여러 가지 사각형 완전정복
— 대각선을 보면 정체가 보인다 · 연습 10제

풀이 — 직사각형의 두 대각선은 길이가 같다

풀이 — 마름모 넓이 = 대각선 곱의 절반

1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 「곱하고 2로 나누는가」 공식 (d₁ × d₂) ÷ 2를 외워 써도 되지만, 까닭을 보면 다시는 안 잊습니다. 마름모의 두 대각선은 서로 수직으로 이등분하므로, 마름모는 직각삼각형 4개로 잘립니다. 각 삼각형은 두 다리가 d₁/2와 d₂/2이니 넓이는 ½ × (d₁/2) × (d₂/2), 네 개를 더하면 (d₁ × d₂)/2입니다. 더 쉬운 그림도 있습니다 — 마름모를 품는 가장 작은 직사각형을 그리면 그 가로·세로가 d₁ · d₂이고, 마름모는 그 직사각형의 딱 절반을 차지합니다.
   그러니 6 × 8 ÷ 2 = 24.
   「대각선이 수직인 사각형이면 어느 것이든 이 공식이 통한다」는 점도 함께 알아 두십시오 — 정사각형·연(kite) 모양에도 그대로 쓰입니다.
2. 대각선이 수직이등분하므로 마름모는 직각삼각형 4개로 나뉜다.
3. 넓이 = (대각선1 × 대각선2) ÷ 2 = (6 × 8) ÷ 2.

풀이 — 대각선 = 한 변 × √2

1. ⭐ 여기가 고비 — 거꾸로 가는 문제라 곱하지 말고 나눈다 공식은 대각선 = 변 × √2인데, 이 문제는 대각선을 주고 변을 묻습니다. 그러니 √2를 곱하는 것이 아니라 나눕니다 — 10 ÷ √2. 여기서 분모의 근호를 없애면(유리화) 10√2/2 = 5√2. 방향을 헷갈리지 않는 방법은 크기를 견주는 것입니다 — 대각선은 변보다 길어야 하지요. 5√2 ≈ 7.07 < 10 ✓ 맞습니다. 거꾸로 10√2 ≈ 14.1이라 답했다면 변이 대각선보다 길어져 말이 안 됩니다.
   공식이 헷갈리면 피타고라스로 되짚으십시오 : 한 변을 a라 할 때 a² + a² = 10² → 2a² = 100 → a² = 50 → a = 5√2 ✓ 같은 답입니다.
2. 정사각형 대각선은 직각이등변삼각형의 빗변 → 대각선 = 변 × √2.
3. 변 = 10 ÷ √2 = 10√2/2 = 5√2.

풀이 — 이등변삼각형 두 개로 쪼갠다

풀이 — 보조선으로 평행사변형 + 정삼각형 만들기

풀이 — 대각선이 만든 이등변삼각형

1. ⭐ 여기가 고비 — OA = OB 가 되려면 성질이 「두 개」 필요하다 삼각형 OAB가 이등변이라는 것을 쓰려면 조건 두 가지를 겹쳐야 합니다 — ① 대각선이 서로를 이등분한다(평행사변형의 성질)이므로 OA = ½AC, OB = ½BD이고, ② 직사각형이라 두 대각선의 길이가 같다(AC = BD)이므로 OA = OB. 둘 중 하나만으로는 안 됩니다. 그러면 삼각형 OAB는 꼭지각 70°인 이등변삼각형이니 밑각 둘이 (180 − 70) ÷ 2 = 55°씩 ✓
   「직사각형에서는 대각선 교점이 네 꼭짓점에서 모두 같은 거리에 있다」는 사실도 여기서 나옵니다 — 그 점이 곧 외접원의 중심이지요.
   마름모였다면 대각선 길이가 달라 OA ≠ OB가 되어 이 풀이가 통하지 않습니다.
2. 대각선 길이가 같고 서로 이등분 → OA=OB, 삼각형 OAB는 이등변.
3. ∠AOB=70° → 밑각의 합 = 180−70=110°, 각각 55°.

풀이 — 마름모는 평행사변형, 이웃각 합=180°

1. ⭐ 여기가 고비 — 마름모「도」 평행사변형이라는 것 마름모를 따로 배운 새 도형으로 여기면 쓸 성질이 없어 막힙니다. 마름모는 네 변이 같은 평행사변형이므로 평행사변형의 성질을 모두 그대로 물려받습니다 — 이웃한 두 각의 합이 180°도 그중 하나이지요. 그래서 180 − 70 = 110°. 사각형들은 층층이 포함 관계로 이어져 있습니다 — 정사각형 ⊂ (직사각형 · 마름모) ⊂ 평행사변형 ⊂ 사다리꼴.
   그러니 위에 있는 것은 아래의 성질을 다 가집니다. 정사각형이 직사각형의 성질과 마름모의 성질을 동시에 갖는 까닭도 이것입니다.
   「막히면 한 단계 위(더 넓은 도형)의 성질을 찾아보십시오」 — 대개 거기에 답이 있습니다.
2. 마름모도 평행사변형이므로 이웃한 두 각의 합은 180° → 180 − 70 = 110°.

풀이 — 평행선의 같은쪽 내각의 합 = 180°

1. ⭐ 여기가 고비 — 쓰는 성질은 「등변」이 아니라 「평행」이다 등변사다리꼴이라 ∠A와 ∠B가 같을 것 같지만 아닙니다. 같은 것은 두 밑각(∠B와 ∠C)이고, ∠A와 ∠B는 위아래로 마주 보는 사이입니다. 여기서 쓰는 것은 AD ∥ BC — 평행선에서 같은 쪽 내각의 합이 180°이므로 180 − 65 = 115°. 그림에서 확인하십시오 — 변 AB가 두 평행선 AD와 BC를 가로지르는 선입니다. 그 안쪽 두 각(∠A와 ∠B)이 합해서 180°가 되지요.
   등변이라는 조건은 「∠B = ∠C = 65°, ∠A = ∠D = 115°」처럼 좌우가 대칭이라는 것을 말해 줄 뿐입니다.
   검산은 네 각의 합으로 : 115 + 65 + 65 + 115 = 360° ✓
2. AD∥BC이므로 ∠A + ∠B = 180° → 180 − 65 = 115°.

풀이 — 직사각형 조건 vs 마름모 조건

1. ⭐ 여기가 고비 — 「각」이면 직사각형, 「수직」이면 마름모 두 조건이 둘 다 그럴듯해 보이지만, 바꾸는 것이 서로 다릅니다. (가) 한 내각이 90° — 평행사변형은 이웃각의 합이 180°이고 마주 보는 각이 같으므로 한 각이 90°면 나머지 셋도 저절로 90°가 됩니다 → 직사각형. (나) 두 대각선이 수직 — 이것은 네 변을 같게 만드는 조건이라 마름모가 됩니다. 한 줄로 갈라 두십시오 — 「각을 90°로 만드는 조건은 직사각형, 변을 같게 만드는 조건은 마름모」.
   그래서 대각선 길이가 같다 → 직사각형, 대각선이 수직이다 → 마름모로 이어집니다.
   둘을 함께 만족하면 정사각형이지요.
   헷갈리면 실제로 그려 보십시오 — 대각선을 수직으로 그으면 네 변이 저절로 같아집니다.
2. (가): 평행사변형에서 한 각이 90°면 나머지도 다 90° → 직사각형.
3. (나): 대각선이 수직이면 그건 마름모가 되는 조건.

풀이 — 대각선 길이로 직사각형 검사

1. ⭐ 여기가 고비 — 각도기 없이 「직각」을 재는 법 네 귀퉁이가 정말 90°인지 재려면 각도기가 필요할 것 같지만, 줄자 하나면 됩니다. 직사각형이면 두 대각선의 길이가 반드시 같다는 성질을 거꾸로 쓰는 것이지요 — 대각선이 다르면 직사각형이 아닙니다. 26 ≠ 25이니 비뚤어졌습니다. 목수와 가구 만드는 사람들이 실제로 쓰는 방법입니다 — 짜 맞춘 틀의 두 대각선을 재어 같으면 직각, 다르면 한쪽을 밀어 맞춥니다.
   까닭은 네 변이 서로 같은 평행사변형 틀에서 대각선 길이가 같아지는 순간이 딱 직각일 때이기 때문입니다.
   「성질은 판별에도 그대로 쓰인다」 — 「이면 그렇다」를 「그렇지 않으면 아니다」로 뒤집어 쓰는 것이지요.
2. 직사각형이라면 두 대각선의 길이가 반드시 같아야 한다. 26 ≠ 25이므로 정확한 직사각형이 아니다.

풀이 — 대각선 AC, BD의 중점이 같으면 평행사변형

1. ⭐ 여기가 고비 — 네 변을 다 재지 않고 「중점 하나」로 끝낸다 평행사변형인지 보려고 네 변의 기울기와 길이를 모두 재려 들면 계산이 여덟 번입니다. 평행사변형은 두 대각선이 서로를 이등분한다는 성질을 쓰면 중점 두 개만 재면 됩니다 — 두 중점이 같은 점이면 서로를 이등분하고 있다는 뜻이니까요. 계산은 두 줄입니다 — AC의 중점 (3, 1.5), BD의 중점 (3, 1.5). 같으므로 평행사변형 ✓
   중점은 두 좌표를 더해 2로 나누는 것뿐이라 실수할 자리도 적습니다.
   「사각형 판별은 대각선으로 하면 가장 짧다」 — 중점이 같으면 평행사변형 · 길이까지 같으면 직사각형 · 수직이면 마름모로 곧장 이어집니다.
2. AC 중점 = ((0+6)/2,(0+3)/2)=(3, 1.5).
3. BD 중점 = ((4+2)/2,(0+3)/2)=(3, 1.5). 같다!

풀이 — 거리공식으로 대각선 길이 비교

1. ⭐ 여기가 고비 — 앞 문제에서 통과한 것이 여기서는 걸린다 같은 사각형인데 앞에서는 평행사변형이 맞다였고 여기서는 직사각형은 아니다가 됩니다. 잣대가 한 단계 더 빡빡해졌기 때문입니다 — 평행사변형은 대각선이 서로 이등분하면 되지만, 직사각형은 거기에 두 대각선의 길이까지 같아야 합니다. AC = √45 ≈ 6.7, BD = √13 ≈ 3.6 — 많이 다릅니다. 근호를 벗기지 않아도 됩니다 — 안의 수 45와 13만 견주면 충분하지요.
   그리고 이 사각형은 평행사변형이면서 직사각형은 아니다라는 말은 모순이 아닙니다 — 직사각형은 평행사변형 중 특별한 것이니까요.
   「판별 문제는 「어느 단계까지 올라가는가」를 묻는 것」이라고 읽으십시오.
2. AC = √(6²+3²)=√45. BD = √((4-2)²+(0-3)²)=√13.
3. 길이가 다르므로 직사각형 아님(평행사변형만).

풀이 — 피타고라스로 나머지 대각선의 절반 구하기

1. ⭐ 여기가 고비 — 변 5가 「빗변」이 되는 직각삼각형을 찾아내는 것 넓이 공식에 넣으려면 나머지 대각선이 필요한데 주어지지 않았습니다. 그것을 만들어 내는 것이 이 문제입니다. 마름모의 두 대각선은 수직으로 이등분하므로, 대각선 절반 3과 나머지 대각선 절반을 두 다리로 하고 한 변 5를 빗변으로 하는 직각삼각형이 생깁니다. 그러면 √(5²−3²) = 4 — 나머지 대각선은 그 두 배인 8. 여기서 두 번 실수합니다 — ① 4를 그대로 대각선으로 쓰는 것(절반이니 8로 늘려야 합니다), ② 5를 다리로 착각해 더해 버리는 것(5는 빗변이라 빼야 합니다).
   3-4-5 삼각형이 나온 것도 좋은 신호입니다 ✓
   넓이는 (6 × 8) ÷ 2 = 24. 「구한 것이 전체인가 절반인가」를 답 쓰기 직전에 한 번 짚으십시오.
2. 대각선 절반은 3, 변은 5 → 나머지 대각선 절반 = √(5²−3²)=4, 나머지 대각선 = 8.
3. 넓이 = (6×8)÷2 = 24.

풀이 — 내적이 0이면 수직

1. ⭐ 여기가 고비 — 각도를 재지 않고 「0인가」만 본다 두 대각선이 수직인지 보려고 각도를 구할 필요가 없습니다. 두 벡터의 내적이 0이면 수직이기 때문입니다 — a⃗·b⃗ = 3×4 + 4×(−3) = 12 − 12 = 0 → 수직. x끼리 곱하고 y끼리 곱해 더하는 것이 전부입니다. 까닭은 내적이 「길이 × 길이 × cos(끼인각)」이기 때문입니다. 길이는 0이 아니니, 내적이 0이라는 것은 cos이 0, 곧 끼인각이 90°라는 뜻이지요.
   중2에서 기울기의 곱이 −1로 하던 판별과 같은 일입니다 — 4/3과 −3/4를 곱하면 −1이지요.
   「수직 = 내적 0」 한 줄이 사각형 판별을 한 단계 짧게 만듭니다.
2. a⃗·b⃗ = 3×4 + 4×(−3) = 12−12 = 0 → 수직이다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 두 조건을 겹치면 정사각형이 된다 앞 문제에서 대각선이 수직임을 보였고(마름모 조건), 여기서 길이까지 같음을 보입니다(직사각형 조건). |a⃗| = √25 = 5, |b⃗| = √25 = 5 — 같습니다. 마름모이면서 직사각형인 것은 정사각형뿐이므로, 이 사각형은 정사각형입니다. 두 벡터 (3,4)와 (4,−3)은 같은 두 수를 자리만 바꾸고 부호 하나를 뒤집은 것이라 길이가 같을 수밖에 없습니다(9+16 = 16+9) — 눈으로도 보이지요.
   「조건을 하나씩 쌓아 올려 도형의 이름을 좁혀 가는 것」이 사각형 단원의 큰 줄기입니다 — 평행사변형 → (수직) 마름모 → (길이 같음) 정사각형.
2. |a⃗|=√(9+16)=5, |b⃗|=√(16+9)=5. 같다!

풀이 — 산술기하평균 또는 이차함수 최댓값

1. ⭐ 여기가 고비 — 둘레 20에서 「가로+세로 = 10」을 뽑아내는 것 둘레 20을 그대로 쓰면 식이 서지 않습니다. 직사각형의 둘레는 (가로+세로)를 두 번 두른 것이므로 가로 + 세로 = 10이 진짜 조건입니다. 그러면 세로는 10 − x로 쓸 수 있고, 넓이는 S = x(10−x) = −x² + 10x — 위로 볼록한 이차함수가 되어 꼭짓점 x = 5에서 최대입니다. 여기서 20을 그대로 써 가로+세로 = 20이라 두면 답이 통째로 두 배 어긋납니다.
   산술·기하평균으로도 같습니다 — 합이 10으로 일정한 두 양수는 서로 같을 때 곱이 가장 큽니다 → 5와 5.
   확인해 보십시오 : 4×6 = 24, 3×7 = 21, 5×5 = 25 ✓
   「합이 일정하면 같을 때 곱이 최대 · 곱이 일정하면 같을 때 합이 최소」 — 짝으로 외워 두면 두 유형이 한꺼번에 풀립니다.
2. 가로+세로=10. 넓이 S=x(10−x)=−x²+10x, x=5일 때 최대.