부채꼴의 호의 길이와 넓이 실전 완전정복 — 연습 10제

먼저 · 부채꼴을 푸는 무기 여섯 가지

원부터 정확히 — 둘레 l = 2πr, 넓이 S = πr². 둘레는 반지름을 한 번, 넓이는 두 번 곱한다. 이 한 번·두 번의 차이가 이 단원 오답의 절반이다.

⭐ 부채꼴은 새 공식이 아니다 — 원을 먼저 다 구해 놓고 「중심각 ÷ 360」을 곱한다. 호 = 2πr × ^x⁄₃₆₀, 넓이 = πr² × ^x⁄₃₆₀.

분수부터 약분한다 — 72⁄360 = 1⁄5, 200⁄360 = 5⁄9, 270⁄360 = 3⁄4. 약분을 먼저 하면 큰 수 계산이 사라진다. 약분이 막히면 나누는 수를 바꿔 본다.

⛔ 부채꼴의 「둘레」에는 곧은 변 두 개가 붙는다 — 둘레 = 호 + 반지름 × 2. 넓이만 묻는지 둘레까지 묻는지 문제의 낱말을 먼저 본다.

⭐ S = ½ r l — 중심각을 몰라도 넓이가 나온다(r = 반지름, l = 호의 길이). 모든 문제의 검산에도 이것을 쓴다 — 답이 스스로 맞는지 되짚어 준다.

색칠한 부분은 아는 도형의 덧셈·뺄셈 — 부채꼴·원·삼각형·사각형으로 쪼갠다. 그리고 π 는 끝까지 기호로 둔다 — 3.14 로 바꾸는 순간 약분이 사라진다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

피자 한 판을 똑같이 12조각으로 자르면 한 조각의 껍질도, 치즈도 한 판의 12분의 1이다 — 부채꼴은 그저 「원의 몇 분의 몇」이다.

📐 중1 (핵심)

원의 둘레·넓이, 호의 길이 2πr × x/360, 부채꼴의 넓이 πr² × x/360, 부채꼴의 둘레, S = ½ r l, 색칠한 부분.

🎓 그 다음 (확장)

중2·3의 원의 성질과 원주각, 고등의 호도법에서 l = rθ, S = ½r²θ 로 다시 만난다 — 오늘의 ½rl 이 그대로 이어진다.

🐣 먼저 몸으로 — 피자 한 판을 열두 조각으로

피자 한 판을 똑같이 12조각으로 자릅니다. 한 조각의 각은 360 ÷ 12 = 30°. 그러면 한 조각의 껍질(호)도 한 판 껍질의 12분의 1, 치즈(넓이)도 한 판 치즈의 12분의 1입니다.

여기서 하나만 더 — 조각의 「테두리」를 실로 두르면 껍질만으로는 모자랍니다. 양옆의 곧은 자른 자리 두 개를 반드시 더해야 합니다. 이것이 부채꼴의 둘레입니다.

부채꼴 = 원 × (중심각 ÷ 360) · 둘레에는 반지름 두 개가 더 붙는다

연습 10제 · 전부 손으로 검산한 해설

문제 1원의 둘레와 넓이 · 기본

다음을 구하시오. (단, 원주율은 π 로 나타낸다.)

반지름의 길이가 7 인 원의 둘레의 길이와 넓이
지름의 길이가 16 인 원의 둘레의 길이와 넓이

풀이 — 공식에 넣기 전에 「이 수가 반지름인가 지름인가」부터 본다

(1) r = 7 — 둘레 2π × 7 = 14π, 넓이 π × 7² = 49π
⭐ 여기가 고비 — (2)에서 준 16 은 반지름이 아니라 지름이다 공식 2πr, πr² 의 r 자리에는 반드시 반지름이 들어갑니다. 문제가 지름을 주었으면 먼저 2로 나누어 r = 16 ÷ 2 = 8 로 바꾸고 나서 공식에 넣습니다. 그러면 둘레 2π × 8 = 16π, 넓이 π × 8² = 64π ✔
둘레만 우연히 지름과 같아 보이는 함정 — 둘레가 16π 라서 「지름 16을 그냥 넣어도 맞네?」 싶지만, 그것은 2πr = π × (지름) 이기 때문입니다. 넓이는 절대 그렇지 않습니다 — 16 을 그대로 넣으면 256π 로 정답의 4배가 됩니다.
검산 — S = ½ r l 로 되짚으면 ① ½ × 7 × 14π = 49π ✔ ② ½ × 8 × 16π = 64π ✔

(1) 둘레 14π · 넓이 49π / (2) 둘레 16π · 넓이 64π

※ 둘레는 반지름을 한 번, 넓이는 두 번 곱한다. 그래서 반지름을 2배로 하면 둘레는 2배, 넓이는 4배가 된다.

문제 2부채꼴 · 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 10, 중심각의 크기가 72° 인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 구하시오.

풀이 — 원을 먼저 구해 놓고, 분수를 약분한 뒤에 곱한다

원 전체 — 둘레 2π × 10 = 20π, 넓이 π × 10² = 100π
⭐ 여기가 고비 — 72⁄360 을 곱하기 전에 약분해서 1⁄5 로 만든다 20π × ⁷²⁄₃₆₀ 을 그대로 계산하려 들면 1440π ÷ 360 이라는 큰 나눗셈이 됩니다. 72 와 360 을 먼저 72 로 나누어 1⁄5 로 줄여 놓으면, 남는 것은 5로 나누기 한 번뿐입니다. 호의 길이 = 20π × ¹⁄₅ = 4π
넓이 = 100π × ¹⁄₅ = 20π
약분이 곧 「몇 조각 중 하나인가」를 말해 준다 — 1⁄5 는 원을 다섯 조각으로 자른 한 조각이라는 뜻입니다. 그림을 보면 실제로 원의 다섯 조각 중 하나입니다.
검산 — S = ½ r l = ½ × 10 × 4π = 20π ✔ 넓이와 일치한다.

호의 길이 4π / 넓이 20π

※ 중심각의 분수를 먼저 약분하는 것이 이 단원의 계산 속도를 전부 결정한다. 72⁄360 = 1⁄5.

문제 3부채꼴 · 약분이 한 번에 안 되는 각

반지름의 길이가 9, 중심각의 크기가 200° 인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 구하시오.

풀이 — 약분이 막히면 나누는 수를 바꿔 본다

원 전체 — 둘레 2π × 9 = 18π, 넓이 π × 9² = 81π
⭐ 여기가 고비 — 200⁄360 은 10 이 아니라 40 으로 나눈다 200 과 360 을 10 으로 나누면 20⁄36, 여기서 멈추면 아직 안 끝났습니다. 둘의 최대공약수는 40 이므로 한 번에 200⁄360 = 5⁄9 까지 내려갑니다. 그리고 이 9 가 반지름 9 와 예쁘게 약분되도록 문제가 짜여 있습니다. 호의 길이 = 18π × ⁵⁄₉ = 2π × 5 = 10π
넓이 = 81π × ⁵⁄₉ = 9π × 5 = 45π
「나누어떨어지지 않는다」 싶으면 나누는 수를 바꾼다 — 200⁄360 을 20⁄36 에서 멈추면 18π × 20 ÷ 36 이라는 지저분한 계산이 남습니다. 끝까지 약분한 뒤에 곱합니다.
검산 — S = ½ × 9 × 10π = 45π ✔

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 200° 를 보고 반원(180°) 로 어림해 넓이를 81π ÷ 2 = 40.5π 라고 적으면, 20° 만큼을 통째로 버린 것이다. ⇨ 부채꼴은 어림하는 단원이 아니다. 중심각을 분수로 바꾸어 정확히 곱한다.

호의 길이 10π / 넓이 45π

※ 200⁄360 = 5⁄9. 분수가 한 번에 약분되지 않으면 최대공약수를 다시 찾는다.

문제 4S = ½rl · 거꾸로 구하기

반지름의 길이가 12 이고 넓이가 54π 인 부채꼴에 대하여 다음을 구하시오.

호의 길이
중심각의 크기

풀이 — 중심각을 모를 때는 S = ½ r l 부터 쓴다

⭐ 여기가 고비 — 중심각이 없어도 S = ½ r l 이면 호가 바로 나온다 πr² × ^x⁄₃₆₀ = 54π 로 시작하면 모르는 것이 x 하나라 중심각부터 구해야 합니다. 그런데 S = ½ r l 에는 중심각이 아예 없습니다 — 아는 것 S = 54π, r = 12 를 그대로 넣으면 호가 한 줄에 나옵니다. ½ × 12 × l = 54π ⇒ 6 l = 54π ⇒ l = 9π
어느 공식을 먼저 잡느냐가 걸리는 시간을 정합니다 — 「모르는 것이 하나만 남는 공식」을 먼저 고르는 것이 요령입니다.
(2) 이제 중심각 — 2π × 12 × ^x⁄₃₆₀ = 9π ⇒ 24π × ^x⁄₃₆₀ = 9π ⇒ ^x⁄₁₅ = 9 ⇒ x = 135
검산 — 넓이로 되짚으면 π × 12² × ¹³⁵⁄₃₆₀ = 144π × ³⁄₈ = 54π ✔ 처음 값과 같다.

(1) 9π / (2) 135°

※ 넓이와 반지름을 주고 호를 물으면 S = ½rl, 넓이와 호를 주고 반지름을 물어도 S = ½rl 이다.

문제 5호의 길이로 반지름 찾기

중심각의 크기가 40° 이고 호의 길이가 6π 인 부채꼴에 대하여 반지름의 길이와 넓이를 각각 구하시오.

풀이 — 모르는 자리만 문자로 두고 방정식 한 줄

약분부터 — ⁴⁰⁄₃₆₀ = ¹⁄₉. 이 부채꼴은 원의 9분의 1이다.
⭐ 여기가 고비 — 「호가 원 둘레의 1⁄9」이라는 말을 거꾸로 읽는다 호가 6π 이고 그것이 원 둘레의 1⁄9 이라면, 원 둘레는 그 9 배인 54π 입니다. 그러면 2πr = 54π 에서 r = 27. 공식으로 그대로 써도 같습니다 — 2πr × ¹⁄₉ = 6π ⇒ ^2πr⁄₉ = 6π ⇒ 2r = 54 ⇒ r = 27
부채꼴 문제의 절반은 이 「거꾸로 읽기」입니다 — 부분이 주어지면 분수의 역수를 곱해 전체로 되돌린 뒤 반지름을 꺼냅니다.
넓이 — S = ½ r l = ½ × 27 × 6π = 81π
검산 — 공식으로 다시 π × 27² × ¹⁄₉ = 729π ÷ 9 = 81π ✔

반지름 27 / 넓이 81π

※ 부분에서 전체로 되돌릴 때는 분수의 역수를 곱한다 — 1⁄9 이면 9배.

문제 6부채꼴의 「둘레」 · 곧은 변

반지름의 길이가 8, 중심각의 크기가 270° 인 부채꼴의 둘레의 길이와 넓이를 각각 구하시오.

풀이 — 둘레를 물었으므로 호에서 끝내면 안 된다

약분 — ²⁷⁰⁄₃₆₀ = ³⁄₄. 원의 4분의 3이다.
호의 길이 — 2π × 8 × ³⁄₄ = 16π × ³⁄₄ = 12π
⭐ 여기가 고비 — 「둘레」는 호 + 반지름 두 개, 「호의 길이」가 아니다 둘레는 그 도형의 테두리를 실로 한 바퀴 두른 길이입니다. 부채꼴의 테두리는 휘어진 호 하나와 곧은 반지름 두 개로 되어 있습니다. 그래서 둘레 = 12π + 8 + 8 = 12π + 16. 이 단원에서 가장 많이 나오는 실수가 바로 여기입니다 — 답을 12π 라고 적으면 곧은 변 16 을 통째로 잃어버린 것입니다. 「호의 길이」를 물었는지 「둘레」를 물었는지, 문제의 낱말을 손가락으로 짚고 확인합니다.
⛔ 그리고 12π + 16 을 28π 로 합치면 안 됩니다 — π 가 붙은 항과 안 붙은 항은 서로 다른 종류라 더해지지 않습니다.
넓이 — π × 8² × ³⁄₄ = 64π × ³⁄₄ = 48π
검산 — S = ½ × 8 × 12π = 48π ✔

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 둘레를 12π 라고만 적는다 — 곧은 변 16 이 빠졌다. 12π + 16 = 28π 라고 합친다 — π 는 문자와 같아서 16 과 더해지지 않는다. ⇨ 부채꼴의 둘레 = 호 + 2r, 그리고 π 있는 것끼리만 더한다.

둘레 12π + 16 / 넓이 48π

※ 중심각이 270° 여도 곧은 변은 여전히 2개다(원이 되는 360° 일 때만 곧은 변이 없다).

문제 7색칠한 부분 · 부채꼴 고리

아래 그림은 중심이 같고 반지름의 길이가 각각 10 과 6 이며 중심각의 크기가 90° 인 두 부채꼴이다. 색칠한 부분의 넓이와 둘레의 길이를 각각 구하시오.

풀이 — 넓이는 뺄셈, 둘레는 덧셈. 서로 다른 셈이다

약분 — ⁹⁰⁄₃₆₀ = ¹⁄₄. 두 부채꼴 모두 사분원이다.
넓이 — 큰 것 π × 10² × ¹⁄₄ = 25π, 작은 것 π × 6² × ¹⁄₄ = 9π ⇒ 25π − 9π = 16π
⭐ 여기가 고비 — 넓이는 「빼기」인데 둘레는 「빼기」가 아니다 넓이는 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 도려낸 것이니 뺄셈이 맞습니다. 그러나 둘레는 도려낸 자리의 테두리가 새로 생깁니다 — 실로 두르면 바깥 호 · 안쪽 호 · 그리고 잘린 곧은 변 두 개를 모두 지나갑니다. 그러니 넷을 전부 더합니다. 바깥 호 = 2π × 10 × ¹⁄₄ = 5π
안쪽 호 = 2π × 6 × ¹⁄₄ = 3π
곧은 변 = 10 − 6 = 4 가 두 개 ⇒ 8
⇒ 둘레 = 5π + 3π + 8 = 8π + 8
「도려내면 테두리가 늘어난다」 — 도넛을 떠올리면 됩니다. 구멍을 뚫으면 넓이는 줄지만 테두리는 오히려 길어집니다.
검산(넓이) — 고리를 한 덩어리로 보면 (100π − 36π) × ¹⁄₄ = 64π × ¹⁄₄ = 16π ✔ 같은 답이다.

넓이 16π / 둘레 8π + 8

※ 고리의 넓이는 (πR² − πr²) × ^x⁄₃₆₀ 으로 묶어서 계산하면 곱셈이 한 번으로 줄어든다.

문제 8색칠한 부분 · 네 꼭짓점의 사분원

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 8 인 정사각형의 네 꼭짓점을 각각 중심으로 하여 반지름의 길이가 4 인 사분원 네 개를 그렸다. 색칠한 부분(가운데에 남은 부분)의 넓이를 구하시오.

풀이 — 사분원 넷을 따로 세지 말고 한 덩어리로 모은다

정사각형의 넓이 — 8 × 8 = 64
⭐ 여기가 고비 — 사분원 네 개 = 온전한 원 한 개 로 모아 버린다 네 사분원은 반지름이 모두 4 로 같습니다. 중심각이 90° 씩 넷이면 합이 360° — 즉 네 조각을 모으면 반지름 4 인 원 하나가 됩니다. 그러니 하나씩 4π 를 네 번 더할 것 없이 한 번에 π × 4² = 16π. 그러므로 색칠한 부분 = 64 − 16π ✔
겹치지 않는다는 확인도 그림이 해 줍니다 — 이웃한 두 꼭짓점의 거리가 8 이고 두 반지름의 합이 4 + 4 = 8 이라, 두 사분원은 변의 한가운데에서 딱 맞닿기만 하고 겹치지 않습니다. 그래서 그냥 빼면 됩니다.
검산 — 하나씩 더해도 4π × 4 = 16π 로 같다. 값으로 보면 64 − 16π ≈ 64 − 50.3 = 13.7 로 정사각형보다 작은 양수라 말이 된다 ✔

64 − 16π

※ 반지름이 같은 부채꼴들은 중심각을 먼저 더한다. 합이 360° 면 원 하나, 180° 면 반원 하나로 묶인다.

문제 9넓이가 같은 두 부채꼴

반지름의 길이가 6, 중심각의 크기가 120° 인 부채꼴 A 와 넓이가 같고 반지름의 길이가 4 인 부채꼴 B 가 있다. 부채꼴 B 의 중심각의 크기를 구하시오.

풀이 — 먼저 A 의 넓이를 숫자로 확정하고, 그것을 B 의 식에 옮겨 넣는다

부채꼴 A — ¹²⁰⁄₃₆₀ = ¹⁄₃ 이므로 넓이 = π × 6² × ¹⁄₃ = 36π ÷ 3 = 12π
⭐ 여기가 고비 — 반지름이 줄면 중심각은 「제곱만큼」 커져야 한다 반지름이 6 → 4 로 줄었으니 원 넓이는 36π → 16π 로 줄어듭니다. 넓이가 반이 아니라 36 : 16 으로 줄어드는 것이 핵심입니다 — 넓이는 반지름을 두 번 곱하기 때문입니다. 그래서 같은 넓이를 만들려면 중심각이 그만큼 커져야 합니다. π × 4² × ^x⁄₃₆₀ = 12π ⇒ 16π × ^x⁄₃₆₀ = 12π ⇒ ^x⁄₃₆₀ = ¹²⁄₁₆ = ³⁄₄ ⇒ x = 270
「반지름이 2⁄3 배가 되었으니 중심각도 3⁄2 배」라고 생각하면 틀립니다 — 그러면 180° 가 나옵니다. 넓이 쪽은 (2⁄3)² = 4⁄9 배이므로 중심각은 그 역수인 9⁄4 배, 즉 120 × ⁹⁄₄ = 270° 입니다.
검산 — π × 4² × ²⁷⁰⁄₃₆₀ = 16π × ³⁄₄ = 12π ✔ A 의 넓이와 같다. 또 x = 270 ≤ 360 이라 실제로 그릴 수 있는 부채꼴이다 ✔

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 반지름의 비 6 : 4 = 3 : 2 를 그대로 뒤집어 중심각을 120 × ³⁄₂ = 180° 라고 답한다. 확인해 보면 16π × ¹⁸⁰⁄₃₆₀ = 8π 로 12π 에 못 미친다. ⇨ 넓이에서는 반지름이 제곱으로 들어간다. 비를 뒤집기 전에 제곱부터 한다.

270°

※ 중심각을 구했으면 360° 를 넘지 않는지 반드시 확인한다. 넘으면 그런 부채꼴은 없다.

문제 10실생활 · 부채꼴 화단

공원 한가운데에 부채꼴 모양의 화단을 만들려고 한다. 반지름의 길이가 15 m, 중심각의 크기가 24° 일 때 다음을 구하시오.

바깥쪽 곡선(호)의 길이
화단의 넓이
화단 전체 테두리에 울타리를 두를 때 필요한 울타리의 길이

풀이 — 약분하면 원의 15분의 1, 그리고 반지름도 15

⭐ 여기가 고비 — 24⁄360 을 1⁄15 로 줄이면 반지름 15 와 그대로 약분된다 24 와 360 의 최대공약수는 24 이므로 24⁄360 = 1⁄15. 그런데 이 화단의 반지름도 마침 15 입니다. 그래서 원 둘레 2π × 15 = 30π 에 1⁄15 를 곱하면 15 가 통째로 사라져 계산이 한 줄에 끝납니다. (1) 호 = 30π × ¹⁄₁₅ = 2π (m)
(2) 넓이 = π × 15² × ¹⁄₁₅ = 225π ÷ 15 = 15π (m²)
약분을 먼저 하면 225 를 24 로 곱했다가 360 으로 나누는 큰 계산이 아예 없어집니다.
(3) 울타리는 테두리 전체 — 호 하나와 곧은 변 두 개 ⇒ 2π + 15 + 15 = 2π + 30 (m)
검산 — S = ½ r l = ½ × 15 × 2π = 15π ✔ (2)와 일치한다. 단위도 넓이는 m², 길이는 m 로 갈라 적었다 ✔

(1) 2π m / (2) 15π m² / (3) 2π + 30 m

※ 실생활 문제에서는 단위도 답의 일부다 — 길이는 m, 넓이는 m².

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 · 중1둘레와 넓이를 함께 주었을 때

둘레의 길이가 20, 넓이가 24 인 부채꼴이 있다. 이 부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이를 구하시오. (단, 반지름의 길이는 자연수이다.)

풀이 — 조건 두 개를 식 두 개로 적어 놓고 표로 찾는다

둘레 조건 — 2r + l = 20 ⇒ l = 20 − 2r
넓이 조건 — ½ r l = 24 ⇒ r l = 48
⭐ 여기가 고비 — 답이 하나라고 지레 믿지 않는다. 표로 끝까지 훑는다 l = 20 − 2r 을 r l = 48 에 넣어 r 을 1 부터 차례로 넣어 봅니다. 중간에 하나 찾았다고 멈추면 나머지 답을 놓칩니다. r=1 → l=18, rl=18 ✗ · r=2 → 16, 32 ✗ · r=3 → 14, 42 ✗ · r=4 → l=12, rl=48 ✔ · r=5 → 10, 50 ✗ · r=6 → l=8, rl=48 ✔ · r=7 → 6, 42 ✗ · r=8 → 4, 32 ✗ · r=9 → 2, 18 ✗ · r=10 이면 l=0 이라 부채꼴이 아니다.
rl 값이 r=5 에서 50 으로 가장 커졌다가 다시 줄어듭니다 — 그래서 48 을 올라가는 길에 한 번, 내려오는 길에 한 번 지나갑니다. 이것이 답이 둘인 까닭입니다.
검산 — r=4, l=12 : 둘레 8+12=20 ✔ 넓이 ½×4×12=24 ✔ / r=6, l=8 : 둘레 12+8=20 ✔ 넓이 ½×6×8=24 ✔
그릴 수 있는지도 확인 — 호는 원 둘레보다 길 수 없다. r=4 이면 원 둘레 8π ≈ 25.1 > 12 ✔, r=6 이면 12π ≈ 37.7 > 8 ✔ 둘 다 실제로 존재한다.

r = 4 · l = 12 또는 r = 6 · l = 8

※ 조건이 두 개면 답도 둘 이상일 수 있다. 하나를 찾은 뒤 반드시 끝까지 확인한다.

도전 · 중1겹친 두 사분원 · 잎사귀 모양

한 변의 길이가 6 인 정사각형 ABCD 에서 꼭짓점 A 를 중심으로 반지름 6 인 사분원을, 마주 보는 꼭짓점 C 를 중심으로 반지름 6 인 사분원을 그렸다. 두 사분원이 겹치는 부분의 넓이를 구하시오.

풀이 — 겹친 넓이는 「두 개를 더한 값에서 전체를 뺀 것」

사분원 하나의 넓이 — π × 6² × ¹⁄₄ = 9π. 두 개면 18π.
⭐ 여기가 고비 — 두 사분원을 합치면 정사각형이 빈틈없이 딱 덮인다 A 중심 사분원은 B 와 D 를 잇는 호까지, C 중심 사분원은 B 와 D 를 잇는 반대쪽 호까지 덮습니다. 두 호는 정사각형을 서로 반대쪽에서 가르므로, 정사각형 안의 어떤 점도 둘 중 적어도 하나에는 반드시 들어갑니다(빈 곳이 없습니다). 그래서 두 사분원의 합집합 = 정사각형입니다. 겹친 부분을 두 번 센 것이므로 9π + 9π − (겹친 부분) = 36
⇒ 겹친 부분 = 18π − 36 ✔
「덮인 곳 두 번 세기」가 이 문제의 전부입니다 — 두 조각을 그냥 더하면 겹친 자리가 두 번 들어가니, 전체 넓이를 빼면 겹친 자리 한 번 분량이 남습니다.
값으로 확인 — 18π − 36 ≈ 56.5 − 36 = 20.5. 정사각형 넓이 36 보다 작은 양수이고, 그림에서 잎사귀가 정사각형의 절반 남짓해 보이는 것과 맞는다 ✔

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 겹친 부분을 36 − 18π 라고 뒤집어 쓴다 ⇒ 36 − 56.5 = −20.5 로 음수가 나온다. ⇨ 넓이는 음수가 될 수 없다. 답을 적기 전에 대략의 값을 넣어 부호부터 본다.

18π − 36

※ 「두 조각의 합 − 전체 = 겹친 부분」은 두 조각이 전체를 빈틈없이 덮을 때만 쓸 수 있다. 덮는지부터 확인한다.

도전 · 중1중심각의 비로 나눈 원

한 원을 세 개의 부채꼴로 나누었더니 세 중심각의 크기의 비가 1 : 2 : 3 이었다. 가장 큰 부채꼴의 넓이가 32π 일 때 다음을 구하시오.

원의 반지름의 길이
가장 작은 부채꼴의 호의 길이

풀이 — 비를 「전체 몇 조각 중 몇」으로 바꾼다

⭐ 여기가 고비 — 비 1 : 2 : 3 은 합이 6 이므로 각각 1⁄6, 2⁄6, 3⁄6 비만 보고 「가장 큰 것이 3 배구나」에서 멈추면 원 전체를 알 수 없습니다. 세 중심각을 다 더하면 360° 라는 것이 열쇠입니다. 1+2+3=6 이므로 원을 여섯 조각으로 나눈 것이고, 가장 큰 부채꼴은 3⁄6 = 1⁄2, 곧 반원입니다. 그러면 원의 넓이는 32π 의 2 배인 64π.
πr² = 64π ⇒ r² = 64 ⇒ r = 8
「부분 → 전체」를 먼저 하고 나서 반지름을 꺼냅니다 — 순서를 바꾸면 풀리지 않습니다.
세 중심각도 확인해 두면 360 × ¹⁄₆ = 60°, 120°, 180° 로 합이 360° ✔
(2) 가장 작은 부채꼴은 60°, 곧 원의 1⁄6 — 원 둘레가 2π × 8 = 16π 이므로 호 = 16π × ¹⁄₆ = ^8π⁄₃
검산 — 가장 작은 부채꼴의 넓이는 64π × ¹⁄₆ = ^32π⁄₃ 이고, S = ½ × 8 × ^8π⁄₃ = ^32π⁄₃ ✔ 두 방법이 일치한다.

(1) 8 / (2) 8π ⁄ 3

※ 중심각의 비는 곧 호의 길이의 비이자 넓이의 비다(반지름이 같은 한 원 안에서). 그래서 비 하나로 셋이 다 풀린다.

도전 · 중1굴러가는 원 · 중심이 그리는 길

한 변의 길이가 10 인 정삼각형의 바깥쪽을 반지름 2 인 원이 미끄러지지 않고 한 바퀴 돌아 제자리로 왔다. 이때 원의 중심이 지나간 길의 길이를 구하시오.

풀이 — 곧은 길 셋 + 모퉁이의 부채꼴 셋으로 나눈다

곧은 길 — 변을 따라 굴러갈 때 중심은 변과 평행하게 움직이므로 길이가 변과 같다 ⇒ 10 × 3 = 30
⭐ 여기가 고비 — 모퉁이 셋의 부채꼴을 모으면 정확히 원 한 바퀴가 된다 한 꼭짓점에서 원은 그 자리에 붙은 채로 방향만 바꿉니다. 이때 중심이 그리는 것은 반지름 2 인 부채꼴의 호이고, 그 중심각은 그 꼭짓점의 외각과 같습니다. 정삼각형의 한 외각은 180° − 60° = 120° 이고, 세 외각의 합은 언제나 360° 입니다. 그러므로 모퉁이 세 곳의 호를 다 더하면 중심각 360° — 곧 반지름 2 인 원의 둘레 한 바퀴입니다.
⇒ 2π × 2 = 4π
중심이 지나간 길 = 30 + 4π ✔
다각형이 무엇이든 바깥을 한 바퀴 돌면 모퉁이 몫은 늘 2πr — 외각의 합이 언제나 360° 이기 때문입니다. 정사각형이든 오각형이든 답은 「둘레 + 2πr」입니다.
따로 세어 보는 검산 — 모퉁이 하나의 호는 2π × 2 × ¹²⁰⁄₃₆₀ = ^4π⁄₃, 세 개면 ^4π⁄₃ × 3 = 4π ✔ 같은 값이다.

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 모퉁이의 중심각을 내각 60° 로 잡아 2π × 2 × ⁶⁰⁄₃₆₀ × 3 = 2π 라고 센다. 그러나 원은 바깥쪽을 돌고 있다 — 중심이 도는 각은 안쪽 각이 아니라 꺾이는 각(외각)이다. ⇨ 바깥을 돌면 외각, 그리고 외각의 합은 항상 360°.

30 + 4π

※ 원이 지나간 넓이를 물으면 또 다르다 — 곧은 부분의 직사각형 셋과 모퉁이의 부채꼴 셋을 더해야 한다.

도전 · 중1고리에서 중심각 거꾸로 찾기

중심이 같고 반지름의 길이가 각각 9 와 3 이며 중심각의 크기가 서로 같은 두 부채꼴 사이의 색칠한 부분의 넓이가 30π 이다. 다음을 구하시오.

중심각의 크기
색칠한 부분의 둘레의 길이

풀이 — 두 부채꼴을 하나의 식으로 묶어 놓고 중심각을 꺼낸다

⭐ 여기가 고비 — 중심각이 같으니 ^x⁄₃₆₀ 로 묶어 낸다 큰 부채꼴 π × 9² × ^x⁄₃₆₀ 에서 작은 부채꼴 π × 3² × ^x⁄₃₆₀ 를 뺄 때, 두 항에 똑같이 들어 있는 ^x⁄₃₆₀ 를 밖으로 묶어 냅니다. 그러면 (81π − 9π) × ^x⁄₃₆₀ = 72π × ^x⁄₃₆₀ — 모르는 것이 x 하나뿐인 한 줄이 됩니다. 72π × ^x⁄₃₆₀ = 30π ⇒ ^x⁄₃₆₀ = ³⁰⁄₇₂ = ⁵⁄₁₂ ⇒ x = 360 × ⁵⁄₁₂ = 150
묶어 내지 않으면 81π·x/360 − 9π·x/360 = 30π 를 그대로 붙들고 씨름하게 됩니다. 공통인 것을 먼저 묶는다 — 이것이 계산을 반으로 줄입니다.
(2) 둘레는 호 둘 + 곧은 변 둘 — 바깥 호 2π×9×⁵⁄₁₂ = 18π × ⁵⁄₁₂ = ^15π⁄₂, 안쪽 호 2π×3×⁵⁄₁₂ = 6π × ⁵⁄₁₂ = ^5π⁄₂
곧은 변 = 9 − 3 = 6 이 두 개 ⇒ 12. 따라서 둘레 = ^15π⁄₂ + ^5π⁄₂ + 12 = 10π + 12
검산 — 두 호를 묶어서 세도 (18π + 6π) × ⁵⁄₁₂ = 24π × ⁵⁄₁₂ = 10π ✔ 같다. 또 x = 150 ≤ 360 ✔

(1) 150° / (2) 10π + 12

※ 중심각이 같은 두 부채꼴의 넓이의 차는 (πR² − πr²) × ^x⁄₃₆₀, 호의 합은 (2πR + 2πr) × ^x⁄₃₆₀ 로 묶는다.

도전 · 중1둘레가 정해졌을 때 넓이의 최대

둘레의 길이가 24 인 부채꼴 중에서 넓이가 가장 큰 것을 찾으려고 한다. 반지름의 길이가 자연수일 때, 그 부채꼴의 반지름의 길이와 넓이를 구하시오.

풀이 — 넓이를 반지름 하나만의 식으로 바꿔 놓고 비교한다

둘레 조건 — 2r + l = 24 ⇒ l = 24 − 2r
⭐ 여기가 고비 — l 을 지워 버리고 S 를 r 하나의 식으로 만든다 S = ½ r l 에는 모르는 것이 r 과 l 둘이라 비교할 수가 없습니다. 여기에 l = 24 − 2r 을 대신 넣어 l 을 없앱니다. S = ½ × r × (24 − 2r) = r(12 − r)
이제 r 을 하나씩 넣어 봅니다 —
r=1 → 11 · 2 → 20 · 3 → 27 · 4 → 32 · 5 → 35 · 6 → 36 · 7 → 35 · 8 → 32 · 9 → 27 · 10 → 20 · 11 → 11
가운데인 r = 6 에서 가장 크고 좌우로 대칭입니다 — r 과 12 − r 을 곱하는 것이니, 둘이 같아질 때(각각 6일 때) 곱이 가장 커집니다.
그때 호는 l = 24 − 2 × 6 = 12, 넓이는 ½ × 6 × 12 = 36
그릴 수 있는지 확인 — 호 12 는 반지름 6 인 원의 둘레 12π ≈ 37.7 보다 짧으므로 실제로 존재한다 ✔ (중심각은 2π×6×^x⁄₃₆₀ = 12 에서 x = ³⁶⁰⁄_π ≈ 114.6°)

🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면 「반지름이 클수록 넓다」고 여겨 r 을 최대한 크게 r = 11 로 잡는다 ⇒ S = 11 로 오히려 가장 작은 축이다. 반지름을 키우면 둘레 24 중에서 2r 이 다 먹어 버려 호가 짧아진다 — 넓이는 ½ r l 이라 둘 다 필요하다. ⇨ 두 값의 합이 정해져 있으면, 둘이 같을 때 곱이 가장 크다. r + (12 − r) = 12 로 항상 일정하다.

반지름 6 · 넓이 36

※ 이 성질(합이 일정하면 같을 때 곱이 최대)은 고등학교의 이차함수의 최댓값과 산술·기하평균으로 그대로 이어진다.

🧭 마지막에 한 번만 더 — 부채꼴에서 손이 멈추면 보는 표

시험장에서 막히면 이 다섯 줄만 순서대로 짚으면 됩니다.

① 준 수가 반지름인가 지름인가 — 지름이면 먼저 2로 나눈다.
② 원 전체를 먼저 구한다 — 2πr 과 πr². 그 다음에 x⁄360 을 곱한다.
③ 곱하기 전에 분수를 약분한다 — 막히면 나누는 수를 바꿔 본다.
④ 물은 것이 호인가 둘레인가 — 둘레면 반지름 2개를 더한다.
⑤ 중심각을 모르거나 거꾸로 구할 때는 S = ½ r l. 답을 적기 전에 이것으로 검산한다.

※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 값을 π 기호 그대로 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 수·도형이 다를 수 있음). 짝 강의에 실린 예제(r=4·45° · r=6·150° · r=9·240° · r=5·120° · 60° 고리 · 한 변 6 정사각형의 사분원 · S=½rl 역산 15π·90π · 150° 고리 12·4 · 초승달 등)와 반지름·중심각·도형 구성을 모두 바꾸어 겹치지 않게 새로 지었습니다. 부채꼴 그림의 중심각은 좌표를 계산해 그렸으므로 각도기로 재어도 맞습니다.

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