YEON MATH · 행복수학

수열의 합 실전 완전정복
— 지우면서 계산한다 · 연습 10제

부분분수 소거·전환점·등비중항 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 수열의 합, 네 가지 무기

1
등차수열 합의 최댓값 — 일반항이 양수에서 음수로 바뀌는 지점을 찾는다. 그 직전 항까지가 최댓값.
2
부분분수 소거 — 분수를 두 조각의 차로 쪼개면, 이웃한 항끼리 지워지며 계산이 끝난다.
3
등비중항 — 세 수가 등비수열이면 가운데 항의 제곱 = 양 끝 곱.
＋
거듭제곱 합 공식 — Σk, Σk², Σk³ 공식을 외워두고, 결과는 공통인수로 묶어 깔끔하게 정리.
1/1 − 1/3 + 1/3 − 1/5 + 1/5 − 1/7 + ⋯
→ 가운데는 다 지워지고 처음과 끝만 남는다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
숫자가 서로 지워지는 패턴을 눈으로 확인. 앞뒤가 딱 맞아떨어져 사라진다.
📐 고1/고2 (핵심)
등차 최댓값·부분분수 소거·등비중항·거듭제곱 합.
🎓 고3 (확장)
무한급수(n→∞)와 정적분·구분구적법으로 이어진다.

🐣 저학년 직관 — "더하고 빼면 가운데가 사라진다"

다음 식을 계산해 봐요: 1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + ⋯ + 9 − 10. 얼핏 복잡해 보이지만, −2와 +2, −3과 +3…처럼 이웃한 숫자가 서로 짝을 지어 사라져요. 맨 처음(1)과 맨 끝(−10)만 남아요.

남는 건 1 − 10 = −9. 가운데 −2+2, −3+3, … 전부 0이 되어 사라졌어요.

답 = −9

연습 10제 · 그림 해설

문제 1기본 등차수열 합
첫째항 3, 공차 4인 등차수열의 첫째항부터 제10항까지의 합을 구하라.

풀이 — 등차수열 합 공식

  1. ⭐ 여기가 고비 — (n−1)d의 「−1」을 빠뜨리지 않는 것 10항까지 더하는데 공차는 9번만 더해집니다 — 첫째항에서 열째항까지 건너뛴 칸이 9칸이기 때문이지요. 그래서 마지막 항은 a + 9d = 3 + 36 = 39이고, 공식 안의 대괄호는 2a + (n−1)d = 6 + 36 = 42가 됩니다. 공식을 외우기보다 「첫째항 + 끝항」을 만들어 개수의 절반을 곱한다고 새기면 안전합니다 — (3 + 39) × 10 ÷ 2 = 210. 같은 값이지요.
    이 꼴이 나오는 까닭도 그림으로 보입니다 — 수열을 앞뒤로 뒤집어 두 줄로 겹쳐 더하면 어느 자리에서나 합이 42로 같아지고, 그런 쌍이 10개이니 42 × 10 ÷ 2입니다.
    「n항까지의 항 수는 n개, 공차가 더해진 횟수는 n−1번」 — 이 하나만 흔들리지 않으면 됩니다.
  2. Sₙ = n/2 × [2a + (n−1)d] = 10/2 × [6 + 9×4] = 5 × 42 = 210.
S₁₀ = 210
문제 2등차합 최댓값 · 진가
첫째항이 25이고 공차가 −3인 등차수열 aₙ에 대하여, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ이 최대가 되는 자연수 n을 구하라.

풀이 — 양수에서 음수로 바뀌는 전환점을 찾는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — Sₙ을 미분하지 말고 「aₙ의 부호」를 본다 합의 최댓값이라고 Sₙ을 이차식으로 만들어 꼭짓점을 찾으려 들면 길이 멉니다. 훨씬 짧은 길이 있습니다 — 더하는 항이 양수인 동안은 합이 계속 커지고, 음수를 더하기 시작하면 줄어듭니다. 그러니 양수인 마지막 항까지만 더하면 그것이 최대입니다. 그 전환점을 찾는 셈은 부등식 한 줄 — 28 − 3n > 0 → n < 9.33. 그러니 n = 9까지가 양수입니다.
    실제로 확인하면 a₉ = 1(양수), a₁₀ = −2(음수) ✓
    「합의 최댓값 문제는 합이 아니라 항을 본다」 — 공차가 음수일 때만 최댓값이, 양수일 때는 최솟값이 이 방법으로 잡힙니다.
  2. 일반항 aₙ = 25 + (n−1)(−3) = 28 − 3n.
  3. 양수인 마지막 항 찾기: 28 − 3n > 0 → n < 9.33.
  4. a₉ = 28−27=1(양수), a₁₀=28−30=−2(음수) → 9항까지만 더해야 최대.
"등차합의 최댓값은 전환점 — 일반항이 양수에서 음수로 바뀌는 지점. 그 직전까지 더한 것이 최댓값."— 장대경 선생님 제12강 수열의 합
n = 9
🔑 더하는 값이 양수인 동안은 계속 커지고, 음수가 되는 순간부터는 줄어들어요. 그 경계를 찾는 게 핵심.
문제 3부분분수 소거 · 진가
수열 aₙ의 일반항이 aₙ = 1/[(2n−1)(2n+1)] 일 때, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ을 구하라.

풀이 — 하나를 둘로 쪼개서 지운다

1/1 − 1/3 + 1/3 − 1/5 + ⋯ + 1/(2n−1) − 1/(2n+1)
  1. ⭐ 여기가 고비 — 앞에 붙는 ½이 어디서 오는가 1/(2k−1) − 1/(2k+1)을 실제로 통분해 보면 분자가 1이 아니라 2가 나옵니다 — (2k+1) − (2k−1) = 2. 그래서 원래 항으로 되돌리려면 ½을 곱해 주어야 합니다. 이 ½을 빠뜨리면 답이 정확히 두 배가 됩니다. 일반적으로 1/(AB) = 1/(B−A) × [1/A − 1/B]이고, 여기서는 B − A = 2라 ½이 붙은 것입니다.
    쪼개고 나면 이웃 항끼리 서로 지워집니다 — 1 − ⅓ + ⅓ − ⅕ + ⅕ − … 가운데가 모두 사라지고 처음과 끝만 남지요.
    Sₙ = ½[1 − 1/(2n+1)] = n/(2n+1).
    검산 : n=1이면 ⅓인데 a₁ = 1/(1×3) = ⅓ ✓
  2. aₖ = ½ × [1/(2k−1) − 1/(2k+1)] 로 쪼갠다.
  3. 이웃 항끼리 지워지고 처음과 끝만 남는다: Sₙ = ½ × [1 − 1/(2n+1)] = n/(2n+1).
Sₙ = n/(2n+1)
문제 4부분분수 2차 소거 · 진가
수열 aₙ의 일반항이 aₙ = 1/[n(n+2)] 일 때, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ을 구하라.

풀이 — 두 칸씩 건너뛰며 소거(양 끝 각 2개씩 남는다)

  1. ⭐ 여기가 고비 — 2칸 건너뛰므로 양 끝에 「두 개씩」 남는다 앞 문제는 이웃끼리 지워져 처음 하나·끝 하나만 남았습니다. 그런데 여기서는 1/k와 1/(k+2)로 두 칸 건너뛰어 짝이 맞으므로, 처음 두 개(1, ½)와 끝 두 개(1/(n+1), 1/(n+2))가 남습니다. 「하나씩 남겠지」 하고 세면 답이 어긋납니다. 몇 개가 남는지는 「몇 칸 건너뛰는가」와 같습니다 — 1칸이면 1개씩, 2칸이면 2개씩, 3칸이면 3개씩.
    헷갈리면 n = 3쯤으로 놓고 실제로 다섯 줄을 늘어놓아 보십시오 — 무엇이 지워지고 무엇이 남는지 눈으로 보입니다.
    검산 : n=1이면 공식은 8/24 = ⅓이고 a₁ = 1/(1×3) = ⅓ ✓
  2. aₖ = ½ × [1/k − 1/(k+2)] 로 쪼갠다. 이번엔 2칸 건너 지워져서, 처음 2개·끝 2개가 남는다.
  3. Sₙ = ½ × [1 + ½ − 1/(n+1) − 1/(n+2)].
  4. 통분해서 정리하면 Sₙ = n(3n+5) / [4(n+1)(n+2)].
Sₙ = n(3n+5) / [4(n+1)(n+2)]
🔑 분모의 차이가 2면 처음·끝에 2개씩 남아요. 차이가 1이면 1개씩(문제 3처럼).
문제 5등비중항 · 진가
공차가 0이 아닌 등차수열 aₙ의 세 항 a₂, a₄, a₇이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, a₅/a₃의 값을 구하라.

풀이 — 가운데 항의 제곱 = 양 끝 곱

  1. ⭐ 여기가 고비 — 미지수가 둘인데 「비」를 물어서 하나면 된다 a와 d 둘 다 모르는데 식은 하나뿐입니다. 그래도 풀립니다 — 묻는 것이 a₅/a₃라는 「비」이기 때문입니다. 등비중항 (a+3d)² = (a+d)(a+6d)를 정리하면 3d² = ad가 되고, 공차가 0이 아니므로 d로 나눌 수 있어 a = 3d — a와 d의 관계 하나면 비는 정해집니다. a₅/a₃ = (a+4d)/(a+2d) = 7d/5d = 7/5 — d가 약분되어 사라집니다. d가 얼마인지 끝내 몰라도 되는 까닭이지요.
    그리고 「공차가 0이 아니다」라는 단서가 있어야 d로 나눌 수 있습니다 — 문제에 그 말이 왜 붙어 있는지 이제 보이지요.
    「값이 아니라 비를 물으면 미지수가 하나 남아도 됩니다.」
  2. a₂=a+d, a₄=a+3d, a₇=a+6d. 등비중항: (a+3d)² = (a+d)(a+6d).
  3. 전개·정리하면 3d² = ad → a = 3d.
  4. a₅/a₃ = (a+4d)/(a+2d) = (3d+4d)/(3d+2d) = 7d/5d.
"등비중항은 가운데 제곱 — 세 수가 등비수열이면 가운데 항의 제곱이 양 끝의 곱과 같다."— 장대경 선생님 제12강 수열의 합
a₅/a₃ = 7/5
문제 62n항 합 대입
수열 aₙ에 대하여 Σₖ₌₁ⁿ (a₂ₖ₋₁+a₂ₖ) = 2n²−n 이 성립할 때, Σₖ₌₁¹⁰ aₖ의 값을 구하라.

풀이 — 두 항씩 짝지은 합 = 2n항까지의 합

  1. ⭐ 여기가 고비 — a₂ₖ₋₁ + a₂ₖ가 「홀짝을 짝지은 것」임을 읽는 것 기호가 복잡해 보이지만 k에 1·2·3…을 넣어 보면 정체가 드러납니다 — (a₁+a₂) + (a₃+a₄) + (a₅+a₆) + … 곧 첫째항부터 제2n항까지를 두 개씩 묶어 더한 것이고, 결국 Σₖ₌₁²ⁿ aₖ와 같습니다. 그러면 물음은 아주 단순해집니다 — 10항까지의 합을 원하니 2n = 10, 곧 n = 5를 대입하면 그만입니다: 2(5)² − 5 = 45.
    여기서 n = 10을 넣어 190이라 답하는 실수가 가장 많습니다 — 주어진 식의 n은 「묶음의 개수」이지 「항의 개수」가 아닙니다.
    「낯선 시그마를 만나면 k에 1, 2, 3을 넣어 풀어 써 보십시오」 — 정체가 곧 드러납니다.
  2. 왼쪽 식은 첫째항부터 제2n항까지의 합과 같다: Σₖ₌₁²ⁿ aₖ = 2n²−n.
  3. 10항까지 원하니 2n=10 → n=5. 대입하면 2(5)²−5 = 45.
45
문제 7등비수열 · 선형결합
첫째항이 1이고 공비가 2인 등비수열 aₙ에 대하여, Σₖ₌₁⁸ (6aₖ − aₖ₊₁)의 값을 구하라.

풀이 — 새 등비수열로 바꿔서 공식 적용

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 수열을 따로 더하지 말고 「한 수열로 합친다」 Σ6aₖ와 Σaₖ₊₁을 각각 구해 빼도 되지만, 자리가 어긋나 헷갈립니다. 괄호 안을 먼저 한 항으로 정리하는 편이 훨씬 안전합니다 — aₖ₊₁ = 2·2ᵏ⁻¹이므로 6·2ᵏ⁻¹ − 2·2ᵏ⁻¹ = 4·2ᵏ⁻¹. 이것 자체가 첫째항 4, 공비 2인 새 등비수열이니 공식 한 번이면 끝납니다. aₖ₊₁을 2ᵏ으로 쓰고 다시 2·2ᵏ⁻¹로 고치는 것이 열쇠입니다 — 같은 2ᵏ⁻¹으로 밑을 맞춰야 묶을 수 있으니까요.
    합은 4(2⁸−1)/(2−1) = 4 × 255 = 1020.
    「시그마 안이 여러 항이면 먼저 한 항으로 정리하십시오」 — 정리하고 나면 아는 수열 하나가 되는 경우가 많습니다.
  2. aₙ=2ⁿ⁻¹. 6aₖ − aₖ₊₁ = 6·2ᵏ⁻¹ − 2ᵏ = 4·2ᵏ⁻¹ (첫째항4, 공비2인 새 등비수열).
  3. 합 = 4(2⁸−1)/(2−1) = 4×255.
1020
문제 8거듭제곱 합 공식
다음을 구하라. (1) Σₖ₌₁²⁰ k (2) Σₖ₌₁¹⁵ k² (3) Σₖ₌₁¹⁰ k³

풀이 — 공식 대입

  1. ⭐ 여기가 고비 — 세 공식의 n이 저마다 다르다 한 문제 안에 n = 20, 15, 10 셋이 섞여 있습니다. 공식은 외웠는데 앞 문제의 n을 그대로 끌고 오는 실수가 여기서 가장 많습니다. 매번 「이번 n은 몇인가」를 먼저 적고 대입하십시오. 약분 요령도 함께 익히면 좋습니다 — Σk² = 15×16×31/6에서 16 ÷ 6이 아니라 15 ÷ 6도 아닌, 「6 = 2×3」으로 갈라 15는 3으로·16은 2로 나눕니다 → 5 × 8 × 31 = 1240.
    Σk³ = [n(n+1)/2]²은 Σk의 제곱이라는 점을 알면 외울 것이 하나 줄어듭니다 — Σk = 55이니 Σk³ = 55² = 3025.
    「세제곱의 합은 합의 제곱」 — 신기하지만 참입니다.
  2. Σk = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210.
  3. Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 = 15×16×31/6 = 1240.
  4. Σk³ = [n(n+1)/2]² = 55² = 3025.
(1) 210  (2) 1240  (3) 3025
문제 9인수분해 정리 · 진가
자연수 n에 대하여 Σₖ₌₁ⁿ (k³ − 3k)를 n에 대한 식으로 나타내라.

풀이 — 공통인수로 묶어 깔끔하게

  1. ⭐ 여기가 고비 — 전개하지 말고 n(n+1)/2를 통째로 묶는다 [n(n+1)/2]²을 곧이곧대로 펼치면 4차식이 되어 되돌리기 어려워집니다. 두 항에 공통으로 들어 있는 n(n+1)/2를 하나의 덩어리로 보고 묶는 것이 요령입니다 — n(n+1)/2 × [n(n+1)/2 − 3]. 그러면 대괄호 안만 정리하면 됩니다 — (n²+n−6)/2 = (n+3)(n−2)/2. 인수분해까지 저절로 되지요.
    전체는 n(n+1)(n+3)(n−2)/4.
    「공통인수가 보이면 펼치기 전에 묶는다」 — 펼쳐 놓고 다시 인수분해하려면 4차식을 상대해야 합니다.
    검산 : n=2면 공식은 0이고, 실제로 (1−3) + (8−6) = 0 ✓
  2. Σk³ − 3Σk = [n(n+1)/2]² − 3×n(n+1)/2.
  3. 공통인수 n(n+1)/2로 묶으면 n(n+1)/2 × [n(n+1)/2 − 3].
  4. 대괄호 안 = (n²+n−6)/2 = (n+3)(n−2)/2.
  5. 전체 = n(n+1)(n+3)(n−2)/4.
n(n+1)(n+3)(n−2)/4
문제 10실생활 · 저축
매달 저축액이 첫 달 8만원에서 시작해 매달 3만원씩 늘어난다(등차). 12개월 동안 총 저축액은 얼마인가?

풀이 — 등차수열 합 공식 실전 적용

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「매달 3만원씩 늘어난다」가 공차라는 것 말로 된 문제를 수열로 옮기는 것이 전부입니다. 첫 달 8만원 → 첫째항 a = 8, 매달 3만원씩 늘어남 → 공차 d = 3, 12개월 → n = 12. 「늘어나는 양」이 공차이지 「그달 저축액」이 아닙니다. 여기서도 (n−1)을 조심해야 합니다 — 12번째 달의 저축액은 8 + 12×3 = 44가 아니라 8 + 11×3 = 41만원입니다.
    그러니 S₁₂ = 12/2 × [16 + 33] = 6 × 49 = 294.
    「첫째항 + 끝항」으로 재 보아도 같습니다 : (8 + 41) × 12 ÷ 2 = 294 ✓
    어림으로도 맞습니다 — 평균 저축액이 약 24.5만원, 12달이면 294만원.
  2. a=8, d=3, n=12. S₁₂ = 12/2 × [16+11×3] = 6×49 = 294.
294만원

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"규칙으로 계산한다" 하나로 무한급수·적분까지

수열의 합에서 익힌 "전환점·시그마·등비중항을 본다"는 눈이, 학년이 올라가면 무한대와 적분으로 그대로 이어집니다.

① 고2 · 이차식 시그마 전개의 확장
고2 · 수1 시그마의 성질
이 특강의 Σk²−4Σk−3n 전개는 시그마 3단계(전개→쪼개→대입)의 기본형이에요. 삼차식·사차식이 나와도 같은 방식으로 항마다 따로 시그마를 씌우면 됩니다.
② 고3 · 무한급수 — 극한으로 보내기
고3 · 수열의 극한
등비수열의 합 공식에서 |공비|<1이고 n→∞이면, 등비수열의 합이 일정한 값으로 수렴해요. 그게 바로 무한급수의 값입니다.
③ 고3 · 구분구적법 — 거듭제곱 합이 적분이 된다
고3 · 정적분과 급수
Σk² 공식을 n이 커지도록 나눠 (1/n)Σ(k/n)² 형태로 만들면, n→∞일 때 ∫₀¹x²dx = 1/3 이 됩니다. 거듭제곱 합 공식이 정적분의 뿌리예요.
④ 등차수열 최댓값 = 이차함수 최댓값
수학Ⅰ~고3 연계
Sₙ은 n에 대한 이차식이라, 최댓값은 이차함수 꼭짓점과 같은 원리(전환점=대칭축 근처)로도 확인할 수 있어요.
⑤ 실생활 · 대출 상환·감가상각
금융수학
등차·등비수열의 합은 대출 원리금 상환표, 감가상각 계산의 뿌리예요. 매달 일정액씩 줄어드는 잔액도 등차수열 합으로 계산됩니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"지우면서 계산한다" 하나로 무한급수·구분구적법·실생활까지. 학년별 3문제씩!

도전 · 고3무한급수 — 소거의 극한
Σₙ₌₁^∞ 1/[n(n+1)]의 값을 구하라.

풀이 — 부분합을 구하고 극한을 취한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 무한을 바로 더할 수 없어 「부분합 → 극한」 두 걸음 항이 끝없이 이어지니 그냥 더할 수는 없습니다. 그래서 먼저 n항까지의 합(부분합)을 구해 놓고, 그다음에 n을 한없이 크게 합니다. 부분분수로 쪼개 소거하면 Sₙ = 1 − 1/(n+1)이고, n → ∞이면 1/(n+1) → 0이므로 합은 1. 이 문제에서는 B − A = 1이라 앞에 붙는 계수가 없습니다(앞 문제의 ½이 여기서는 1).
    값이 그럴듯한지 손으로도 확인됩니다 — ½ + ⅙ + 1/12 + 1/20 = 0.5+0.167+0.083+0.05 = 0.8, 그리고 S₄ = 1 − ⅕ = 0.8 ✓ 1에 조금씩 다가갑니다.
    「무한급수는 「모여 가는 곳」을 묻는 것」이지 끝까지 더하라는 뜻이 아닙니다.
  2. 1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1). 소거하면 Sₙ = 1 − 1/(n+1).
  3. n→∞이면 1/(n+1)→0 → Sₙ→1.
1
도전 · 고3무한등비급수
Σₙ₌₁^∞ (1/2)ⁿ의 값을 구하라.

풀이 — 무한등비급수 공식 a/(1−r)

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「끝없이 더하는데 왜 무한대가 안 되는가」 항을 무한히 더하는데 합이 1이라는 유한한 수에서 멈춥니다. 이상해 보이지만 이유가 있습니다 — 공비가 |r| < 1이라 항이 빠르게 0으로 줄어들기 때문입니다. 더하는 양이 점점 작아져 어느 선을 넘지 못하는 것이지요. 그림으로 보면 아주 분명합니다 — 길이 1인 막대의 절반을 떼고, 남은 것의 절반을 또 떼고… 아무리 되풀이해도 막대 전체(1)를 넘지 못하고 1에 다가갑니다.
    공식 a/(1−r)도 부분합 a(1−rⁿ)/(1−r)에서 rⁿ → 0이 되며 나온 것입니다 — 외운 공식이 아니라 극한의 결과이지요.
    ⛔ 공비가 1 이상이면 이 공식은 쓸 수 없습니다 — 그때는 정말 무한대로 커집니다.
  2. 첫째항 1/2, 공비 1/2 → (1/2)/(1−1/2) = 1.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「무한히 더하니 무한대」라 하면 "항이 끝없이 이어지니 합도 끝없이 커지겠지." 실제로 더해 보십시오 — 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 0.9375. 아무리 더해도 1을 넘지 못합니다. → 더하는 양이 0으로 줄어들면 합은 한 값에 모입니다. 공비의 크기가 1보다 작은지부터 보십시오.
1
도전 · 고3구분구적법
lim n→∞ (1/n)Σₖ₌₁ⁿ (k/n)²의 값을 구하라. (힌트: 정적분으로 바꿔본다)

풀이 — Σk² 공식을 극한으로

  1. ⭐ 여기가 고비 — n을 밖으로 몰아내 Σk²만 남긴다 (k/n)² 안에 시그마 변수 k와 상수 n이 섞여 있어 손이 멈춥니다. k에 대한 시그마에서 n은 상수이므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다 — (1/n)Σ(k²/n²) = (1/n³)Σk². 그러면 아는 공식 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6만 넣으면 됩니다. 극한을 잡을 때는 가장 높은 차수만 보면 됩니다 — 분자의 n(n+1)(2n+1)은 2n³이 주도하므로 2n³/(6n³) = 1/3.
    그리고 이 값은 ∫₀¹x²dx = 1/3과 같습니다 — 얇은 직사각형 n개를 쌓아 넓이를 재는 것(구분구적법)이 곧 정적분이기 때문이지요.
    「Σ 안에서 k가 아닌 것은 모두 상수 — 밖으로 꺼내십시오.」
  2. (1/n)Σ(k/n)² = (1/n³)Σk² = (1/n³)·n(n+1)(2n+1)/6.
  3. n→∞이면 → 2n³/(6n³) = 1/3. 이는 ∫₀¹x²dx와 같다.
1/3
도전 · 실생활대출 상환
100만원을 10개월 동안 매달 10만원씩 균등 원금 상환한다. 매달 이자는 남은 원금의 1%(단리로 단순화)일 때, 첫 달과 마지막 달 이자의 차이는?

풀이 — 등차수열로 줄어드는 이자

  1. ⭐ 여기가 고비 — 마지막 달의 남은 원금은 0이 아니라 10만원 "10개월에 걸쳐 다 갚으니 마지막 달엔 원금이 0"이라 여기면 틀립니다. 10번째 달의 이자는 그달에 갚기 「전」의 남은 원금에 붙습니다 — 9달 동안 90만원을 갚았으니 남은 원금은 10만원, 이자는 10 × 0.01 = 0.1만원. 남은 원금이 100, 90, 80, …, 10으로 10씩 줄어드는 등차수열이니 이자도 1, 0.9, 0.8, …, 0.1로 등차입니다.
    그러니 첫 달과 마지막 달의 차는 1 − 0.1 = 0.9만원 = 9000원.
    「이자는 언제나 「그 시점에 남아 있는 원금」에 붙습니다」 — 갚기 전인지 후인지가 한 달치를 통째로 어긋나게 합니다.
  2. 첫 달 이자 = 100×0.01=1만원. 마지막 달(10번째, 남은 원금10만원) 이자 = 10×0.01=0.1만원.
  3. 차이 = 1 − 0.1.
0.9만원(9000원)
도전 · 실생활감가상각
어떤 장비가 매년 가치의 절반씩 감가된다(등비). 처음 가치 800만원이면 3년 후 가치는?

풀이 — 등비수열의 일반항

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「절반씩 준다」는 빼기가 아니라 곱하기 매년 절반씩 감가는 400만원씩 빠진다는 뜻이 아닙니다. 남은 가치의 절반이 남는 것이므로 해마다 1/2을 곱합니다 — 등비수열이지요. 그래서 3년 뒤는 800 × (1/2)³ = 800 ÷ 8 = 100만원. 해마다 짚어 보면 분명합니다 — 800 → 400 → 200 → 100. 3번 곱했습니다.
    만약 빼기(등차)였다면 800 → 400 → 0 → 음수가 되어 2년 만에 가치가 사라지고 말지요.
    「몇 %씩 · 몇 배씩 · 절반씩」은 등비, 「얼마씩」은 등차 — 낱말이 수열의 종류를 정합니다.
  2. 800 × (1/2)³ = 800/8 = 100.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 등차로 보면 "절반이 400만원이니 해마다 400씩 빠져서 800 − 1200 = −400만원." 장비 가치가 음수가 되었습니다. 있을 수 없는 일이지요. → 절반이 「남는」 것이니 곱셈입니다. 답은 100만원.
100만원
도전 · 실생활저축 목표 역산
매달 5만원씩 늘려가며 저축해서(첫 달 10만원) 6개월 합계가 135만원이 되려면, 공차(매달 느는 금액)는 원래대로 맞는지 검산하라.

풀이 — 등차수열 합 공식 역검산

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「맞는지 확인하라」는 물음은 「넣어 보라」는 뜻 공차를 새로 구하는 문제가 아닙니다. 주어진 값이 정말 맞는지 확인하는 문제이지요. 그러니 a = 10, d = 5, n = 6을 공식에 그대로 넣어 135가 나오는지 보면 됩니다 — S₆ = 6/2 × [2×10 + 5×5] = 3 × 45 = 135 ✓ 맞습니다. 여기서도 (n−1) = 5입니다 — 6개월이니 공차가 더해진 횟수는 5번. 6을 넣으면 3 × 50 = 150이 되어 맞는 것을 틀렸다고 답하게 됩니다.
    하나씩 적어 확인해도 좋습니다 — 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 = 135 ✓
    「검산 문제는 공식과 「손으로 세기」 두 길로 재면 확실합니다.」
  2. S₆ = 6/2×[20+5×5] = 3×45 = 135. 계산이 맞다.
맞다 (135만원 정확히 일치)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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