순열 실전 완전정복
— 고르고 줄세우면 보인다 · 연습 10제

풀이 — 회장·부회장은 자리가 다르다(순서 있음)

1. ⭐ 여기가 고비 — 이 문제가 순열인지 조합인지 가르는 한 낱말 경우의 수 문제에서 학생이 실제로 막히는 곳은 곱셈이 아니라 「P를 쓸까 C를 쓸까」입니다. 가르는 잣대는 하나 — 뽑힌 두 사람의 자리를 바꾸면 다른 경우가 되는가? 여기서는 "갑이 회장, 을이 부회장"과 "을이 회장, 갑이 부회장"이 다른 결과입니다. 그러니 순열. 만약 문제가 "대표 2명을 뽑는다"였다면 갑·을을 뽑든 을·갑을 뽑든 같은 두 사람이라 조합이 됩니다.
   「회장·부회장」처럼 자리에 이름이 붙으면 순열, 「대표 2명」처럼 뭉뚱그리면 조합 — 문제의 낱말이 이미 답을 말해 줍니다.
2. 회장 자리: 5명 중 1명 → 5가지. 부회장 자리: 남은 4명 중 1명 → 4가지.
3. ₅P₂ = 5 × 4 = 20.
4. 검산: 조합이라면 ₅C₂ = 10이고, 두 자리를 바꾸는 2! = 2를 곱하면 20 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — ₆P₄는 몇 개를 곱하는가 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1까지 내려가 버리는 실수가 가장 많습니다. 곱하는 개수는 아래 첨자가 아니라 위(뽑는 수) 4개입니다 — 자리가 4개뿐이니까요. 6에서 시작해 하나씩 줄이며 딱 4번: 6 × 5 × 4 × 3. 왜 하나씩 줄어드나요? 첫 자리에 쓴 카드는 다시 못 쓰기 때문입니다. 첫 자리 6가지 → 둘째 자리는 남은 5가지 → 셋째 4가지 → 넷째 3가지.
   「자리를 그려 놓고 그 위에 숫자를 적는 습관」을 들이면 개수를 셀 일이 없습니다 — 네모 4칸을 그리고 6·5·4·3을 채우면 끝입니다.
2. ₆P₄ = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.
3. 검산: ₆P₄ = 6!/(6−4)! = 720/2 = 360 ✓

풀이 — 방법은 조합의 개수, 금액은 겹침을 걸러낸 실제 액수

1. 방법의 수: 100원(0~10개, 11가지) × 500원(0~2개, 3가지) × 1000원(0~1장, 2가지) − (모두 0원인 경우 1가지) = 11×3×2 − 1 = 65.
2. ⭐ 여기가 고비 — 방법 65가지가 금액 65가지가 아닌 까닭 동전을 고르는 방식은 65가지인데 실제 낸 액수는 30가지뿐입니다. 어디가 새는 걸까요? 500원 2개와 1000원 1장이 똑같은 1000원이기 때문입니다. 낸 방식은 둘이지만 금액은 하나로 합쳐집니다. 그래서 금액을 셀 때는 큰 돈을 작은 돈으로 바꿔(환전해) 겹침을 아예 없애 놓고 셉니다 — 1000원 1장을 500원 2개로 보면, 가진 것은 100원 10개 · 500원 4개가 됩니다. 환전하고 나면 만들 수 있는 최대 금액이 100×10 + 500×4 = 1000 + 2000 = 3000원이고, 100원 단위로 0원부터 3000원까지 하나도 빠짐없이 만들어집니다 (500원은 100원 5개로 대신할 수 있으므로 중간이 뚫리지 않습니다). 그 값은 31개.
   「방법을 세라」면 겹쳐도 그냥 세고, 「금액을 세라」면 겹치는 것을 먼저 지운다」 — 이 한 줄이 이 유형의 전부입니다.
3. 0~3000원, 100원 간격 31개 값. 0원(안 냄)은 "지불한 금액"이 아니므로 제외 → 31 − 1 = 30.

풀이

1. 방법의 수: (5+1)(1+1) − 1 = 12 − 1 = 11.
2. ⭐ 여기가 고비 — 여기서는 방법과 금액이 둘 다 겹치지 않아 수가 나란히 간다 앞 문제에서는 겹침이 있어 65가 30으로 줄었는데, 여기서는 11과 10으로 거의 같습니다. 까닭은 500원을 대신할 100원이 모자라기 때문입니다. 100원이 5개뿐이라 500원 1개를 100원으로 바꾸려면 5개를 다 써야 하고, 그러면 다른 조합이 못 나옵니다 — 즉 같은 금액을 두 방식으로 만드는 일이 아예 없습니다. 확인해 보십시오 — 500원을 안 쓰면 0·100·200·300·400·500, 500원을 쓰면 500·600·700·800·900·1000. 겹치는 것은 500원 딱 하나(100원 5개 = 500원 1개)입니다. 그래서 값의 가짓수는 6 + 6 − 1 = 11, 0원을 빼서 10.
   「방법 = 개수 조합」·「금액 = 살아남은 값」 — 두 문제를 나란히 놓으면 차이가 또렷해집니다.
3. 따라서 금액은 0, 100, …, 1000원의 11개 값에서 0원 제외 → 10.

풀이 — 합집합의 원리 n(X∪Y) = n(X)+n(Y)−n(X∩Y)

풀이 — 한 덩어리로

1. ⭐ 여기가 고비 — 묶은 뒤 내부 순서를 곱하는 것을 잊는다 A와 B를 한 덩어리로 묶으면 세울 것이 5명이 아니라 4단위가 되어 4! = 24. 여기서 끝내면 절반이 빠집니다. 묶음 안에서 AB인지 BA인지가 아직 안 정해졌기 때문입니다. 그 2!을 곱해야 48이 됩니다. 덩어리를 「한 사람」처럼 다루는 순간, 그 안의 사정은 셈에서 잠시 눈감은 상태가 됩니다. 줄세우기가 끝난 뒤 반드시 눈을 다시 떠서 내부 순서를 곱해 주어야 합니다.
   「묶어라 → 줄 세워라 → 안을 다시 세라」 세 걸음이 한 몸입니다. 셋째를 잊으면 답이 정확히 절반이 됩니다.
2. AB를 한 덩어리로 → 4개 단위 줄세우기 4! × 내부순서 2! = 24 × 2.
3. 검산: 전체 5! = 120 중 이웃 48 → 이웃하지 않는 경우 72. 두 값의 합이 120 ✓

풀이 — 빈 의자를 먼저 세우고 그 틈에 꽂는다

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「전체에서 이웃을 뺀다」로도 같은 답이 나오는지 확인하기 빈의자 모형으로는 ₄P₂ = 12. 그런데 이 문제는 작아서 다른 길로도 갈 수 있습니다 — 전체에서 이웃한 경우를 빼는 것이죠. 두 길이 만나면 답을 믿을 수 있습니다. 전체는 ₅P₂ = 20. 이웃한 경우는 붙어 있는 의자 쌍이 (1,2)(2,3)(3,4)(4,5) 네 쌍이고 각 쌍에 두 사람을 앉히는 순서가 2가지 → 4 × 2 = 8. 따라서 20 − 8 = 12 ✓
   「두 길로 가서 만나면 그것이 검산」입니다. 다만 문제가 커지면 이웃한 쌍을 일일이 세기 어려워지므로, 큰 문제일수록 빈의자 모형 쪽이 안전합니다.
2. 빈 의자 3개 → 틈 4곳. 그중 2곳을 골라 2명을 순서 있게 앉힌다.
3. ₄P₂ = 4×3 = 12.

풀이 — 원순열은 회전을 같은 것으로 본다

1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 5로 나누는가 원탁에는 첫째 자리라는 것이 없습니다. 다섯 사람을 통째로 한 칸씩 돌려 앉혀도 서로의 이웃 관계가 그대로라 같은 배열로 봅니다. 한 배열마다 돌리는 방법이 정확히 5가지 (0칸·1칸·2칸·3칸·4칸)이므로, 일렬로 센 5!은 같은 것을 5번씩 센 셈입니다. 그래서 5로 나눕니다. 더 편한 생각도 있습니다 — 한 사람을 「기준」으로 못 박아 버리는 것입니다. A의 자리를 고정하면 회전이 더는 자유롭지 않으니, 남은 4명을 A의 오른쪽부터 줄세우면 그만 → 4! = 24. 같은 답입니다.
   「돌려서 같으면 나눈다 · 뒤집어서도 같으면 한 번 더 나눈다」 — 목걸이처럼 뒤집기까지 같게 보는 문제라면 여기서 2를 더 나눕니다.
2. 일렬 순열 5!에서, 원탁은 돌려서 같은 배열이 5가지씩 겹친다.
3. 5!/5 = (5-1)! = 4! = 24.

풀이 — 앞자리부터 하나씩 확정

1. ⭐ 여기가 고비 — 하나씩 쓰지 말고 앞자리로 뭉텅이를 센다 세 글자라 다 써도 되지만, 글자가 다섯·여섯으로 늘면 그 방법은 무너집니다. 사전은 앞자리가 이른 것부터 늘어서므로, "cab보다 앞에 오는 것이 몇 개인가"만 세면 됩니다. 첫 글자가 a인 것이 2! = 2개, b인 것이 2! = 2개 — 여기까지 4개가 cab보다 앞섭니다. 그다음이 c로 시작하는 것 중 가장 이른 cab이니 5번째. 왜 2!인가요? 첫 글자를 a로 못 박으면 남은 b·c가 자유롭게 줄서므로 2가지이기 때문입니다.
   「앞자리를 하나 고정하면 뒤는 (남은 개수)!」 — 이 한 줄이 사전식 배열 문제 전부를 처리합니다. 글자가 5개라면 a로 시작하는 것만 4! = 24개인 식이죠.
2. a로 시작: abc, acb (2개) — 1,2번째.
3. b로 시작: bac, bca (2개) — 3,4번째.
4. c로 시작: cab, cba — cab은 5번째.
5. 검산: 전체가 3! = 6개이고 cab 다음이 cba(6번째)로 딱 맞는다 ✓

풀이 — ₙPᵣ = ₙCᵣ × r!

1. ⭐ 여기가 고비 — 곱하는 게 아니라 나눈다 ₙPᵣ = ₙCᵣ × r!에서 P가 더 큰 쪽입니다. 고른 뒤 줄까지 세웠으니 당연히 더 많지요. 그러니 C를 구하려면 P를 r!로 나눕니다. 뜻으로 보면 이렇습니다 — 순열이 센 60가지 안에는 「같은 세 사람」이 줄만 바꿔 선 것이 3! = 6번씩 들어 있습니다. 조합은 그 여섯을 하나로 봅니다. 그러니 6으로 나누어 10.
   「순서를 없앨 때는 나눈다」 — 원순열에서 회전 5로 나누던 것과 같은 손놀림입니다.
2. ₅C₃ = ₅P₃ ÷ 3! = 60 ÷ 6.
3. 검산: ₅C₃ = ₅C₂ = (5×4)/2 = 10 ✓

풀이 — 자리마다 10가지, 줄어들지 않는다

1. ⭐ 여기가 고비 — 「하나씩 줄어드는 습관」을 꺼야 한다 순열을 익힌 학생일수록 10 × 9 × 8 × 7로 손이 먼저 나갑니다. 하지만 중복을 허락했으니 쓴 숫자를 다시 쓸 수 있습니다. 앞자리가 무엇이든 다음 자리는 여전히 0~9의 10가지 전부입니다. 그래서 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴. 순열에서 수가 줄어든 이유는 「쓴 것을 치웠기 때문」이었습니다. 중복순열은 쓰고 나서 도로 넣어 두는 것이라 그대로입니다.
   「뽑고 안 돌려놓으면 ₙPᵣ, 뽑고 돌려놓으면 nʳ」 — 문제에 「중복을 허락」이 보이면 곱셈이 통째로 바뀝니다.
2. 중복 허용이므로 각 자리 독립적으로 10가지 → 10⁴.
3. 검산: 0000부터 9999까지 실제로 10000개의 네 자리 수열이 있다 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「5명」이 아니라 「4단위」가 되는 순간 부모를 하나로 묶는 순간, 줄을 세우는 대상은 [부모] · 자녀1 · 자녀2 · 자녀3 = 4단위입니다. 여기서 습관대로 5!을 쓰면 묶은 보람이 사라집니다. 4! = 24가 맞습니다. 그리고 묶음 안에서 아버지·어머니 순서 2가지를 곱해 48. 「몇 개를 세우는가」는 묶은 뒤에 다시 세는 것이 원칙입니다. 5명 중 2명을 묶었으니 5 − 2 + 1 = 4단위.
   이 문제는 문제 6과 숫자까지 똑같습니다 — 등장인물만 바뀌었을 뿐 구조가 같기 때문입니다. 「이름이 달라도 구조가 같으면 같은 문제」라는 눈이 생기면 문제 수가 확 줄어듭니다.
2. 부모를 한 덩어리로 → 4단위 줄세우기 4! × 부모 내부순서 2! = 24×2.
3. 검산: 전체 5! = 120에 대해 48/120 = 2/5 — 아래 확률 문제와 값이 맞물린다 ✓

풀이 — (이웃하는 경우)/(전체 경우)

1. ⭐ 여기가 고비 — 분자와 분모를 같은 잣대로 세었는가 확률 문제에서 답이 틀리는 자리는 거의 언제나 여기입니다. 분모를 「5명을 일렬로 세우는 모든 방법」으로 잡았으면, 분자도 같은 그 배열들 중 조건을 만족하는 것을 세어야 합니다. 여기서는 둘 다 사람을 구별해서 줄세운 것이라 잣대가 같습니다 — 120과 48. 잣대가 어긋나는 흔한 예 : 분모는 순열로 세고 분자는 조합으로 세는 것. 그러면 값이 r!배만큼 어긋납니다.
   「분자와 분모는 같은 세상에서 세라」 — 둘 다 P이거나 둘 다 C이면 안전합니다. 그리고 약분해서 간단한 수가 나오면 대개 제대로 센 것입니다: 48/120 = 2/5.
2. 전체 = 5! = 120. 이웃 = 4!×2 = 48(문제 6과 동일 구조).
3. 확률 = 48/120 = 2/5.
4. 검산(다른 길): A의 자리를 기준으로 보면 B가 앉을 수 있는 자리는 4곳, 그중 A와 붙은 자리는 양끝일 때 1곳·가운데일 때 2곳 — 평균하면 (2+2+2+1+1)/5 ÷ 4 = 2/5 ✓

풀이 — 이항계수는 "같은 것 있는 순열"

1. ⭐ 여기가 고비 — 계수가 왜 「줄세우기」인가 (x+y)⁴는 (x+y)라는 괄호가 네 개 있다는 뜻입니다. 전개할 때는 괄호마다 x 아니면 y를 하나씩 뽑아 곱합니다. x²y²이 되려면 네 괄호 중 두 곳에서 x를, 나머지 두 곳에서 y를 뽑아야 하지요. 그러니 "어느 두 괄호에서 x를 뽑을까"를 세면 그것이 곧 계수 — ₄C₂ = 6. 4!/(2!2!)로 보아도 같습니다. x·x·y·y 네 글자를 한 줄로 배열하되, 같은 글자끼리는 구별하지 않으므로 2!씩 두 번 나눈 것입니다.
   「이항계수는 결국 같은 것이 있는 순열」 — 순열에서 배운 손놀림이 이름만 바꿔 다시 나온 것입니다.
2. x 2개, y 2개를 배열하는 방법의 수 = 4!/(2!2!) = ₄C₂ = 6.
3. 검산: 계수를 모두 더하면 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴ ✓ (x=y=1을 넣은 값과 같다)

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 앞에서 이미 센 60을 그대로 가져다 쓸 수 있는가 문제 7에서 안이웃하게 앉는 방법이 60가지임을 이미 셌습니다. 그것을 그대로 분자에 놓아도 되는 까닭은 문제 7도 사람을 구별해 자리에 앉힌 수(₅P₃)였기 때문입니다. 분모 ₇P₃ = 210도 같은 잣대이니 둘을 바로 나눌 수 있습니다. 만약 문제 7을 「자리 고르기만」(₅C₃ = 10)으로 세어 두었다면 분모도 ₇C₃ = 35로 맞춰야 합니다 — 그래도 10/35 = 2/7로 답은 같습니다.
   「잣대만 서로 맞으면 P로 가든 C로 가든 확률은 같다」 — 이것이 확률이 순열·조합보다 한 단 위인 까닭입니다.
2. 전체 = ₇P₃ = 7×6×5 = 210. 안이웃 = 문제 7에서 60.
3. 확률 = 60/210 = 2/7.
4. 검산(다른 잣대): ₅C₃ / ₇C₃ = 10/35 = 2/7 ✓