반비례 실전 완전정복
— 곡선이다, x가 분모에 있다 · 연습 10제

풀이 — x가 분모에 있는가, 곱해서 일정한가

1. ① y = 5x → x가 분자에. 정비례다.
2. ② y = 6/x → x가 분모에. 반비례 ✓ (xy = 6)
3. ⭐ 여기가 고비 — ③ y = x/4 가 반비례가 아닌 까닭 분수 꼴만 보고 ③을 고르는 학생이 가장 많습니다. 하지만 분모에 있어야 하는 것은 「x」이지 아무 수나 아닙니다. y = x/4는 y = (1/4)x와 같은 식이라 x가 분자에 있는 정비례입니다. 잣대는 「곱해서 일정한가」 하나면 충분합니다 — ③에서 x=4, y=1이면 xy = 4인데 x=8, y=2이면 xy = 16. 일정하지 않으므로 반비례가 아닙니다.
   ②는 xy = 6, ④는 xy = 12로 언제나 일정하지요.
   ⑤ y = x+3은 더해서 일정한 관계라 또 다른 것입니다 — 「곱해서 일정」만 반비례입니다.
4. ③ y = x/4 = (1/4)x → 분모는 4이지 x가 아니다. 정비례다.
5. ④ xy = 12 → y = 12/x → 반비례 ✓
6. ⑤ y = x + 3 → 더해서 일정. 반비례가 아니다.

풀이 — a는 그냥 x와 y를 곱한 값

1. ⭐ 여기가 고비 — 식을 세울 것 없이 그냥 곱하면 a y = a/x에 x=4, y=−9를 넣어 −9 = a/4를 풀어도 되지만, 반비례는 xy가 늘 같은 값이니 주어진 두 수를 그냥 곱하면 그것이 곧 a입니다 — 4 × (−9) = −36. 한 걸음이 통째로 사라집니다. 부호도 곱셈이 알아서 처리합니다. a가 음수라는 것은 그래프가 제2·4사분면에 있는 「왼팔」이라는 뜻이기도 하지요.
   그리고 구한 답을 다시 곱해 보는 것이 그대로 검산이 됩니다 — 6 × (−6) = −36 ✓ 처음 곱한 값과 같으면 맞습니다.
   「반비례 문제는 곱셈으로 시작해서 곱셈으로 검산한다」가 손놀림 전부입니다.
2. a = 4 × (−9) = −36 → y = −36/x.
3. x = 6을 넣으면 y = −36 ÷ 6 = −6.
4. 검산: 6 × (−6) = −36 ✓ 처음 곱한 값과 같다.

풀이 — 그래프 위의 점은 모두 곱하면 a

1. ⭐ 여기가 고비 — 같은 그래프 위의 점은 곱이 모두 같다 두 번째 점 (10, k)를 구하려고 식을 다시 세울 필요가 없습니다. 같은 그래프라면 어느 점을 잡아도 xy가 똑같은 a이기 때문입니다. 그래서 10 × k = −40 한 줄로 k = −4가 나옵니다. 이것이 반비례 그래프의 정체이자 편리함입니다 — (−5, 8)도 (10, −4)도 (−40, 1)도 곱하면 전부 −40.
   「점 하나를 알면 그래프 전체를 안다」는 뜻이기도 하지요.
   부호도 저절로 맞습니다 — a가 음수이니 x와 y의 부호는 언제나 반대여야 하고, 실제로 10이 양수이니 k는 음수입니다 ✓
2. a = (−5) × 8 = −40 → y = −40/x.
3. 같은 그래프이므로 10 × k = −40 → k = −4.

풀이 — 두 점의 (x × y)가 같아야 한다

1. 첫 점에서 a = 3 × 8 = 24.
2. ⭐ 여기가 고비 — b가 음수라는 것을 부호로 미리 알 수 있다 b × (−6) = 24에서 b를 구할 때, 양수 24를 만들려면 음수 × 음수여야 합니다. −6이 음수이니 b도 반드시 음수입니다 — b = 24 ÷ (−6) = −4. 부호를 놓치고 4라 쓰는 실수가 이 유형에서 가장 흔합니다. 그림으로 보면 더 분명합니다 — a = 24 > 0이니 이 그래프는 제1·3사분면에 있는 「오른팔」입니다. y좌표가 −6으로 음수인 점은 제3사분면(x도 y도 음수)에 있어야 하지요. 그러니 b는 음수일 수밖에 없습니다.
   「계산하기 전에 부호부터 정해 두면 실수가 사라집니다.」
3. 둘째 점도 같은 그래프 위이므로 b × (−6) = 24 → b = −4.
4. 검산: (−4) × (−6) = 24 ✓

풀이 — 직사각형 넓이 = 가로 × 세로

1. ⭐ 여기가 고비 — 「넓이가 일정하다」가 곧 「곱해서 일정하다」 말로 된 문제를 식으로 옮길 때, 문장 어디에 「곱셈」이 숨어 있는지를 찾는 것이 전부입니다. 직사각형은 넓이 = 가로 × 세로이고 그 넓이가 48로 고정되어 있으니, 곧 x × y = 48 — 곱해서 일정합니다. 그러므로 반비례. 여기서 「둘레가 일정한 직사각형」이었다면 x + y가 일정해져 반비례가 아닙니다 — 더해서 일정한 것은 반비례가 아니니까요.
   「일정한 것이 곱인가 합인가」가 반비례를 가르는 유일한 물음입니다.
   그리고 뜻으로도 맞아떨어집니다 — 넓이가 정해져 있으면 가로가 길어질수록 세로는 짧아진다, 그것이 반비례의 얼굴입니다.
2. x × y = 48 → y = 48/x.
3. x = 16이면 y = 48 ÷ 16 = 3. 검산: 16 × 3 = 48 ✓

풀이 — 시간 = 거리 ÷ 속력

1. ⭐ 여기가 고비 — 물은 것이 y가 아니라 x다 앞 문제들은 x를 주고 y를 물었는데, 여기서는 「4시간 만에」라며 y를 주고 x를 묻습니다. 그래도 새 식이 필요 없습니다 — xy = 240은 방향을 가리지 않으므로 아는 쪽을 넣고 나누기만 하면 됩니다: x = 240 ÷ 4 = 60. 이것이 xy = a 꼴로 적어 두는 것의 이득입니다. y = 240/x로만 적어 두면 x를 구할 때 식을 한 번 뒤집어야 하지만, xy = 240이면 어느 쪽을 물어도 곱셈·나눗셈 한 번입니다.
   「반비례는 xy = a 로 적어 두십시오」 — 뒤집을 일이 없어집니다.
   답이 그럴듯한지도 봅니다 : 시속 60km로 4시간이면 240km ✓ 상식과 맞습니다.
2. 거리 = 속력 × 시간이므로 x × y = 240 → y = 240/x.
3. y = 4를 넣으면 x = 240 ÷ 4 = 60.
4. 검산: 시속 60 km로 4시간이면 60 × 4 = 240 km ✓

풀이 — 곱해서 일정한지 하나씩 확인

1. ⭐ 여기가 고비 — ①의 1/2 때문에 흔들리지 않는 것 ①은 삼각형이라 xy × 1/2 = 20이 되어 xy = 40입니다. 앞에 1/2이 붙었다고 반비례가 깨지지 않습니다 — xy가 「40」이라는 한 값으로 고정되어 있으면 그것으로 충분합니다. a가 얼마인지는 반비례 여부와 아무 상관이 없습니다. 반비례의 정의는 「xy = (0이 아닌 어떤 상수)」일 뿐, 그 상수가 무엇인지는 묻지 않습니다.
   정작 반비례가 아닌 것은 ② — y = 1000x는 x가 커지면 y도 커지는 정비례입니다. 곱해 보면 xy = 1000x²으로 x에 따라 달라집니다.
   「식이 복잡해 보이면 xy를 직접 만들어 보십시오」 — 상수가 나오면 반비례입니다.
2. ① x × y × 1/2 = 20 → xy = 40 → 반비례 ✓
3. ② y = 1000x → x가 분자에. 정비례이므로 반비례가 아니다.
4. ③ x × y = 60 → 반비례 ✓
5. ④ x × y = 36 → 반비례 ✓

풀이 — 값을 직접 넣어 확인한다

풀이 — 멀고 가까움은 |a|, 사분면은 a의 부호

1. ⭐ 여기가 고비 — 「멀고 가까움」은 |a|, 「어느 쪽」은 a의 부호로 갈라 본다 네 그래프를 한꺼번에 놓고 보려면 두 물음을 따로 떼어야 합니다. 「원점에서 얼마나 먼가」는 부호를 뗀 크기 |a|가 정하고, 「어느 사분면인가」는 부호가 정합니다. 두 가지를 섞어 보면 −6이 가장 작은 수라 헷갈립니다. 부호를 떼고 크기만 늘어놓으면 1 · 6 · 3 · 2 — 가장 큰 것은 6이니 y = −6/x가 원점에서 가장 멉니다(그것이 음수라도 그렇습니다).
   부호만 보면 음수인 것이 −6/x와 −2/x — 이 둘이 왼팔, 곧 제2·4사분면입니다.
   「|a|가 클수록 원점에서 멀어진다」는 xy = a에서 나옵니다 — 곱이 큰 점일수록 원점에서 떨어져 있어야 하니까요.
2. |a| 를 나열하면 1, 6, 3, 2. 가장 큰 것은 |−6| = 6 → 원점에서 가장 멀다.
3. 제2·4사분면은 a < 0일 때(왼팔) → −6/x, −2/x.
4. 참고로 원점에 가장 가까운 것은 |a|가 가장 작은 y = 1/x이다.

풀이 — 직사각형의 두 변이 곧 x좌표와 y좌표다

1. ⭐ 여기가 고비 — 점을 문자로 잡아야 「언제나 같다」를 보일 수 있다 "P를 옮겨도 넓이가 같다"를 보이려면 점 몇 개를 찍어 보는 것으로는 부족합니다. P를 (p, 12/p)라는 문자로 잡아 넓이를 계산해야 모든 점에 대해 말할 수 있습니다. 그러면 넓이는 p × 12/p인데 p가 서로 약분되어 사라지고 12만 남습니다 — p가 사라졌다는 것이 곧 「위치와 무관하다」는 증거입니다. 그리고 그 12는 다름 아닌 a입니다. 까닭은 뻔합니다 — 가로 = x좌표, 세로 = y좌표이고 반비례에서는 xy = a이니 이 직사각형의 넓이는 언제나 a일 수밖에 없습니다.
   「p가 약분되어 사라지는 자리」를 눈으로 확인하는 것이 이 문제의 전부입니다. 숫자로 몇 개 확인하는 것은 그 뒤의 안심용입니다.
2. P의 좌표를 (p, 12/p)라 하자 (p > 0).
3. 가로는 p, 세로는 12/p이므로 넓이는 p × 12/p = 12.
4. p가 약분되어 사라졌다 → P를 어디로 옮겨도 넓이는 언제나 12로 변하지 않는다.
5. 확인: P(2, 6) → 2×6=12, P(4, 3) → 4×3=12, P(6, 2) → 6×2=12 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「함수이다」와 「일차함수이다」는 다른 말 y = 3/x는 x 하나에 y 하나가 정해지니 함수는 맞습니다. 그런데 일차함수인지는 다른 물음입니다 — 일차함수는 y = ax + b 꼴로 고쳐지는 것만을 말합니다. 3/x는 x가 분모에 있어 아무리 고쳐도 그 꼴이 되지 않습니다. 그래서 일차함수가 아닙니다. 그림으로도 갈립니다 — 일차함수의 그래프는 직선인데 반비례의 그래프는 두 갈래로 나뉜 곡선입니다.
   차수로 말하면 3/x = 3x⁻¹이라 x의 차수가 −1이지요.
   「분모에 x가 있으면 일차함수가 아니다」 — 이 한 줄이 판정입니다. (고등학교에서는 이런 것을 유리함수라 부르며 따로 배웁니다.)
2. 일차함수는 y = ax + b (a ≠ 0) 꼴, 즉 x의 차수가 1이어야 한다.
3. y = 3/x는 x가 분모에 있어 이 꼴로 고칠 수 없다. 그래프도 직선이 아니라 곡선이다.

풀이 — 맞물린 톱니 수는 서로 같다

1. ⭐ 여기가 고비 — 일정한 것이 「톱니 수」이지 「바퀴 수」가 아니다 두 톱니바퀴가 맞물려 돌 때 서로 지나간 톱니의 개수는 반드시 같습니다 — 하나씩 걸려 돌아가니까요. A가 지나간 톱니는 30 × 4 = 120개이고, B도 똑같이 120개를 지나야 합니다. B는 톱니가 x개이니 x × y = 120 — 곱이 일정하므로 반비례입니다. 여기서 흔한 실수는 「A가 4바퀴 돌았으니 B도 4바퀴 언저리」라 여기는 것입니다. 바퀴 수는 일정하지 않습니다. 톱니가 적은 바퀴는 더 많이 돌아야 하지요.
   실제로 B의 톱니가 24개라 A(30개)보다 적으니 B는 4바퀴보다 많이 돌아야 합니다 → 5바퀴 ✓ 「답이 나오면 「많이 도는 게 맞나 적게 도는 게 맞나」로 한 번 재 보십시오.」
2. A가 지나간 톱니 수 = 30 × 4 = 120개.
3. B도 같은 수만큼 맞물리므로 x × y = 120 → y = 120/x.
4. x = 24이면 y = 120 ÷ 24 = 5.
5. 검산: 24 × 5 = 120 ✓

풀이 — x 대신 (x−2), y 대신 (y−3)

1. y − 3 = 12/(x − 2) → y = 12/(x − 2) + 3.
2. ⭐ 여기가 고비 — 점근선도 그래프와 함께 통째로 따라 옮겨간다 평행이동을 하면 식만 바뀌는 것이 아닙니다. 그래프가 다가가던 두 직선(점근선)도 같이 옮겨갑니다. 원래 y = 12/x는 x축·y축에 다가갔으니 점근선이 x = 0, y = 0이었고, 오른쪽 2 · 위로 3만큼 옮겼으니 점근선도 x = 2, y = 3이 됩니다. 식에서 바로 읽어도 같습니다 — y = 12/(x−2) + 3에서 분모를 0으로 만드는 x = 2가 세로 점근선, 뒤에 더해진 3이 가로 점근선입니다.
   x 자리에 (x−2)가 들어가는 까닭도 같습니다 — 옮긴 뒤의 점을 원래 식에 되돌려 넣어야 하기 때문입니다.
   확인은 점 하나로 : 원래 그래프의 (3, 4)가 (5, 7)로 옮겨가야 하고, 새 식에 x=5를 넣으면 12/3 + 3 = 7 ✓
3. 원래 점근선 x = 0, y = 0이 그대로 2, 3만큼 옮겨간다.
4. 확인: x = 5를 넣으면 12/3 + 3 = 7. 원래 그래프의 (3, 4)가 (5, 7)로 옮겨간 것 ✓

풀이 — 분자를 분모의 배수 + 나머지로 가른다

1. ⭐ 여기가 고비 — 분자를 「분모의 배수 + 나머지」로 억지로 가른다 (3x+7)/(x+2)를 보고 손이 멈춥니다. 할 일은 하나 — 분자에 분모 (x+2)를 억지로 만들어 넣는 것입니다. 3x + 7 = 3(x+2) + 1 — 3(x+2)를 만들면 6이 나오니 7이 되도록 1을 더한 것이지요. 그러면 3(x+2)/(x+2) = 3으로 딱 떨어져 y = 3 + 1/(x+2)가 됩니다. 이 꼴이 되어야 점근선이 눈에 보입니다 — 분모를 0으로 만드는 x = −2와, 뒤에 남은 상수 y = 3.
   「분자의 차수가 분모와 같거나 높으면 먼저 나누어 내린다」가 유리함수의 첫 손놀림입니다. 나눗셈(조립제법)으로 해도 몫 3, 나머지 1로 같은 결과가 나옵니다.
   확인은 숫자 하나로 : x=0일 때 원식은 7/2 = 3.5, 고친 식은 1/2 + 3 = 3.5 ✓
2. 3x + 7 = 3(x + 2) + 1.
3. 따라서 y = [3(x+2) + 1] / (x+2) = 3 + 1/(x+2), 즉 y = 1/(x+2) + 3.
4. 점근선은 x = −2, y = 3.
5. 검산: x = 0일 때 원식은 7/2 = 3.5, 고친 식은 1/2 + 3 = 3.5 ✓

풀이 — 두 양수의 곱이 일정하면 합은 둘이 같을 때 가장 작다

1. 두 수 x와 4/x는 곱이 x × 4/x = 4로 일정하다(반비례!).
2. ⭐ 여기가 고비 — 등호가 언제 붙는지까지 말해야 답이 된다 x + 4/x ≥ 4까지만 쓰면 「4보다 크거나 같다」일 뿐, 「최솟값이 4다」는 아직 아닙니다. 실제로 4가 되는 x가 있어야 비로소 최솟값입니다. 등호는 두 수가 서로 같을 때, 곧 x = 4/x → x² = 4 → (x > 0이므로) x = 2일 때 붙습니다. 넣어 보면 2 + 2 = 4 ✓ 왜 「두 수가 같을 때」인가 — 곱이 4로 정해진 두 양수는 서로 멀어질수록 합이 커지고, 가장 가까워졌을 때(같아졌을 때) 합이 가장 작습니다. 1과 4면 합 5, 4와 1이면 합 5, 2와 2면 합 4 — 실제로 그렇습니다.
   그리고 곱이 일정한 두 수라는 것이 바로 반비례입니다 — 이 고등학교 문제의 뿌리가 중1 반비례인 까닭이지요.
   「≥ 를 썼으면 등호 조건을 반드시 적는다」 — 배점이 거기 있습니다.
3. 산술평균 ≥ 기하평균에 의해 x + 4/x ≥ 2√(x · 4/x) = 2√4 = 4.
4. 등호는 x = 4/x, 즉 x² = 4, x > 0이므로 x = 2일 때.
5. 검산: x = 2 → 2 + 2 = 4. x = 1 → 1 + 4 = 5, x = 4 → 4 + 1 = 5 ✓ 둘 다 4보다 크다.

풀이 — xy = 6이므로 x는 6의 약수여야 한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 음의 약수까지 세어야 8개가 된다 y = 6/x에서 y가 정수이려면 x가 6을 나누어떨어지게 하는 수, 곧 6의 약수여야 합니다. 여기서 1·2·3·6 넷만 세고 4개라 답하는 실수가 가장 많습니다. x는 음수여도 됩니다 — (−2) × (−3) = 6이니까요. 그래서 ±1, ±2, ±3, ±6 — 모두 8개. 부호를 함께 따져 보면 x와 y는 반드시 같은 부호여야 합니다(곱이 양수 6이니까). 그래서 (−1, 6)처럼 부호가 엇갈린 점은 없습니다 — 제1사분면에 4개, 제3사분면에 4개로 정확히 나뉩니다.
   「정수해를 세라」는 문제에서 음수를 빠뜨리는 것이 가장 흔한 실점입니다. 약수를 쓸 때 처음부터 ± 를 붙여 적는 버릇을 들이십시오.
2. xy = 6에서 x, y가 모두 정수이려면 x는 6의 약수(음수 포함)여야 한다.
3. x가 될 수 있는 값: ±1, ±2, ±3, ±6 — 모두 8개.
4. 각각의 점: (1,6) (2,3) (3,2) (6,1) (−1,−6) (−2,−3) (−3,−2) (−6,−1).
5. 부호가 다르면 곱이 음수가 되어 6이 될 수 없으므로 (−1, 6) 같은 점은 없다.