32 = −31 < 0, 그러므로 x = (−1 ± √31 i)/2(허근).
x² + x − 7 = 0(t=7): 판별식 1 + 28 = 29 > 0, 그러므로 x = (−1 ± √29)/2(실근).
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면「실근만 답이겠지」 하고 t = −8 쪽을 통째로 버리면, 근이 둘만 남는다.그런데 원래 식은 펼치면 사차식x⁴ + 2x³ + 2x² + x − 56 = 0 — 사차식의 근은 (중복까지 세면) 반드시 넷이다.⇨ 「풀어라」는 허근까지 쓰라는 말이다. 근의 개수와 차수가 맞는지로 확인한다.
"사과 더하기 배가 반복되면 상자 하나로 이름 붙여. 이게 치환이야."— 장대경 선생님 특강 20편 「여러 가지 방정식 — 덩어리는 치환」
x = (−1±√29)/2 또는 (−1±√31 i)/2
문제 4연립이차방정식 · 기본
연립방정식 x-y=1, x²-y²=5를 풀어라.
풀이 — 인수분해되는 식부터
⭐ 여기가 고비 — 두 식 중 「인수분해되는 쪽」을 먼저 본다
두 식을 대입으로 밀어붙이면 이차식이 남아 번거롭습니다. 그런데 x² − y² = 5 는 합차공식으로 쪼개집니다 — (x − y)(x + y) = 5. 여기에 주어진 x − y = 1 을 그대로 끼워 넣으면 1 × (x + y) = 5, 곧 x + y = 5 가 한 줄에 나옵니다.
이차식이 일차식으로 내려앉는 순간, 남은 것은 일차 연립방정식뿐입니다 — x + y = 5 와 x − y = 1 를 더하면 2x = 6 ⇒ x = 3, 빼면 2y = 4 ⇒ y = 2. 연립이차방정식은 「어느 식을 먼저 손대느냐」로 난이도가 갈립니다.
검산 — 3 − 2 = 1, 9 − 4 = 5 ✓
x=3, y=2
문제 5연립이차방정식 · 진가
연립방정식 x²-4xy+3y²=0, x²+y²=20을 만족하는 실수 x, y에 대하여 x²y²의 최댓값을 구하라.
풀이 — 인수분해되는 식으로 대입 관계 얻기
⭐ 여기가 고비 — 「= 0」인 쪽이 인수분해된다 — 거기서 x 와 y 의 관계가 나온다
두 식 중 우변이 0 인 쪽이 열쇠입니다. x² − 4xy + 3y² = 0 은 x 에 대한 이차식으로 보면 곱해서 3y², 더해서 −4y 인 두 수 −y, −3y 로 쪼개져 (x − y)(x − 3y) = 0 ⇒ x = y 또는 x = 3y.
이 한 줄이 미지수 둘을 하나로 줄여 줍니다. 이제 남은 식 x² + y² = 20 에 두 경우를 각각 넣습니다 — 경우가 둘이므로 답도 둘이 나오고, 그중 큰 것이 최댓값입니다. 「= 0 인 식부터 인수분해」 — 연립이차방정식의 첫 걸음은 언제나 이것입니다.
⭐ 여기가 고비 — 「오직 한 쌍의 해」를 「판별식 = 0」으로 갈아 끼우는 것
문제의 말은 기하(직선과 원이 한 점에서만 만난다)인데, 손은 대수로 옮겨야 합니다. 직선을 원에 대입하면 x 에 대한 이차방정식이 되고, 그 실근의 개수 = 만나는 점의 개수가 됩니다. 그러니 「오직 한 쌍」은 중근, 곧 D = 0 입니다.
말을 식으로 갈아 끼우는 표를 외워 두십시오 — 두 점에서 만난다 D > 0 · 접한다 D = 0 · 만나지 않는다 D < 0. 여기서는 D/4 = a² − 2(a² − 10) = −a² + 20 = 0 ⇒ a² = 20, 양수이므로 a = 2√5. 이차항의 계수가 2 이므로 짝수 판별식 D/4 을 쓰면 계산이 짧아집니다.
검산 — 원의 반지름은 √10, 중심 (0,0) 과 직선 x + y − a = 0 사이의 거리는 |−a|/√2 = 2√5/√2 = √10 ⇒ 같다 ✓
"직선과 이차식이 오직 한 점에서 만나면 판별식 디는 0이야."— 장대경 선생님 특강 20편 「여러 가지 방정식 — 덩어리는 치환」
a = 2√5
문제 7부정방정식 · 기본
방정식 xy-x-y+1=0을 만족하는 정수 x, y의 관계를 구하라.
풀이 — 강제 인수분해
⭐ 여기가 고비 — 항이 넷이면 「둘씩 묶어」 억지로 곱을 만든다
미지수는 둘인데 식은 하나 — 그냥 풀 수 없습니다. 이런 부정방정식은 곱의 꼴로 억지로 바꾸는 것이 길입니다. xy − x − y + 1 을 앞의 둘·뒤의 둘로 묶으면x(y − 1) − (y − 1), 두 덩이에 (y − 1) 가 공통으로 들어 있어 (x − 1)(y − 1) = 0.
묶는 자리를 찾는 눈 — xy 항이 있고 x, y 항이 각각 있으면 거의 언제나 (x + a)(y + b) 꼴로 묶입니다. 여기서는 우변이 0 이므로 둘 중 하나가 0 ⇒ x = 1 또는 y = 1. 「정수」라는 조건은 이 문제에서는 답을 좁히지 않습니다 — 어떤 정수 y 든 x=1 이면 성립하니까요.
x=1 또는 y=1
문제 8부정방정식 · 진가
방정식 xy+2x+y-7=0을 만족시키는 자연수 x, y의 값을 구하라.
풀이 — (x+1)(y+2) 꼴로 강제 인수분해
⭐ 여기가 고비 — 억지로 (x+1)(y+2) 꼴을 만든다 — 남는 상수는 「이사」시킨다xy + 2x + y − 7 을 곱의 꼴로 바꾸려면 먼저 y + 2 로 묶습니다 ⇒ x(y + 2) + (y + 2) − 9. 두 덩이에 (y + 2) 가 공통이니 (x + 1)(y + 2) 로 묶이고, 남은 −9 을 오른쪽으로 옮기면(x + 1)(y + 2) = 9.
왜 −9 인가 — x(y+2) + (y+2) 로 묶으면 상수가 +2 만큼 더 생기므로, 원래 상수 −7 에서 그만큼 덜어내야 원식과 같아집니다 (−7 − 2 = −9). 「묶으면서 생긴 만큼을 도로 빼 준다」 — 강제 인수분해의 손버릇입니다. 이제 자연수라는 조건이 일을 합니다 — x ≥ 1 ⇒ x + 1 ≥ 2, y ≥ 1 ⇒ y + 2 ≥ 3 이므로 곱해서 9 인 쌍 1·9, 3·3, 9·1 중 조건을 통과하는 것은 (3, 3) 하나뿐입니다.
x + 1 = 3, y + 2 = 3 → x = 2, y = 1.
검산 — 2·1 + 2·2 + 1 − 7 = 2 + 4 + 1 − 7 = 0 ✓
"정수 조건이 있으면 식을 일차식 곱하기 일차식은 상수 꼴로 억지로 만들어 약수 쌍을 따져."— 장대경 선생님 특강 20편 「여러 가지 방정식 — 덩어리는 치환」
x=2, y=1
문제 9부정방정식 · 근과 계수 · 진가
이차방정식 x²-(a-1)x+a+1=0의 두 근이 모두 정수일 때, 양수 a의 값을 구하라.
풀이 — 근과 계수의 관계로 강제 인수분해
두 근을 α, β라 하면 α + β = a − 1, αβ = a + 1.
⭐ 여기가 고비 — a 를 지워야 「정수 조건」을 쓸 수 있다
조건은 근이 정수인데, 식에는 근과 a 가 뒤섞여 있어 그 조건을 걸 자리가 없습니다. 그러니 a 를 소거해 α, β 만 남깁니다 — 두 식을 빼면 αβ − (α + β) = (a+1) − (a−1) = 2 ⇒ αβ − α − β = 2. 여기서 양변에 1 을 더해 억지로 곱을 만듭니다 ⇒ (α − 1)(β − 1) = 3.
이제 「정수」가 비로소 일을 합니다. 곱해서 3 인 정수쌍은 넷뿐이니 하나씩 확인하면 끝납니다. 부정방정식의 순서는 언제나 「①곱의 꼴로 만든다 → ②정수 조건으로 약수쌍을 나열한다 → ③문제의 조건으로 거른다」입니다. 여기서 마지막 체는 「양수 a」입니다.
곱해서 3이 되는 정수쌍: (1,3), (3,1), (−1,−3), (−3,−1).
(1,3)→α=2, β=4 → a = α+β+1 = 7. (3,1)→같음.
(−1,−3)→α=0, β=−2 → a = −1 (제외). (−3,−1)→같음 (제외).
양수 a는 7 뿐.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면음의 약수쌍을 「정수가 아니겠지」 하고 처음부터 빼면, 왜 답이 하나뿐인지 설명이 안 된다.실제로 (α−1, β−1) = (−1, −3) 은 근이 α = 0, β = −2 로 둘 다 정수다 — 근 조건은 통과한다. 걸러 내는 것은 「양수 a」다.⇨ 약수쌍은 음수까지 다 적고, 거르는 일은 문제가 준 조건에게 맡긴다.
a = 7
문제 10실생활 · 겹치는 조건
두 자연수 x, y의 곱이 xy=12이고 x+y=7일 때, x, y를 구하라.
풀이 — 두 수를 근으로 하는 이차방정식
⭐ 여기가 고비 — 합과 곱이 주어지면 「그 둘을 근으로 하는 이차방정식」을 세운다
두 식을 대입으로 풀어도 되지만, 합 7 · 곱 12 라는 말은 이미 근과 계수의 관계 그 자체입니다. 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 t² − (합)t + (곱) = 0 이므로 t² − 7t + 12 = 0. 십자곱으로 (t − 3)(t − 4) = 0 ⇒ t = 3, 4.
부호에 한 번 꺾이는 자리가 있습니다 — 합에는 마이너스가 붙고, 곱에는 안 붙습니다.어느 쪽이 x 이고 어느 쪽이 y 인지는 문제가 정해 주지 않았으므로 두 가지 모두 답입니다. 이 방법의 힘은 미지수가 둘이어도 이차방정식 한 개로 끝난다는 것입니다.
x=3,y=4 또는 x=4,y=3
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"복잡하면 치환하거나 강제로 인수분해" 하나로 함수·정수론까지
여러 가지 방정식에서 익힌 "덩어리는 치환, 정수 조건은 강제 인수분해"라는 눈이, 학년이 올라가면 삼차함수·정수론으로 그대로 이어집니다.
① 고2 · 삼차함수의 그래프와 근의 개수
수학Ⅱ · 미분
삼차방정식의 실근 개수는 삼차함수 그래프가 x축과 몇 번 만나는지로 판단해요. 오늘 배운 조립제법으로 찾은 인수가 그래프의 x절편이 됩니다.
② 고2 · 원과 직선의 위치관계
기하 · 도형의 방정식
원과 직선이 접하는 조건(오늘의 판별식=0)은 원의 중심에서 직선까지 거리=반지름이라는 기하적 조건과 완전히 같은 걸 대수로 확인한 거예요.
③ 고3 · 디오판토스 방정식
정수론
부정방정식은 정수론에서 디오판토스 방정식이라 불려요. 강제 인수분해로 약수 쌍을 찾는 방법이 암호학의 소인수분해 문제와도 연결돼요.
④ 공학 · 복소수와 진동 해석
전자공학
고차방정식의 허근(복소수 해)은 전기회로의 진동·감쇠 현상을 나타내는 데 쓰여요. 실근·허근을 구분하는 오늘의 감각이 실제 공학 계산의 기초예요.
⑤ 암호학 · RSA와 인수분해
정보보안
부정방정식의 "곱해서 특정 수가 되는 정수쌍 찾기"는 RSA 암호의 핵심 원리(큰 수를 소인수분해하기 어려움)와 같은 뿌리의 발상이에요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"치환과 강제 인수분해" 하나로 삼차함수·기하·정수론까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고2삼차함수 근의 개수
함수 f(x)=x³-3x에 대해 방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수를 구하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 「서로 다른」 실근의 개수 — 그러니 겹치는 근은 한 번만 센다
먼저 인수분해합니다 — 공통인수 x 를 뽑아 x(x² − 3) ⇒ x(x − √3)(x + √3) = 0. 남은 x² − 3 은 (x−√3)(x+√3) 로 쪼개지므로 근은 x = 0, √3, −√3.
세 근이 서로 다르므로 답은 3개입니다. 「서로 다른 실근의 개수」를 물으면 두 가지를 함께 봅니다 — ①허근은 세지 않는다, ②겹친 근(중근)은 한 번만 센다. 삼차방정식은 실근이 1개 또는 2개(중근 포함) 또는 3개 — 반드시 하나는 있습니다.
3개
도전 · 고2원과 직선의 위치관계
원 x²+y²=8과 직선 y=x+k가 접할 때, 양수 k의 값을 구하라.
풀이 — 판별식=0
대입: x² + (x + k)² = 8 → 2x² + 2kx + (k² − 8) = 0.
⭐ 여기가 고비 — 「접한다」 = 만나는 점이 하나 = 판별식 0
문제 6과 똑같은 손놀림입니다. 직선을 원에 대입해 이차방정식으로 바꾸면 실근의 개수가 곧 만나는 점의 개수가 되고, 접한다는 것은 그 점이 하나 ⇒ 중근 ⇒ D = 0.
D/4 = k² − 2(k² − 8) = −k² + 16 = 0 ⇒ k² = 16, 양수이므로 k = 4. 기하로 한 번 더 확인하는 버릇을 들이십시오 — 원의 반지름은 √8 = 2√2 이고, 중심 (0,0) 과 직선 x − y + k = 0 사이의 거리는 |k|/√2 = 4/√2 = 2√2. 「중심에서 직선까지의 거리 = 반지름」이 곧 접한다는 뜻이니 같은 답이 나옵니다.
k = 4
도전 · 고3디오판토스 방정식
방정식 3x+5y=1을 만족하는 정수 x, y의 한 쌍을 구하라.
풀이 — 시행착오 또는 유클리드 호제법
⭐ 여기가 고비 — 큰 계수 쪽을 하나씩 움직이며 나머지가 떨어지는지 본다
미지수 둘에 식 하나이니 해가 무수히 많습니다. 묻는 것은 한 쌍이므로 찾기만 하면 됩니다.계수가 큰 y 쪽을 0, ±1, ±2, … 로 하나씩 움직이며 1 − 5y 가 3의 배수가 되는지 봅니다 — y = 0 → 1 (아니다), y = −1 → 1 + 5 = 6 ⇒ x = 2딱 떨어집니다.왜 y 를 움직이는가 — 계수가 큰 쪽을 움직여야 훨씬 적은 횟수에 걸립니다. 실제로 3 이므로 y 는 세 걸음 안에 반드시 하나 걸립니다. 그리고 3 과 5 이 서로소이므로 정수해가 반드시 있습니다 — 서로소가 아니면 우변이 그 공약수의 배수여야만 해가 있습니다.
검산 — x = 2, y = −1 일 때 3·2 + 5·(−1) = 6 − 5 = 1 ✓
참고 — 일반해는 x = 2 + 5t, y = −1 − 3t (t는 정수).
x=2, y=-1 (한 예)
도전 · 공학복소수 해석
방정식 x²+4=0의 해를 구하고, 이것이 왜 실수 범위에서 해가 없는지 설명하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 실수의 제곱은 절대 음수가 될 수 없다 — 그래서 실수 범위에 해가 없다
식을 옮기면 x² = −4 입니다. 그런데 실수를 제곱하면 양수든 음수든 반드시 0 이상이 됩니다 (양수×양수도 양수, 음수×음수도 양수). 그러니 −4 가 되는 실수는 있을 수 없습니다.판별식으로도 같은 말이 나옵니다 — D = 0² − 4·1·4 = −16 로 음수이니 실근이 없습니다. 그래서 「제곱해서 −1 이 되는 수」 i 를 새로 들여 놓은 것입니다. 그러면 (±2i)² = 4i² = −4 이므로 해는 x = ±2i. 「해가 없다」가 아니라 「실수 범위에는 없다」 — 수의 세계를 넓히면 해는 생깁니다.
x = ±2i (허근)
도전 · 암호학인수분해와 암호
부정방정식 (x-3)(y-5)=15를 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍의 개수를 구하라.
풀이
⭐ 여기가 고비 — 약수쌍을 「음수까지」 다 적은 뒤 자연수 조건으로 거른다(x − 3)(y − 5) = 15 이고 x, y 가 자연수이니 x − 3 ≥ −2, y − 5 ≥ −4 입니다. 곱이 양수 15이므로 두 괄호의 부호가 같아야 하는데, 둘 다 음수인 경우를 실제로 따져 보면 x − 3 은 −2, −1 뿐이라 |x−3| ≤ 2 가 되어 15 를 만들 수 없습니다. 그러므로 양의 약수쌍만 남습니다.
남은 것은 15 의 양의 약수쌍 넷 — (1,15), (3,5), (5,3), (15,1). 각각 되돌리면 (x,y) = (4,20), (6,10), (8,8), (18,6) ⇒ 모두 자연수이므로 4가지. 「음수 쪽은 없다」를 머릿속으로 넘기지 말고 한 줄로 확인해 두는 것이 이 유형의 안전판입니다.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면음의 약수쌍 (−1,−15), (−3,−5), (−5,−3), (−15,−1) 까지 세면 8가지라고 답하게 된다.되돌려 보면 (−1,−15) → x = 2, y = −10 — 자연수가 아니다.(−3,−5) 도 x = 0 라 탈락.⇨ 약수쌍은 다 적되, 되돌린 값이 조건을 지키는지를 마지막에 한 번 본다.
4가지
도전 · 고등치환 응용
방정식 x⁴-5x²+4=0을 풀어라.
풀이 — t=x²로 치환
⭐ 여기가 고비 — 되돌아간 자리에서 「제곱근이 둘」임을 잊지 않는다t = x² 로 치환하면 t² − 5t + 4 = 0 ⇒ (t − 1)(t − 4) = 0 ⇒ t = 1 또는 t = 4. 여기서 t = 1, 4 가 답이 아닙니다 — 묻는 것은 x 이니 x² = t 로 되돌아가야 합니다.
되돌아갈 때 t 하나가 x 를 「둘」 낳습니다 — x² = 1 이면 x = ±1, x² = 4 이면 x = ±2. 그래서 t 가 둘이면 x 는 넷이 되고, 사차방정식의 근 개수와 딱 맞습니다. 답의 개수와 차수를 맞춰 보는 것이 치환 문제의 검산입니다.
검산 — x = 2 이면 16 − 20 + 4 = 0 ✓
"사과 더하기 배가 반복되면 상자 하나로 이름 붙여. 이게 치환이야."— 장대경 선생님 특강 20편 「여러 가지 방정식 — 덩어리는 치환」
x = ±1, ±2
※ 이 자료의 예제 6문항(문제 2·3·5·6·8·9)은 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브)에서 가져와 전수 재검산했습니다(초기 정답 3건 오류를 발견·수정: 실근곱 1, 최댓값 100, a=7). 나머지 문항은 같은 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성한 교육 자료입니다.