YEON MATH · 행복수학

삼각비로 변의 길이 구하기 완전정복
— 곱하면 나오고, 안 되면 나눈다 · 연습 10제

빗변 × sin·cos · 인접변 × tan · 수선 긋기 · 낯선 각 가르기 · 삼각형의 높이 h tan · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 변의 길이를 구하는 무기 여섯 가지

1
이름부터 — 기준각 A와 마주보는 변 = 대변, 붙어 있는 변 = 인접변, 직각과 마주보는 가장 긴 변 = 빗변.
2
빗변을 알면 곱하기 — 대변 = 빗변 × sin A, 인접변 = 빗변 × cos A.
3
인접변을 알면 곱하기 tan — 대변 = 인접변 × tan A.
4
곱해서 안 되면 나눈다 — 빗변 = 인접변 ÷ cos A, 인접변 = 대변 ÷ tan A.
5
직각이 없으면 만든다 — 꼭짓점에서 수선을 내려 직각삼각형 두 개로 가른다. AH = c sin B, BH = c cos B, CH = a − c cos B.
6
높이를 물으면 — 높이를 h로 놓고 BH = h tan(90°−B), CH = h tan(90°−C). 수선의 발이 밑변 안이면 더하고 밖이면 뺀다.
A B C A 빗변 대변 인접변
⚠️ 각이 삼각형 안에 찍혀 있는지부터 봐라. 55°가 어느 꼭짓점의 각인지 정하지 않고 계산부터 하면 사인과 코사인이 뒤바뀐다. 그리고 대변이냐 인접변이냐만 정확히 보면 sin인지 cos인지는 저절로 정해진다. 실생활 문제에서는 눈높이를 더하는 것을 절대 빠뜨리지 말자.

삼각비의 표 (이 자료에서 쓰는 값)

각sincostan
30°0.500.870.58
36°0.590.810.73
40°0.640.770.84
45°0.710.711.00
50°0.770.641.19
55°0.820.571.43
60°0.870.501.73
63°0.890.451.96
65°0.910.422.14
특수각 30°·45°·60°는 표를 안 봐도 된다. 비로 외우자 —
30°–60°–90° → 1 : √3 : 2
45°–45°–90° → 1 : 1 : √2
나머지 각은 표를 읽고 곱하기 한 번이면 끝.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"같은 기울기의 미끄럼틀은 크기가 달라도 가로세로 비가 같다" — 그림자와 막대로 나무 키를 재 본다.
📐 중3 (핵심)
빗변 × sin·cos, 인접변 × tan, 되돌릴 땐 나누기, 수선 긋기, 삼각형의 높이, 삼각비의 표.
🎓 고등 (확장)
사인법칙 a/sinA = 2R, 코사인법칙, 넓이 ½ab sin C, 삼각함수의 활용.

🐣 저학년 직관 — "막대 하나로 나무 키를 재는 법"

맑은 날, 1m짜리 막대를 땅에 세웠더니 그림자가 2m 나왔어요. 같은 시각에 나무의 그림자를 재니 10m였대요. 나무 키는 몇 m일까요?

해는 아주 멀리 있어서 같은 시각이면 기울기가 똑같아요. 그러니 「키 : 그림자」의 비도 똑같아요. 막대는 1 : 2, 나무는 □ : 10이니까 □는 5m예요.

이 "기울기가 같으면 가로세로의 비도 같다"가 자라서 중3의 삼각비가 돼요. 그림자 대신 각도를 재면, 표에서 비를 바로 찾아 곱하기만 하면 되지요.

답: 나무 키 5m — 「키 ÷ 그림자」가 같다

연습 10제 · 그림 해설

문제 1빗변 → 두 변 · 기본
빗변의 길이가 10이고 한 예각의 크기가 30°인 직각삼각형에서, 30°와 마주보는 변 x와 30°에 붙어 있는 변 y의 길이를 각각 구하라.

풀이 — 빗변을 알면 곱하기 sin, 곱하기 cos

30° 10 x y
  1. ⭐ 여기가 고비 — 빗변을 알고 있으면 언제나 「곱하기」 삼각비는 분수로 배웠지만, 실제로 변을 구할 때는 곱셈 꼴로 고쳐 쓰는 것이 훨씬 빠릅니다 — sin θ = 대변/빗변의 양변에 빗변을 곱하면 대변 = 빗변 × sin θ. 아는 것이 빗변이면 곱하기 한 번으로 끝납니다. 그리고 마주보는 변에는 sin, 붙어 있는 변에는 cos. 고르는 법은 언제나 「아는 변과 구할 변이 한 줄에 담기는 삼각비」입니다 — 빗변·대변이면 sin · 빗변·인접변이면 cos · 인접변·대변이면 tan.
    검산은 특수각의 비로 : 30°짜리 직각삼각형의 세 변은 1 : √3 : 2이니 빗변이 10이면 5 : 5√3 : 10 ✓ 딱 맞습니다.
  2. 30°와 마주보는 변이므로 x = 10 × sin 30° = 5.
  3. 30°에 붙어 있는 변이므로 y = 10 × cos 30° = 10 × (√3⁄2) = 5√3.
  4. 검산: 특수각의 비 1 : √3 : 2에 5를 곱하면 5 : 5√3 : 10 ✓
"곱하면 나오고, 안 되면 나눈다 — 구하려는 변 = 아는 변 × 삼각비. 거꾸로 갈 땐 나누기."— 장대경 선생님 제50강 삼각비의 활용
x = 5, y = 5√3
문제 2삼각비의 표 · 기본
빗변의 길이가 12이고 한 예각이 40°인 직각삼각형에서, 40°와 마주보는 변과 붙어 있는 변의 길이를 삼각비의 표를 써서 구하라.

풀이 — 표에서 값을 읽고 곱하기 한 번

  1. ⭐ 여기가 고비 — 40°는 특수각이 아니므로 「표」에서 꺼내 온다 30°·45°·60°는 값을 외워 쓰지만 40°는 외울 수 없습니다. 그럴 때 쓰라고 있는 것이 삼각비의 표입니다 — 표에서 sin 40° = 0.64, cos 40° = 0.77을 꺼내 오기만 하면 나머지는 문제 1과 똑같습니다. 달라진 것은 값의 생김새뿐입니다 — ½ 대신 0.64가 들어갔을 뿐이지요. 푸는 방법은 하나도 바뀌지 않습니다.
    값이 그럴듯한지 재는 법도 있습니다 — sin 40°는 sin 30°(0.5)보다 크고 sin 45°(약 0.71)보다 작아야 하는데 0.64이니 ✓
    「특수각이면 외운 값, 아니면 표」 — 그 갈림길만 알면 됩니다.
  2. 표에서 sin 40° = 0.64, cos 40° = 0.77.
  3. 마주보는 변 = 12 × 0.64 = 7.68.
  4. 붙어 있는 변 = 12 × 0.77 = 9.24.
7.68 과 9.24
문제 3인접변 × tan · 기본
한 예각이 40°이고 그 각에 붙어 있는 변이 15인 직각삼각형에서, 40°와 마주보는 변의 길이를 구하라.

풀이 — 빗변을 모르면 탄젠트

  1. ⭐ 여기가 고비 — 주어진 15가 빗변이 아니라는 것 문제 1·2에 익숙해지면 주어진 길이를 무조건 빗변으로 여기고 sin을 곱하는 실수를 합니다. 여기서 15는 그 각에 붙어 있는 변(인접변)입니다. 빗변은 아예 주어지지 않았습니다. 그러니 빗변이 등장하지 않는 삼각비를 골라야 합니다 — 그것이 tan. 대변 = 15 × tan 40° = 15 × 0.84 = 12.6. 셋 중 하나를 고르는 잣대는 늘 같습니다 — 「빗변이 문제에 나오는가?」 나오지 않으면 tan입니다.
    만약 sin 40°를 곱했다면 15 × 0.64 = 9.6이 나오는데, 이는 빗변이 15일 때의 답이라 여기서는 틀립니다.
    답이 그럴듯한지도 봅니다 : 40°는 45°보다 작으니 대변이 인접변보다 짧아야 하고, 실제로 12.6 < 15 ✓
  2. tan 40° = 인접변분의 대변 이므로 대변 = 15 × tan 40°.
  3. 표에서 tan 40° = 0.84이므로 15 × 0.84 = 12.6.
  4. ⚠️ 여기서 sin 40°를 쓰면 틀린다. 15는 빗변이 아니라 인접변이다.
12.6
문제 4거꾸로 · ÷ cos · 진가
한 예각이 55°이고 그 각에 붙어 있는 변이 5.7인 직각삼각형에서, 빗변의 길이를 구하라.

풀이 — 곱해서 안 되면 나눈다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 구할 것이 「분모」에 있으면 나눈다 지금까지는 곱하기만 했는데, 여기서는 구할 빗변이 분모 자리에 있습니다 — cos 55° = 5.7 ÷ 빗변. 이럴 때는 양변에 빗변을 곱해 위로 올린 뒤 나눕니다 — 빗변 × cos 55° = 5.7 → 빗변 = 5.7 ÷ cos 55°. 외우지 말고 「구할 것이 위에 있으면 곱하기, 아래에 있으면 나누기」로 잡으십시오.
    그리고 빗변은 언제나 가장 긴 변이니 답이 5.7보다 커야 합니다 — 5.7 ÷ 0.57 = 10 ✓ 커졌습니다. 만약 곱해서 5.7 × 0.57 = 3.25가 나왔다면 빗변이 다른 변보다 짧아져 그 자리에서 틀린 줄 압니다.
    「나눈 뒤에는 곱해서 되돌아오는지 확인」 : 10 × 0.57 = 5.7 ✓
  2. cos 55° = 빗변분의 5.7 → 양변에 빗변을 곱하면 빗변 × cos 55° = 5.7.
  3. 그러므로 빗변 = 5.7 ÷ cos 55° = 5.7 ÷ 0.57 = 10.
  4. 검산: 10 × 0.57 = 5.7 ✓
10
문제 5거꾸로 · ÷ tan · 진가
한 예각이 50°이고 그 각과 마주보는 변이 11.9인 직각삼각형에서, 그 각에 붙어 있는 변의 길이를 구하라.

풀이 — 탄젠트로 나눈다

  1. ⭐ 여기가 고비 — tan 50°가 1보다 크다는 것이 답을 재는 잣대 앞 문제와 손놀림은 같습니다 — 구할 인접변이 분모에 있으니 나눕니다: 인접변 = 11.9 ÷ tan 50° = 11.9 ÷ 1.19 = 10. 여기서 눈여겨볼 것은 tan 50° = 1.19 > 1이라는 점입니다 — 50°가 45°보다 크니 대변이 인접변보다 길다는 뜻이고, 실제로 11.9 > 10 ✓ tan 45° = 1이 경계입니다 — 45°보다 크면 tan > 1(대변이 더 길다), 작으면 tan < 1(인접변이 더 길다).
    이 감각만 있으면 나눌지 곱할지 헷갈릴 때 답의 크기로 되짚을 수 있습니다. 여기서 곱해 11.9 × 1.19 ≈ 14.2가 나왔다면 인접변이 대변보다 길어져 50°라는 조건과 어긋나지요.
    검산 : 10 × 1.19 = 11.9 ✓
  2. tan 50° = 인접변분의 11.9 → 인접변 × tan 50° = 11.9.
  3. 인접변 = 11.9 ÷ tan 50° = 11.9 ÷ 1.19 = 10.
  4. 검산: 10 × 1.19 = 11.9 ✓
10
문제 6수선 긋기 + 피타고라스 · 진가
△ABC에서 ∠B = 60°, AB = 4, BC = 7일 때 AC의 길이를 구하라.

풀이 — 직각이 없으면 수선을 그어 만든다

60° A B C H 4 7
  1. ⭐ 여기가 고비 — 직각이 없으면 수선을 그어 만든다 삼각비는 직각삼각형에서만 쓸 수 있는데, 이 삼각형에는 직각이 없습니다. 그래서 A에서 BC에 수선을 내려 직각삼각형 두 개를 만들어 냅니다. 그러면 왼쪽 △ABH에서 60°와 빗변 4를 알고 있으니 AH = 4 sin60° = 2√3, BH = 4 cos60° = 2가 나옵니다. 수선을 어느 꼭짓점에서 내리느냐가 중요합니다 — 각을 아는 꼭짓점(B)의 옆에서 시작해야 그 각을 쓸 수 있으므로 A에서 BC로 내립니다.
    그다음은 남은 조각을 이어 붙이는 일입니다 : CH = BC − BH = 7 − 2 = 5이고, 직각삼각형 ACH에서 피타고라스로 AC² = 5² + (2√3)² = 37.
    「수선 하나 → 직각삼각형 둘 → 삼각비와 피타고라스」가 이 유형의 뼈대입니다. (고등학교의 코사인법칙도 이 과정을 한 줄로 줄인 것일 뿐입니다.)
  2. A에서 BC에 수선을 내려 발을 H라 하자.
  3. AH = 4 sin 60° = 4 × (√3⁄2) = 2√3, BH = 4 cos 60° = 4 × ½ = 2.
  4. CH = 7 − 2 = 5.
  5. 직각삼각형 ACH에서 AC² = 5² + (2√3)² = 25 + 12 = 37.
  6. 검산(코사인법칙): 4² + 7² − 2·4·7·cos60° = 16 + 49 − 28 = 37 ✓
"직각이 없으면 만들면 돼 — 꼭짓점에서 수선 하나. 그러면 일반 삼각형도 직각삼각형 문제가 된다."— 장대경 선생님 제50강 삼각비의 활용
AC = √37
문제 7두 각을 알 때 · 진가
△ABC에서 ∠B = 45°, ∠C = 30°, AB = 6√2일 때 AC의 길이를 구하라.

풀이 — 높이를 다리 삼아 두 번 건넌다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 높이 AH를 「다리」 삼아 두 번 건넌다 AB는 왼쪽 삼각형에, AC는 오른쪽 삼각형에 있어 둘을 바로 잇는 길이 없습니다. 두 삼각형이 함께 쓰는 것은 높이 AH 하나뿐이니, 그것을 징검다리로 씁니다 — 왼쪽에서 AH를 구하고(6√2 × sin45° = 6), 그 AH를 들고 오른쪽으로 건너가 AC를 구합니다(6 ÷ sin30° = 12). 이 문제의 ∠A = 180 − 45 − 30 = 105°는 표에도 없는 낯선 각인데, 수선 하나가 그것을 45°와 60°로 갈라 아는 각만 남깁니다.
    방향도 눈여겨보십시오 — 왼쪽에서는 빗변을 알아 「곱하기」, 오른쪽에서는 높이를 알아 「나누기」입니다.
    「두 삼각형이 공유하는 변을 찾아 그것을 먼저 구한다」 — 두 번 건너는 문제의 정석입니다. (사인법칙으로 확인해도 12로 같습니다 ✓)
  2. A에서 BC에 수선 AH를 내린다. 왼쪽은 45°짜리, 오른쪽은 30°짜리 직각삼각형이 된다.
  3. AH = 6√2 × sin 45° = 6√2 × (√2⁄2) = 6.
  4. 오른쪽 삼각형에서 sin 30° = AC분의 AH 이므로 AC = 6 ÷ sin 30° = 6 ÷ ½ = 12.
  5. 검산(사인법칙): AC ÷ sin B = AB ÷ sin C → AC = 6√2 × sin45° ÷ sin30° = 6 ÷ ½ = 12 ✓
"낯선 각은 특수각 둘로 가른다 — 75°는 수선 하나로 60°와 45°로 갈라진다. 아는 각만 남는다."— 장대경 선생님 제50강 삼각비의 활용
AC = 12
문제 8삼각형의 높이 · 더하기형
△ABC에서 BC = 12, ∠B = 45°, ∠C = 60°일 때, A에서 BC에 내린 높이 h를 구하라.

풀이 — 위쪽 각으로 바꿔 h tan 두 조각을 더한다

45° 60° 45° 30° h 12 A B C H
  1. ⭐ 여기가 고비 — 밑각이 아니라 「위쪽 각」으로 바꿔 tan을 쓴다 h를 모르니 밑변 조각도 모릅니다. 그래서 두 조각을 모두 h로 나타내는 것이 열쇠입니다. 그런데 밑각 그대로 tan B = h/BH를 쓰면 h가 분자에 가서 다루기 나쁩니다. 수선이 만든 위쪽 각(90° − 밑각)으로 바꾸면 BH = h·tan(위쪽 각)이 되어 h가 앞으로 나옵니다 — 그래야 더해서 묶을 수 있습니다. 밑각 45° → 위쪽 45°, 밑각 60° → 위쪽 30°. 그러면 BH = h·tan45° = h, CH = h·tan30° = (√3/3)h.
    H가 밑변 안에 있으므로 두 조각을 더해 h(1 + √3/3) = 12 → h = 36 ÷ (3+√3) = 18 − 6√3.
    「두 밑각이 모두 예각이면 더하기」가 이 유형의 갈림길이고, 다음 문제처럼 한 각이 둔각이면 빼기가 됩니다.
    검산 : 18 − 6√3 ≈ 7.61, 7.61 × (1 + 0.577) ≈ 12.0 ✓
  2. 밑각이 45°면 위쪽 각은 90° − 45° = 45°, 밑각이 60°면 위쪽 각은 30°.
  3. BH = h tan 45° = h, CH = h tan 30° = (√3⁄3) h.
  4. H가 밑변 안에 있으므로 BH + CH = 12 → h(1 + √3⁄3) = 12.
  5. h = 36 ÷ (3 + √3) = 36(3 − √3) ÷ 6 = 18 − 6√3.
  6. 검산: 18 − 6√3 ≈ 7.61, 7.61 × 1.577 ≈ 12.0 ✓
h = 18 − 6√3
문제 9삼각형의 높이 · 빼기형
△ABC에서 BC = 6, ∠B = 30°, ∠ACB = 135°일 때, A에서 직선 BC에 내린 높이 h를 구하라.

풀이 — H가 밖으로 나가면 뺀다

30° 60° 45° A B C H 6 h
  1. ⭐ 여기가 고비 — H가 밖으로 나가면 더하기가 빼기로 바뀐다 앞 문제와 그림이 결정적으로 다릅니다. ∠ACB = 135°가 둔각이라 수선의 발 H가 변 BC 위가 아니라 C의 바깥쪽에 떨어집니다. 그러면 BH가 BC보다 길어져 BH − CH = BC가 됩니다 — 더하기가 아니라 빼기입니다. 그리고 △ACH의 각도 다시 재야 합니다 — ∠ACH = 180° − 135° = 45°(직선 위의 각)이므로 위쪽 각도 45°.
    BH = h·tan60° = √3h, CH = h·tan45° = h → h(√3 − 1) = 6 → h = 3√3 + 3.
    「식을 세우기 전에 그림에서 H가 안에 있는지 밖에 있는지부터 본다」 — 부호 하나가 답을 통째로 바꿉니다.
    검산 : 3√3 + 3 ≈ 8.196, 8.196 × (1.732 − 1) ≈ 6.0 ✓
  2. ∠ACB = 135°는 둔각이므로 수선의 발 H는 C의 바깥에 떨어진다.
  3. 밑각 B가 30°이므로 위쪽 각은 60°. △ACH에서 ∠ACH = 180° − 135° = 45°이므로 위쪽 각도 45°.
  4. BH = h tan 60° = √3 h, CH = h tan 45° = h.
  5. BH − CH = BC → h(√3 − 1) = 6 → h = 6 ÷ (√3 − 1) = 3(√3 + 1) = 3√3 + 3.
  6. 검산: 3√3 + 3 ≈ 8.196, 8.196 × 0.732 ≈ 6.0 ✓
h = 3√3 + 3
문제 10실생활 · 눈높이를 더하라
건물에서 20m 떨어진 곳에서 눈높이 1.5m로 건물 꼭대기를 올려본각이 40°였다. 이 건물의 높이를 구하라. (소수 첫째 자리까지)

풀이 — 눈높이 위쪽만 삼각비, 눈높이는 마지막에 더한다

40° 1.5 20 16.8 1.5
  1. ⭐ 여기가 고비 — 삼각비가 재 주는 것은 「눈높이 위쪽」뿐 20 × tan40° = 16.8까지 맞게 구해 놓고 거기서 답을 써 버리는 실수가 이 유형의 전부입니다. 올려본각 40°는 내 눈에서 잰 각이므로, 그 삼각형의 높이는 눈높이보다 위에 있는 부분입니다. 발밑에서 눈까지의 1.5m는 삼각형에 들어 있지 않으므로 마지막에 따로 더해야 합니다 — 16.8 + 1.5 = 18.3 m. 그림을 옆에서 보면 분명합니다 — 직각삼각형의 밑변은 지면이 아니라 「눈높이에 그은 수평선」입니다. 그 아래로 눈높이만큼의 직사각형 한 조각이 더 붙어 있는 셈이지요.
    「문제에 눈높이·관측대·언덕 높이가 나오면 마지막 한 줄이 남아 있다」고 새기십시오. (반대로 내려본각으로 아래를 잴 때는 빼야 하는 경우도 있습니다 — 그림이 정합니다.)
  2. 눈높이에서 꼭대기까지의 높이를 x라 하면 tan 40° = 20분의 x.
  3. x = 20 × tan 40° = 20 × 0.84 = 16.8 (m).
  4. 건물 높이 = 16.8 + 1.5 = 18.3 (m).
  5. ⚠️ 16.8m라고 답하면 틀린다. 눈높이 1.5m를 반드시 더해야 한다.
"눈높이 더하는 걸 빠뜨리면 틀려 — 나무 높이는 눈높이에서 잰 길이에 내 눈높이를 더해야 진짜 높이다."— 장대경 선생님 제50강 삼각비의 활용
18.3 m

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

도전 · 중3삼각비로 넓이 구하기
△ABC에서 ∠B = 60°, AB = 8, BC = 10일 때, △ABC의 넓이를 구하라.

풀이 — 높이만 구하면 넓이는 끝난다

  1. A에서 BC에 수선을 내리면 AH = 8 sin 60° = 8 × (√3⁄2) = 4√3.
  2. 넓이 = ½ × BC × AH = ½ × 10 × 4√3 = 20√3.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 넓이에 필요한 것은 「높이 하나」뿐이다 삼각형의 넓이는 ½ × 밑변 × 높이인데 높이가 주어지지 않았습니다. 그런데 수선을 내려 높이만 구하면 넓이는 곧바로 끝납니다 — AH = 8 sin60° = 4√3, 넓이 = ½ × 10 × 4√3 = 20√3. AC를 구할 필요조차 없습니다. 여기서 한 일을 문자로 적으면 ½ × BC × (AB·sin B), 곧 S = ½ ab sin C입니다 — 고등학교에서 배우는 그 공식이 바로 이 수선 한 줄이었던 것이지요.
    「끼인각과 두 변을 알면 넓이가 나온다」는 것도 여기서 읽힙니다.
    「문제가 넓이만 물으면 변을 다 구하지 마십시오」 — 높이 하나면 됩니다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 두 변을 그냥 넣으면 "밑변 10, 다른 변 8이니 ½ × 10 × 8 = 40." 8은 기울어진 변이지 높이가 아닙니다. ∠B가 90°일 때만 그렇게 쓸 수 있지요. 실제 높이는 8 sin60° = 4√3 ≈ 6.93이라 넓이도 20√3 ≈ 34.6으로 40보다 작습니다. → 넓이의 높이는 언제나 밑변에 수직인 길이입니다.
20√3
도전 · 중3두 각 + 넓이 한꺼번에
△ABC에서 ∠B = 30°, ∠C = 45°, AB = 8일 때, AC의 길이와 △ABC의 넓이를 구하라.

풀이 — 높이 하나로 변도 넓이도

  1. ⭐ 여기가 고비 — 높이 4 하나로 세 가지를 모두 얻는다 묻는 것이 AC와 넓이 둘이지만, 실제로 구할 것은 높이 AH 하나입니다. AH = 8 sin30° = 4가 나오면 — 오른쪽 삼각형에서 AC = AH ÷ sin45° = 4√2, CH = AH ÷ tan45° = 4, 그리고 BH = 8 cos30° = 4√3과 합쳐 BC = 4√3 + 4. 넓이까지 ½ × (4√3+4) × 4 = 8√3 + 8로 이어집니다. 이 문제의 ∠A = 105° 역시 낯선 각인데, 수선이 그것을 60°와 45°로 갈라 줍니다.
    「먼저 높이를 구하고, 그것을 들고 좌우로 오간다」 — 두 각이 주어진 삼각형 문제의 한 줄 요약입니다.
    검산도 됩니다 : ½ × AB × BC × sin B = ½ × 8 × (4√3+4) × ½ = 8√3 + 8 ✓
  2. AH = 8 sin 30° = 4, BH = 8 cos 30° = 4√3.
  3. 오른쪽은 45°짜리 직각삼각형이므로 CH = AH ÷ tan 45° = 4, AC = AH ÷ sin 45° = 4 ÷ (√2⁄2) = 4√2.
  4. BC = BH + CH = 4√3 + 4.
  5. 넓이 = ½ × (4√3 + 4) × 4 = 8√3 + 8.
  6. 검산: ½ × AB × BC × sin B = ½ × 8 × (4√3+4) × ½ = 8√3 + 8 ✓
AC = 4√2, 넓이 = 8√3 + 8
도전 · 고1표를 거꾸로 읽기
삼각비의 표에서 tan x° = 2.14인 x를 찾고, 그 각에 붙어 있는 변이 5인 직각삼각형에서 마주보는 변의 길이를 구하라.

풀이 — 표는 양방향으로 읽는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 표를 「각 → 값」이 아니라 「값 → 각」으로 읽는다 지금까지는 각을 알고 표에서 값을 꺼냈습니다. 여기서는 값을 알고 각을 찾습니다 — 표의 tan 칸을 훑어 2.14가 있는 줄을 찾으면 그 줄의 각이 답입니다. x = 65. 표는 양방향으로 읽는 물건입니다. 그렇게 해도 답이 하나인 까닭이 있습니다 — 0°에서 90° 사이에서 tan 값은 계속 커지기만 하므로, 같은 값이 두 번 나오지 않습니다.
    찾은 각이 그럴듯한지도 잽니다 : 2.14 > 1 = tan45°이니 x는 45°보다 커야 하고, 실제로 65° ✓
    그다음은 평소대로 — 인접변 5에 tan을 곱해 5 × 2.14 = 10.7.
    「값이 1보다 큰가 작은가로 45°의 어느 쪽인지 먼저 가늠하십시오.」
  2. 표의 tan 칸에서 2.14를 찾으면 x = 65.
  3. 마주보는 변 = 5 × tan 65° = 5 × 2.14 = 10.7.
  4. 참고: tan 65°가 1보다 크다는 것은 높이가 밑변보다 길다는 뜻이다. 45°가 그 경계(tan 45° = 1)다.
x = 65, 길이 = 10.7
도전 · 고1두 지점에서 관측하기
나무의 밑동과 일직선 위에 있는 두 지점 P, Q에서 나무 꼭대기를 올려본각이 각각 30°, 60°였다. Q가 나무에 더 가깝고 PQ = 10일 때, 나무의 높이를 구하라. (눈높이는 무시)

풀이 — 두 밑변을 h로 나타내고 빼면 PQ

30° 60° P Q F 10 h
  1. ⭐ 여기가 고비 — 모르는 것을 h로 두고 「두 밑변을 h로」 나타낸다 나무까지의 거리가 둘 다 주어지지 않았습니다. 주어진 것은 두 지점 사이 거리 10뿐이지요. 그래서 높이 h를 문자로 두고, PF와 QF를 모두 h로 나타낸 다음, 그 차가 10임을 이용합니다 — PF = h ÷ tan30° = √3h, QF = h ÷ tan60° = (√3/3)h, √3h − (√3/3)h = 10. 여기서 빼기인 까닭은 Q가 나무에 더 가까워 PF가 더 길기 때문입니다 — PF − QF = PQ. (그림에서 P·Q·F 순서를 확인하십시오.)
    그리고 구하는 것이 분모 자리(밑변 = h ÷ tan)이므로 나누기가 됩니다.
    「모르는 값이 둘 이상이면, 하나를 문자로 두고 나머지를 그 문자로 적는다」 — 방정식으로 넘어가는 문의 손잡이입니다.
    검산 : h = 5√3 ≈ 8.66이면 PF = 15, QF = 5, 차가 정확히 10 ✓
  2. 나무 밑동을 F, 높이를 h라 하자.
  3. PF = h ÷ tan 30° = √3 h, QF = h ÷ tan 60° = (√3⁄3) h.
  4. PF − QF = PQ → √3 h − (√3⁄3) h = 10 → (2√3⁄3) h = 10.
  5. h = 30 ÷ (2√3) = 15 ÷ √3 = 5√3.
  6. 검산: h = 5√3 ≈ 8.66이면 PF = 15, QF = 5, 차가 정확히 10 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — PQ를 밑변으로 쓰면 "h = 10 × tan30° ≈ 5.77" 또는 "h = 10 × tan60° ≈ 17.3." 10은 P에서 나무까지의 거리가 아니라 P와 Q 사이의 거리입니다. 삼각비를 쓰려면 나무 밑동까지의 거리가 있어야 하는데, 그것은 주어지지 않았지요. → 주어진 10은 「두 밑변의 차」입니다. 그래서 h를 문자로 두고 차를 세워야 합니다. 답은 5√3.
5√3 (≈ 8.66)
도전 · 고1평행사변형의 넓이
평행사변형 ABCD에서 AB = 6, BC = 8, ∠B = 60°일 때, 이 평행사변형의 넓이를 구하라.

풀이 — 밑변 × 높이, 높이는 삼각비로

  1. ⭐ 여기가 고비 — 옆변 6이 「높이」가 아니다 평행사변형의 넓이는 밑변 × 높이인데, 옆변 6을 그대로 높이로 쓰면 틀립니다. 높이는 밑변에 수직으로 잰 길이이므로, A에서 BC에 수선을 내려야 나옵니다 — 높이 = 6 × sin60° = 3√3. 그래서 넓이는 8 × 3√3 = 24√3. 옆변 6이 높이가 되는 것은 ∠B가 정확히 90°일 때뿐입니다(그때 sin90° = 1). 기울어진 만큼 sin이 그 손실을 계산해 주는 것이지요.
    일반화하면 평행사변형의 넓이 = ab sin θ — 삼각형 넓이 ½ab sinθ의 두 배입니다(평행사변형은 삼각형 둘이니까요).
    「길이가 주어졌다고 곧 높이는 아니다 — 수직인지 확인하십시오.」
  2. BC를 밑변으로 보면 높이는 A에서 BC에 내린 수선의 길이다.
  3. 높이 = AB × sin B = 6 × sin 60° = 6 × (√3⁄2) = 3√3.
  4. 넓이 = 8 × 3√3 = 24√3.
  5. 일반화하면 평행사변형의 넓이 = ab sin θ — 삼각형 넓이 ½ab sin θ의 두 배다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 두 변을 그냥 곱하면 "밑변 8, 옆변 6이니 넓이는 8 × 6 = 48." 48은 ∠B가 90°인 직사각형일 때의 넓이입니다. 60°로 기울어진 평행사변형은 그보다 낮고 좁아 반드시 48보다 작아야 합니다 — 24√3 ≈ 41.6 ✓ → 기울면 sin만큼 줄어듭니다. 답은 24√3.
24√3
도전 · 경시공식 유도 · 삼각형의 높이
△ABC에서 BC = a이고 두 밑각 B, C가 모두 예각일 때, A에서 BC에 내린 높이가 h = a ÷ ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ) 임을 보이고, 이것이 h = a ÷ ( 1⁄tanB + 1⁄tanC ) 와 같은 식임을 설명하라.

풀이 — 밑변을 두 조각으로 쪼개고, 여각의 탄젠트를 뒤집는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「밑변을 두 조각으로 쪼갠다」가 식의 뿌리 공식을 통째로 외우려 들면 무너집니다. 이 식이 나오는 자리는 단 하나 — 수선이 밑변 a를 BH와 CH 두 조각으로 나눈다는 사실입니다. 두 조각을 모두 h로 나타내어 더하면 h(tan(90°−B) + tan(90°−C)) = a가 되고, h로 풀면 그것이 곧 공식입니다. tan(90°−B)가 1/tanB와 같은 까닭도 그림에 있습니다 — 같은 직각삼각형에서 밑각 B로 보면 tanB = h/BH, 위쪽 각으로 보면 tan(90°−B) = BH/h. 같은 두 변을 뒤집어 본 것이라 서로 역수이지요.
    「두 밑각이 예각이면 더하기, 한 각이 둔각이면 빼기」 — 연습 9에서 본 그 갈림이 공식에도 그대로 남아 있습니다.
    검산 : a = 10, B = 60°, C = 45°이면 h = 10 ÷ (1/√3 + 1) ≈ 6.34이고, BH ≈ 3.66 · CH ≈ 6.34로 합이 10 ✓
  2. 수선의 발을 H라 하면 두 밑각이 예각이므로 H는 BC 안에 있고 BH + CH = a.
  3. △ABH에서 ∠BAH = 90° − B이고 tan(∠BAH) = h분의 BH이므로 BH = h tan(90° − B). 같은 방법으로 CH = h tan(90° − C).
  4. 더하면 h ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ) = a, 곧 h = a ÷ ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ). ∎
  5. 한편 △ABH에서 tan B = BH분의 h 이므로 BH = h ÷ tan B. 앞의 식과 견주면 tan(90° − B) = 1 ÷ tan B 임을 알 수 있다. 그래서 두 식은 같은 식이다.
  6. 검산: a = 10, B = 60°, C = 45°이면 h = 10 ÷ (1⁄√3 + 1) = 10√3 ÷ (√3 + 1) = 5(3 − √3) = 15 − 5√3 — 특강 예제⑨의 답과 정확히 같다 ✓
  7. ⚠️ 한 밑각이 둔각이면 H가 밖으로 나가므로 더하기가 빼기로 바뀐다(연습 9번).
h = a ÷ ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ) = a ÷ ( 1⁄tanB + 1⁄tanC )

🔭 이 비법, 여기까지 뻗는다

"구할 변 = 아는 변 × 삼각비" 한 줄이 자라는 곳

사인법칙 · 코사인법칙
고2 · 수학Ⅰ 삼각함수의 활용
문제 7번에서 높이를 다리 삼아 두 번 건넌 것이 바로 사인법칙의 증명이다. AH = c sin B이고 동시에 AH = b sin C이니 c sin B = b sin C, 곧 b ÷ sin B = c ÷ sin C. 문제 6번의 검산에 쓴 것이 코사인법칙이다. (특강 제34강에서 이어서 배운다.)
삼각형의 넓이 ½ ab sin C
고1~고2
도전 1·2번에서 본 대로 높이 = 옆변 × sin(낀각)이므로 넓이 = ½ × 밑변 × 옆변 × sin(낀각). 두 변과 낀각만 알면 넓이가 나온다.
측량과 항해 · 삼각측량
실생활 · 지리 · 천문
도전 4번처럼 두 지점에서 각을 재어 닿을 수 없는 곳의 높이·거리를 구하는 방법을 삼각측량이라고 한다. 산의 높이, 강의 폭, 별까지의 거리까지 모두 이 원리로 잰다.
벡터의 성분 · 힘의 분해
고등 물리 · 공학
비스듬히 당기는 힘 F를 가로와 세로로 나누면 정확히 F cos θ와 F sin θ다. 오늘 배운 "빗변 × cos, 빗변 × sin"이 그대로 쓰인다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로