YEON MATH · 행복수학

명제의 증명 실전 완전정복
— 대우로 바꾸고, 안 되면 아니라고 해 놓는다 · 연습 10제

부정을 정확히 · 대우를 이용한 증명 · 홀수 2k−1 짝수 2k · 귀류법 · 무리수 증명 · 부등식의 증명 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 증명 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
부정부터 정확히 — 「적어도 하나는 …」의 부정은 「모두 … 아니다」. 그리고 또는 ↔ 그리고 가 뒤바뀌고, a > 0 의 부정은 a ≤ 0 (등호를 빠뜨리면 부정이 아니다).
2
곧바로 안 되면 대우로 — 원명제와 대우는 참·거짓이 언제나 같다. 그래서 대우를 증명하면 원명제가 증명된 것이다. 결론이 「적어도 하나는」·「또는」이면 거의 언제나 대우가 편하다.
3
⭐ 말을 식으로 놓는다 — 홀수는 2k − 1, 짝수는 2k. "홀수다"라고만 두면 한 발짝도 못 나간다. 계산 끝에 2로 묶이면 괄호 안이 무엇이든 짝수다.
4
귀류법 — 아니라고 해 놓는다 — ①결론을 부정해 가정하고 ②그대로 따라가 계산하고 ③모순이 나오면 처음 부정이 틀린 것이므로 원래 결론이 참이다.
5
무리수는 무조건 귀류법 — 무리수는 "…이 아니다"라는 말이라 곧바로 못 잡는다. 유리수라고 해 놓고 q / p (p, q 는 서로소인 자연수) 로 놓아 모순을 찾는다.
6
부등식도 명제다 — ①차를 본다 A − B > 0 ②제곱은 0 이상 (□)² ≥ 0, 괄호 안이 0 되는 때가 등호 자리 ③근호는 제곱해 없앤다 (다만 양변이 0 이상일 때만).
대우를 이용한 증명 — 세 걸음 ① 부정 결론을 정확히 ② 대우 ~q → ~p ③ 계산 2k−1 · 2k 끝에 2로 묶이면 → 짝수 대우가 참이면 원명제도 참 귀류법 — 아니라고 해 보기 ① 결론이 아니라고 가정한다 ② 그대로 따라가며 계산한다 ③ 모순 → 처음 가정이 틀렸다 그러므로 원래 결론이 참이다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등·중등 (직관)
홀수끼리 더하면 반드시 짝수다 — 몇 개 해 보는 것과 "언제나 그렇다"를 보이는 것은 다른 일이다. 그 차이가 증명이다.
📐 고1 (핵심)
부정을 정확히 쓰기, 대우를 이용한 증명, 귀류법, 무리수의 증명, 부등식의 증명(차·제곱·근호)과 등호 성립 조건.
🎓 그 다음 (확장)
절대부등식(산술·기하평균, 코시-슈바르츠), 수학적 귀납법, 그리고 정수론의 합동식 논증으로 그대로 이어진다.

🐣 먼저 몸으로 — "몇 개 해 봤다"는 증명이 아니다

"홀수 두 개를 더하면 짝수다." 3+5=8, 7+9=16, 11+1=12 … 몇 번 해 봐도 다 맞습니다. 그런데 이건 증명이 아닙니다. 아직 안 해 본 것이 무한히 남아 있으니까요.

증명은 이렇게 합니다. 홀수를 2k − 1 이라고 식으로 놓습니다. 그러면 두 홀수의 합은 (2k−1) + (2l−1) = 2(k + l − 1) — 앞에 2가 붙었으니 무조건 짝수입니다. 이제 모든 경우가 한 줄에 다 들어왔습니다.

말을 식으로 바꾸는 순간, 무한이 한 줄이 된다

연습 10제 · 전부 손으로 검산한 해설

문제 1부정 쓰기 · 기본
다음의 부정을 각각 쓰라.
  1. 세 실수 a, b, c 중 적어도 하나는 0 이다.
  2. x ≥ 1 이고 y < 3 이다.
  3. 자연수 n 은 3의 배수 또는 5의 배수이다.

풀이 — "적어도 하나"는 "모두 아니다", "또는"은 "그리고"

  1. ⭐ 여기가 고비 — 부정은 「정반대」가 아니라 「아니다」 (1)에서 「모두 0이다」라고 쓰는 것이 최다 실수입니다. 「적어도 하나는 0이다」는 「0인 것이 있다」는 말이니, 그 부정은 「0인 것이 하나도 없다」 — 곧 「모두 0이 아니다」입니다. 정반대의 극단으로 건너뛰는 것이 아닙니다. 한 줄로 붙여 두십시오 — 「있다」의 부정은 「하나도 없다」, 「모두」의 부정은 「적어도 하나는 아니다」. 그리고 「그리고」는 「또는」으로, 「또는」은 「그리고」로 뒤집히며 부등호는 등호까지 함께 뒤집힙니다(≥의 부정은 <). 한 글자만 흘려도 대우가 통째로 틀립니다.
  2. (1) a, b, c 가 모두 0 이 아니다 (곧 a ≠ 0 이고 b ≠ 0 이고 c ≠ 0)
    ⛔ 흔한 잘못 — "모두 0 이다"라고 쓰는 것. 그건 부정이 아니라 정반대의 극단이다.
  3. (2) x < 1 또는 y ≥ 3
    "그리고"는 "또는"이 되고, 각 조건도 등호까지 뒤집는다.
  4. (3) n 은 3의 배수도 아니고 5의 배수도 아니다
    확인 — n = 7 은 원래 조건이 거짓이고 부정은 참 ✔ , n = 10 은 원래 조건이 참이고 부정은 거짓 ✔
"적어도 하나는의 부정은 모두 아니다 — '또는'은 '그리고'로, 'a>0'의 부정은 'a≤0'. 한 글자만 어긋나도 대우가 통째로 틀린다."— 장대경 선생님 제54강 「명제의 증명」
(1) 모두 0 이 아니다  /  (2) x < 1 또는 y ≥ 3  /  (3) 3의 배수도 5의 배수도 아니다
※ 부정을 한 글자만 흘려도 대우가 통째로 틀린다. 증명은 여기서 절반이 갈린다.
문제 2대우로 증명 · 기본
자연수 n 에 대하여 명제 「3n + 1 이 짝수이면 n 은 홀수이다」 가 참임을 대우를 이용해 증명하라.

풀이 — 대우로 바꾸면 그냥 대입 계산

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 대우로 바꾸면 쉬워지는가 원명제의 가정은 「3n+1이 짝수」인데, 이것으로는 n을 문자로 놓을 길이 없습니다. 그런데 대우로 뒤집으면 가정이 「n이 짝수」가 되고, n = 2k로 놓는 순간 나머지는 계산일 뿐입니다. 대우를 쓰는 진짜 까닭이 이것입니다 — 「문자로 놓을 수 있는 쪽」을 가정 자리로 끌어오는 것. 증명이 막히면 「지금 가정으로 무엇을 놓을 수 있나」를 물어 보십시오. 놓을 것이 없으면 대우로 뒤집어 보는 것이 첫 수입니다.
  2. 대우 : 「n 이 짝수이면 3n + 1 은 홀수이다」. (홀수의 부정은 짝수, 짝수의 부정은 홀수)
  3. n 이 짝수이므로 n = 2k (k 는 자연수) 로 놓는다.
  4. 3n + 1 = 6k + 1 = 2(3k) + 1 → 2로 나누면 1이 남으므로 홀수이다.
  5. 대우가 참이므로 원명제도 참이다.
"홀수는 2k−1, 짝수는 2k — 말로 홀수라고만 두면 한 발짝도 못 나간다. 끝에 2로 묶이면 짝수다."— 장대경 선생님 제54강 「명제의 증명」
참 (대우가 참이므로)
※ 값으로도 확인 — n=1 ⇒ 4(짝), n=3 ⇒ 10(짝), n=5 ⇒ 16(짝) / n=2 ⇒ 7(홀), n=4 ⇒ 13(홀) ✔
문제 3「적어도 하나」 · 대우
자연수 m, n 에 대하여 명제 「mn 이 짝수이면 m, n 중 적어도 하나는 짝수이다」 를 대우를 이용해 증명하라.

풀이 — 결론이 「적어도 하나」면 대우가 답이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「적어도 하나」가 결론에 있으면 경우가 여럿으로 갈린다 곧바로 증명하려면 「m만 짝수」·「n만 짝수」·「둘 다 짝수」 세 경우를 다 다뤄야 합니다. 그런데 대우로 뒤집으면 「m, n이 모두 홀수」 — 경우가 하나로 뭉칩니다. 「적어도 하나」의 부정이 「모두 아니다」이기 때문에 생기는 이득입니다. 「적어도 하나」라는 말이 결론에 보이면 거의 언제나 대우입니다. (가정에 있으면 오히려 경우를 나누어야 하니, 어느 자리에 있는지가 갈림길입니다.)
  2. 결론을 부정하면 「m, n 이 모두 홀수」, 가정을 부정하면 「mn 이 홀수」.
    대우 : 「m, n 이 모두 홀수이면 mn 은 홀수이다」.
  3. m = 2k − 1, n = 2l − 1 로 놓는다.
  4. mn = (2k−1)(2l−1) = 4kl − 2k − 2l + 1 = 2(2kl − k − l) + 1 → 홀수.
  5. 대우가 참이므로 원명제도 참이다.
  6. 검산 — m = 3(k=2), n = 5(l=3) : mn = 15 이고 2(2·2·3 − 2 − 3) + 1 = 2(12 − 5) + 1 = 15 ✔
참 (대우 : 홀 × 홀 = 홀)
※ 「적어도 하나는」을 곧바로 증명하려면 경우를 다 나눠야 한다. 대우로 뒤집으면 경우가 하나로 줄어든다.
문제 4세제곱 · 대우
자연수 n 에 대하여 명제 「n³ 이 짝수이면 n 도 짝수이다」 가 참임을 대우를 이용해 증명하라.

풀이 — 세제곱도 결국 2로 묶이는지만 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 끝에 남은 −1을 어떻게 「+1」로 만드나 전개하면 8k³ − 12k² + 6k − 1인데, 상수가 −1이라 그대로는 「2로 묶고 1이 남는」 꼴이 안 됩니다. −1 = −2 + 1로 갈라 −2까지 2로 묶어 버리면 2(4k³ − 6k² + 3k − 1) + 1이 되어 홀수가 확인됩니다. 이 손놀림을 놓치면 「−1이 남았으니 짝수인가?」 하고 헤매게 됩니다. 홀수임을 보이는 잣대는 딱 하나 — 「2×(정수) + 1 꼴로 쓸 수 있는가」입니다. 끝수가 −1, 3, 5 무엇이든 2×(무엇) + 1로 고쳐 쓸 수 있으면 홀수입니다. 검산: k=2 → n=3, n³=27이고 2·13 + 1 = 27 ✔
  2. 대우 : 「n 이 홀수이면 n³ 도 홀수이다」.
  3. n = 2k − 1 로 놓고 세제곱한다.
    n³ = (2k−1)³ = 8k³ − 12k² + 6k − 1
  4. = 2(4k³ − 6k² + 3k − 1) + 1 → 괄호 안이 무엇이든 홀수이다.
    (−1 = −2 + 1 이므로 2를 하나 더 떼어 낸 것)
  5. 대우가 참이므로 원명제도 참이다.
  6. 검산 — k = 2 이면 n = 3, n³ = 27 이고
    2(4·8 − 6·4 + 3·2 − 1) + 1 = 2(32 − 24 + 6 − 1) + 1 = 2·13 + 1 = 27 ✔
참 (대우 : 홀수의 세제곱은 홀수)
문제 5귀류법 · 기본
a 는 유리수, b 는 무리수일 때 「a + b 는 무리수이다」 를 귀류법으로 증명하라.

풀이 — "무리수다"는 곧바로 못 잡는다. 유리수라고 해 놓는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「무리수다」는 손에 쥘 것이 없다 무리수의 뜻이 「유리수가 아니다」라는 부정형이라, 「무리수임을 보이자」고 하면 붙잡고 시작할 식이 없습니다. 그래서 거꾸로 「유리수라고 해 놓고」 그 값에 r이라는 이름을 붙입니다. 그 순간부터 b = r − a처럼 식을 다룰 수 있게 됩니다. 귀류법이 하는 일이 바로 이것입니다 — 「이름 붙일 수 없는 것에 억지로 이름을 붙여 놓고, 그 이름이 스스로 무너지는 것을 보는 것.」 여기서 쓰는 성질은 「유리수끼리 더하고 빼면 유리수」 하나뿐입니다. 그 하나가 모순을 만들어 냅니다.
  2. 결론을 부정하여 a + b 가 유리수라고 하자. 그 값을 r 이라 놓는다.
  3. 그러면 b = r − a 이다.
  4. r 도 유리수, a 도 유리수이고 유리수끼리 빼면 유리수이므로 b 는 유리수다.
  5. 그런데 b 는 무리수라고 주어졌다. 모순이다.
  6. 따라서 처음 가정이 틀렸으므로 a + b 는 무리수이다.
모순이 나오므로 a + b 는 무리수
※ 검산 — a = 2, b = √2 이면 2 + √2 ≈ 3.414… 로 무리수 ✔
※ 쓰는 성질은 「유리수끼리 더하고 빼고 곱하면 유리수」 하나뿐이다. 이 성질이 모순을 만든다.
문제 6귀류법 · 「또는」의 결론
두 실수 a, b 에 대하여 「a + b > 2 이면 a > 1 또는 b > 1 이다」 를 귀류법으로 증명하라.

풀이 — "또는"을 부정하면 "그리고", 그러면 둘 다 묶여 계산된다

0 1 2 부정한 가정 : a ≤ 1 부정한 가정 : b ≤ 1
  1. ⭐ 여기가 고비 — 「또는」이 「그리고」가 되어야 더할 수 있다 결론 「a > 1 또는 b > 1」을 부정하면 「a ≤ 1 그리고 b ≤ 1」입니다. 「그리고」로 묶여야 두 부등식이 동시에 참이 되고, 그제서야 변끼리 더할 수 있습니다. 만약 부정을 「또는」인 채로 두면, 둘 중 어느 것이 참인지 몰라 더할 수가 없어 증명이 시작조차 되지 않습니다. 부등식은 「방향이 같고 둘 다 참일 때만」 변끼리 더할 수 있습니다. 그래서 「또는」의 결론을 만나면 부정해서 「그리고」로 바꾸는 것이 정석입니다.
  2. 결론 「a > 1 또는 b > 1」 을 부정하면 「a ≤ 1 그리고 b ≤ 1」 이다.
  3. 이것을 참이라 가정하자. 두 부등식은 방향이 같으므로 변끼리 더할 수 있다.
    a + b ≤ 1 + 1 = 2
  4. 그런데 가정은 a + b > 2 였다. a + b ≤ 2 와 a + b > 2 는 동시에 성립할 수 없다. 모순.
  5. 따라서 a > 1 또는 b > 1 이다.
모순이 나오므로 참
※ 검산 — a = 0.5, b = 0.5 라면 합이 1 이라 애초에 가정 a + b > 2 를 만족하지 못한다 ✔
※ ⛔ "또는"의 부정을 "또는"으로 두면 두 부등식을 더할 수 없어 증명이 시작조차 되지 않는다.
문제 7부등식 · 차를 본다
a > b > 0 일 때 a / b > (a + 1) / (b + 1) 임을 증명하라.

풀이 — 크기를 견주는 가장 확실한 길은 빼 보는 것

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「곱해 넘기기」 대신 「빼 보기」 a/b > (a+1)/(b+1)를 보이려고 분모를 곱해 넘기고 싶어집니다. 그러나 그때는 곱하는 것의 부호를 따져야 해서 위험합니다. 대신 차를 구해 부호만 보면 분모가 b(b+1)로 양수인 것이 그대로 보이고, 분자만 살피면 됩니다. 그리고 분자가 a − b로 아주 깔끔하게 정리되는 것이 이 문제의 선물입니다 — ab가 서로 지워지기 때문입니다. 「크기를 견주려면 빼 본다」 — 부등식 증명에서 가장 먼저 꺼내는 손입니다. 검산: a=3, b=1이면 3 − 2 = 1이고 차의 식도 2/2 = 1 ✔
  2. 두 식의 차를 구한다. 분모는 b(b + 1) 로 통분한다.
    a/b − (a+1)/(b+1) = [ a(b+1) − b(a+1) ] / [ b(b+1) ]
  3. 분자를 전개한다. a(b+1) − b(a+1) = ab + a − ab − b = a − b
  4. 따라서 차는 (a − b) / [ b(b + 1) ] 이다.
  5. 조건에서 a > b 이므로 분자 a − b > 0, b > 0 이므로 분모 b(b+1) > 0.
  6. 양수를 양수로 나누었으니 차가 0보다 크다. 그러므로 a/b > (a+1)/(b+1).
  7. 검산 — a = 3, b = 1 : 3/1 = 3, 4/2 = 2 로 3 > 2 ✔
    차도 (3−1)/(1·2) = 1 이고 3 − 2 = 1 ✔ 딱 맞는다.
차 = (a − b) / b(b + 1) > 0 이므로 참
※ ⛔ 분모를 곱해 넘길 때는 부호를 확인해야 한다. 여기서는 b > 0 이 주어져 안전하다.
문제 8부등식 · 제곱은 0 이상
모든 실수 a, b 에 대하여 a² + b² ≥ 2(a + b) − 2 임을 증명하고, 등호가 성립할 때의 a, b 를 구하라.

풀이 — 차를 구하고, 완전제곱 꼴로 묶는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 상수 2를 1+1로 갈라야 완전제곱이 된다 차 a² + b² − 2a − 2b + 2에서 a끼리, b끼리 모아 놓고 보면 a² − 2a에는 +1이, b² − 2b에도 +1이 필요합니다. 마침 상수가 2라 1+1로 딱 갈립니다. 상수가 모자라면 「더하고 빼서」 만들어 씁니다 — a² − 2a = (a−1)² − 1처럼요. 그리고 제곱이 둘이면 등호는 「둘 다 0일 때」뿐입니다 — 하나만 0이어서는 안 됩니다. 「등호가 성립할 때」를 물으면 괄호 안이 0이 되는 자리를 답하면 됩니다.
  2. (좌변) − (우변) = a² + b² − 2a − 2b + 2
  3. a 끼리, b 끼리 모아 완전제곱으로 묶는다.
    = (a² − 2a + 1) + (b² − 2b + 1) = (a − 1)² + (b − 1)²
  4. 실수의 제곱은 언제나 0 이상이므로 (a−1)² + (b−1)² ≥ 0.
  5. 그러므로 a² + b² ≥ 2(a + b) − 2 가 모든 실수에서 성립한다.
  6. 등호는 두 제곱이 동시에 0일 때뿐이다. a − 1 = 0 이고 b − 1 = 0, 곧 a = 1, b = 1.
  7. 검산 — a = b = 1 : 좌변 1 + 1 = 2, 우변 2(2) − 2 = 2 로 같다 ✔
    a = b = 0 : 좌변 0, 우변 −2 로 0 > −2 ✔ (차 = 1 + 1 = 2 와 일치)
차 = (a−1)² + (b−1)² ≥ 0  /  등호는 a = 1, b = 1
※ 등호를 묻는 문제는 괄호 안이 0이 되는 자리를 답하면 된다. 제곱이 둘이면 둘 다 0이어야 한다.
문제 9부등식 · 근호는 제곱해 없앤다
a ≥ 0, b ≥ 0 일 때 √(a + b) ≤ √a + √b 임을 증명하고, 등호가 성립할 조건을 구하라.

풀이 — 양변이 0 이상임을 확인한 뒤에 제곱한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 제곱하기 전에 「양변이 0 이상인가」를 못 박는다 첫 줄의 확인은 형식이 아니라 증명의 자격입니다. 음수가 섞이면 제곱하는 순간 부등호가 뒤집힙니다 — −3 < 2인데 제곱하면 9 > 4가 되지요. 여기서는 근호와 근호의 합이라 양변이 모두 0 이상이 보장되니 안심하고 제곱합니다. 이 한 줄이 빠지면 「제곱해서 견주었다」는 논리가 통째로 성립하지 않습니다. 근호가 든 부등식을 만나면 언제나 ①양변의 부호 확인 → ②제곱 → ③되돌리기 순으로 갑니다. 검산: a=4, b=9면 √13 ≈ 3.61 < 5 ✔, a=0, b=9면 3 = 3으로 등호 ✔
  2. 먼저 √(a+b) ≥ 0, √a + √b ≥ 0 이다. 양변이 0 이상일 때만 제곱해서 견줄 수 있다.
  3. 제곱한 것끼리 차를 구한다.
    (√a + √b)² − (√(a+b))² = (a + 2√(ab) + b) − (a + b) = 2√(ab)
  4. a ≥ 0, b ≥ 0 이므로 ab ≥ 0 이고 2√(ab) ≥ 0.
  5. 즉 (√a + √b)² ≥ (√(a+b))² 이고, 양변이 0 이상이므로 그대로 √a + √b ≥ √(a+b) 이다.
  6. 등호는 2√(ab) = 0, 곧 ab = 0 — a = 0 또는 b = 0 일 때다.
  7. 검산 — a = 4, b = 9 : √13 ≈ 3.606 이고 2 + 3 = 5 로 3.606 < 5 ✔
    a = 0, b = 9 : √9 = 3 이고 0 + 3 = 3 으로 등호 ✔
제곱의 차 = 2√(ab) ≥ 0  /  등호는 a = 0 또는 b = 0
※ ⛔ 양변이 0 이상인지 확인하지 않고 제곱하면 안 된다. 음수가 섞이면 제곱하는 순간 부등호가 뒤집힐 수 있다.
문제 10귀류법 · 조건 함정
a 는 0이 아닌 유리수, b 는 무리수일 때 「ab 는 무리수이다」 를 귀류법으로 증명하라. 또 a ≠ 0 이라는 조건이 왜 필요한지 설명하라.

풀이 — 나누어야 하므로 0이 아니어야 한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 단서 a ≠ 0 이 두 군데에서 일한다 첫째, 증명 안에서 — ab = r에서 양변을 a로 나누는 자리에 반드시 필요합니다. 둘째, 명제 자체를 살리는 데 — a = 0이면 ab = 0이고 0은 유리수라 명제가 아예 거짓이 되어 버립니다. 문제가 「왜 필요한지 설명하라」고 물었으니 이 두 가지를 다 답해야 합니다. 문제에 붙은 단서는 장식이 아닙니다. 증명을 끝낸 뒤에는 「이 단서를 빼면 어디가 무너지나」를 한 번 짚어 보십시오 — 반례가 보이는 자리가 곧 그 단서가 일하는 자리입니다.
  2. 결론을 부정하여 ab 가 유리수라고 하고, 그 값을 r 이라 놓는다.
  3. a ≠ 0 이므로 양변을 a 로 나눌 수 있다 → b = r / a.
  4. r 은 유리수, a 는 0이 아닌 유리수이고 유리수를 0이 아닌 유리수로 나누면 유리수이므로 b 는 유리수다.
  5. 그런데 b 는 무리수라고 주어졌다. 모순이므로 ab 는 무리수이다.
  6. a ≠ 0 이 필요한 까닭 — a = 0 이면 b 가 무엇이든 ab = 0 이고 0은 유리수다. 그러면 명제 자체가 거짓이 된다. 게다가 ②에서 0으로 나눌 수도 없다.
  7. 검산 — a = 3, b = √2 : 3√2 ≈ 4.243… 무리수 ✔ / a = 0, b = √2 : 0 · √2 = 0 유리수 ✔ (조건이 없으면 깨진다)
모순이 나오므로 ab 는 무리수  /  a = 0 이면 ab = 0 (유리수) 이라 명제가 거짓
※ 문제에 붙은 단서 조건은 장식이 아니다. 그 조건을 빼면 반례가 생기는 자리를 반드시 찾아 둔다.

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 · 중3경우 나누기 · 배수 증명
서로 다른 두 홀수 m, n 에 대하여 m² − n² 은 언제나 8의 배수임을 증명하라.

풀이 — 인수분해로 4를 먼저 빼내고, 남은 하나를 경우로 잡는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 4까지 나왔다고 멈추면 안 된다 인수분해로 4(k+l−1)(k−l)까지는 누구나 갑니다. 그런데 물음은 8의 배수이므로, 남은 괄호 두 개의 곱이 짝수임을 한 번 더 보여야 합니다. 바로 여기서 경우를 나눕니다 — k−l이 짝수인가 홀수인가. 홀수일 때가 재미있습니다 — k−l이 홀수라는 것은 k와 l의 홀짝이 서로 다르다는 뜻이고, 그러면 k+l이 홀수가 되어 k+l−1이 짝수가 됩니다. 어느 쪽이 홀수든 반드시 다른 쪽이 짝수가 되어 준다는 것이 이 증명의 심장입니다. 「목표한 배수에 한 칸 모자라면, 남은 한 칸을 경우로 나누어 채운다」
  2. m = 2k − 1, n = 2l − 1 로 놓는다 (k, l 은 자연수).
  3. m² − n² = (m + n)(m − n) 이고
    m + n = 2k + 2l − 2 = 2(k + l − 1) , m − n = 2k − 2l = 2(k − l)
  4. 곱하면 m² − n² = 4(k + l − 1)(k − l) — 4까지는 확실히 나왔다. 이제 (k + l − 1)(k − l) 이 짝수임만 보이면 된다.
  5. 경우 ① k − l 이 짝수이면 곱도 짝수다. ✔
  6. 경우 ② k − l 이 홀수이면 k, l 의 홀짝이 서로 다르므로 k + l 이 홀수이고, 따라서 k + l − 1 이 짝수다. 곱도 짝수다. ✔
  7. 두 경우 모두 (k + l − 1)(k − l) = 2t 꼴이므로 m² − n² = 4 · 2t = 8t → 8의 배수.
  8. 검산 — 5² − 3² = 16 = 8 · 2 ✔ , 7² − 1² = 48 = 8 · 6 ✔ , 9² − 3² = 72 = 8 · 9 ✔ , 5² − 1² = 24 = 8 · 3 ✔
m² − n² = 8t 꼴이므로 8의 배수
※ 4까지만 보고 멈추면 안 된다. 남은 한 칸을 경우로 나누어 끝까지 밀어야 8이 나온다.
도전 · 고1무리수 · 계수 결정의 뿌리
a, b 가 유리수이고 √2 가 무리수일 때, a + b√2 = 0 이면 a = b = 0 임을 증명하라.

풀이 — 나누고 싶은 쪽이 0이 아니라고 해 놓는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 둘을 한꺼번에 부정하지 않고, 「나눌 쪽」 하나만 부정한다 a = b = 0을 통째로 부정하면 「a≠0 또는 b≠0」이라 갈래가 둘로 늘어납니다. 그런데 b ≠ 0 하나만 잡아 무너뜨리면 b = 0이 나오고, 그것을 원래 식에 도로 넣으면 a = 0이 저절로 딸려 옵니다. 왜 하필 b인가 하면 — b가 √2에 붙어 있어, b로 나누는 순간 √2 = −a/b라는 「무리수 = 유리수」 꼴의 모순이 만들어지기 때문입니다. 「무엇으로 나누면 모순이 보이는가」를 먼저 정하고, 그것이 0이 아니라고 놓는 것입니다. 이것이 a + b√2 = c + d√2 ⇒ a = c, b = d의 뿌리입니다.
  2. 결론을 부정하는 대신, 나눌 수 있는지부터 따진다. b ≠ 0 이라고 하자.
  3. a + b√2 = 0 에서 b√2 = −a, 양변을 b 로 나누면 √2 = −a / b.
  4. a, b 가 유리수이고 b ≠ 0 이므로 −a/b 는 유리수다. 그러면 √2 가 유리수가 되어 모순이다.
  5. 따라서 b = 0 이다. 이것을 처음 식에 넣으면 a + 0 = 0 이므로 a = 0.
  6. 그러므로 a = b = 0 이다.
  7. 검산 — a = 2, b = −1 이라면 2 − √2 ≈ 0.586 ≠ 0 ✔ 유리수 계수로는 a = b = 0 말고는 0을 만들 수 없다.
b ≠ 0 이면 √2 가 유리수가 되어 모순 ⇒ b = 0, 따라서 a = 0
※ 이것이 「a + b√2 = c + d√2 ⇒ a = c, b = d」 (무리수가 서로 같을 조건)의 뿌리다. 유리수 계수라는 말이 빠지면 성립하지 않는다.
도전 · 고1절댓값 부등식 · 등호 조건
모든 실수 a, b 에 대하여 |a + b| ≤ |a| + |b| 임을 증명하고, 등호가 성립할 조건을 구하라.

풀이 — 절댓값은 0 이상이니 제곱해서 견준다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 제곱하면 절댓값이 「하나만」 살아남는다 제곱하면 |a|² = a², |a+b|² = (a+b)²로 절댓값이 대부분 벗겨집니다. 그런데 교차항에서 2|a||b| = 2|ab| 하나만 절댓값을 달고 살아남아 2(|ab| − ab)가 남습니다. 이 한 덩어리가 이 문제의 전부입니다. |ab| ≥ ab는 언제나 참입니다 — ab가 음수면 |ab|가 더 크고, 0 이상이면 서로 같습니다. 그래서 등호는 ab ≥ 0일 때, 곧 a와 b가 같은 부호이거나 하나가 0일 때입니다. 뜻으로 읽으면 「같은 방향으로 가면 그대로 더해지고, 반대 방향이면 서로 깎인다」 — 삼각부등식입니다.
  2. 양변 모두 0 이상이므로 제곱한 것끼리 견주어도 된다.
  3. (|a| + |b|)² − |a + b|² = (a² + 2|a||b| + b²) − (a + b)²
    (|a|² = a², |a+b|² = (a+b)² 이다)
  4. = a² + 2|ab| + b² − a² − 2ab − b² = 2(|ab| − ab)
  5. 언제나 |ab| ≥ ab 이므로 2(|ab| − ab) ≥ 0.
    따라서 (|a|+|b|)² ≥ |a+b|² 이고, 양변이 0 이상이므로 |a| + |b| ≥ |a + b|.
  6. 등호는 |ab| = ab 일 때, 곧 ab ≥ 0 — a, b 가 같은 부호이거나 둘 중 하나가 0일 때다.
  7. 검산 — a = 3, b = −2 : |1| = 1 ≤ 3 + 2 = 5 ✔ (ab = −6 < 0 이라 등호가 아니다)
    a = 3, b = 2 : |5| = 5 = 3 + 2 등호 ✔ (ab = 6 ≥ 0)
제곱의 차 = 2(|ab| − ab) ≥ 0  /  등호는 ab ≥ 0
※ 삼각부등식이라 부른다. "돌아가면 손해, 곧장 가면 최단"을 식으로 쓴 것이다.
도전 · 고1역수의 합 · 완전제곱
a > 0, b > 0 일 때 (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4 임을 증명하고, 등호가 성립할 때를 구하라.

풀이 — 전개해서 남는 두 조각을 완전제곱으로 묶는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 전개해서 「보일 것」을 작게 줄인다 좌변을 전개하면 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + a/b + b/a. 상수 2가 이미 나와 있으니, 남은 목표는 a/b + b/a ≥ 2 하나뿐으로 줄어듭니다. 「보일 것을 작게 만드는 것」이 증명의 절반입니다. 그리고 줄어든 그 부분은 차를 구해 통분하면 (a−b)²/(ab)로 묶입니다. 여기서 a > 0, b > 0 조건이 분모의 부호를 보장합니다 — 이 단서가 없으면 a=1, b=−1에서 좌변이 0이 되어 실제로 거짓이 됩니다.
  2. 좌변을 전개한다.
    (a + b)(1/a + 1/b) = 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + a/b + b/a
  3. 따라서 보일 것은 a/b + b/a ≥ 2 뿐이다.
  4. 차를 구해 통분한다.
    a/b + b/a − 2 = (a² + b² − 2ab) / (ab) = (a − b)² / (ab)
  5. (a − b)² ≥ 0 이고 a > 0, b > 0 이므로 ab > 0. 따라서 차가 0 이상이다.
  6. 그러므로 (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 2 + 2 = 4.
  7. 등호는 (a − b)² = 0, 곧 a = b 일 때다.
  8. 검산 — a = b = 1 : 2 × 2 = 4 등호 ✔
    a = 1, b = 3 : 4 × (1 + 1/3) = 4 × 4/3 = 16/3 ≈ 5.33 > 4 ✔
차 = (a − b)² / ab ≥ 0  /  등호는 a = b
※ a > 0, b > 0 이 빠지면 분모의 부호를 몰라 ④가 무너진다. a = 1, b = −1 이면 좌변이 0 이 되어 실제로 거짓이다.
도전 · 고1귀류법 + 홀짝 · 경우 전수
a, b, c 가 모두 홀수인 정수일 때, 이차방정식 ax² + bx + c = 0 은 유리수인 근을 갖지 않음을 증명하라.

풀이 — 유리수 근이 있다고 해 놓고, 홀짝으로 부딪힌다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「서로소로 잡는다」는 한 줄이 경우를 넷에서 셋으로 줄인다 유리수 근을 q/p로 놓을 때 「더 이상 약분되지 않게」 잡는 것이 이 증명의 열쇠입니다. 서로소라면 p와 q가 둘 다 짝수일 수는 없으므로, 따질 경우가 ㉠홀·홀 ㉡짝·홀 ㉢홀·짝 셋으로 줄고, 그 셋 모두에서 좌변이 홀수가 되어 0이 될 수 없습니다. 만약 서로소로 잡지 않았다면 「둘 다 짝수」인 경우가 남고, 그때는 짝 + 짝 + 짝 = 짝이 되어 0이 될 수 있어 보입니다 — 모순이 안 나옵니다. 「유리수를 놓을 때는 언제나 기약분수로」 — √2가 무리수임을 보이는 증명에서도 똑같이 쓰는 손입니다. 그리고 0은 짝수이므로, 좌변이 홀수라는 것만으로 「0이 아니다」가 끝납니다.
  2. 유리수인 근이 있다고 하자. 그 근을 q / p 라 놓는다. (p, q 는 정수, p ≠ 0, 그리고 더 이상 약분되지 않게 p, q 는 서로소로 잡는다)
  3. 대입하면 a(q/p)² + b(q/p) + c = 0. 양변에 p² 을 곱하면
    aq² + bpq + cp² = 0  … (★)
  4. p, q 는 서로소이므로 둘 다 짝수일 수는 없다. 남은 경우는 셋뿐이다.
  5. ㉠ p 홀, q 홀 : aq² 홀 · bpq 홀 · cp² 홀 → 홀 + 홀 + 홀 = 홀수 ≠ 0
  6. ㉡ p 짝, q 홀 : aq² 홀 · bpq 짝 · cp² 짝 → 홀 + 짝 + 짝 = 홀수 ≠ 0
  7. ㉢ p 홀, q 짝 : aq² 짝 · bpq 짝 · cp² 홀 → 짝 + 짝 + 홀 = 홀수 ≠ 0
  8. 세 경우 모두 (★)의 좌변이 홀수가 되어 0 이 될 수 없다. 모순이다.
    (0 은 짝수이므로 홀수와 같아질 수 없다)
  9. 따라서 유리수인 근을 갖지 않는다.
  10. 검산 — x² + 3x + 1 = 0 (a=1,b=3,c=1) 의 근은 (−3 ± √5)/2 로 무리수 ✔
    x² + x + 1 = 0 은 판별식이 1 − 4 = −3 < 0 이라 실근 자체가 없다 ✔ (근이 없어도 "유리수 근이 없다"는 참이다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 서로소 조건 없이 시작하면 q/p를 그냥 「정수 둘의 비」로만 놓으면 ㉣ p 짝, q 짝인 경우가 남습니다. 그때는 aq² 짝 · bpq 짝 · cp² 짝 → 짝 + 짝 + 짝 = 짝수. 0도 짝수이니 모순이 나오지 않아 증명이 거기서 멈춰 버립니다. → 유리수를 문자로 놓을 때는 언제나 「기약분수로」 잡습니다. 그 한 줄이 골치 아픈 경우를 미리 잘라 냅니다.
세 경우 모두 좌변이 홀수 ⇒ 0 이 될 수 없다 ⇒ 유리수 근 없음
※ a, b, c 가운데 하나만 짝수여도 무너진다 — x² + 3x + 2 = 0 (c = 2) 은 근이 −1, −2 로 유리수다.
도전 · 경시귀류법 · 전체를 두 번 세기
1 부터 10 까지의 자연수를 원 위에 어떤 순서로 늘어놓아도, 이웃한 세 수의 합이 17 이상인 곳이 반드시 있음을 증명하라.

풀이 — 아니라고 해 놓고, 전체 합을 두 가지 방법으로 센다

이웃한 세 수 묶음 10개 · 각 수는 3번씩 세어진다
  1. ⭐ 여기가 고비 — 각 수가 정확히 「세 번」 세어진다 같은 총합을 두 가지로 세는 것이 이 증명의 심장인데, 정확한 쪽을 셀 때 「왜 3배인가」가 고비입니다. 원 위의 어떤 수 하나를 보면, 그 수가 들어가는 세 수 묶음이 정확히 3개입니다 — 자기가 첫째인 묶음 · 둘째인 묶음 · 셋째인 묶음. 그래서 총합 = 3 × 55 = 165. 한편 부정한 가정으로 어림하면 묶음 10개가 각각 16 이하라 160 이하. 같은 수가 165이면서 160 이하일 수는 없으니 거기서 끝납니다. 「같은 것을 한 번은 정확히, 한 번은 가정으로 어림해 센다」 — 두 값이 어긋나는 순간이 곧 증명이 끝나는 자리입니다.
  2. 결론을 부정하여 모든 이웃한 세 수의 합이 16 이하라고 하자.
  3. 원 위의 열 자리 각각에서 시작하는 이웃한 세 수의 묶음을 만들면 묶음은 정확히 10개다.
  4. 이 10개의 합을 모두 더하면, 각 수는 자기 자신이 들어가는 묶음이 3개씩이므로 3번씩 세어진다.
    총합 = 3 × (1 + 2 + … + 10) = 3 × 55 = 165
  5. 한편 묶음이 10개이고 각각 16 이하이므로
    총합 ≤ 16 × 10 = 160
  6. 그런데 165 > 160 이다. 같은 총합이 165 이면서 160 이하일 수는 없다. 모순.
  7. 따라서 이웃한 세 수의 합이 17 이상인 곳이 반드시 있다.
  8. 검산 — 1 + 2 + … + 10 = 55 ✔ , 3 × 55 = 165 ✔ , 16 × 10 = 160 ✔ 차이 5 만큼 모순이 난다.
총합을 두 번 세면 165 > 160 으로 모순 ⇒ 17 이상인 곳이 있다
※ 열쇠는 같은 것을 두 가지 방법으로 세는 것이다. 한 번은 정확히(165), 한 번은 부정한 가정으로 어림(160 이하) — 두 수가 어긋나는 순간 증명이 끝난다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「원 위에」를 빼고 일렬로 늘어놓으면 일렬 1, 2, …, 10이라면 이웃한 세 수의 묶음이 10개가 아니라 8개이고, 각 수가 세어지는 횟수도 1번 · 2번 · 3번 · … · 2번 · 1번으로 제각각입니다. 그러면 「3배」라는 깔끔한 셈이 무너져 총합을 한 줄로 적을 수가 없습니다. → 「원 위에」라는 말이 「모두가 똑같이 세 번씩 세어진다」를 보장합니다. 두 번 세기를 쓸 때는 「고르게 세어지는가」를 먼저 확인하십시오.

🧭 마지막에 한 번만 더 — 증명이 막힐 때 보는 표

시험장에서 손이 멈추면 이 네 줄만 순서대로 짚으면 됩니다.

① 결론이 「적어도 하나는」·「또는」 이면 → 대우로 바꾼다.
② 결론이 「…이 아니다」·「무리수다」 면 → 귀류법으로 아니라고 해 놓는다.
③ 홀수는 2k − 1, 짝수는 2k — 말을 식으로 놓아야 계산이 시작된다.
④ 부등식이면 차를 본다 → 제곱으로 묶는다 → 근호는 제곱해 없앤다. 등호는 괄호 안이 0인 자리.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 전개·판정·값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음). 짝 강의에 실린 네 예제(a+b 홀수 · m²+n² 홀수 · 서로소 · √2)와 겹치지 않게 새로 지었습니다.
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