분모를 같게 만들고 공통으로 들어 있는 덩이를 먼저 꺼낸다. 전개부터 하면 답이 인수분해된 꼴로 안 나온다.
⑥ 분모가 곱이면 쪼갠다
1/(A·B) = {1/(B−A)}(1/A − 1/B). 가운데가 짝지어 지워지고 앞의 대가리 수만큼 뒤에 꼬랑지가 남는다.
이 개념, 학년마다 이렇게
중1~중2 · 규칙과 문자식
1, 4, 7, … 에서 몇 번째 수를 문자로 쓰는 연습. 여기서 만든 「일반항」 감각이 그대로 시그마가 된다.
고1 · 다항식과 인수분해
답이 인수분해된 꼴로 나와야 한다. 공통인수를 먼저 꺼내는 손놀림은 고1에서 배운 그것이다.
고2 · 수열의 합 (여기)
Σ의 표기·성질·기본 공식 셋·부분분수. 계산이 아니라 정리가 실력이 되는 단원.
고2~고3 · 급수와 극한
부분합을 n으로 나타내고 n을 무한대로 보낸다. 부분분수로 만든 n/(n+1) 같은 꼴이 그대로 쓰인다.
연습 10제 · 상세 해설
연습 1표기 · 일반항 찾기
1 + 4 + 7 + ⋯ + 31 을 시그마를 이용하여 나타내고, 그 합의 값을 구하시오.
풀이 — 공차를 보고 일반항을 세운 뒤, 끝항으로 항의 개수를 찾는다
공차가 3 이므로 일반항은 3k − 2 이다. (k=1 을 넣으면 1 이 되는지 반드시 확인한다)
⭐ 여기가 고비 — Σ의 위끝은 「마지막 수」가 아니라 「항의 개수」다
여기서 거의 모두가 31을 그대로 위끝에 올려 Σk=131 라고 씁니다. 그런데 Σ의 위끝은 k가 몇까지 가느냐이지 수가 얼마까지 가느냐가 아닙니다. 그러니 끝항 31을 일반항에 넣어 k를 되찾아야 합니다 — 3k − 2 = 31 ⇒ k = 11 ⇒ 항이 11개.
왜 되찾는 일이 필요한가 하면, k는 「몇 번째」를 세는 번호표이고 31은 「그 번호표가 가리키는 값」이기 때문입니다. 번호표와 값을 바꿔 놓으면 항이 11개가 아니라 31개인 딴 수열이 됩니다. 일반항을 세우는 순간 위끝은 저절로 따라 나옵니다 — 그래서 일반항이 먼저입니다.
※ 항의 개수부터 센다. 위끝을 11 이 아니라 31 로 잘못 쓰는 것이 이 단원 최다 실수다.
연습 2표기 · 거꾸로 풀어 쓰기
Σk=16 (2k + 1) 를 시그마를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내고, 그 값을 구하시오.
풀이 — k 자리에 아래끝부터 위끝까지 차례로 넣는다
k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 을 차례로 넣으면 3, 5, 7, 9, 11, 13.
그래서 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.
더하면 48.
⭐ 여기가 고비 — 상수 1이 「한 번」이 아니라 「여섯 번」 나타나는 것
풀어 쓰고 나면 눈으로 셀 수 있습니다. Σk=16(2k + 1) 에서 2k 는 항마다 값이 달라지지만 +1 은 여섯 항 모두에 하나씩 붙습니다. 그래서 상수 1이 모여 6이 됩니다.
이것이 다음 문제에서 쓸 Σc = cn 의 정체입니다. k가 들어 있지 않은 항은 밖으로 나오는 것이 아니라 항의 개수만큼 더해집니다. 지금은 여섯 개를 직접 세어 보았지만, 항이 100개가 되면 세지 못하므로 공식으로 기억해 두는 것입니다.
검산 — 공식으로 2 · (6·7/2) + 1 · 6 = 42 + 6 = 48 ✓
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 48
※ 뒤의 상수 1이 6이 되는 것을 눈으로 확인해 두자 — 다음 문제의 핵심이다.
연습 3성질 · 상수 처리
Σk=115 ak = 12, Σk=115 bk = 5 일 때 Σk=115 (3ak − 2bk + 4) 의 값을 구하시오.
풀이 — 쪼개고, 상수배는 밖으로, 그런데 그냥 숫자는 개수와 곱한다
3Σak = 3 · 12 = 36
−2Σbk = −2 · 5 = −10
⭐ 여기가 고비 — 4는 밖으로 「못」 나온다 — 개수와 곱해진다3ak 와 −2bk 는 앞의 숫자를 밖으로 빼냈으니, 남은 +4 도 그렇게 하고 싶어집니다. 그래서 그냥 +4 라고 두고 답을 30이라 씁니다. 그런데 밖으로 빠져나오는 것은 k가 붙은 것에 곱해진 수뿐입니다. +4 에는 곱해질 ak 자체가 없습니다.
풀어 써 보면 곧바로 보입니다 — (3a₁−2b₁+4) + (3a₂−2b₂+4) + ⋯ + (3a₁₅−2b₁₅+4). 4가 열다섯 번 더해집니다. 그래서 Σk=1n c = cn 이고, 여기서는 4 · 15 = 60. k가 안 보이는 항을 만나면 값을 쓰기 전에 항의 개수부터 셉니다.
모두 더하면 36 − 10 + 60 = 86.
"k 없는 숫자는 개수와 곱한다 — Σc = cn. 밖으로 못 나오고 항의 개수만큼 더해진다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
86
※ 여기서 4를 그냥 4로 두면 60이 아니라 4가 되어 답이 56 어긋난다. k가 보이지 않는 항을 만나면 개수를 먼저 세라.
연습 4공식 · Σk²
Σk=19 k² 의 값을 구하시오.
풀이 — 공식에 넣고 약분부터 한다
Σk=1n k² = n(n + 1)(2n + 1)/6
n = 9 을 넣으면 9 · 10 · 19 / 6.
⭐ 여기가 고비 — 곱하기 전에 약분한다 — 순서 하나로 셈이 절반이 된다9 · 10 · 19 을 먼저 곱하면 1710이 나오고, 그것을 다시 6으로 나눠야 합니다. 큰 수를 만들었다가 도로 줄이는 셈입니다. 분모 6은 2 × 3이니 위에서 3의 배수 하나와 짝수 하나를 먼저 지웁니다 — 9 ÷ 3 = 3, 10 ÷ 2 = 5 ⇒ 3 · 5 · 19.
Σk² 공식의 분모 6은 언제나 지워집니다. 세 인수 n, n+1, 2n+1 안에는 연속한 두 수가 들어 있어 반드시 짝수가 하나 있고, 3의 배수도 반드시 하나 있기 때문입니다. 그러니 「나누어떨어지나?」를 걱정하지 말고 약분부터 하십시오.
곱하면 285.
285
※ 1² + 2² + ⋯ + 9² 를 하나하나 더하지 않는다. 약분부터 하고 곱한다.
연습 5공식 · Σk³
Σk=16 k³ 의 값을 구하시오.
풀이 — 세제곱은 Σk 를 통째로 제곱한 것
Σk=1n k³ = {n(n + 1)/2}²
⭐ 여기가 고비 — 세제곱 공식은 따로 외울 것이 없다 — Σk 를 구해서 제곱한다
이 공식만 모양이 다릅니다. Σk 도 Σk² 도 분수가 죽 이어지는데 세제곱만 제곱 하나입니다. 그래서 외운 대로 6 · 7/2 = 21 라고 쓰면 바깥 제곱을 통째로 빠뜨립니다. 외우지 말고 안쪽 Σk 를 먼저 구해 놓고, 그 값을 제곱하십시오 — 6 · 7 / 2 = 21, 그리고 21² = 441.
「세제곱의 합은 합의 제곱」 — 이 한 문장이 곧 공식입니다. 실제로 1³ + 2³ + 3³ = 36 이고 (1 + 2 + 3)² = 6² = 36 로 같습니다. 우연이 아니라 n이 무엇이든 늘 그렇습니다.
먼저 안쪽 Σk 를 구한다 ⇒ 6 · 7 / 2 = 21.
그것을 제곱하면 21² = 441.
검산 — 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = 441 ✓
441
※ 세제곱 공식은 따로 외울 것이 없다 — Σk 를 구해서 제곱하면 그만이다.
연습 6공통인수 · 분모 맞추기
Σk=1n (k² + k) 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 분모를 6으로 맞추고 공통인수 n(n+1) 을 먼저 꺼낸다
Σk² + Σk = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
뒤쪽 위아래에 3을 곱해 분모를 6으로 ⇒ 3n(n+1)/6.
⭐ 여기가 고비 — 전개하지 말고 공통인수 n(n+1) 을 먼저 꺼낸다
두 항을 각각 전개해 더하면 (2n³ + 6n² + 4n)/6 같은 다항식이 나오고, 거기서 다시 인수분해를 해야 합니다. 그런데 두 항에 이미 n(n + 1) 이 똑같이 들어 있습니다. 전개하는 순간 그 눈에 보이던 공통인수가 사라집니다. 그러니 분모만 6으로 맞춘 뒤 곧바로 꺼냅니다 — {n(n+1)/6}{(2n + 1) + 3} = {n(n+1)/6}(2n + 4).
공통인수를 먼저 꺼내면 남는 것은 괄호 안의 덧셈 한 줄뿐입니다. 여기서는 (2n + 1) + 3 = 2n + 4 = 2(n + 2). 그 2를 빼내면 분모 6이 3으로 줄어 답이 세 수의 곱으로 예쁘게 떨어집니다. 「전개 → 정리 → 다시 인수분해」는 같은 자리를 두 번 지나는 길입니다.
"분모를 같게 하고 공통인수를 먼저 — 전개부터 하면 인수분해된 꼴로 안 나온다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
n(n + 1)(n + 2)/3
※ 답이 세 수의 곱으로 예쁘게 떨어진다. 전개해서 (2n³ + 6n² + 4n)/6 로 두면 같은 값이라도 채점에서 손해다.
연습 7공통인수 · 계수가 붙은 꼴
Σk=1n (3k² − k) 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 계수가 붙어도 길은 똑같다
3Σk² − Σk = 3n(n+1)(2n+1)/6 − n(n+1)/2
앞쪽에서 3과 6이 약분되어 n(n+1)(2n+1)/2 − n(n+1)/2.
⭐ 여기가 고비 — 앞의 계수 3이 분모 6을 2로 만들어 준다 — 그래서 통분이 저절로 끝난다
계수가 붙으면 길이 달라 보이지만, 3을 먼저 분모 6에 태우는 것만 다릅니다. 3/6 = 1/2 이 되는 순간 두 항의 분모가 둘 다 2가 되어 통분할 일이 아예 없어집니다. 그러면 공통인수 n(n + 1)/2 을 그대로 꺼낼 수 있습니다.
꺼내고 나면 괄호 안은 (2n + 1) − 1 = 2n — 1이 지워지면서 딱 2n 이 됩니다. 그 2가 분모의 2와 다시 약분되어 n²(n + 1). 괄호 안이 이렇게 깔끔하게 줄어드는지를 늘 살피십시오 — 안 줄어들면 앞에서 약분을 빠뜨린 것입니다.
※ 괄호 안이 (2n + 1) − 1 = 2n 처럼 깔끔하게 줄어드는지 항상 살펴라. 여기서 1이 지워진 것이 답을 예쁘게 만들었다.
연습 8공통인수 · 세제곱이 섞인 꼴
Σk=1n (k³ − k) 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 공통인수 n(n+1)/2 를 먼저 꺼낸다
Σk³ − Σk = {n(n+1)/2}² − n(n+1)/2
두 항에 n(n + 1)/2 이 공통으로 들어 있다. 전개부터 하지 말고 꺼낸다.
⭐ 여기가 고비 — 공통인수를 꺼낸 뒤 「남은 괄호」를 한 번 더 인수분해한다
공통인수를 꺼내면 {n(n+1)/2}{n(n+1)/2 − 1} = {n(n+1)/2}·{(n² + n − 2)/2} 가 됩니다. 여기서 손을 놓으면 답이 거의 다 왔는데 못생긴 채로 끝납니다. 남은 괄호 n² + n − 2 는 인수분해가 되는 이차식입니다 — 곱해서 −2, 더해서 1인 두 수는 2와 −1 ⇒ (n + 2)(n − 1).
그러면 n(n + 1)(n + 2)(n − 1)/4 — 연속한 네 수 (n−1), n, (n+1), (n+2) 의 곱을 4로 나눈 꼴이 드러납니다. 공통인수를 꺼낸 뒤에는 반드시 「남은 괄호가 더 쪼개지나」를 한 번 봅니다. 시그마 문제의 답은 대개 곱의 꼴로 떨어집니다.
차례로 쓰면 (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + ⋯ + {1/(n+1) − 1/(n+2)}.
⭐ 여기가 고비 — 남는 것은 「대가리 하나 · 꼬랑지 하나」 — 그런데 대가리가 1이 아니다
가운데가 서로 지워지고 맨 앞의 것과 맨 뒤의 것만 남습니다. 여기서 대부분 1 − 1/(n + 2) 이라고 씁니다 — 부분분수를 배울 때 본 1/k − 1/(k+1) 꼴이 머리에 남아 있어서입니다. 그런데 이 문제의 분모는 (k+1)(k+2) 부터 시작합니다. k=1 을 직접 넣어 보면 첫 항이 1/2 − 1/3 이므로 대가리는 ½입니다.
대가리와 꼬랑지는 외우는 것이 아니라 「첫 항과 끝 항을 직접 써 보고 읽는 것」입니다. 첫 항 1/2 − 1/3 의 앞쪽이 대가리, 끝 항 1/(n+1) − 1/(n+2) 의 뒤쪽이 꼬랑지 — 그래서 1/2 − 1/(n + 2).
"앞에 대가리가 나오면 뒤에 꼬랑지가 남는다 — 분모가 곱이면 쪼갠다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
n / {2(n + 2)}
※ 시작이 1/1 이 아니라 1/2 이라 대가리가 1이 아니라 ½이다. 첫 항을 직접 써 보고 시작하자.
연습 10안을 먼저 정리 · 공식 셋
Σk=1n (2k − 1)² 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 제곱을 먼저 펴고 공식 셋에 태운다
⭐ 여기가 고비 — 괄호가 제곱되어 있으면 Σ 공식이 없다 — 먼저 편다Σ(2k − 1)² 을 그대로 태울 공식은 없습니다. (Σ(2k−1))² 라고 쓰고 싶어지지만 Σ는 제곱과 자리를 바꿀 수 없습니다 (제곱의 합과 합의 제곱은 다릅니다). Σ가 아는 것은 Σk · Σk² · Σk³ 세 가지와 Σc = cn 뿐이니, 안을 전개해 그 넷의 모양으로 바꿔 주는 것이 첫 걸음입니다 — (2k − 1)² = 4k² − 4k + 1.
전개하고 나면 남은 것은 공식 셋에 나눠 태우는 일뿐입니다. 이때 맨 뒤의 Σk=1n 1 은 k가 없으므로 n(항의 개수)이 됩니다 — 연습 3에서 본 그 자리입니다. 「Σ 안이 복잡하면 편다」 — 시그마에서 손이 멈추는 자리는 거의 언제나 여기입니다.
※ 1² + 3² + 5² + ⋯ 은 홀수의 제곱의 합이다. 마지막이 4n² − 1 = (2n−1)(2n+1) 로 인수분해되는 것이 이 답의 얼굴이다.
이 무기가 자라나는 길
여기서 → 급수
부분분수로 만든 n/(n + 1) 에서 n을 무한대로 보내면 급수의 합 1이 된다. 고3의 첫 관문이 이 자리에서 열린다.
여기서 → 수열의 귀납적 정의
ak+1 − ak = f(k) 꼴이 나오면 양변을 k=1부터 n−1까지 더해 가운데를 지운다. 대가리와 꼬랑지가 또 나온다.
여기서 → 정적분
잘게 자른 넓이를 Σ로 쓰고 개수를 무한히 늘린 것이 정적분이다. Σk²/n³ 같은 꼴을 여기서 미리 만나 둔다.
막히면 돌아올 곳
답이 안 예쁘면 ①항의 개수를 잘못 셌거나 ②상수를 개수와 안 곱했거나 ③공통인수를 안 꺼낸 것이다. 셋만 다시 보자.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
도전 1부분분수 · 차가 3
Σk=1n1(3k − 1)(3k + 2) 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 분모의 차가 3이므로 앞에 ⅓이 붙는다
⭐ 여기가 고비 — 분모의 차가 3이므로 앞에 ⅓ 이 붙는다
분모를 1/(3k−1) − 1/(3k+2) 로 쪼개는 것까지는 누구나 합니다. 그런데 그대로 쓰면 답이 3배로 커집니다. 실제로 통분해 보면 1/(3k−1) − 1/(3k+2) = {(3k+2) − (3k−1)}/{(3k−1)(3k+2)} = 3/{(3k−1)(3k+2)} — 3이 딸려 나옵니다. 그래서 원래 식으로 되돌리려면 3으로 나눠 주어야 합니다 ⇒ 1/{(3k−1)(3k+2)} = (1/3){1/(3k−1) − 1/(3k+2)}.
앞에 붙는 분수는 「분모 두 개의 차」의 역수입니다. 차가 1이면 아무것도 안 붙고, 2면 ½, 3이면 ⅓. 앞 문제(연습 9)에서 아무것도 안 붙었던 까닭도 (k+2) − (k+1) = 1 로 차가 1이었기 때문입니다. 쪼개기 전에 「분모 두 개의 차가 얼마인가」부터 계산하십시오.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면⅓ 을 빼먹고 Σ = 1/2 − 1/(3n + 2) 라고 쓰면, n=2 일 때 1/8 가 되어야 하는데 1/2 − 1/8 = 3/8 가 나온다.3/8 = 3 × 1/8 — 정확히 3배다. 어디서 3이 들어왔는지 보이는가.⇨ 쪼갤 때 딸려 나온 「분모의 차 3」을 도로 나눠 주는 것 — 그것이 앞의 ⅓ 이다.
n / {2(3n + 2)}
※ 앞에 붙는 분수는 분모의 차의 역수다. 차가 1이면 안 붙고, 2면 ½, 3이면 ⅓ — 이것만 기억하면 된다.
도전 2구간이 1에서 시작하지 않을 때
8² + 9² + 10² + ⋯ + 20² 의 값을 구하시오.
풀이 — 1부터 20까지에서 1부터 7까지를 뺀다
공식은 항상 k=1 부터이다. 그러니 Σk=120k² − Σk=17k² 로 만든다.
⭐ 여기가 고비 — 빼는 쪽은 8까지가 아니라 「7까지」다8부터 더하라고 했으니 8을 빼야 할 것 같습니다. 그러나 우리가 지우려는 것은 더하면 안 되는 항들, 곧 1², 2², ⋯, 7² 입니다. 8²은 답에 들어가야 하는 항이므로 지우면 안 됩니다. 그래서 빼는 것은 Σk=17k².
헷갈릴 때는 항의 개수를 세어 맞춰 봅니다 — 8부터 20까지는 20 − 8 + 1 = 13 개. 한편 20 개에서 7 개를 빼면 역시 13개로 맞습니다. 「시작 항의 바로 앞까지」를 빼는 것 — 이 한 줄이면 다시는 안 틀립니다.
20 · 21 · 41 / 6 = 2870
7 · 8 · 15 / 6 = 140
빼면 2870 − 140 = 2730.
검산 — 다른 길로 k + 7 로 두고 Σk=113(k + 7)² 를 구해도 2730 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면8까지 빼면 2870 − (8 · 9 · 17/6) = 2870 − 204 = 2666.차이는 2730 − 2666 = 64 — 바로 8² 자체다. 답에 들어가야 할 항을 내 손으로 지운 것이다.⇨ 「8부터」이면 빼는 것은 7까지. 시작 항의 바로 앞에서 자른다.
2730
※ 빼는 쪽은 7까지다. 8까지 빼면 8²이 사라진다 — 시작 항이 남는지 꼭 세어 보자.
도전 3일반항을 스스로 세우기
1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ⋯ + 10 · 12 의 값을 구하시오.
풀이 — 두 수의 관계부터 본다
⭐ 여기가 고비 — 두 수의 「차」가 늘 같은지부터 본다 — 거기서 일반항이 나온다
이 문제의 8할은 일반항 세우기입니다. 곱해진 두 수를 나란히 적어 봅니다 — 1·3, 2·4, 3·5, ⋯, 10·12. 앞의 수는 1씩 늘고, 뒤의 수도 1씩 늘고, 무엇보다 두 수의 차가 늘 2로 같습니다. 그러니 앞을 k 라 두면 뒤는 k + 2 ⇒ 일반항 k(k + 2).
차가 같은지를 확인하는 일이 곧 검산입니다. 만약 차가 2, 3, 4 …로 늘었다면 k(2k + 1) 같은 딴 꼴이 되었을 것입니다. 위끝도 마찬가지로 끝항을 일반항에 맞춰 읽습니다 — 끝이 10 · 12 이니 k = 10 까지. 일반항과 위끝이 서면 나머지는 공식에 태우는 일뿐입니다.
Σk=110(k² + 2k) = Σk² + 2Σk
10 · 11 · 21/6 = 385, 2 · (10 · 11/2) = 110
더하면 385 + 110 = 495.
"Σ로 나타내라 = 일반항을 찾아라 — 일반항만 찾으면 나머지는 껍데기."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
495
※ 이런 문제의 8할은 일반항 세우기다. 두 수의 차가 늘 같은지부터 확인하자(여기서는 늘 2).
도전 4위끝이 n이 아닐 때
Σk=12n (k² − k) 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 공식의 n 자리에 2n 을 통째로 넣는다
먼저 위끝이 m 일 때를 구해 두면 Σk=1m(k² − k) = m(m − 1)(m + 1)/3 (연습 8과 같은 손놀림).
⭐ 여기가 고비 — 「n 자리에 2n 을 통째로」 — n 을 반씩 나눠 넣지 않는다
위끝이 2n 이면 공식의 n 자리에 2n 을 통째로 넣습니다. 여기서 n(2n − 1)(2n + 1)/3 처럼 일부만 바꿔 넣는 실수가 납니다. 헷갈리지 않으려면 글자를 한 번 갈아 두는 것이 안전합니다 — 공식을 m 로 먼저 세워 놓고, 그 다음에m = 2n 을 대입합니다.
공식 속의 n 은 「위끝」이라는 자리 이름일 뿐입니다. 위끝이 2n 이면 2n(2n−1)(2n+1)/3 로, n+1 이면 (n+1)n(n+2)/3 로 — 무엇이 오든 그 덩어리 전체가 들어갑니다. 공식을 먼저 세우고, 대입은 맨 마지막에 — 이 순서만 지키면 위끝이 아무리 복잡해도 같은 문제입니다.
한 번 더 — n = 2 이면 위끝이 4 ⇒ 좌변 0 + 2 + 6 + 12 = 20, 우변 4 · 3 · 5/3 = 20 ✓
2n(2n − 1)(2n + 1)/3
※ 위끝이 2n 이라고 겁먹지 말자. 공식을 먼저 세우고 그 자리에 넣는다 — 이 순서만 지키면 똑같은 문제다.
도전 5분모를 먼저 만들어야 하는 꼴
Σk=13012 + 4 + 6 + ⋯ + 2k 의 값을 구하시오.
풀이 — 분모를 먼저 한 덩이로 묶는다
⭐ 여기가 고비 — 분모가 「합」이면 먼저 한 덩이로 묶는다 — 거기서부터가 진짜 시작
분모 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2k 를 그대로 두면 Σ를 걸 자리가 없습니다. 이것도 수열의 합이니 공식으로 한 덩이를 만들어야 합니다. 2를 묶어내면 2(1 + 2 + ⋯ + k) = 2 · k(k + 1)/2, 그 2가 앞의 2와 약분되어 분모가 그냥 k(k + 1) 가 됩니다.
분모가 정리되고 나면 낯익은 부분분수 꼴이 드러납니다 — 1/{k(k + 1)} = 1/k − 1/(k+1). 이번에는 분모가 1 · 2 부터 시작하므로 대가리가 1(연습 9의 ½ 과 다릅니다), 꼬랑지는 1/31. 「분모를 먼저 만든다」 — 이 한 걸음을 건너뛰면 이 문제는 손댈 곳이 없습니다.
그러면 Σk=130 1/{k(k + 1)} = Σ(1/k − 1/(k+1)) — 익숙한 꼴이 되었다.
대가리 1, 꼬랑지 1/31 만 남아 1 − 1/31 = 30/31.
검산 — 위끝을 2로 줄이면 1/2 + 1/6 = 2/3, 공식으로도 2/3 ✓
"앞에 대가리가 나오면 뒤에 꼬랑지가 남는다 — 앞에서 남은 개수만큼 뒤에서도 남는다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
30/31
※ 분모가 합으로 되어 있으면 먼저 공식으로 한 덩이를 만든다. 그때부터가 진짜 시작이다.
도전 6분모가 세 개의 곱
Σk=1n1k(k + 1)(k + 2) 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 두 덩이의 차로 쪼갠다
⭐ 여기가 고비 — 분모가 셋이면 「한 칸짜리 두 덩이의 차」로 쪼갠다
분모가 둘일 때처럼 1/k − 1/(k+2) 로 쪼개고 싶어지지만, 그렇게 하면 2/{k(k+2)} 가 되어 분모의 세 인수 중 (k+1) 이 사라져 버립니다. 길은 덩이를 한 칸씩 어긋나게 놓고 그 차를 보는 것입니다 — 1/{k(k+1)} 와 1/{(k+1)(k+2)} 를 나란히 두면 1/{k(k+1)} − 1/{(k+1)(k+2)} = 2/{k(k+1)(k+2)}.
나온 2를 도로 나누면 1/{k(k+1)(k+2)} = (1/2)[1/{k(k+1)} − 1/{(k+1)(k+2)}]. 이제 지워지는 것은 「분수 한 개」가 아니라 「덩이 한 개」입니다 — 앞 덩이의 꼬리와 뒤 덩이의 머리가 맞물려 사라집니다. 남는 것은 대가리 1/(1 · 2) = 1/2 와 꼬랑지 1/{(n+1)(n+2)}. 앞에 ½ 이 붙은 까닭도 앞 문제와 같습니다 — 두 덩이의 차가 2였기 때문입니다.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면1/k − 1/(k+2) 로 쪼개고 앞에 ½ 을 붙이면 (1/2){1/k − 1/(k+2)} = 1/{k(k+2)} — 분모에서 (k+1) 이 통째로 없어졌다.n=2 로 확인하면 (1/2)(1 − 1/3) + (1/2)(1/2 − 1/4) = 1/3 + 1/8 = 11/24 ≈ 0.458 인데, 참값은 5/24 ≈ 0.208 다.⇨ 분모가 셋이면 「한 칸짜리 두 덩이」를 어긋나게 놓고 그 차를 본다.
n(n + 3) / {4(n + 1)(n + 2)}
※ 분모가 셋이면 한 칸짜리 두 덩이의 차로 본다. 여기서도 앞에 ½이 붙는 까닭은 차가 2였기 때문이다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 값을 손으로 풀고 다시 기호계산으로 전수 대조한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).