YEON MATH · 행복수학

등비수열 실전 완전정복
— 이웃한 항의 비가 항상 같다 · 연습 10제

판별·일반항·합공식·비율활용 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 등비수열, 네 가지 무기

1
등비수열 판별 — 이웃한 항의 비(다음 항÷앞 항)가 항상 같은 값(공비 r)이면 등비수열이다.
2
일반항 — 첫째항 a, 공비 r인 등비수열의 n번째 항은 aₙ = a·rⁿ⁻¹.
3
등비수열의 합 — Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1일 때).
＋
S₂ₙ/Sₙ 비율 활용 — S₂ₙ = Sₙ(rⁿ+1) 관계를 이용하면 공비를 먼저 구할 수 있다.
×r ×r ×r

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"세균이 2배씩 늘어나는" 배가 현상으로 곱해서 커지는 감각을 체험한다.
📐 고2 (핵심)
등비수열 판별, 일반항, 합 공식, S₂ₙ/Sₙ 비율 활용.
🎓 고등 (확장)
등비급수(무한등비급수의 합), 복리 계산, 방사성 붕괴 모델.

🐣 저학년 직관 — "세균이 2배씩 늘어난다"

세균 1마리가 1시간마다 2배씩 늘어난다고 해봐요. 1시간 후엔 2마리, 2시간 후엔 4마리, 3시간 후엔 8마리… 계속 곱해서 늘어나요. 이게 바로 등비수열이에요.

계속 곱해서 커지는(작아지는) 수열 = 등비수열

연습 10제 · 그림 해설

문제 1등비수열 판별 · 기본
수열 2, 6, 18, 54, ...의 공비를 구하고, 다음 항을 구하라.

풀이 — 이웃한 항의 비 확인

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「차」가 아니라 「비」를 본다 2에서 6, 6에서 18, 18에서 54. 늘어난 양은 4, 12, 36으로 제각각이라 등차수열의 눈으로 보면 규칙이 없어 보입니다. 그런데 나눠 보면 셋 다 3입니다. 왜 하필 나누기인가요? 등비수열은 같은 수를 계속 곱해서 만든 수열이기 때문입니다. 곱해서 만든 것을 되찾으려면 나누는 수밖에 없습니다. 그래서 등비수열에서는 이웃한 두 항을 늘 나눠서 봅니다.
  2. 6÷2=3, 18÷6=3, 54÷18=3. 공비 3. 다음 항: 54×3=162.
"이웃한 항의 비만 보면 돼 — 다음 항 ÷ 앞 항이 늘 같은 값이면 등비수열."— 장대경 선생님 제23강 「등비수열」
공비 3, 다음 항 162
문제 2일반항 · 기본
첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열의 제5항을 구하라.

풀이 — aₙ=a·rⁿ⁻¹

  1. ⭐ 여기가 고비 — 제5항인데 왜 2⁵이 아니라 2⁴인가 첫째항 3은 아직 한 번도 곱하지 않은 상태입니다. 3 → 6 → 12 → 24 → 48로 가는 동안 2를 곱한 횟수는 4번. 그래서 지수는 5가 아니라 5−1=4입니다. 일반항 aₙ = a·rⁿ⁻¹의 n−1은 「항 번호」가 아니라 「곱한 횟수」입니다. 항 다섯 개 사이에 화살표는 네 개뿐이라는 것을 한 번 그려 보면 다시는 안 헷갈립니다.
  2. a₅=3×2⁴=3×16=48.
  3. 검산: 3, 6, 12, 24, 48 — 다섯째가 48 ✓
48
문제 3등비수열의 합 · 기본
첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제4항까지의 합을 구하라.

풀이 — Sₙ=a(rⁿ−1)/(r−1)

  1. ⭐ 여기가 고비 — 일반항은 n−1승, 합은 n승 바로 앞 문제에서 지수가 n−1이었는데 합 공식 Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1)에서는 n이 그대로 들어갑니다. 여기서 많이 어긋납니다. 까닭은 세는 대상이 다르기 때문입니다. 일반항의 지수는 「곱한 횟수」라 하나 적고, 합의 지수는 「더한 항의 개수」라 그대로입니다. 제4항까지 더했으니 항이 4개, 그래서 3⁴.
  2. S₄=2(3⁴−1)/(3−1)=2×80/2=80.
  3. 검산: 2+6+18+54=80 ✓
80
문제 4S₂ₙ/Sₙ 비율 활용 · 진가
첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sₙ이라 하자. S₃=78, S₆=2184일 때, 첫째항 a의 값을 구하라.

풀이 — S₆/S₃ = rⁿ+1 관계 이용

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 「나눠 볼」 생각을 하는가 모르는 것이 a와 r 둘, 주어진 식도 둘이니 그대로 연립하면 6차식이 나옵니다. 손으로 풀 물건이 아닙니다. 그런데 r⁶−1을 (r³−1)(r³+1)로 가르면 앞쪽 덩어리가 통째로 S₃가 됩니다. 나누는 순간 a가 약분되어 사라집니다. 미지수 둘 중 하나가 없어지니 r 하나만 남고, r을 알면 다시 S₃에 넣어 a를 되찾습니다. 「두 합이 함께 주어지면 나눠 본다」 — 이 단원의 손놀림입니다.
  2. S₆ = a(r⁶−1)/(r−1) = a(r³−1)(r³+1)/(r−1) = S₃×(r³+1).
  3. 2184/78 = r³+1 = 28 → r³=27 → r=3.
  4. S₃=a(27−1)/(3−1)=13a=78 → a=6.
  5. 검산: 6+18+54=78 ✓   78+162+486+1458=2184 ✓
a = 6
문제 5등비중항
x, 6, x+5가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 양수 x의 값을 구하라.

풀이 — 등비중항: (가운데)²=양옆의 곱

  1. ⭐ 여기가 고비 — 등비중항 식은 외운 공식이 아니다 「이 순서로 등비수열」이라는 말은 앞뒤 비가 같다는 뜻뿐입니다. 그대로 쓰면 6/x = (x+5)/6. 양변에 6x를 곱해 정리한 것이 바로 6² = x(x+5)입니다. 그래서 「가운데의 제곱 = 양옆의 곱」은 새 공식이 아니라 비례식을 옮겨 쓴 것입니다. 잊어버렸으면 비가 같다는 데서 다시 만들어 쓰면 됩니다.
  2. 6²=x(x+5) → x²+5x−36=0 → (x+9)(x−4)=0 → x=4(양수).
  3. 검산: 4, 6, 9 — 공비가 3/2로 일정 ✓  (x=−9도 등비수열이 되기는 하나 양수라는 단서에 걸려 버린다)
x = 4
문제 6등비수열 판별 · 응용
다음 중 등비수열이 아닌 것을 고르라. ① 1,2,4,8 ② 3,6,9,12 ③ 81,27,9,3

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — ②가 가장 규칙적으로 보인다 3, 6, 9, 12는 3씩 고르게 늘어나서 셋 중 제일 반듯해 보입니다. 그래서 오히려 정답으로 안 고릅니다. 하지만 고른 것은 차이지 비가 아닙니다. 「일정하게 늘어난다」와 「일정한 비로 늘어난다」는 아주 다른 말입니다. 앞엣것은 등차, 뒤엣것이 등비. 이 문제는 그 두 말을 갈라 놓을 줄 아느냐만 묻고 있습니다.
  2. ①③은 공비가 각각 2, 1/3로 일정. ②는 차이는 3으로 일정하지만 비는 2,1.5,1.33...으로 다름(등차수열).
② (등차수열이지 등비수열이 아님)
문제 7일반항 역산
등비수열 1, 3, 9, ...에서 처음으로 1000을 넘는 항은 제몇 항인지 구하라.

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 지수 7과 항 번호 8이 한 칸 어긋난다 계산해서 얻는 것은 「지수가 7일 때 1000을 넘는다」입니다. 그런데 물음은 제몇 항이냐입니다. 일반항이 3ⁿ⁻¹이니 지수 7은 n−1=7, 곧 제8항입니다. 여기서 「제7항」이라 답하는 것이 이 유형 최다 실수입니다. 구한 수가 지수인지 항 번호인지를 답을 쓰기 직전에 한 번 짚으십시오.
  2. aₙ=3ⁿ⁻¹. 3⁶=729, 3⁷=2187. 제8항(n-1=7)에서 1000을 넘음.
  3. 검산: 제7항 3⁶=729는 아직 1000 미만 ✓, 제8항 3⁷=2187 ✓
제8항 (2187)
문제 8합 공식 응용
첫째항이 1, 공비가 -2인 등비수열의 첫째항부터 제5항까지의 합을 구하라.

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 공비가 음수여도 공식은 그대로, 괄호만 챙긴다 공비가 −2라고 해서 다른 공식이 있는 것이 아닙니다. 다만 −2를 통째로 괄호에 넣어 (−2)⁵로 써야 합니다. 이번에는 (−2)⁵과 −2⁵이 우연히 둘 다 −32라 넘어가지만, 짝수 제곱에서는 갈립니다 — (−2)⁴=16인데 −2⁴=−16. 괄호는 결과를 보고 붙이는 것이 아니라 습관으로 붙이는 것입니다.
  2. S₅=1×((-2)⁵−1)/(-2−1)=(-32-1)/(-3)=(-33)/(-3)=11.
  3. 검산: 1−2+4−8+16=11 ✓
11
문제 9공비 구하기
등비수열의 제2항이 6, 제5항이 48일 때, 공비를 구하라.

풀이 — a₅/a₂=r³

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 r³인가 (r⁵도 r⁴도 아니고) 제2항에서 제5항까지 가는 동안 r을 곱한 횟수는 5−2=3번입니다. 그래서 a₅ = a₂ × r³. 첫째항 a를 굳이 구할 필요가 없습니다. 두 항을 나누면 a가 약분되어 사라지고 「몇 칸 떨어졌나」만 남습니다. 항 번호의 차가 곧 지수입니다.
  2. a₅/a₂=48/6=8=r³ → r=2.
  3. 검산: 6 → 12 → 24 → 48 — 제2항 6에서 세 번 곱해 48 ✓
r = 2
문제 10실생활 · 복리
원금 100만원을 연 10% 복리로 예금할 때, 3년 후 원리합계를 구하라. (등비수열: 매년 1.1배)

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 곱하는 수는 0.1이 아니라 1.1 「연 10% 복리」는 이자만 남는다는 뜻이 아니라 원금 100%에 이자 10%가 더해져 110%가 된다는 뜻입니다. 그래서 해마다 1.1배. 0.1을 곱하면 원금이 사라지고 이자만 남습니다. 「몇 퍼센트 늘어난다」는 말이 나오면 1 + (비율)을 곱한다 — 증가·감소 문제 전부에 그대로 씁니다 (20% 줄면 0.8배).
  2. 100×1.1³=100×1.331=133.1(만원).
  3. 검산: 110 → 121 → 133.1 — 해마다 이자가 이자에도 붙는다 ✓
133.1만원

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"이웃한 항의 비가 같다" 하나로 복리·물리·생물학까지

등비수열에서 익힌 "계속 곱해서 커진다(작아진다)"는 눈이, 학년이 올라가면 복리·물리·생물학으로 그대로 이어집니다.

① 고3 · 무한등비급수
수학Ⅱ · 급수
공비가 |r|<1이면, 무한히 더해도 일정한 값에 수렴해요(S=a/(1-r)). 오늘 배운 합 공식의 극한값이에요.
② 경제 · 복리 이자와 연금
경제·금융
복리 예금·적금·대출 상환액 계산은 전부 등비수열이에요. Q10의 복리 계산이 실제 금융 상품 계산과 똑같아요.
③ 물리학 · 방사성 붕괴
물리학·화학
방사성 물질은 반감기마다 절반씩 줄어들어요 — 공비 1/2인 등비수열이에요. 탄소연대측정법의 핵심 원리예요.
④ 생물학 · 세균 증식
생물학
세균은 일정 시간마다 분열해서 2배씩 늘어나요. 오늘 배운 저학년 직관(세균 2배)이 실제 생물학 모델이에요.
⑤ 컴퓨터과학 · 이진수와 메모리
컴퓨터공학
컴퓨터 메모리 용량(1, 2, 4, 8, 16...GB)은 공비 2인 등비수열이에요. 이진법 체계 전체가 등비수열의 원리로 되어 있어요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"계속 곱해서 커진다" 하나로 급수·복리·물리까지. 학년별 3문제씩!

도전 · 고3무한등비급수
첫째항이 4, 공비가 1/2인 무한등비급수의 합을 구하라.

풀이 — S=a/(1-r)

  1. ⭐ 여기가 고비 — 무한히 더하는데 왜 값이 유한한가 항이 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...로 0에 다가갑니다. 그래서 Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)에서 rⁿ이 사라지고 a/(1−r)만 남습니다. 그러니 이 공식은 |r| < 1일 때만 쓸 수 있습니다. 공식을 꺼내기 전에 공비의 크기가 1보다 작은지부터 봅니다. 여기서는 1/2라 통과.
  2. S=4/(1-1/2)=4/(1/2)=8.
  3. 검산: 4+2+1+0.5+0.25+0.125 = 7.875 — 8에 조금씩 다가간다 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 조건을 안 보고 공식만 쓰면 첫째항 1, 공비 2인 급수 1+2+4+8+…에 공식을 그대로 넣어 봅시다. S = 1/(1−2) = −1. 양수만 계속 더했는데 합이 −1이라니, 말이 되지 않습니다. 이것이 공식을 쓸 자격이 없다는 신호입니다. → |r| < 1을 먼저 확인한다. 어기면 합은 발산이라 「없다」고 답한다.
8
도전 · 경제복리 계산
원금 50만원을 연 20% 복리로 2년간 예금하면 원리합계는 얼마인가?

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「2년간」이면 왜 제곱인가 해가 한 번 바뀔 때마다 1.2배가 되니, 두 해가 지나면 두 번 곱합니다. 시간의 길이가 아니라 「이자가 붙은 횟수」가 지수입니다. 단리라면 50 + 50×0.2×2 = 70만원입니다. 복리는 둘째 해 이자가 첫해에 붙은 이자에도 다시 붙어 72만원. 그 2만원 차이가 곧 복리입니다.
  2. 50×1.2²=50×1.44=72(만원).
  3. 검산: 1년 뒤 60만원, 그 60에 20% → 60×1.2=72 ✓
72만원
도전 · 물리반감기
방사성 물질 800g의 반감기가 5년일 때, 15년 후 남은 양을 구하라.

풀이 — 15년=반감기 3번

  1. ⭐ 여기가 고비 — 지수에 들어가는 것은 15가 아니라 3 「15년」을 그대로 지수에 넣으면 안 됩니다. 물어야 할 것은 반이 되는 일이 몇 번 일어났는가이고, 그것이 15÷5=3번입니다. 반감기 문제는 언제나 「기간 ÷ 한 번 걸리는 시간」으로 횟수부터 센 다음 지수에 넣습니다. 800 → 400 → 200 → 100, 세 번 접었다고 생각하면 그림이 그려집니다.
  2. 800×(1/2)³=800/8=100(g).
  3. 검산: 5년 400g, 10년 200g, 15년 100g ✓
100g
도전 · 생물세균 증식
세균 1마리가 20분마다 2배로 늘어날 때, 2시간(120분) 후 세균 수를 구하라.

풀이 — 120분÷20분=6번 분열

  1. ⭐ 여기가 고비 — 앞의 반감기 문제와 똑같은 물음이다 늘어나느냐 줄어드느냐만 다를 뿐, 지수 자리에 들어가는 것은 여전히 「사건이 몇 번 일어났나」입니다. 120÷20=6번 분열. 반으로 줄면 (1/2)의 거듭제곱, 두 배로 늘면 2의 거듭제곱 — 바뀌는 것은 밑뿐이고 지수를 세는 방법은 하나입니다. 두 문제를 한 덩어리로 외워 두십시오.
  2. 1×2⁶=64마리.
  3. 검산: 20분 2 · 40분 4 · 60분 8 · 80분 16 · 100분 32 · 120분 64 ✓
64마리
도전 · 공학메모리 용량
컴퓨터 메모리가 1, 2, 4, 8, ...GB로 늘어날 때, 제10번째 값을 구하라.

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 첫째항 1은 2⁰이다 1, 2, 4, 8을 2¹, 2², 2³으로 읽으면 한 칸이 통째로 밀립니다. 첫째항 1은 2⁰이므로 제10항의 지수는 10−1=9입니다. 문제 2에서 본 「곱한 횟수가 지수」가 그대로 다시 나왔습니다. 첫째항이 1인 수열은 특히 밀리기 쉬우니, 첫째항의 지수가 0이라는 것을 먼저 못 박고 셉니다.
  2. a₁₀=1×2⁹=512GB.
  3. 검산: 1·2·4·8·16·32·64·128·256·512 — 열 번째가 512 ✓
512GB
도전 · 고등등비수열의 합 응용
등비수열의 첫째항부터 제3항까지의 합이 7, 첫째항부터 제6항까지의 합이 63일 때, 공비 r을 구하라. (단, r>0)

풀이

  1. ⭐ 여기가 고비 — 첫째항을 묻지 않았으니 없애 버린다 문제 4와 손놀림은 같지만 끝나는 자리가 다릅니다. 거기서는 나눈 뒤 r을 되가져가 a를 구했고, 여기서는 a를 아예 묻지 않았으니 나눠서 지워 버리는 것으로 끝입니다. 「무엇을 묻지 않았나」가 어느 길로 갈지를 정합니다. 두 개의 합이 함께 주어졌는데 첫째항을 묻지 않으면, 그것은 나누라는 신호입니다.
  2. S₆/S₃=r³+1=63/7=9 → r³=8 → r=2.
  3. 검산: r=2면 S₃=a(2³−1)/(2−1)=7a=7 → a=1. 1+2+4=7 ✓   1+2+4+8+16+32=63 ✓
r = 2
※ 이 자료의 예제(문제 4)는 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브)에서 가져와 전수 재검산했습니다. 나머지 문항은 같은 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성한 교육 자료입니다.
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