무리함수 실전 완전정복
— 뿌리 안은 0 이상 · 연습 10제

풀이 — 근호 안은 0 이상

1. ⭐ 여기가 고비 — 조건이 붙는 것은 x가 아니라 「근호 안 전체」 y=√(x-2)를 보고 x ≥ 0이라 쓰는 학생이 많습니다. 조건이 걸리는 것은 근호 안에 들어 있는 덩어리 전체, 곧 x-2입니다 — x-2 ≥ 0이므로 x ≥ 2. 치역도 같은 눈으로 봅니다. √ 기호가 내놓는 값은 언제나 0 이상이므로 근호 앞에 붙은 것이 없으면 y ≥ 0입니다.
   「근호 안 ≥ 0 → 정의역」·「근호 값 ≥ 0 → 치역」 — 무리함수의 정의역·치역은 이 두 줄이 전부입니다. 어떤 식이 나와도 근호 안을 통째로 하나의 덩어리로 감싸 보는 것이 첫 손놀림입니다.
2. 정의역: x-2≥0 → x≥2. 치역: y≥0.
3. 검산: x=2일 때 y=0, x=6일 때 y=2 — 정의역·치역 안에 든다 ✓

풀이 — 근호 안 부호 + 이동값

풀이 — 시작점과 진행 방향을 추적

풀이 — 제곱한 뒤 반드시 검산

1. 양변 제곱: x+3 = (x-3)² = x²-6x+9 → x²-7x+6=0 → (x-1)(x-6)=0.
2. ⭐ 여기가 고비 — 제곱하는 순간 가짜 해가 끼어든다 x=1, x=6 둘이 나왔지만 둘 다 답이 아닙니다. 까닭은 제곱이 부호를 지워 버리기 때문입니다 — 3과 −3을 제곱하면 똑같이 9가 되지요. 그래서 제곱한 식은 원래 식보다 넓은 그물이 되어, 원래는 답이 아니던 것까지 걸려 올라옵니다. 이렇게 딸려 온 가짜 해를 무연근이라 합니다. 걸러내는 잣대는 「왼쪽 √ 값이 0 이상이니 오른쪽도 0 이상이어야 한다」, 곧 x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3입니다.
   x=1을 원래 식에 넣으면 √4 = 2인데 오른쪽은 1−3 = −2 — 부호가 어긋나 성립하지 않습니다. x=6은 √9 = 3 = 6−3 ✓
   「제곱했으면 반드시 원래 식에 도로 넣어 본다」 — 무리방정식에서 이것을 빼면 절반은 틀립니다.
3. x=1: 조건 x≥3 위반 → 무연근. x=6: 대입하면 √9=3=6-3 ✓.

풀이 — 단조감소이므로 양 끝값만 확인

1. ⭐ 여기가 고비 — 「x가 클수록 y도 크다」가 여기서는 뒤집힌다 최대·최소를 구할 때 무심코 오른쪽 끝을 최댓값이라 적는 실수가 가장 많습니다. 이 함수는 근호 안이 6-x라서 x가 커지면 안이 작아지고, 따라서 y도 작아집니다 — 단조감소. 그러니 왼쪽 끝(x=−3)이 최댓값, 오른쪽 끝(x=2)이 최솟값으로 자리가 바뀝니다. 방향을 판별하는 법은 간단합니다 — 근호 안 x의 계수 부호를 봅니다. √(x−2)처럼 +x면 증가, √(6−x)처럼 −x면 감소.
   그리고 무리함수는 구간 안에서 방향이 바뀌지 않으므로 양 끝값만 재면 끝입니다. (구간 −3 ≤ x ≤ 2가 정의역 x ≤ 6 안에 들어 있는지도 먼저 확인해야 합니다 ✓)
2. x가 커질수록 6-x는 작아지므로 y는 단조감소.
3. x=-3에서 y=√9+1=4 — 최댓값. x=2에서 y=√4+1=3 — 최솟값.
4. 검산: 가운데 x=0 → y=√6+1 ≈ 3.45 — 3과 4 사이에 든다 ✓

풀이 — x는 빼고, y는 더한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 오른쪽으로 옮기는데 왜 「−3」인가 x축으로 +3만큼 옮겼는데 식에는 x-3이 들어갑니다. 늘 헷갈리는 자리이지요. 까닭은 식이 「옮긴 그래프 위의 점」을 기준으로 쓰이기 때문입니다. 옮긴 뒤의 점 (x, y)는 옮기기 전의 점 (x-3, y+2)에서 온 것이니, 원래 식의 x 자리에 x-3을 넣어야 합니다. 숫자로 확인하면 단번에 납득됩니다 — 원래 그래프는 (0,0)에서 시작했고, 3만큼 오른쪽·2만큼 아래로 옮기면 (3, −2)에서 시작해야 합니다. y=√(x-3)-2에 x=3을 넣으면 y = −2 ✓ 맞습니다. y=√(x+3)-2였다면 시작점이 (−3, −2)가 되어 왼쪽으로 간 셈이 되지요.
   「x는 반대로, y는 그대로」 — 옮긴 뒤 시작점을 대입해 보는 것이 가장 확실한 확인법입니다.
2. x축 방향 이동은 x 대신 (x-3), y축 방향 이동은 결과에 -2를 더함.

풀이 — 같은 근호로 통일

1. ⭐ 여기가 고비 — 제곱수를 밖으로 빼내 「같은 √2」로 만드는 것 √8 + √18을 √26이라 쓰면 안 됩니다. 근호는 그렇게 더해지지 않습니다. 할 일은 근호 안에서 제곱수를 찾아 밖으로 빼내는 것입니다 — 8 = 4×2이니 √8 = 2√2, 18 = 9×2이니 √18 = 3√2. 그러면 셋이 모두 √2가 되어 같은 문자처럼 더할 수 있습니다. 이것은 2a + 3a − a = 4a와 똑같은 셈입니다 — √2를 하나의 문자로 보는 것이지요.
   「근호 안이 같아야만 더하고 뺀다」가 규칙이고, 그래서 먼저 제곱수를 빼내 근호 안을 가장 작은 수로 만드는 것이 첫 손놀림입니다.
   검산은 어림수로 : √8 ≈ 2.83, √18 ≈ 4.24, √2 ≈ 1.41 → 2.83 + 4.24 − 1.41 ≈ 5.66, 그리고 4√2 ≈ 5.66 ✓
2. √8=2√2, √18=3√2. 2√2+3√2-√2=4√2.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 음수로 나누면 부등호가 뒤집힌다 5-2x ≥ 0에서 -2x ≥ -5까지는 쉽습니다. 문제는 그다음입니다. 양변을 −2로 나누는 순간 부등호 방향이 반대로 돌아 x ≤ 5/2가 됩니다. 그대로 x ≥ 5/2라 쓰면 정답과 정반대가 됩니다. 뒤집기가 싫으면 −2x를 오른쪽으로 넘겨 양수로 만들면 됩니다 — 5 ≥ 2x → x ≤ 5/2. 부호를 다룰 일이 없어 안전합니다.
   그리고 답이 나오면 숫자 하나를 넣어 확인하십시오 : x=0이면 근호 안이 5 ≥ 0 ✓ 되지만 x=3이면 5−6 = −1로 안 됩니다 — 그러니 작은 쪽이 맞습니다.
2. 5-2x≥0 → x≤5/2.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 시작점이 1사분면 안에 있고 방향도 위라 갇힌다 문제 3과 겉은 같지만 결과가 아주 다릅니다. 여기서는 시작점 (2, 1)이 이미 1사분면 안에 있고, 근호 앞에 마이너스가 없어 x가 커질수록 y도 커집니다. 곧 오른쪽 위로만 뻗어 가므로 x도 y도 다시는 음수가 되지 않습니다 — 1사분면을 벗어날 길이 없습니다. 정의역이 x ≥ 2라 x가 음수인 구간 자체가 없고, 치역이 y ≥ 1이라 y가 음수인 구간도 없습니다. 그러니 2·3·4사분면은 아예 후보에서 빠집니다.
   「정의역과 치역만 보아도 사분면이 절반은 정해진다」 — 그래프를 그리기 전에 두 범위부터 적어 보십시오.
2. 시작점 (2,1) — 1사분면. 단조증가이므로 계속 1사분면에만 머문다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 근호 안을 먼저 정리하면 계산기가 필요 없다 √(20/5)를 보고 √20 ÷ √5로 갈라 각각 어림하려 들면 지저분해집니다. 근호 안에서 먼저 나누십시오 — 20 ÷ 5 = 4이니 √4 = 2로 딱 떨어집니다. 이런 실생활 공식 문제는 출제자가 근호가 벗겨지도록 숫자를 골라 둡니다. 근호 안이 제곱수로 정리되지 않는다면 대개 계산을 잘못한 것입니다.
   뜻으로도 확인됩니다 — 20m 높이에서 2초. 그럼 4배 높은 80m에서는? √(80/5) = √16 = 4초, 곧 2배입니다. 높이가 4배가 되어야 시간이 2배가 되는 것 — 이것이 근호가 붙은 관계의 성질입니다.
2. t=√(20/5)=√4=2.

풀이 — 정의역 먼저, 그다음 제곱

1. ⭐ 여기가 고비 — 답이 「x < 5」로 끝나지 않는다 제곱해서 x < 5를 얻고 그대로 답하면 틀립니다. 근호가 있으려면 애초에 x ≥ 1이어야 하기 때문입니다. 예를 들어 x = 0은 x < 5를 만족하지만 √(-1)이 없어 부등식 자체가 성립하지 않습니다. 그래서 두 조건을 겹쳐 1 ≤ x < 5가 답입니다. 무리부등식은 언제나 「정의역 조건」과 「제곱해서 얻은 조건」의 교집합입니다. 둘 중 하나만 쓰면 답이 넓어지거나 좁아집니다.
   제곱해도 되는 근거도 짚어 둡니다 — 왼쪽은 √이라 0 이상, 오른쪽은 2로 양수이니 양변이 모두 0 이상일 때만 제곱해도 부등호 방향이 그대로라는 규칙에 맞습니다.
2. 정의역 x≥1. 양변 0 이상이므로 제곱 가능: x-1<4 → x<5.
3. 검산: x=1 → √0 = 0 < 2 ✓ / x=5 → √4 = 2는 「< 2」가 아니므로 제외 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 조건은 근호 안이 아니라 「오른쪽이 0 이상」에서 온다 여기서 필요한 조건은 근호 안 2x+1 ≥ 0(곧 x ≥ -1/2)이 아닙니다. 더 빡빡한 조건이 오른쪽에 있습니다 — 왼쪽 √ 값이 0 이상이니 오른쪽 x-1도 0 이상이어야 하고, 그래서 x ≥ 1입니다. 이 조건이 x=0을 잘라 냅니다. 두 조건을 다 적어 보면 x ≥ −1/2와 x ≥ 1이고, 겹치면 x ≥ 1 — 더 빡빡한 쪽이 남습니다.
   「무리방정식에서 무연근을 자르는 것은 대개 「반대쪽이 0 이상」이다」라고 기억해 두십시오. 근호 안 조건만 챙기면 가짜 해가 그대로 통과합니다.
   물론 가장 확실한 마무리는 답을 원래 식에 넣어 보는 것입니다 — x=0이면 √1 = 1인데 오른쪽은 −1, 어긋납니다.
2. 조건 x≥1 필요. 제곱: 2x+1=x²-2x+1 → x²-4x=0 → x=0 또는 4.
3. x=0은 x≥1 위반 → 제외. x=4 검산: √9=3=4-1 ✓.

풀이 — x,y 바꾸고 다시 정리

1. ⭐ 여기가 고비 — 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이라 x≥0이 붙는다 식만 뒤집으면 y = x²+1인데, 그냥 그렇게만 쓰면 답이 아닙니다. y = x²+1은 모든 실수에서 그려지는 포물선 전체이지만, 역함수는 원래 곡선을 대각선으로 접은 것이라 포물선의 오른쪽 반쪽뿐입니다. 그 반쪽을 정하는 것이 x ≥ 0이라는 꼬리표입니다. 어디서 왔는지 짚어 보면 분명합니다 — 원래 함수 y=√(x-1)의 치역이 y ≥ 0이었고, 역함수에서는 그것이 정의역이 됩니다. (마찬가지로 원래 정의역 x ≥ 1은 역함수의 치역이 되어 y ≥ 1입니다.)
   「역함수를 구했으면 정의역·치역이 서로 자리를 바꿨는지 확인한다」 — 식보다 이 확인이 배점입니다.
2. x=√(y-1) → x²=y-1 → y=x²+1 (단, x≥0).
3. 검산: 원래 함수에서 (5, 2)였으니 역함수는 (2, 5)를 지나야 한다 → 2²+1 = 5 ✓

풀이 — 분자 유리화

1. ⭐ 여기가 고비 — 0/0을 만나면 「지울 것이 숨어 있다」는 신호 그냥 x=0을 넣으면 (2-2)/0 = 0/0. 여기서 "답이 없다"고 멈추면 안 됩니다. 0/0은 막힌 것이 아니라, 위아래에 x라는 공통인수가 아직 숨어 있다는 신호입니다. 근호가 낀 식에서 그것을 끄집어내는 도구가 유리화 — 분자·분모에 √(x+4)+2를 곱합니다. 그러면 분자가 (√(x+4))² − 2² = (x+4) − 4 = x가 되어 숨어 있던 x가 드러나고, 분모의 x와 약분됩니다.
   곱하는 것은 「부호만 바꾼 짝」(켤레)입니다 — a−b에는 a+b를 곱해 합·차 공식으로 근호를 없애는 것이지요.
   「분수의 위아래에 같은 것을 곱하는 것은 값을 바꾸지 않는다」가 근거입니다.
2. 유리화하면 (x+4-4)/(x(√(x+4)+2)) = 1/(√(x+4)+2).
3. x→0 대입: 1/(2+2)=1/4.
4. 검산: x=0.01을 직접 넣으면 (√4.01-2)/0.01 ≈ 0.2498 — 1/4에 가깝다 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 왼쪽이 없는데 「연속」이라 말해도 되는가 연속의 정의는 보통 좌극한 = 우극한 = 함숫값이라 배웁니다. 그런데 여기서는 x=3의 왼쪽에는 함수가 아예 없습니다(√(음수)는 없으니까요). 이럴 때는 있는 쪽만 따집니다 — 정의역의 끝점에서는 한쪽 극한이 함숫값과 같으면 연속으로 봅니다. f(3) = 0이고 x→3⁺ 극한도 0이니 연속입니다. 「없는 것이 어긋난 것은 아니다」라고 생각하면 쉽습니다. 왼쪽이 비어 있는 것은 「값이 다르다」가 아니라 「따질 것이 없다」입니다.
   「정의역 안에서만 연속을 따진다」가 원칙입니다. 그래서 f(x)=√(x-3)은 정의역 x ≥ 3 전체에서 연속이라고 말합니다.
2. 정의역 x≥3의 경계값 x=3에서 f(3)=0으로 정의되고, x→3+ 극한도 0으로 일치 → 연속.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 근호 안에서 4배는 밖에서 2배 L이 4배가 되면 T도 4배일 것 같지만, L은 근호 안에 있습니다. √(4L/g) = √4 × √(L/g) = 2√(L/g) — 근호 밖으로 나오면서 4가 2로 줄어듭니다. 그래서 주기는 2배. 그래서 「근호 안에서 몇 배」와 「밖에서 몇 배」가 다릅니다 — 안에서 9배면 밖에서 3배, 안에서 2배면 밖에서 √2배(약 1.41배)입니다.
   주기를 2배로 늘리고 싶으면 줄을 4배 길게 매달아야 한다는 뜻이지요. 시계추가 길이에 둔하게 반응하는 까닭이 바로 이 근호입니다.
   「비율 문제는 문자에 4L을 직접 넣어 보는 것」이 가장 안전합니다 — 공식을 외워 어림하지 마십시오.
2. √(4L/g)=2√(L/g)이므로 주기는 2배.