일반항 aₙ = a₁ + (n−1)d · 등차중항 2b = a + c · 부분합 Sₙ · 합에서 거꾸로 n 찾기 · aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ · 장대경 선생님의 특강
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먼저 · 등차수열을 푸는 무기 다섯 가지
① 등차인지 아닌지는 차로 안다
이웃한 두 항의 차 aₙ₊₁ − aₙ 가 늘 같으면 등차수열이고, 그 값이 공차 d 다. 하나라도 다르면 등차가 아니다.
② 일반항은 n 이 아니라 n − 1 번 더한다
aₙ = a₁ + (n − 1)d. 첫째항은 이미 놓여 있으니 더한 횟수가 하나 적다. 이 단원 최다 실수가 바로 여기다.
③ 등차중항 — 가운데를 두 배
a, b, c 가 이 차례로 등차이면 2b = a + c. 세 수가 등차라는 말이 나오면 이 한 줄부터 쓰고 시작한다.
④ 부분합은 두 꼴, 같은 식
끝항을 알면 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, 모르면 Sₙ = n{2a₁ + (n − 1)d}/2. 거꾸로 한 번 더 써서 위아래로 더하면 나온다.
⑤ 합만 주어지면 빼서 항을 꺼낸다
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (단 n ≥ 2). n = 1 은 S₀ 이 없으므로 a₁ = S₁ 으로 따로 구하고, 일반항에 1을 넣은 값과 같은지 확인한다.
이 개념, 학년마다 이렇게
초5~중1 · 규칙 찾기
3, 7, 11, 15 … 에서 몇 씩 커지나를 찾는 것. 그 「몇」이 곧 공차다.
중2 · 일차함수
aₙ = dn + (a₁ − d) — n 에 대한 일차식이다. 그래서 등차수열의 점은 한 직선 위에 놓이고, 기울기가 공차다.
고2 · 수열 (여기)
일반항·등차중항·부분합을 세우고, 규칙이 점화식이나 Sₙ 으로 숨어 있을 때 캐내는 자리.
고2 · 수열의 합과 급수
Sₙ 은 n 에 대한 이차식(상수항 없음)이 된다. 거꾸로 Sₙ 이 이차식이면 그 수열은 등차다 — 연습 7이 그 문제다.
연습 10제 · 상세 해설
난이도 배분 — C 2제 · B 7제 · A 1제. 문항 머리에 등급을 적어 두었습니다.
연습 1C일반항 세우기
첫째항이 5, 공차가 4 인 등차수열 {an} 에 대하여
일반항 an 과 a20 을 구하시오.
풀이 — 공식에 그대로 넣고, 괄호를 풀어 정리한다
an = a1 + (n − 1)d = 5 + (n − 1) · 4.
⭐ 여기가 고비 — 더하는 횟수는 n 이 아니라 n − 1 이다5 + 4n 이라고 쓰는 실수가 가장 많습니다. 그러면 a1 = 9 가 되어 첫째항부터 틀립니다. 첫째항은 이미 놓여 있는 항이라 d를 한 번도 더하지 않았습니다. a₂가 한 번, a₃이 두 번 — 그러니 aₙ은 n − 1 번입니다 ⇒ 5 + 4(n − 1) = 4n + 1.
세운 일반항은 반드시 n = 1 을 넣어 확인하십시오.4 · 1 + 1 = 5 — 첫째항과 같으니 옳습니다. 이 3초짜리 확인 하나가 이 단원 실수의 절반을 없앱니다.
⭐ 여기가 고비 — 「등차」라는 말을 보면 곧바로 2b = a + c 로 옮긴다
공차를 d 라 놓고 3 + d = x, x + d = 17 로 연립을 세워도 답은 나옵니다. 하지만 미지수가 둘로 늘어 두 줄을 더 씁니다. 등차의 뜻은 「차가 같다」이니 x − 3 = 17 − x, 정리하면 2x = 3 + 17 = 20 ⇒ x = 10. 한 줄로 끝납니다.
이것이 등차중항입니다.x = (3 + 17)/2 — 곧 두 수의 평균이지요. 「등차」라는 말 안에 「평균」이 들어 있는 까닭입니다. 세 수가 등차라는 조건은 앞으로도 언제나 2b = a + c 한 줄로 바꿔 쓰십시오.
검산 — 3, 10, 17 은 차가 모두 7 ✓
x = 10
※ 등차중항은 평균, 등비중항은 제곱해서 곱. 헷갈리지 말자.
연습 3B두 항으로 일반항 찾기
등차수열 {an} 에서 a3 = 11, a8 = 31 일 때
일반항 an 과 a20 을 구하시오.
풀이 — 두 항 사이의 간격을 세면 공차가 바로 나온다
⭐ 여기가 고비 — a₃에서 a₈까지는 d를 5번 더한 것이지 8번이 아니다a1 + 2d = 11, a1 + 7d = 31 로 연립해도 됩니다. 그런데 빼는 순간 a₁이 사라지고 남는 것은 5d = 20 뿐입니다. 곧 번호의 차 8 − 3 = 5 가 그대로 d를 더한 횟수입니다. 여기서 31 − 11 = 20 을 8로 나누거나 3으로 나누는 실수가 납니다. 바르게는 d = 20 ÷ 5 = 4.
일반형으로 외워 두면 편합니다 — am − ak = (m − k)d. 첫째항을 구할 때도 같습니다. a₃에서 a₁로 거꾸로 두 칸 가는 것이니 a1 = 11 − 2 · 4 = 3. 「몇 칸인가」만 정확히 세면 이 갈래 문제는 모두 한 줄입니다.
첫째항이 7, 공차가 −3 인 등차수열의 첫째항부터 제20항까지의 합 S20 을 구하시오.
풀이 — 끝항을 모르니 둘째 꼴을 쓴다
끝항 a20 이 주어지지 않았으므로 Sn = n{2a1 + (n − 1)d}/2 를 쓴다.
⭐ 여기가 고비 — 음수 공차는 괄호째 곱해야 부호가 안 새어 나간다(n − 1)d 자리에 19 · (−3) 을 넣을 때, 괄호를 벗기고 2 · 7 + 19 · 3 처럼 빼기를 흘려버리는 실수가 가장 많습니다. 바르게 2 · 7 + 19 · (−3) = 14 − 57 = −43. 그래서 S20 = 20 · (−43)/2 = 10 · (−43) = −430.
공차가 음수인 수열은 항이 점점 작아지다가 음수로 넘어갑니다. 여기서도 7, 4, 1, −2, … 로 넷째 항부터 음수지요. 그러니 합이 음수로 나왔다고 놀랄 것이 없습니다 — 오히려 양수가 나왔다면 그때 의심해야 합니다. 답의 부호를 미리 가늠해 두는 것도 검산입니다.
검산 — 스무 항 7, 4, 1, −2, … , −50 을 실제로 더해도 −430 ✓
다른 길 — a20 = 7 + 19(−3) = −50 이므로 S20 = 20(7 − 50)/2 = −430 ✓ (두 꼴이 같은 식임을 확인)
S20 = −430
※ 두 꼴은 같은 식이다. 끝항을 아느냐 모르느냐로 골라 쓴다.
연습 5B거꾸로 · 합에서 n 찾기
첫째항이 3, 공차가 4 인 등차수열에서
Sn = 465 일 때 n 의 값을 구하시오.
풀이 — Sₙ 을 n의 식으로 만들어 놓고 방정식을 푼다
Sn = n{2 · 3 + (n − 1) · 4}/2 = n(4n + 2)/2.
⭐ 여기가 고비 — 중괄호 안에서 2를 먼저 빼내면 분모가 사라진다
중괄호 안은 6 + 4n − 4 = 4n + 2 입니다. 여기서 곧바로 n(4n+2)/2 = 465 를 양변에 2를 곱해 4n² + 2n − 930 = 0 으로 만들면 숫자가 커져 인수분해가 어렵습니다.4n + 2 = 2(2n + 1) 로 2를 먼저 꺼내면 분모 2와 지워져 Sn = n(2n + 1) — 아주 깨끗해집니다.
이제 「곱해서 465 가 되는 n 과 2n+1」을 찾으면 됩니다. 465 = 5 · 93 = 15 · 31 이고, 2 · 15 + 1 = 31 이니 n = 15. (이차방정식으로 풀어도 2n² + n − 465 = 0, 판별식 1 + 3720 = 3721 = 61² ⇒ n = (−1 + 61)/4 = 15 로 같습니다.) n은 항의 개수이므로 양의 정수만 답이 됩니다 — 음수 근은 버립니다.
검산 — 열다섯 항 3, 7, 11, … , 59 를 실제로 더하면 465 ✓ (15 · 31 = 465)
n = 15
※ 등차수열의 Sₙ 은 상수항이 없는 n의 이차식이다. 여기서도 2n² + n 이다.
연습 6B등차중항 · 세 수 잡기
등차수열을 이루는 세 수의 합이 15, 곱이 80 이다. 이 세 수를 구하시오.
풀이 — 세 수를 a − d, a, a + d 로 잡는다
⭐ 여기가 고비 — a, a+d, a+2d 가 아니라 a−d, a, a+d 로 잡는다
습관대로 a, a + d, a + 2d 로 놓으면 합이 3a + 3d = 15 가 되어 미지수 둘이 끝까지 남습니다. 가운데를 기준으로 a − d, a, a + d 로 잡으면 합에서 d 가 저절로 지워져3a = 15, 곧 a = 5 — 가운데 수가 한 번에 나옵니다.
이것이 등차중항의 힘입니다 — 세 수의 합은 언제나 가운데 수의 3배이니까요. 이제 곱만 남습니다 : (5 − d) · 5 · (5 + d) = 5(25 − d²) = 80 ⇒ 25 − d² = 16 ⇒ d² = 9 ⇒ d = ±3. 세 수를 잡는 방식만 바꿔도 미지수가 하나 줄어듭니다.
d = 3 이면 2, 5, 8 · d = −3 이면 8, 5, 2 — 차례만 뒤집힌 같은 세 수다.
검산 — 2 + 5 + 8 = 15 ✓ 2 · 5 · 8 = 80 ✓ 차는 모두 3 ✓
2, 5, 8
※ 네 수라면 a − 3d, a − d, a + d, a + 3d 로 잡는다(공차는 2d). 역시 합에서 d가 지워진다.
연습 7BSn 이 주어질 때 · an = Sn − Sn−1
수열 {an} 의 첫째항부터 제n항까지의 합이
Sn = 2n² + 3n 이다.
일반항 an 을 구하고, 이 수열이 등차수열임을 보이고, a10 을 구하시오.
풀이 — 빼서 항을 꺼내고, n = 1 을 따로 확인한다
n ≥ 2 일 때 an = Sn − Sn−1 = (2n² + 3n) − {2(n−1)² + 3(n−1)}.
전개하면 2n² + 3n − (2n² − 4n + 2 + 3n − 3) = 4n + 1.
⭐ 여기가 고비 — 여기서 끝내면 안 된다. n = 1 을 따로 확인해야 답이 선다an = Sn − Sn−1 은 n ≥ 2 에서만 쓸 수 있습니다. S0 이라는 것이 없기 때문입니다. 그래서 a₁ 은 반드시 S₁ 으로 따로 구합니다 ⇒ a1 = S1 = 2 + 3 = 5. 그리고 위에서 얻은 식에 n = 1 을 넣어 보면 4 · 1 + 1 = 5 — 같습니다. 그러므로 an = 4n + 1 은 모든 n에서 성립합니다.
둘이 다르면 답을 두 줄로 나눠 써야 합니다 — 「a₁ = ⋯, n ≥ 2 일 때 aₙ = ⋯」. 이 문제는 다행히 하나로 합쳐집니다. 그리고 an+1 − an = 4(n+1) + 1 − (4n + 1) = 4 로 일정하니 공차 4인 등차수열입니다. Sₙ 이 상수항 없는 이차식이면 그 수열은 반드시 등차이고, n² 의 계수의 두 배가 공차입니다 — 여기서도 2 × 2 = 4 지요.
"S₇ − S₆ 으로 찾아보는 게 훨씬 더 낫다 — 요 방법도 있다는 거라."— 장대경 선생님 특강 「등차수열」 12:47
an = 4n + 1 (공차 4인 등차수열) · a10 = 41
※ n = 1 확인을 빠뜨리면 답이 반쪽이다. 이 단원에서 가장 자주 감점되는 자리다.
연습 8B짝을 지어 통째로 쓴다
등차수열 {an} 에서 a4 + a9 = 30 일 때
S12 의 값을 구하시오.
풀이 — a₁ 과 d 를 따로 구하려 하지 않는다
조건을 풀어 쓰면 a4 + a9 = (a1 + 3d) + (a1 + 8d) = 2a1 + 11d = 30.
⭐ 여기가 고비 — 식이 하나뿐이라 a₁과 d 는 못 구한다. 구할 필요도 없다
미지수는 둘인데 식은 하나입니다. 그래서 a₁도 d도 정해지지 않습니다. 여기서 「값이 부족하다」며 멈추는 학생이 많습니다. 그런데 구하라는 것은 S12 = 12{2a1 + 11d}/2 = 6(2a1 + 11d) — 중괄호 안이 조건과 똑같은 덩이입니다! 그대로 30을 넣으면 6 · 30 = 180.
번호의 합이 같은 두 항의 합은 늘 같습니다 — 4 + 9 = 13 = 1 + 12 이므로 a4 + a9 = a1 + a12 이고, 따라서 S12 = 12(a1 + a12)/2 = 6 · 30 = 180 으로도 곧바로 나옵니다. 「덩이째 쓰라」 — 이것이 수열 문제의 큰 요령입니다. 낱낱의 값을 못 구해도 묻는 것은 구해질 때가 많습니다.
다른 보기로 (15, 0) 을 넣어도 15 + 15 = 30, 합은 15 · 12 = 180 ✓ — a₁·d 가 달라도 S₁₂ 는 늘 180
S12 = 180
※ ap + aq = ar + as (단 p + q = r + s). 번호의 합만 보면 된다.
연습 9B사이에 수를 넣기
8 과 26 사이에 5 개의 수를 넣어 전체가 등차수열이 되게 하였다.
공차와 넣은 다섯 수의 합을 구하시오.
풀이 — 항의 개수가 아니라 「간격의 개수」를 센다
⭐ 여기가 고비 — 항은 7개지만 간격은 6개다 — 18을 6으로 나눈다
8과 26 사이에 다섯을 넣었으니 항은 모두 7개입니다. 여기서 26 − 8 = 18 을 7이나 5로 나누는 실수가 대단히 많습니다. 공차는 이웃 사이의 간격이고, 항이 7개면 간격은 6개입니다 ⇒ 26 = 8 + 6d ⇒ 6d = 18 ⇒ d = 3.
「두 수 사이에 k개를 넣으면 항은 k + 2 개, 간격은 k + 1 개」 — 이렇게 외워 두십시오. 나무 심기 문제와 똑같은 셈입니다. 일반형으로는 d = (b − a)/(k + 1) 입니다. 번호를 실제로 붙여 보면 절대 틀리지 않습니다 — a₁ = 8, a₇ = 26 이니 a7 = a1 + 6d 이지요.
전체 수열은 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. 넣은 다섯은 11, 14, 17, 20, 23.
그 합은 11 + 14 + 17 + 20 + 23 = 85.
빠른 길 — 넣은 다섯도 등차이고 가운데가 17 이니 5 × 17 = 85 ✓ (등차중항)
공차 3 · 다섯 수의 합 85
※ 홀수 개의 등차수열의 합은 가운데 항 × 개수. 연습 6과 같은 성질이다.
연습 10ASn · S2n · S3n 의 덩이
등차수열 {an} 에서 S10 = 60, S20 = 320 일 때
S30 의 값을 구하시오.
⭐ 여기가 고비 — S₁₀, S₂₀−S₁₀, S₃₀−S₂₀ 이 또 하나의 등차수열이다S₁₀, S₂₀, S₃₀ 자체가 등차라고 보아S30 = 2 · 320 − 60 = 580 이라고 답하는 것 — 이것이 이 문제의 함정입니다. 등차인 것은 Sₙ 이 아니라 「열 항씩 끊어 담은 덩이」 입니다. 앞 열 항의 합 S10 = 60, 다음 열 항의 합 S20 − S10 = 260, 그다음 열 항의 합 S30 − S20 — 이 셋이 등차입니다. 왜냐하면 뒤 덩이의 각 항은 앞 덩이의 대응하는 항보다 정확히 10d 만큼 크고, 항이 10개이니 덩이의 차는 늘 100d 로 일정하기 때문입니다.
그러므로 S30 − S20 = 260 + (260 − 60) = 460 ⇒ S30 = 320 + 460 = 780. 두 길이 같은 값을 냈으니 답은 780 입니다. (실제로 100d = 100 · 2 = 200 이 덩이의 공차와 정확히 맞습니다.) 「합이 등차」와 「덩이가 등차」를 구별하는 것 — 이것이 이 문제의 전부입니다.
검산 — a1 = −3, d = 2 로 항 서른 개 −3, −1, 1, 3, …, 55 를 실제로 더하면 780 ✓ 앞 열 항의 합도 60 ✓ 스무 항의 합도 320 ✓
⚠ 이 함정에 가장 많이 걸립니다✗ S₁₀, S₂₀, S₃₀ 이 등차라고 보고 S₃₀ = 2 · 320 − 60 = 580✓ 등차인 것은 열 항씩 끊은 덩이 60, 260, 460 — 공차 200. 그래서 S₃₀ = 60 + 260 + 460 = 780
S30 = 780
※ 일반형 — 등차수열에서 Sk, S2k − Sk, S3k − S2k 는 공차 k²d 인 등차수열이다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고, 열 제 전부를 손으로 풀고 다시 파이썬으로 항을 실제로 만들어 전수 대조한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).