그러면 넓이가 2인 정사각형의 한 변은요? 1은 너무 작고(1×1=1), 2는 너무 커요(2×2=4). 1과 2 사이 어딘가인데 딱 떨어지는 숫자가 없어요.
그래서 사람들이 이렇게 약속했어요 — "제곱해서 2가 되는 수"를 √2 라고 적자. 선생님 말씀이 바로 이거예요. "숫자로 표현할 수 없으니까 루트로 표현했다."
그리고 넓이가 −4인 정사각형은 있을 수가 없죠? 그래서 뿌리 안은 언제나 0 이상이에요.
√2 = "제곱해서 2가 되는 수" · 뿌리 안 ≥ 0
⚠️ 여기서 학생들이 가장 많이 넘어집니다
① 제곱해서 나온 해를 그대로 답이라고 쓰는 것 — 제곱은 1 = −1 같은 거짓도 1 = 1 로 만들어 버립니다. 그래서 없던 해(무연근)가 생깁니다. 나온 해는 반드시 원래 식에 도로 넣어 보세요.
② 평행이동에서 괄호를 빼먹는 것 — y = √(ax) 를 x축으로 −1 옮기면 √(a(x + 1)) 입니다. √(ax + 1) 이 아닙니다. 선생님도 이 괄호 안의 +1 때문에 한 번 되짚으셨습니다.
③ 근호 앞의 부호와 안의 부호를 섞는 것 — 앞은 위·아래를, 안은 오른쪽·왼쪽을 정합니다. 둘은 하는 일이 완전히 다릅니다. 그림을 잘못 정하면 최대·최소도 교점 개수도 전부 틀립니다.
연습 10제 · 상세 해설
연습 1유리화 · 기본
√3 + √2√3 − √2 를 간단히 하라.
풀이 — 분모의 가운데 부호만 바꾼 짝을 위아래에 똑같이 곱한다
⭐ 여기가 고비 — 곱하기 전에 분모가 얼마가 될지 미리 본다
켤레를 곱하면 분모가 (√3)² − (√2)² = 3 − 2 = 1이 됩니다.
이것을 곱하기 전에 알아보면, 뒤로는 분자만 계산하면 끝이라는 것을 알고 마음 편히 갈 수 있습니다.
켤레를 곱하는 까닭은 「근호를 없애는 것」이 아니라 「분모를 정수로 만드는 것」입니다.
그리고 A² − B²가 얼마가 되는지는 근호 안의 두 수를 빼 보면 곧바로 나옵니다.3과 2처럼 차가 1이면 분모가 1이 되어 가장 반갑습니다.
"가운데 부호만 바꿔 곱해라 — 분모에 뿌리가 둘이면 계산할 생각을 말고, 켤레를 위아래에 똑같이 곱한다."— 장대경 선생님 제57강 「무리식」
5 + 2√6
※ 분모가 1이 되는 것이 이 문제의 즐거움이다. A² − B² 가 얼마가 되는지 곱하기 전에 미리 보는 습관을 들이자.
연습 2유리화 · 문자
x ≥ 0 일 때 1√(x + 1) − √x 를 근호가 분모에 없는 꼴로 고쳐라.
풀이 — 곱할 짝은 √(x+1) + √x
⭐ 여기가 고비 — 문자가 들어와도 짝 만드는 법은 똑같다√(x+1) − √x의 짝은 가운데 부호만 바꾼√(x+1) + √x입니다.
곱하면 분모가 (x+1) − x = 1 — 문자 x가 통째로 사라집니다.근호 안의 두 식이 「1만큼 차이 나기」 때문에 생기는 일입니다.
그래서 답이 분모 없는 √(x+1) + √x 한 줄로 끝납니다.
이 「분모가 1이 되는 꼴」이 바로 다음 문제(텔레스코핑)의 씨앗입니다 — 눈에 익혀 두십시오.
위아래에 √(x + 1) + √x 를 똑같이 곱한다.
분모: (x + 1) − x = 1.
그래서 값은 √(x + 1) + √x.
검산 — x = 1: 왼쪽 1/(√2 − 1) ≈ 1/0.4142136 ≈ 2.4142136, 오른쪽 √2 + 1 ≈ 2.4142136 ✓ x = 7: 왼쪽 ≈ 5.4741784, 오른쪽 √8 + √7 ≈ 5.4741784 ✓
√(x + 1) + √x
※ 분모가 1이 되는 이 꼴이 다음 문제(텔레스코핑)의 씨앗이다. 잘 기억해 두자.
연습 3텔레스코핑 · 머리와 꼬리
1√1 + √2 + 1√2 + √3 + ⋯ + 1√8 + √9 의 값을 구하라.
풀이 — 한 항만 유리화해 보면 규칙이 나온다
⭐ 여기가 고비 — 여덟 항을 다 더할 것이 아니라, 한 항만 손본다일반항 하나를 유리화해 √(k+1) − √k 꼴로 바꿔 놓는 것이 전부입니다.
그러면 앞 항의 뒷부분과 뒤 항의 앞부분이 부호만 반대라 줄줄이 지워집니다.
남는 것은 맨 끝의 √9와 맨 앞의 −√1뿐.
그러니 항이 여덟 개든 팔백 개든 셈의 길이가 같습니다 —
가운데는 어차피 다 지워지고 머리와 꼬리만 남기 때문입니다.
합을 구하라는 문제에서 항이 「⋯」로 이어져 있으면, 한 항을 유리화해 「빼기 꼴」이 되는지부터 봅니다.
일반항 1/(√k + √(k+1)) 에 √(k+1) − √k 를 곱하면 분모 (k + 1) − k = 1 → 그 항은 √(k+1) − √k.
그러니 합은 (√2 − √1) + (√3 − √2) + ⋯ + (√9 − √8).
가운데 √2, √3, …, √8 이 모두 짝을 지어 지워진다.
남는 것은 꼬리 √9−머리 √1= 3 − 1 = 2.
검산 — 여덟 항을 40자리 정밀도로 직접 더해도 2.000000… ✓
"소나기 대가리 꼬랑지 — 유리화해 놓고 죽 더하면 가운데가 지워지고 머리와 꼬리만 남는다."— 장대경 선생님 제57강 「무리식」 (선생님 원말)
2
※ 이것이 선생님의 "소나기 대가리 꼬랑지"다. 고2 수열의 합에서 다시 만난다.
연습 4제곱 만들기 · 대소 확인
x + y = 10, xy = 9, x > y > 0 일 때 √x − √y 의 값을 구하라.
풀이 — 곧바로 구하지 말고 제곱부터 만든다
⭐ 여기가 고비 — 곧바로 못 구하면 「제곱」을 만든다√x − √y를 직접 구하려면 x와 y를 각각 알아야 합니다.
그런데 제곱해 보면 (√x − √y)² = x + y − 2√(xy)로
주어진 x+y와 xy만으로 값이 나옵니다.그 대신 제곱을 벗을 때 ±가 생기는 값을 치러야 합니다.
그래서 반드시 대소를 확인해 부호를 정합니다 — x > y이니 √x > √y라 양수.
대소 조건을 안 보고 넘어가면 −2라고 쓸 수 있습니다.문제에 붙은 x > y > 0은 바로 이 자리에서 일합니다.
(√x − √y)² = x + y − 2√(xy).
주어진 값을 넣으면 = 10 − 2√9 = 10 − 6 = 4.
제곱해서 4 → 원래 모양은 ±2. x > y 이므로 √x > √y → 값은 +2.
검산 — x, y 는 t² − 10t + 9 = 0 의 두 근이므로 x = 9, y = 1. √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓
2
※ 대소를 확인하지 않으면 부호를 놓친다. 만약 x < y 였다면 답은 −2 였다.
연습 5유리화 · 대칭식
x = √5 + √3√5 − √3, y = √5 − √3√5 + √3 일 때 x + y, xy, x² + y² 를 구하라.
풀이 — 유리화부터 해 놓으면 세 값이 줄줄이 나온다
⭐ 여기가 고비 — xy = 1이 보이는 순간 문이 열린다
유리화해 보면 x = 4 + √15, y = 4 − √15로
둘이 켤레이고, 곱이 16 − 15 = 1입니다.
곧 y = 1/x — 서로 뒤집은 수였던 것입니다.
그 순간 대칭식의 모든 공식이 그대로 쓰입니다 —
x² + y² = (x+y)² − 2xy에 8과 1만 넣으면 62.
x³ + y³도, x/y + y/x도 같은 두 값으로 다 나옵니다.무리식 문제에서 유리화를 먼저 해 두는 까닭이 여기 있습니다 — 대칭식으로 건너갈 다리가 놓입니다.
x 를 유리화: 분모 5 − 3 = 2, 분자 (√5 + √3)² = 8 + 2√15 → x = 4 + √15.
마찬가지로 y = 4 − √15.
x + y = 8.
xy = 4² − (√15)² = 16 − 15 = 1. — 둘은 서로 뒤집은 수였다.
x² + y² = (x + y)² − 2xy = 64 − 2 = 62.
검산 — x ≈ 7.8729833, y ≈ 0.1270167 → 합 8.0000000, 곱 1.0000000, 제곱의 합 62.0000000 ✓
x + y = 8, xy = 1, x² + y² = 62
※ xy = 1 이 보이는 순간 대칭식의 모든 공식이 열린다. y = 1/x 이기 때문이다.
연습 6그래프 · 네 모양과 출발점
함수 y = √(−2x + 6) − 1 의 그림 번호(1~4), 출발점, 정의역, 치역을 구하라.
풀이 — 부호 둘을 보고, 근호 안을 0으로 만드는 x 를 찾는다
⭐ 여기가 고비 — 부호 둘이 그림을 통째로 정한다
그래프를 그려 볼 것도 없이 부호 두 개만 보면 네 모양 중 하나로 정해집니다 —
근호 앞의 부호가 위·아래를, 근호 안 x의 계수 부호가 왼쪽·오른쪽을 정합니다.
여기서는 앞이 +(위), 안의 계수가 −2(왼쪽) → 왼쪽 위 = 2번.
그리고 출발점은 「근호 안을 0으로 만드는 x」에서 찾습니다 —
근호 안이 음수가 되면 정의되지 않으니, 0이 되는 자리가 바로 그래프가 시작하는 끝점입니다.
모양 하나와 출발점 하나만 잡으면 정의역·치역이 저절로 따라옵니다.
근호 앞이 + → 위로 간다. 근호 안 x 의 계수가 −2 로 음수 → 왼쪽으로 간다. 그러므로 2번 그림(왼쪽 위).
출발점 — 근호 안을 0으로: −2x + 6 = 0 → x = 3. 그때 y = 0 − 1 = −1 → (3, −1).
정의역 — 근호 안은 0 이상이어야 하므로 −2x + 6 ≥ 0 → x ≤ 3.
치역 — √(−2x+6) ≥ 0 이므로 y ≥ −1.
검산 — x = −5(정의역 안): √16 − 1 = 4 − 1 = 3. 출발점 (3, −1) 에서 왼쪽 위로 올라가는 것이 맞다 ✓
"그림은 부호 둘로 정해지는 네 모양뿐 — 근호 앞 부호가 위아래, 근호 안 x의 계수가 좌우를 정한다."— 장대경 선생님 제57강 「무리식」
2번 그림 · 출발점 (3, −1) · 정의역 x ≤ 3 · 치역 y ≥ −1
연습 7평행이동 · 괄호를 지켜라
y = √(3x) 의 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 −1만큼 평행이동한 그래프의 식과 출발점을 구하라.
풀이 — x 자리에 x − 2, 뒤에 −1
⭐ 여기가 고비 — 괄호를 먼저 치고, 푸는 것은 그다음
x축 방향으로 2만큼 옮기면 x 자리에 통째로 (x − 2)가 들어갑니다.
그러니 먼저 √(3(x − 2))라고 괄호째 써 놓고, 그다음에 √(3x − 6)으로 풉니다.
곧바로 쓰려다가 √(3x − 2)라고 쓰는 실수가 가장 많습니다 —
3이 x에만 곱해지고 −2에는 안 곱해진 것이지요.
「x 자리에 x−2를 넣는다」는 말 그대로, x가 있던 자리에 괄호를 씌워 넣습니다.검산: x=5에서 두 식 모두 √9 − 1 = 2 ✓
원래 그래프는 앞 +, 안의 계수 +3 → 1번 그림, 출발점 (0, 0).
평행이동: y = √(3(x − 2)) − 1. 괄호를 그대로 두고 쓴 뒤에 풀어야 한다.
풀어 쓰면 y = √(3x − 6) − 1.
출발점 — 3x − 6 = 0 → x = 2, y = −1 → (2, −1). (원래 출발점 (0,0) 이 그만큼 옮겨 갔다.)
검산 — x = 5: √9 − 1 = 2. 두 식 모두 같은 값 ✓ x = 10: √24 − 1 ≈ 3.8989795 로 둘 다 같다 ✓
y = √(3x − 6) − 1 · 출발점 (2, −1)
※ √(3x − 6) 을 √(3x) − 6 이나 √(3x − 2) 로 쓰는 실수가 가장 많다. 괄호부터 치자.
연습 8제한구간 최대·최소
1 ≤ x ≤ 5 에서 y = √(−x + 5) + 2 의 최댓값과 최솟값을 구하라.
풀이 — 그림을 먼저 정하면 양 끝점만 넣으면 된다
⭐ 여기가 고비 — 어느 끝이 최대인지는 「그림 방향」이 정한다
무리함수는 한쪽으로만 가는 단조 함수라 양 끝점 두 개만 넣으면 끝입니다 —
이차함수처럼 꼭짓점을 찾을 일이 없습니다.
다만 어느 끝이 최대인지는 그림이 어느 쪽으로 오르는지를 보고 정합니다.
여기서는 2번 그림(왼쪽 위)이라 왼쪽 끝 x=1에서 최대입니다.
순서를 못 박아 두십시오 — ①부호 둘로 그림을 정한다 ②출발점을 찾는다 ③양 끝점을 넣는다.①을 건너뛰고 값만 넣으면 어느 것이 최댓값인지 헷갈립니다.검산: 가운데 x=3에서 √2 + 2 ≈ 3.41로 2와 4 사이에 들어옵니다 ✓
앞 +, 안의 계수 −1 → 2번 그림(왼쪽 위). 출발점은 −x + 5 = 0 에서 (5, 2).
2번 그림은 왼쪽으로 갈수록 올라간다 → 구간의 왼쪽 끝에서 최대, 오른쪽 끝에서 최소.
x = 1: √4 + 2 = 2 + 2 = 4 → 최댓값.
x = 5: √0 + 2 = 2 → 최솟값.
검산 — 가운데 x = 3: √2 + 2 ≈ 3.4142136 으로 2 와 4 사이에 들어온다 ✓
최댓값 4 (x = 1) · 최솟값 2 (x = 5)
※ 무리함수는 단조(한쪽으로만 간다)라서 양 끝점 두 개면 끝난다. 이차함수처럼 꼭짓점을 찾을 일이 없다.
연습 9그래프 → 식 · 점을 대입
어떤 무리함수의 그래프가 점 (1, 2) 에서 출발하여 오른쪽 아래로 내려가며 점 (5, 0) 을 지난다. 이 함수의 식을 y = −√(a(x − 1)) + 2 꼴로 나타내고 a 를 구하라.
풀이 — 모양과 출발점으로 뼈대를 세우고, 지나는 점을 대입
⭐ 여기가 고비 — 뼈대를 먼저 세우면 모르는 것이 하나만 남는다①모양(부호 둘)과 ②출발점 (1, 2)로 식의 뼈대
y = −√(a(x − 1)) + 2를 세우고 나면,
모르는 것이 a 하나뿐입니다.
미지수가 하나면 조건도 하나면 된다 — 그것이 지나는 점 (5, 0)입니다.
그래프 문제의 세 걸음은 언제나 이렇습니다 —
①모양을 정한다 ②출발점으로 뼈대를 세운다 ③지나는 점을 대입한다.순서를 지키면 미지수가 하나씩만 남아 막힐 일이 없습니다.검산: x=5에서 −2 + 2 = 0 ✓, x=1에서 2 ✓
"출발점을 찾아라 — 무리함수 그림은 이미 네 모양 중 하나로 정해져 있다. 그 점 하나만 쫓으면 된다."— 장대경 선생님 제57강 「무리식」 (선생님 원말)
a = 1 · y = −√(x − 1) + 2
※ 선생님 말씀 — "지나가는 그 점을 대입을 시켜야 문제를 풀 수가 있다." 그래프 문제는 언제나 점 대입이다.
연습 10무리방정식 · 무연근
방정식 √(x + 2) = x 를 풀어라.
풀이 — 제곱해서 풀고, 반드시 되넣어 확인한다
⭐ 여기가 고비 — 제곱하면 「없던 해」가 생긴다x = −1을 넣어 보면 왼쪽은 √1 = 1, 오른쪽은 −1.
1과 −1은 다른데도, 제곱하는 순간 1 = 1로 둔갑해 버립니다.
그래서 제곱해서 얻은 답은 반드시 되넣어 확인해야 합니다.
까닭은 근호 값이 언제나 0 이상이기 때문입니다 —
그러니 오른쪽 x도 0 이상이어야 합니다.
제곱하기 전에 x ≥ 0을 미리 적어 놓으면 x = −1은 애초에 후보가 되지 않습니다.「조건 먼저, 제곱 나중」 — 이 순서가 무연근을 막는 가장 확실한 길입니다.
되넣어 확인 ②x = −1: 왼쪽 √1 = 1, 오른쪽 −1 → 다르다. 무연근이니 버린다.
까닭 — 뿌리 값은 항상 0 이상인데 오른쪽 x 가 음수였다. 제곱하는 순간 1 = −1 이 1 = 1 로 둔갑한 것이다.
x = 2
※ 미리 x ≥ 0 이라는 조건을 붙여 놓고 풀면 x = −1 은 애초에 후보가 되지 않는다. 제곱하기 전에 조건부터 적자.
이 무기가 자라나는 길
유리화 하나가 수열·미분까지 간다
오늘 배운 여섯 무기는 여기서 끝나지 않습니다.
텔레스코핑 → 수열의 합
고2 · 수학Ⅰ 수열의 합
연습 3번의 "가운데가 지워진다"가 그대로 Σ 의 부분분수 기법이 됩니다. 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1) 도 같은 손놀림입니다.
유리화 → 극한 계산
고2 · 수학Ⅱ 함수의 극한
lim (√(x+1) − √x) 처럼 ∞ − ∞ 꼴은 유리화해서 1/(√(x+1) + √x) 로 바꿔야 풀립니다. 연습 2번이 그대로 쓰입니다.
판별식 → 접선과 교점 개수
고1 → 고2 · 도형의 방정식 · 미분
도전 4·6번의 "D = 0 이 접하는 자리"가 원과 직선, 포물선과 직선, 나아가 미분으로 구하는 접선까지 같은 생각으로 이어집니다.
무리함수 → 역함수
고1 · 함수 / 고2 · 미적분
y = √x 와 y = x²(x ≥ 0) 는 서로 역함수입니다. 네 모양 판이 곧 정의역·치역을 뒤바꾼 그림이라는 것을 알면 역함수가 저절로 보입니다.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"유리화하고, 출발점을 찾고, 되넣어 검산한다" 하나로 대칭식·수열·판별식까지. 학년별 문제!
도전 · 중3~고1유리화 · 두 분수의 합
2 − √32 + √3 + 2 + √32 − √3 의 값을 구하라.
풀이 — 통분하면 분모가 1이 된다
⭐ 여기가 고비 — 통분하기 전에 공통분모가 1임을 알아본다
두 분수를 각각 유리화하려 들면 일이 두 배가 됩니다.
공통분모 (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1을 먼저 보면,
답이 그냥 (2 − √3)² + (2 + √3)²이라는 것을 알고 시작할 수 있습니다.
그리고 두 제곱을 더할 때 −4√3과 +4√3이 서로 지워져 정수만 남습니다.켤레끼리는 더하면 근호가 사라지고, 곱하면 정수가 된다 — 이 두 가지가 무리식의 힘입니다.
대칭식 A/B + B/A = (A² + B²)/(AB)가 무리식에서도 그대로 쓰인 것입니다.
※ 분모가 1이 되는 유리화를 만나면 x 와 1/x 이 켤레가 된다. 그 순간 대칭식의 모든 공식이 열린다.
도전 · 고2텔레스코핑 · 미지의 항수
1√1 + √2 + 1√2 + √3 + ⋯ + 1√n + √(n+1) = 4 일 때 자연수 n 을 구하라.
풀이 — 먼저 합을 n 의 식으로 정리한다
⭐ 여기가 고비 — 항의 개수를 세지 않아도 된다
「몇 항까지 더해야 4가 되나」를 세려 들면 막막합니다.
그런데 가운데가 다 지워지고 남는 것은 √(n+1) − 1 하나뿐이니,
꼬리의 번호가 곧 답을 정합니다.√(n+1) = 5에서 n = 24.
연습 3번과 셈이 같은데 끝이 9로 정해져 있었느냐 n으로 열려 있느냐만 다릅니다.
텔레스코핑은 「합의 길이」와 상관없이 늘 두 항만 남기므로, 미지의 항수도 겁낼 것이 없습니다.다만 마지막에 제곱을 했으니 되넣어 확인합니다 — √25 − 1 = 4 ✓
되넣어 확인 — √25 − 1 = 5 − 1 = 4 ✓ (제곱했으므로 반드시 확인한다. 왼쪽이 0 이상이라 문제없다.)
검산 — k = 1 … 24 스물네 항을 40자리 정밀도로 직접 더해도 4.000000… ✓ (n = 23 이면 √24 − 1 ≈ 3.8989795 로 4 가 아니다.)
n = 24
※ 항이 몇 개인지 세지 않아도 답이 나온다. 머리와 꼬리만 남으니 꼬리의 번호가 곧 답을 정한다.
도전 · 고1교점 개수 · 판별식과 끝점
곡선 y = √(x + 1) 과 직선 y = x + k 가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k 의 값의 범위를 구하라.
풀이 — 접하는 자리와 끝점을 지나는 자리, 두 개가 범위를 가른다
⭐ 여기가 고비 — 범위를 가르는 자리가 「둘」이다
이차방정식이라면 판별식 하나면 끝나지만, 무리함수는 그림이 끝점에서 뚝 끊겨 있습니다.
그래서 위쪽 경계는 「접하는 자리」k = 5/4,
아래쪽 경계는 「직선이 끝점 (−1, 0)을 지나는 자리」k = 1 — 둘이 필요합니다.k가 1보다 작아지면 제곱해서 얻은 두 근 가운데 하나가 곡선 위에 없는 무연근이 되어
실제 교점은 하나뿐이 됩니다.
「곡선이 어디서 시작하는가」를 그림에서 먼저 짚고, 직선이 그 시작점을 지나는 순간을 잡는 것이 이 유형의 핵심입니다.
아래는 등호가 들어가고(끝점에서도 두 점에서 만남) 위는 안 들어갑니다(접하면 한 점).
곡선은 앞 +, 안의 계수 + → 1번 그림, 출발점 (−1, 0), 정의역 x ≥ −1.
끝점을 지나는 자리 — 직선이 (−1, 0) 을 지나면 0 = −1 + k → k = 1.
접하는 자리 — 두 식을 같게 놓고 제곱: x + 1 = (x + k)² → x² + (2k − 1)x + (k² − 1) = 0. D = (2k − 1)² − 4(k² − 1) = 5 − 4k. D = 0 → k = 5/4.
되넣어 확인 — k = 1 일 때 x² + x = 0 → x = 0, −1. x = 0: 왼쪽 √1 = 1, 오른쪽 0 + 1 = 1 ✓ / x = −1: 왼쪽 0, 오른쪽 0 ✓ — 둘 다 진짜 해.
k 가 1보다 작으면(예: k = 0.9) 두 근 중 하나가 무연근이 되어 교점이 한 개뿐이고, k > 5/4 이면 실근이 아예 없다.
검산 — k = 1.1, 1.24 는 두 근 모두 유효, k = 0.9 는 한 근이 무연근, k = 1.3 은 실근 없음 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 판별식만 보고 답하면「서로 다른 두 근이면 되니 D > 0, 곧 k < 5/4」라고 써 보면?k = 0을 넣어 확인해 봅시다. x² − x − 1 = 0 → x ≈ 1.618 또는 −0.618.
x ≈ −0.618일 때 왼쪽은 √0.382 ≈ 0.618, 오른쪽은 −0.618 — 다릅니다. 무연근.실제 교점은 한 개뿐인데 판별식만 보면 두 개라고 착각합니다.
→ 제곱해서 만든 방정식의 근은 「후보」일 뿐입니다. 끝점을 지나는 자리를 함께 잡아야 범위가 맞습니다.
1 ≤ k < 5/4
※ 판별식만 보면 반드시 틀린다. 무리함수는 그림이 끝점에서 끊어져 있어서 끝점을 지나는 자리를 함께 봐야 한다.
도전 · 고1평행이동 + 대칭이동
y = √(2x) 의 그래프를 x축 방향으로 3만큼, y축 방향으로 −2만큼 평행이동한 뒤 x축에 대하여 대칭이동하였다. 이 그래프의 식과 출발점을 구하고, 점 (11, c) 를 지날 때 c 를 구하라.
풀이 — 평행이동을 괄호까지 써 놓고, 그다음에 대칭을 건다
⭐ 여기가 고비 — 두 이동을 한꺼번에 하지 않고 한 줄씩 쓴다먼저 평행이동만 해서 y = √(2(x − 3)) − 2를 괄호째 써 놓습니다.그다음에 x축 대칭을 겁니다 — y의 부호를 바꾸어−y = √(2(x−3)) − 2,
정리하면 y = 2 − √(2x − 6).
두 이동을 머릿속에서 한꺼번에 하려다 괄호를 놓치는 일이 가장 많습니다.x축 대칭은 「y 자리에 −y를 넣는 것」이라고 외워 두면 부호를 어디에 붙일지 헷갈리지 않습니다.
그러고 나서 부호 둘로 그림을 다시 읽으면 — 앞이 −, 안이 +라 오른쪽 아래(4번).
출발점 (3, 2)에서 내려가니 x=11에서 −2가 나오는 것이 자연스럽습니다 ✓
평행이동: x 자리에 x − 3, 뒤에 −2 → y = √(2(x − 3)) − 2. 괄호를 반드시 남겨 둔다.
x축 대칭 — y 의 부호를 바꾼다: −y = √(2(x − 3)) − 2.
정리하면 y = 2 − √(2x − 6).
출발점 — 2x − 6 = 0 → x = 3, y = 2 → (3, 2). 근호 앞이 −, 안의 계수가 + 이므로 4번 그림(오른쪽 아래).
x = 11 을 대입: 2 − √(22 − 6) = 2 − √16 = 2 − 4 = −2.
검산 — x = 3 에서 y = 2 ✓, x = 11 에서 y = −2 ✓ — 출발점에서 오른쪽 아래로 내려간 것이 맞다.
y = 2 − √(2x − 6) · 출발점 (3, 2) · c = −2
※ 이동을 순서대로 한 줄씩 쓰는 것이 전부다. 두 개를 한꺼번에 머릿속으로 하려다 괄호를 놓치는 일이 가장 많다.
도전 · 고1~고2교점 개수 · 무연근 걸러내기
곡선 y = √(2x − 4) 와 직선 y = x + k 가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k 의 값의 범위를 구하라.
풀이 — 무기 넷·여섯을 겹쳐 쓴다
⭐ 여기가 고비 — 「앞 문제와 같은 유형임을 알아보는 것」이 절반이다
곡선이 √(x+1)에서 √(2x−4)로 바뀌었을 뿐,
손놀림은 도전 4번과 완전히 같습니다 —
①출발점을 찾고 ②판별식으로 접하는 자리를 잡고 ③되넣어 확인.
달라지는 것은 숫자뿐입니다 — 출발점이 (−1,0)에서 (2,0)으로,
경계가 1 ≤ k < 5/4에서 −2 ≤ k < −3/2로 옮겨 갔을 뿐입니다.
「이 문제 전에 푼 것 중 무엇과 같은가」를 먼저 묻는 것이
새 문제를 만날 때마다 처음부터 헤매지 않는 길입니다.
등호가 아래쪽에만 붙는 까닭도 그대로입니다 — 끝점에서는 두 점에서 만나고, 접하면 한 점이 됩니다.
곡선은 앞 +, 안의 계수 +2 → 1번 그림, 출발점 (2, 0), 정의역 x ≥ 2.
끝점을 지나는 자리 — 직선이 (2, 0) 을 지나면 0 = 2 + k → k = −2.
접하는 자리 — 같게 놓고 제곱: 2x − 4 = (x + k)² → x² + (2k − 2)x + (k² + 4) = 0. D/4 = (k − 1)² − (k² + 4) = −2k − 3. D = 0 → k = −3/2.
되넣어 확인 — k = −2: x² − 6x + 8 = 0 → x = 2, 4. x = 2: 왼쪽 0, 오른쪽 0 ✓ / x = 4: 왼쪽 √4 = 2, 오른쪽 2 ✓ — 둘 다 진짜 해.
k 가 −2 보다 작으면(예: k = −2.5) 두 근 중 작은 쪽이 무연근이 되어 교점이 한 개뿐이다. k > −3/2 이면 실근이 아예 없다.
검산 — k = −1.7, −1.51 은 두 근 모두 유효, k = −2.5, −3 은 한 근이 무연근, k = −1.4 는 실근 없음 ✓
−2 ≤ k < −3/2
※ 도전 4번과 손놀림이 완전히 같다. 곡선이 달라져도 ① 출발점 ② 판별식 ③ 되넣어 검산 이 셋이면 언제나 풀린다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 손과 mpmath(40자리)·sympy로 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).