YEON MATH · 행복수학

복소수 실전 완전정복
— i 는 네 칸을 돌고 돈다 · 연습 10제

i² = −1 · 네 칸 되풀이 · i⁴ = 1 · 4로 나눈 나머지 · (1±i)² = ±2i · 네 개씩 묶어 0 만들기 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 복소수의 거듭제곱, 이 여섯 가지면 끝난다

1
출발점 하나 — 제곱해서 −1 이 되는 수를 i 라 한다. i² = −1. 오늘 나오는 모든 것이 여기서 나온다.
2
네 칸이 돌고 돈다 — i¹ = i · i² = −1 · i³ = −i · i⁴ = 1. 그리고 i⁵ = i 로 제자리.
3
열쇠는 i⁴ = 1 — 1 을 곱하는 건 아무것도 안 곱한 것과 같으니, 지수는 4로 나눈 나머지만 남는다.
4
거꾸로도 읽는다 — −1 = i², −i = i³. 눈에 보이는 부호를 지수로 바꿔 쓰면 그 뒤엔 지수만 센다.
5
외워 둘 두 줄 — (1+i)² = 2i, (1−i)² = −2i, 그리고 (1+i)(1−i) = 2. 1±i 가 보이면 먼저 제곱한다.
6
네 개를 묶으면 0 — iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³ = 0. 긴 합은 네 개씩 묶어 지우고 남는 것만 센다.
i i¹ −1 i² −i i³ 1 i⁴ × i 씩 돌아간다
n 을 4로 나눈 나머지0123
in1i−1−i

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
시계 바늘이 12시간마다 제자리로 오듯, 몇 칸마다 돌아오는지만 알면 몇 칸 갔나를 나머지로 셀 수 있다.
📐 중3 (준비)
제곱근과 (a±b)² 전개. (1+i)² 를 펼치려면 곱셈 공식이 손에 붙어 있어야 한다.
🎓 고1 (핵심)
허수단위 i, i의 거듭제곱 주기, 켤레복소수와 분모의 실수화, 복소수가 실수·순허수가 될 조건.

🐣 저학년 직관 — "시계는 열두 칸마다 제자리로 온다"

지금이 3시인데 100시간 뒤는 몇 시일까요? 100번을 세어 볼 필요가 없어요. 시계는 12칸마다 제자리로 오니까, 100 ÷ 12 = 8 … 나머지 4. 그러니 4칸만 더 가면 돼요. 3 + 4 = 7시예요.

i 도 똑같아요. 다만 시계가 12칸인 대신 i 는 4칸이에요. i¹⁰⁰ 은 100번 곱하는 게 아니라 100 ÷ 4 = 25 … 나머지 0 이라서 제자리, 곧 1이에요.

돌아오는 칸 수만 알면, 나머지 하나로 끝난다

연습 10제 · 자세한 해설

문제 1C네 칸 읽기 · 기본
다음 값을 각각 구하라. i¹³, i²⁶, i³⁹, i¹⁰⁰

풀이 — 지수를 4로 나눈 나머지만 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「나머지가 0」을 1 이 아니라 i 로 읽는 실수 네 칸 표는 나머지 1 · 2 · 3 · 0 의 차례로 i · −1 · −i · 1 입니다. 첫 칸이 나머지 1 이라서, 나누어떨어지는 것(나머지 0)은 맨 끝 칸인 1 입니다. 왜 그럴까요? i¹ 이 첫 칸이고 i⁴ 가 넷째 칸인데, 4 ÷ 4 의 나머지는 0 이니까요. 「i의 몇 승」의 몇이 곧 나머지가 되는데, 4의 자리만 나머지 0 으로 밀려납니다. 헷갈리면 표를 외우지 말고 i · −1 · −i · 1 을 손으로 네 번 써 놓고 그 위에 1, 2, 3, 0 을 적어 두세요.
  2. 13 ÷ 4 = 3 … 1 → 나머지 1 → i¹³ = i
  3. 26 ÷ 4 = 6 … 2 → 나머지 2 → i²⁶ = −1
  4. 39 ÷ 4 = 9 … 3 → 나머지 3 → i³⁹ = −i
  5. 100 ÷ 4 = 25 … 0 → 나머지 0 → i¹⁰⁰ = 1
  6. 검산: i¹³ = (i⁴)³ · i = 1³ · i = i ✓   i¹⁰⁰ = (i⁴)²⁵ = 1²⁵ = 1 ✓
"몇 번 만에 제자리로 오는지 주기만 찾으면, 아무리 큰 수도 나머지 하나로 끝난다."— 장대경 선생님 비법카드 「합성은 돌고 돈다」 (제53강)
i¹³ = i, i²⁶ = −1, i³⁹ = −i, i¹⁰⁰ = 1
문제 2C외워 둘 두 줄
다음을 각각 a + bi 꼴로 나타내라. (1+i)², (1−i)², (1+i)(1−i)

풀이 — 곱셈 공식으로 펼치고, i² 를 −1 로 바꾼다

  1. (1+i)² = 1 + 2i + i²
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「1 과 i²」가 서로 지워 실수 부분이 사라진다 펼치면 1 + 2i + i² 인데, i² = −1 이므로 맨 앞의 1 과 맨 뒤의 −1 이 서로 지워집니다. 남는 것은 2i 뿐 — 실수 부분이 0 인 순허수가 됩니다. 보통 제곱을 하면 항이 셋 남는데, 여기서는 둘이 지워져 하나만 남습니다. 이것이 1±i 를 다룰 때 가장 자주 쓰는 성질입니다.
    부호만 바꾸면 (1−i)² = 1 − 2i + i² = −2i 로 부호만 뒤집힌 꼴이 나옵니다. (1+i)² = 2i · (1−i)² = −2i — 이 두 줄은 눈에 익혀 두면 뒤 문제가 통째로 짧아집니다.
  3. (1+i)² = 1 + 2i + (−1) = 2i
  4. (1−i)² = 1 − 2i + (−1) = −2i
  5. 셋째 것은 합차공식: (1+i)(1−i) = 1² − i² = 1 − (−1) = 2
  6. 검산: (1+i)² · (1−i)² = 2i · (−2i) = −4i² = 4 이고 [(1+i)(1−i)]² = 2² = 4 ✓ (두 길이 같은 값)
(1+i)² = 2i, (1−i)² = −2i, (1+i)(1−i) = 2
문제 3B네 개씩 묶어 지우기
다음 합을 구하라. i + i² + i³ + ⋯ + i²⁰²⁶

풀이 — 네 개씩 묶으면 통째로 0 이 된다

  1. 먼저 앞의 네 개를 더해 본다: i + (−1) + (−i) + 1 = 0.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 몇 개가 남는지는 「2026 ÷ 4 의 나머지」가 정한다 연속한 네 항의 합은 어디서 시작하든 0 입니다 (iⁿ(1 + i + i² + i³) = iⁿ · 0 = 0). 그러니 앞에서부터 네 개씩 묶어 전부 지우고, 끝에 남는 몇 개만 더하면 됩니다. 2026 ÷ 4 = 506 … 2 이므로 506 묶음이 지워지고 2개가 남습니다. 남는 두 개는 무엇일까요? 맨 뒤의 두 개인 i²⁰²⁵ 과 i²⁰²⁶ 입니다. 지워진 것이 앞쪽 2024개(= 506 × 4)이니, 2025번째와 2026번째가 남습니다.
    그리고 이 둘의 값은 다시 나머지로 읽습니다 — 2025 ÷ 4 의 나머지 1 → i, 2026 ÷ 4 의 나머지 2 → −1. 나머지 2 라는 숫자 하나가 「몇 개 남나」와 「그 값이 무엇인가」를 동시에 알려 줍니다.
  3. 남는 두 항: i²⁰²⁵ + i²⁰²⁶ = i + (−1) = −1 + i.
  4. 검산 (다른 길 · 등비수열의 합): i(i²⁰²⁶ − 1)/(i − 1) = i(−1−1)/(i−1) = −2i/(i−1). 분모·분자에 (i+1) 을 곱하면 −2i(i+1)/(i²−1) = (−2i²−2i)/(−2) = (2−2i)/(−2) = −1 + i ✓
−1 + i
문제 4B연속한 세 항
다음 값을 구하라. i²⁰²⁶ + i²⁰²⁷ + i²⁰²⁸

풀이 — 「네 개면 0」에서 하나가 빠진 꼴로 본다

  1. 2026 ÷ 4 = 506 … 2 이므로 i²⁰²⁶ = i² = −1.
  2. 이어서 i²⁰²⁷ = i³ = −i, i²⁰²⁸ = i⁴ = 1.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 셋을 각각 구하지 말고 「넷에서 하나 뺀 것」으로 본다 연속한 네 항이면 합이 0 이라는 것을 이미 압니다. 그런데 여기는 세 항뿐입니다. 그러면 빠진 한 항을 찾아 그것의 부호를 뒤집으면 끝납니다. i²⁰²⁶ + i²⁰²⁷ + i²⁰²⁸ + i²⁰²⁹ = 0 이므로 구하는 값은 −i²⁰²⁹ 입니다. 2029 ÷ 4 의 나머지는 1 이니 i²⁰²⁹ = i, 따라서 답은 −i. 「세 항이 나오면 넷째 항을 빌려 왔다가 부호를 바꿔 돌려준다」 — 항이 다섯·여섯 개일 때도 똑같이 씁니다. 항이 아무리 많아도 네 개를 넘는 만큼만 실제로 세면 되니까요.
  4. 직접 더해서 검산: (−1) + (−i) + 1 = −i ✓ (두 길이 같은 값)
−i
문제 5B1+i 는 먼저 제곱
(1+i)¹⁰ 의 값을 구하라.

풀이 — 열 번 곱하지 말고, 제곱을 다섯 번 쓴다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 지수 10 을 「2 × 5」로 쪼개는 자리 (1+i) 를 열 번 곱을 펼치면 항이 열한 개가 나와 손을 댈 수가 없습니다. 그런데 문제 2 에서 (1+i)² = 2i 를 이미 얻어 두었습니다. 그러니 지수 10 을 2 × 5 로 쪼개 [(1+i)²]⁵ 로 보면 괄호 안이 한 항짜리가 됩니다. 이렇게 바꾸는 순간 문제가 「복소수의 전개」에서 「거듭제곱의 계산」으로 바뀝니다. (2i)⁵ = 2⁵ · i⁵ = 32 · i⁵ 이고, 5 ÷ 4 의 나머지가 1 이라 i⁵ = i. 그래서 32i.
    1±i 가 짝수 지수와 함께 보이면, 계산이 아니라 「제곱으로 쪼개기」부터 생각합니다.
  2. (1+i)¹⁰ = [(1+i)²]⁵ = (2i)⁵
  3. (2i)⁵ = 2⁵ · i⁵ = 32 · i = 32i
  4. 검산 (다른 길): (1+i)¹⁰ = [(1+i)⁴]² · (1+i)² 인데 (1+i)⁴ = (2i)² = −4 이므로 (−4)² · 2i = 16 · 2i = 32i ✓
32i
문제 6B분모에 i 가 있을 때
1 / i²⁰²⁵ 의 값을 구하라.

풀이 — 분모를 먼저 줄이고, 그 다음 i 를 분모에서 몰아낸다

  1. 2025 ÷ 4 = 506 … 1 이므로 i²⁰²⁵ = i. 그러니 구하는 것은 1/i.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 분모의 i 를 없애는 방법은 「i 를 한 번 더 곱하는 것」 분수는 분모에 i 가 남아 있으면 답으로 치지 않습니다. 없애려면 분모·분자에 같은 것을 곱해야 하는데, 무엇을 곱해야 분모가 실수가 될까요? 답은 i 자신입니다 — i × i = i² = −1 로 실수가 되니까요. 1/i = (1 × i)/(i × i) = i/(−1) = −i.
    분모가 a + bi 처럼 두 항이면 그때는 켤레복소수(부호만 뒤집은 것)를 곱합니다. 하지만 분모가 i 한 개뿐일 때는 켤레를 쓸 것도 없이 i 한 번이면 끝납니다.
    기억해 둘 한 줄 : 1/i = −i. 뒤집으면 부호가 붙는다고 외워도 좋습니다.
  3. 1/i²⁰²⁵ = 1/i = −i
  4. 검산: i × (−i) = −i² = 1 ✓ (서로 곱해 1 이 되므로 정말 역수다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 지수에 그냥 마이너스를 붙이면? 1/i²⁰²⁵ = i⁻²⁰²⁵ 까지는 맞습니다. 그런데 여기서 「−2025 를 4로 나눈 나머지」를 −1 이라고 적고 표에서 찾으려 하면 표에 그런 칸이 없습니다. → 나머지는 0, 1, 2, 3 중 하나여야 합니다. −2025 = 4 × (−507) + 3 이므로 나머지는 3, 곧 i⁻²⁰²⁵ = i³ = −i 로 같은 답이 나옵니다. 음수 지수는 먼저 분수로 바꿔 다루는 편이 안전합니다.
−i
문제 7B분수를 먼저 간단히
z = (1−i)/(1+i) 일 때, z²⁰²⁶ 의 값을 구하라.

풀이 — 거듭제곱을 하기 전에 z 부터 한 글자로 만든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 지수를 손대기 전에 밑을 먼저 줄인다 z²⁰²⁶ 을 보면 지수부터 어떻게 해 볼까 싶지만, 순서가 반대입니다. 밑인 z 를 먼저 한 글자로 줄여야 지수를 다룰 수 있습니다. 분모·분자에 분모의 켤레인 (1−i) 를 곱해 봅니다. 분자는 (1−i)(1−i) = (1−i)² = −2i (문제 2에서 얻은 줄),
    분모는 (1+i)(1−i) = 2 (역시 문제 2).
    그래서 z = −2i / 2 = −i — 분수가 통째로 한 글자로 줄어듭니다.
    이렇게 되면 남은 것은 「−i 를 2026번 곱하기」뿐이고, 그건 네 칸 표로 읽으면 그만입니다.
  2. z = (1−i)²/[(1+i)(1−i)] = (−2i)/2 = −i
  3. −i = i³ 이므로 z²⁰²⁶ = (i³)²⁰²⁶ = i⁶⁰⁷⁸
  4. 6078 ÷ 4 = 1519 … 2 → 나머지 2 → i² = −1
  5. 검산 (다른 길): (−i)²⁰²⁶ = (−1)²⁰²⁶ · i²⁰²⁶ = 1 · i² = −1 ✓ (2026 이 짝수라 (−1)²⁰²⁶ = 1)
−1
문제 8B서로 켤레인 두 분수
다음 값을 구하라. (1+i)/(1−i) + (1−i)/(1+i)

풀이 — 두 분수를 각각 줄이면 서로 지워진다

  1. 앞쪽: 분모·분자에 (1+i) 를 곱하면 (1+i)²/[(1−i)(1+i)] = 2i/2 = i.
  2. 뒤쪽: 문제 7 에서 이미 (1−i)/(1+i) = −i.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 통분해서 붙잡고 있으면 길어진다 많은 학생이 두 분수를 통분해 [(1+i)² + (1−i)²] / [(1−i)(1+i)] 로 묶습니다. 그것도 틀린 길은 아니지만((2i + (−2i))/2 = 0), 각각 먼저 줄이면 i 와 −i 라는 눈에 보이는 두 글자가 되어 그 자리에서 끝납니다. 그리고 이 둘이 왜 부호만 다른지도 보입니다 — 두 분수는 서로 분모와 분자를 맞바꾼 꼴, 곧 서로 역수입니다. 그런데 앞쪽이 i 였으니 뒤쪽은 1/i = −i 일 수밖에 없습니다. 「역수 관계인 두 수의 합」이라는 것만 알아채면 계산은 절반으로 줄어듭니다.
  4. 따라서 i + (−i) = 0.
  5. 검산 (통분한 다른 길): [(1+i)² + (1−i)²]/[(1−i)(1+i)] = (2i − 2i)/2 = 0 ✓
0
문제 9B개수 세기 · 거꾸로 묻기
iⁿ = −i 를 만족하는 100 이하의 자연수 n 은 모두 몇 개인가?

풀이 — 값을 묻는 게 아니라 자리를 묻고 있다

  1. 네 칸 표에서 −i 가 나오는 자리는 나머지가 3 인 칸 하나뿐이다.
  2. 그러므로 조건은 n = 3, 7, 11, 15, … — 4로 나눈 나머지가 3인 수.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 100 ÷ 4 = 25 를 그대로 답으로 쓰면 위험하다 「4개마다 하나씩이니 100 ÷ 4 = 25 개」— 답은 맞지만, 이 셈이 언제나 통하는 건 아닙니다. 정확히 세려면 첫 항과 끝 항을 직접 찾아 세어야 합니다. 첫 항은 3, 100 이하인 마지막 항은 99 (103 은 100 을 넘습니다). 등차수열 3, 7, 11, …, 99 의 항의 개수는 (99 − 3) ÷ 4 + 1 = 96 ÷ 4 + 1 = 24 + 1 = 25 개.
    왜 조심해야 하나요? 만약 문제가 「101 이하」였다면 끝 항이 99 로 그대로라 답은 여전히 25 개인데, 101 ÷ 4 로 셈하면 25 가 아닌 값이 나와 버립니다. 나눗셈으로 어림하고, 첫 항·끝 항으로 확인한다 — 이 두 걸음이 개수 세기의 안전장치입니다.
  4. 따라서 n = 3, 7, 11, …, 99 로 25개.
  5. 검산: 1부터 100까지를 4개씩 25묶음으로 나누면 각 묶음에 나머지 3인 수가 정확히 하나씩 들어 있다 → 25개 ✓
25개
문제 10A계수가 붙은 긴 합 · 최상위
다음 합을 구하라. 1·i + 2·i² + 3·i³ + ⋯ + 100·i¹⁰⁰

풀이 — 네 개씩 묶는데, 이번엔 0 이 되지 않는다

  1. 앞에서 쓰던 대로 네 개씩 묶어 본다. 1~100 은 100 ÷ 4 = 25 묶음으로 딱 떨어진다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 계수가 붙으면 네 항의 합이 0 이 아니라 「2 − 2i」가 된다 문제 3 에서는 네 항이 통째로 0 이 되어 지워졌습니다. 그런데 여기서는 앞에 1, 2, 3, … 이라는 계수가 붙어 있어 지워지지 않습니다. 그래서 한 묶음이 얼마인지 먼저 세어야 합니다. m 번째 묶음(m = 0, 1, …, 24)의 네 항은 지수가 4m+1, 4m+2, 4m+3, 4m+4 이므로 i 의 값이 차례로 i, −1, −i, 1 입니다. 묶음의 합 = (4m+1)i + (4m+2)(−1) + (4m+3)(−i) + (4m+4)(1)
    · 실수 부분 : −(4m+2) + (4m+4) = 2 — 4m 이 서로 지워져 m 이 사라집니다.
    · 허수 부분 : (4m+1) − (4m+3) = −2 — 여기서도 4m 이 지워집니다.
    그래서 어느 묶음이든 합이 똑같이 2 − 2i 입니다. 계수가 커져도 묶음 값이 변하지 않는다는 것 — 이것이 이 문제의 심장입니다. 묶음마다 따로 셀 필요 없이 25 를 곱하면 끝납니다.
  3. 묶음이 25개이므로 합 = 25 × (2 − 2i) = 50 − 50i.
  4. 검산 (다른 길 · 첫 묶음을 손으로): 1·i + 2·(−1) + 3·(−i) + 4·(1) = i − 2 − 3i + 4 = 2 − 2i ✓ (공식과 일치)
  5. 둘째 묶음도 확인: 5i + 6(−1) + 7(−i) + 8 = 5i − 6 − 7i + 8 = 2 − 2i ✓ (m 이 달라도 같다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「네 개씩 묶으면 0 이니까 답도 0」 문제 3 의 기억이 남아 "네 개 묶으면 0, 100은 4로 나누어떨어지니까 답은 0" 이라고 적기 쉽습니다. 그 「0」은 iⁿ 만 있을 때의 이야기입니다. 여기는 앞에 계수가 붙었습니다. → 묶어서 지워도 되는지는 「묶음의 합이 정말 0 인지」를 한 번 세어 보고 정합니다. 여기서는 2 − 2i 라서 지워지지 않고, 대신 25번 되풀이된다는 더 좋은 성질이 나왔습니다.
"몇 번 만에 제자리로 오는지 주기만 찾으면, 아무리 큰 수도 나머지 하나로 끝난다."— 장대경 선생님 비법카드 「합성은 돌고 돈다」 (제53강)
50 − 50i

장대경 선생님의 한마디

🌀 "아이를 하나씩 곱해 보면, 저절로 나온다"

이 단원에서 외울 것은 사실 한 줄뿐입니다 — i² = −1.

수학은 국어다
— 장대경 선생님 비법카드 (제1강 · 곱셈과 인수분해)
공식에 대입만 되풀이하면 풀이가 한없이 길어집니다. i의 거듭제곱 표를 외우려 들지 말고, i 를 하나씩 곱해 네 칸을 손으로 써 보세요. 표는 그 결과일 뿐입니다.
합성은 돌고 돈다
— 장대경 선생님 비법카드 (제53강 · 조건으로 주어진 함수)
몇 번 만에 제자리로 오는지 주기만 찾으면, 아무리 큰 수도 나머지 하나로 끝납니다. i 는 주기가 4 인 가장 단순한 보기입니다. 같은 눈으로 보면 합성함수도, 수열의 되풀이도 다 같은 문제입니다.
※ 이 문제지의 10문항은 새로 만들어 전부 직접 검산한 교육 자료입니다(원본 강의의 문항과 다릅니다). 모든 답을 서로 다른 두 방법으로 따로 계산해 맞추어 보았습니다. 짝 강의(복소수 — i 는 네 칸을 돌고 돈다)에 실린 값들은 원본 전사와 재검산이 모두 일치한 것만 담았습니다.
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