명제와 집합 완전정복
— 포함관계가 곧 증명이다 · 연습 10제

풀이 — 진리집합의 포함관계 확인

1. ⭐ 여기가 고비 — 참·거짓을 「집합의 자리」로 바꿔 읽는다 4의 배수를 하나하나 넣어 보며 2의 배수인지 확인할 수는 없습니다. 무한히 많으니까요. 그래서 진리집합 P가 Q 안에 통째로 들어가는지만 봅니다. 들어가면 p→q는 참입니다. 왜 들어가는지는 한 줄로 보입니다 — 4의 배수는 4k = 2(2k)라 반드시 2의 배수입니다. 거꾸로는 아닙니다 — 6은 2의 배수지만 4의 배수가 아니라 Q가 P에 안 들어갑니다. 명제 문제는 「집합 두 개를 그려 놓고 어느 쪽이 안에 있나」를 보는 일로 바뀝니다.
2. 진리집합 P={4,8,12,...}, Q={2,4,6,8,...}. P⊂Q(4의 배수는 항상 2의 배수).

풀이 — 식을 포함관계로 바꾼다

풀이 — 벤다이어그램으로 직접 확인

1. ⭐ 여기가 고비 — 식을 「말」로 소리 내어 읽는다 Bᶜ은 「B 밖」이니, A∩Bᶜ은 「A에 있으면서 B 밖에 있는 것」입니다. 그것이 공집합이라는 말은 「A에 있으면서 B에 없는 것이 하나도 없다」 — 곧 A⊂B. 공식으로 외우려 하면 여집합이 낀 순간 헷갈립니다. ᶜ은 「밖」, ∩은 「이면서」, ∅은 「하나도 없다」로 낱말을 바꿔 넣어 읽으면 그림을 그리지 않아도 답이 나옵니다. 앞 문제의 Qᶜ∩R=∅도 똑같이 읽어서 R⊂Q를 얻은 것입니다.
2. A에서 B에 없는 부분이 공집합 → A의 모든 원소가 B에 있다 → A⊂B.

풀이 — 하나씩 대입해서 순환을 확인한다

1. ⭐ 여기가 고비 — 언제 멈춰도 되는가 조건 (나)는 새 원소를 끝없이 만들어 내는 규칙처럼 보여 어디서 멈춰야 할지 막막합니다. 대입을 되풀이하다 처음 값 5로 돌아오는 순간이 멈추는 자리입니다. 그다음부터는 −1/4, 4/5, 5가 되풀이될 뿐 새 원소가 생기지 않기 때문입니다. 「최솟값」이라 물은 까닭도 여기 있습니다 — S에 다른 수를 더 넣어도 조건은 여전히 지켜집니다. 다만 「반드시 있어야만 하는」 원소가 이 셋이라 가장 적을 때가 3개인 것입니다. 「이보다 적을 수는 없다」와 「이것으로 충분하다」를 둘 다 보여야 최솟값이 됩니다.
2. x₁=5. x₂=1/(1−5)=−1/4.
3. x₃=1/(1−(−1/4))=1/(5/4)=4/5.
4. x₄=1/(1−4/5)=1/(1/5)=5 → 처음(5)으로 돌아옴, 순환!

풀이 — 양 끝 경계를 부등식으로

1. ⭐ 여기가 고비 — 한쪽만 잡으면 최댓값이 안 나온다 Aₙ = {1,3,5}가 되려면 두 가지가 동시에 성립해야 합니다 — ①5는 들어와야 하니 √n ≥ 5, ②다음 홀수 7은 들어오면 안 되니 √n < 7. ①만 잡으면 n이 위로 열려 최댓값이 없어지고, ②만 잡으면 5가 빠질 수 있습니다. 「집합이 똑같아진다」는 말은 언제나 「여기까지는 들어오고, 그다음부터는 안 들어온다」는 두 줄입니다. 검산: n=48이면 √48 ≈ 6.93이라 {1,3,5} ✓, n=49면 √49 = 7이라 7이 끼어들어 어긋납니다 ✓
2. A₂₅ = √25=5 이하의 홀수 = {1,3,5}.
3. Aₙ = {1,3,5}가 되려면: 5는 포함되어야 하니 √n ≥ 5, 다음 홀수 7은 포함되면 안 되니 √n < 7.
4. 25 ≤ n < 49 → 자연수 n의 최댓값은 48.

풀이 — 각 원소는 절반의 부분집합에 등장

1. ⭐ 여기가 고비 — 집합 쪽이 아니라 「원소 쪽」에서 센다 부분집합 16개의 합을 하나하나 구해 더하면 오래 걸립니다. 거꾸로 원소 하나를 붙잡고 「이 원소가 몇 번 더해지나」를 셉니다. 원소 하나를 넣기로 고정하면 나머지 3개가 자유라 2³ = 8개의 부분집합에 들어갑니다. 그러니 모든 원소가 똑같이 8번씩 더해진 셈이고, 총합은 8 × (원소들의 합)입니다. 「전체를 하나씩 세기 어려우면, 세는 방향을 바꿔 본다」 — 조합 문제에서 늘 쓰는 손놀림입니다. 검산: 8 × (−1+0+1+2) = 8 × 2 = 16 ✓
2. 원소 4개 → 부분집합 2⁴=16개. 각 원소는 2⁴⁻¹=8번씩 등장.
3. 총합 = 8×(−1+0+1+2) = 8×2.

풀이 — 정해진 원소는 빼고 세기

1. ⭐ 여기가 고비 — 부분집합 세기는 「원소마다 두 갈래」다 부분집합의 개수가 2ⁿ인 까닭은 원소 하나하나마다 「넣는다 / 안 넣는다」 두 갈래가 있기 때문입니다. 그런데 여기서는 1이 「반드시 넣는다」로 못 박혀 갈래가 하나로 줄었습니다. 그래서 남은 4개만 자유로워 2⁴ = 16. 바로 앞 문제와 같은 눈입니다 — 하나를 고정하면 나머지가 자유. 「반드시 포함」이면 그 원소의 갈래를 없애고, 「반드시 제외」여도 마찬가지로 없앱니다. 어느 쪽이든 지수가 하나씩 줄어듭니다.
2. 1은 고정, 나머지 4개(2,3,4,5)는 자유 → 2⁴=16.

풀이 — 대우 = ~q → ~p

1. ⭐ 여기가 고비 — 대우는 「뒤집기」와 「부정하기」를 동시에 둘 중 하나만 하면 대우가 아닙니다. 순서만 바꾸면 「역」(x²=4 → x=2), 부정만 하면 「이」(x≠2 → x²≠4), 둘 다 해야 「대우」(x²≠4 → x≠2)입니다. 그리고 원명제와 참·거짓이 늘 같은 것은 대우뿐입니다. 여기서 확인해 보십시오 — 역 「x²=4면 x=2」는 x=−2 때문에 거짓입니다. 원명제는 참인데 역은 거짓이지요. 「역·이·대우」 셋을 다 적어 놓고 어느 것을 묻는지 확인하는 습관을 들이십시오.
2. 대우: "x²≠4 이면 x≠2".
3. 원명제가 참이므로 대우도 항상 참(대우는 원명제와 참·거짓이 같다).

풀이 — P⊂Q면 충분조건

1. ⭐ 여기가 고비 — 「들어가는 쪽이 충분」 충분과 필요가 뒤바뀌는 것이 이 단원 최다 실수입니다. P⊂Q, 곧 작은 쪽 P가 큰 쪽 Q 안에 들어갈 때 p가 q이기 위한 충분조건입니다. 여기서는 P={3}이 Q={3,−3} 안에 들어가니 p가 충분. 뜻으로 읽으면 이렇습니다 — 「x=3이기만 하면 x²=9는 저절로 따라오니 그것으로 충분」. 거꾸로는 안 됩니다 — x²=9라고 해서 x=3이라 할 수 없습니다(−3이 있으니). 그러니 필요조건은 아닙니다. 화살표가 나가는 쪽이 충분, 들어오는 쪽이 필요라고 붙여 두십시오.
2. P={3}, Q={3,−3}. P⊂Q이지만 Q⊄P.
3. p→q는 참(충분), q→p는 거짓(필요 아님).

풀이 — 이건 원명제의 대우

1. ⭐ 여기가 고비 — 문장만 보고 「이것이 대우다」를 알아보는 눈 두 문장을 나란히 놓고 봅니다 — 원명제는 「연아카데미 학생 → 수학 배움」, 물은 것은 「수학 안 배움 → 연아카데미 학생 아님」. 앞뒤가 바뀌었고, 둘 다 부정되었으니 대우가 맞습니다. 그러므로 참. 말로 된 명제는 먼저 「p → q」 꼴로 적어 놓고 견주면 헷갈리지 않습니다. 역과 헷갈리지 마십시오 — 「수학을 배우면 연아카데미 학생이다」는 역이고, 이것은 거짓일 수 있습니다. 다른 데서도 수학을 배우니까요.
2. "수학 안 배움 → 연아카데미 학생 아님"은 원명제의 대우 → 원명제가 참이면 대우도 항상 참.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 사건을 「원소로 적어 놓고」 본다 「6이 나오는 것이 3의 배수가 나오는 것에 포함되는가」를 머릿속으로 따지면 헷갈립니다. A={3,6}, B={6}으로 적어 놓으면 포함관계가 눈에 그대로 보입니다. 확률의 사건도 결국 집합이라, 앞에서 배운 포함관계가 그대로 쓰입니다. B⊂A이면 P(B) ≤ P(A)가 저절로 따라옵니다 — 여기서도 1/6 ≤ 2/6이지요. 「사건이 일어나는 경우를 원소로 다 적는다」 — 확률 문제의 첫걸음입니다.
2. A={3,6}, B={6}. B⊂A 맞다(6은 항상 3의 배수).
3. P(A) = 2/6 = 1/3.

풀이 — 정의역 모든 원소가 대응해야

1. ⭐ 여기가 고비 — 함수의 조건 두 가지 중 어느 쪽이 어긋났나 함수가 되려면 ①정의역의 모든 원소가 빠짐없이 대응하고 ②하나가 오직 하나에만 대응해야 합니다. 여기서 어긋난 것은 ①「빠짐없이」 쪽입니다 — 3이 아직 남아 있습니다. 이렇게 두 조건을 갈라 놓고 어느 쪽이 문제인지 짚는 것이 요령입니다. 만약 1이 a에도 b에도 대응했다면 그때는 ②가 어긋난 것이고, 그 경우는 대응을 하나 지워야 합니다. 공역 Y의 원소가 남는 것은 흠이 아닙니다 — b에 아무도 안 와도 함수는 함수입니다.
2. 3이 아직 대응 안 됨 → 함수가 되려면 3도 Y의 원소 하나에 반드시 대응해야 한다.

풀이 — 양방향 다 성립하면 필요충분

1. ⭐ 여기가 고비 — 한쪽만 보고 「충분조건」이라 답하기 쉽다 「정삼각형 → 세 변이 같다」가 참인 것을 확인하고 멈추면 충분조건까지만 갑니다. 거꾸로 「세 변이 같다 → 정삼각형」도 참인지 반드시 확인해야 합니다. 참입니다. 그러니 두 진리집합이 완전히 겹쳐 P=Q, 곧 필요충분조건입니다. 「정삼각형」이라는 말의 정의가 곧 「세 변의 길이가 같은 삼각형」이니, 사실 같은 말을 다르게 쓴 것입니다. 정의를 그대로 옮겨 쓴 조건은 거의 언제나 필요충분조건이 됩니다. 양쪽 화살표를 각각 확인하는 습관을 들이면 이 유형은 틀리지 않습니다.
2. 정삼각형 ⟺ 세 변이 같다. P=Q → 양방향 참.

풀이 — 교집합이 공집합이면 배반

1. ⭐ 여기가 고비 — 배반은 「동시에 안 됨」이지 「합쳐서 전체」가 아니다 확인할 것은 A∩B = ∅ 하나뿐입니다. 여기서는 마침 A∪B = U이기도 하지만, 그것은 짝수와 홀수가 서로 여사건이라서이지 배반의 조건이 아닙니다. 예를 들어 A={2}, B={1,3}도 배반입니다 — 겹치지 않으니까요. 그런데 합쳐도 전체가 되지 않습니다. 배반을 볼 때는 교집합만 봅니다. 「배반」과 「여사건」을 섞지 않는 것이 확률 단원으로 넘어갈 때 큰 힘이 됩니다.
2. A={2,4,6}, B={1,3,5}. A∩B=∅ → 배반사건.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 대우에서 귀류법으로 한 걸음 곧바로 「p이면 q」를 못 보이면 먼저 대우 「q가 아니면 p가 아니다」로 돌아갑니다. 귀류법은 거기서 한 걸음 더 나아가, 「p이면서 q가 아니라고 해 놓고」 모순을 찾습니다. √2의 증명이 그 본보기입니다 — 「√2가 기약분수 a/b로 쓰인다」고 해 놓았더니 분자와 분모가 둘 다 짝수가 되어 「기약」에 어긋났습니다. 내가 처음에 놓은 말이 스스로를 무너뜨린 것이지요. 「곧바로 안 되면 대우, 대우로도 안 되면 아니라고 해 놓는다」 — 증명의 세 걸음입니다.
2. 귀류법. "결론이 거짓이면 가정도 거짓"이라는 대우의 논리 구조를 이용해, 결론을 부정해서 모순을 이끌어낸다.

풀이 — 두 조건을 각각 변환

1. ⭐ 여기가 고비 — 두 조건에 서로 다른 손놀림을 쓴다 A∩B=A는 그대로 A⊂B입니다. 그런데 A∪C=U는 여집합을 취해야 포함관계가 나옵니다 — Aᶜ∩Cᶜ=∅, 곧 Aᶜ⊂C. 그림으로 읽으면 「A가 덮지 못한 자리를 C가 모두 덮는다」는 뜻입니다. 벤다이어그램에서 A를 칠하고 남은 바깥이 C 안에 들어가야 전체가 채워지지요. 「∩ 꼴은 그대로, ∪=U 꼴은 여집합부터」 — 이 두 줄이 이 유형의 전부입니다.
2. A∩B=A → A⊂B.
3. A∪C=U의 여집합: A^c∩C^c=∅ → A^c⊂C.