도함수의 활용 실전 완전정복
— 미분해서 부호가 바뀌는 곳이 극값 · 연습 10제

풀이 — f'(x)=0인 점 찾기

1. ⭐ 여기가 고비 — f′(x)=0 을 푸는 것이 왜 극값 찾기인가 f′(x)는 그 자리의 기울기입니다. 기울기가 0이라는 것은 그래프가 잠깐 평평해졌다는 뜻이고, 오르막이 끝나고 내리막이 시작되는 자리가 바로 거기입니다. 그러니 극값을 눈으로 찾는 대신 「기울기가 0인 x」를 방정식으로 찾는 것입니다. 여기서는 아래로 볼록한 이차함수라 그 한 점이 반드시 골짜기(극소)입니다. (⚠️ 삼차 이상에서는 기울기가 0이어도 극값이 아닐 수 있습니다 — 문제 9에서 만납니다.)
2. f'(x)=2x-4=0 → x=2. f(2)=4-8+3=-1(극소).

풀이 — f'(x)=0으로 극점 찾고 부호 확인

풀이 — 기울기=f'(a)

1. ⭐ 여기가 고비 — 접선을 정하는 데 필요한 두 가지 직선 하나를 못 박으려면 기울기와 점이 있어야 합니다. 접선에서는 미분이 기울기를 주고(f′(1)=2), 문제가 점을 줍니다((1,1)). 그 둘을 y−y₁ = m(x−x₁)에 꽂으면 끝입니다. 「접선」이라는 말이 어렵게 들리지만, 하는 일은 중2에서 배운 직선 그리기와 똑같습니다. 달라진 것은 기울기를 그림에서 세는 대신 미분으로 구한다는 것 하나뿐입니다. 검산: x=1을 넣으면 2−1=1로 그 점을 지납니다 ✓
2. f'(x)=2x, f'(1)=2. 접선: y-1=2(x-1) → y=2x-1.

풀이 — 미분해서 그 점의 기울기 구하기

풀이 — f'(x)>0인 구간 찾기

1. ⭐ 여기가 고비 — 「근 사이」인가 「근 바깥」인가 f′(x)=3(x−1)(x−3)이 양수인 곳을 찾아야 하는데, 여기서 「1과 3 사이」라고 잘못 잡는 것이 최다 실수입니다. x²의 계수가 양수이므로 포물선이 아래로 볼록이고, 근 사이는 아래로 내려가 음수, 근 바깥이 양수입니다. 헷갈리면 아무 값이나 하나 넣어 보십시오 — f′(0) = 3·(−1)·(−3) = 9 > 0이고 f′(2) = 3·1·(−1) = −3 < 0. 1초 만에 「바깥이 양수」라는 것이 확인됩니다. 부등식은 외우는 것보다 한 점을 찍어 보는 것이 빠르고 안전합니다.
2. f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3).
3. 이차식이 위로 볼록(양수 계수)이므로 근 바깥쪽에서 양수: x<1 또는 x>3.

풀이 — 극값과 양 끝값을 모두 비교

1. ⭐ 여기가 고비 — 닫힌구간에서는 「양 끝값」도 후보다 극값만 견주면 구간의 끝에서 더 큰 값이 나오는 경우를 통째로 놓칩니다. 그래서 극점 x=−1, 3과 양 끝 x=−2, 4 넷을 모두 적어 놓고 견줍니다. 여기서는 다행히 최댓값이 극대 자리에서 나왔지만, 만약 구간이 −2 ≤ x ≤ 2였다면 x=3은 구간 밖이라 후보에서 빠지고, f(2) = −8+12+18−1 = 21로 최댓값이 끝값에서 나옵니다. ①극점이 구간 안에 있는지 확인 ②극점과 양 끝을 표로 적기 — 이 두 걸음을 거르지 마십시오.
2. f'(x)=-3x²+6x+9=-3(x-3)(x+1)=0 → x=-1, 3(둘 다 구간 안).
3. f(-2)=8+12-18-1=1, f(-1)=1+3-9-1=-6, f(3)=-27+27+27-1=26, f(4)=-64+48+36-1=19.
4. 가장 큰 값 26, 가장 작은 값 -6.

풀이 — f'(x)=0이 실근을 갖지 않거나 중근이면 극값 없음

1. ⭐ 여기가 고비 — 「극값이 없다」를 부호의 말로 바꾼다 극값은 기울기의 부호가 바뀌어야 생깁니다. 그러니 「극값이 없다」는 「f′(x)=3x²+a가 부호를 바꾸지 않는다」는 뜻입니다. 이 포물선은 위로 뻗으니 최솟값이 a이고, a ≥ 0이면 늘 0 이상이라 부호가 안 바뀝니다. 등호가 들어가는 까닭이 중요합니다 — a=0이면 f′(x)=3x²이라 x=0에서 0이 되지만, 앞뒤로 모두 양수라 부호가 안 바뀝니다. 곧 「기울기가 0인 점이 있다」와 「극값이 있다」는 다른 말입니다. 그 갈림길을 다음 문제 9에서 눈으로 봅니다.
2. f'(x)=3x²+a가 항상 0 이상이어야: a≥0.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — y좌표는 f′이 아니라 f에서 나온다 f′(x)=0으로 x=±1을 얻고 나면, 그 자리에서 f′에 다시 넣어 y를 구하는 실수가 잦습니다. 점의 y좌표는 원래 곡선 f에 넣어야 나옵니다. f′은 「기울기」를 내주는 함수이지 「높이」를 내주는 함수가 아닙니다. 그리고 물음이 「모두」라 했으니 두 점을 다 써야 합니다 — 하나만 쓰면 절반만 맞습니다. 검산: f(1)=1−3+1=−1, f(−1)=−1+3+1=3 ✓
2. f'(x)=3x²-3=0 → x=±1. f(1)=-1, f(-1)=3.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 평평하다고 해서 꼭대기는 아니다 f′(x)=3(x−1)²은 x=1에서 분명히 0입니다. 그런데 그 앞뒤로 모두 양수라 부호가 바뀌지 않습니다. 그래서 극값이 아닙니다. 그림으로는 산을 오르다 잠깐 평평해졌다가 다시 오르는 자리입니다 — 멈칫했을 뿐 내려간 적이 없으니 꼭대기가 아닙니다. 그래서 「기울기가 0인 점을 찾는 것」은 극값 찾기의 절반일 뿐이고, 나머지 절반은 「그 앞뒤에서 부호가 정말 바뀌는지」 확인하는 일입니다. 제곱꼴 (x−a)²이 나오면 거의 언제나 이 경우입니다.
2. f'(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²≥0. 항상 0 이상(등호는 x=1에서만) → 극값 없음(단조증가).

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 이미 아는 답을 「새 도구」로 다시 푸는 문제다 S(x)=20x−x²는 이차함수라 완전제곱으로도 꼭짓점 x=10을 구할 수 있습니다. 그런데 여기서 굳이 미분을 쓰는 까닭은, 이 도구가 삼차·사차·분수식에도 그대로 통하기 때문입니다. 그리고 답의 뜻을 읽어 보십시오 — x=10이면 세로도 20−10=10이라 정사각형입니다. 곧 「둘레가 같을 때 넓이가 가장 큰 직사각형은 정사각형」이라는, 겪어서 아는 사실이 나왔습니다. 검산: S(10)=100인데 S(9)=99, S(11)=99 — 양옆이 낮으니 꼭대기가 맞습니다 ✓
2. S(x)=20x-x², S'(x)=20-2x=0 → x=10.

풀이 — 극댓값>0, 극솟값<0

1. ⭐ 여기가 고비 — 「세 실근」을 그래프의 말로 바꾼다 서로 다른 세 실근 = 그래프가 x축을 세 번 뚫는다는 뜻입니다. 삼차함수가 x축을 세 번 뚫으려면 꼭대기는 x축 위에, 골짜기는 x축 아래에 있어야 합니다. 그것이 곧 극댓값 > 0 이고 극솟값 < 0입니다. 「근의 개수」를 「그래프와 x축이 만나는 횟수」로 옮겨 읽는 것이 이 유형 전부입니다. 두 번만 뚫으려면 한쪽이 x축에 닿아야 하고(중근), 한 번만 뚫으려면 극값 둘이 x축 같은 쪽에 있어야 합니다. 그림을 손으로 세 가지 다 그려 보면 부등호 방향을 외울 필요가 없어집니다.
2. f'(x)=3x²-3=0 → x=±1. 극댓값 f(-1)=2+k, 극솟값 f(1)=-2+k. 조건: 2+k>0, -2+k<0 → -2<k<2.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「속도가 0」은 멈춘 순간이자 방향이 바뀌는 자리 v(t)=s′(t)이므로 위치 그래프의 극점이 곧 속도가 0인 시각입니다. 여기서는 t=1과 t=3 — 물체가 두 번 되돌아섭니다. 부호를 훑어 보면 움직임이 보입니다 — 0<t<1 앞으로, 1<t<3 뒤로, t>3 다시 앞으로. 검산: s(1)=4까지 갔다가 s(3)=27−54+27=0 — 출발점으로 되돌아온 것이 확인됩니다 ✓ 「속도가 0」은 「멈춰 있다」가 아니라 대개 「방향을 바꾸는 찰나」입니다.
2. v(t)=s'(t)=3t²-12t+9=3(t-1)(t-3)=0 → t=1, 3.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — P′(x)는 「한 개 더 만들면 이윤이 얼마나 늘까」 P′(x)가 양수인 동안은 더 만들수록 이득이고, 음수가 되면 만들수록 손해입니다. 그러니 0이 되는 자리가 갈림길입니다. 경제에서 이 P′를 「한계이윤」이라 부릅니다. 미분이 「변화의 빠르기」라는 것을 알면, 경제·물리·공학의 최적화가 전부 같은 물음이 됩니다 — 「더 갈수록 좋아지는가, 나빠지는가, 그 경계는 어디인가.」 검산: P(20)=300인데 P(19)=299, P(21)=299 ✓
2. P'(x)=-2x+40=0 → x=20.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 변곡점은 f′이 아니라 f″이 0인 자리 f′=0은 「기울기가 0」인 자리(꼭대기·골짜기)이고, f″=0은 「휘는 방향이 바뀌는」 자리입니다. 이 둘은 아주 다릅니다. 이 함수를 보면 확실합니다 — f′(x)=3x²−6x=0에서 극점이 x=0, 2인데, 변곡점은 x=1로 그 한가운데입니다. 사실 삼차함수의 변곡점은 언제나 두 극점의 한가운데에 옵니다 — 좌우 대칭이기 때문입니다. 이것을 알면 변곡점을 구한 뒤 「극점 한가운데인가」로 곧바로 검산할 수 있습니다 ✓
2. f''(x)=6x-6=0 → x=1. f(1)=1-3=-2.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 분모에 x가 있어도 미분은 그대로다 128/x를 128x⁻¹로 고쳐 쓰면 여느 다항식과 똑같이 미분됩니다 — −128x⁻² = −128/x². 그다음 S′=0을 풀 때는 양변에 x²을 곱해 분모를 없앱니다 → 2x³=128. 그리고 마지막에 「x는 상자의 밑변이라 양수」라는 것을 짚어야 합니다 — x³=64의 실수 해는 4 하나이지만, 문제에 따라서는 음수 해를 버려야 하는 경우가 옵니다. 검산: S(4)=16+32=48인데 S(3)≈51.7, S(5)≈50.6 — 양옆이 높으니 골짜기가 맞습니다 ✓
2. S'(x)=2x-128/x²=0 → 2x³=128 → x³=64 → x=4.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 이 한 줄이 AI가 배우는 방식이다 E(x)=(x−3)²은 「예측 x가 정답 3에서 얼마나 빗나갔나」를 재는 자입니다. 그 오차를 가장 작게 만드는 x를 찾는 것이 「학습」이고, 그것이 E′(x)=0을 푸는 일입니다. 다만 AI는 x=3을 한 번에 풀어내지 않습니다. E′(x)의 부호를 보고 조금씩 움직입니다 — 기울기가 양수면 왼쪽으로, 음수면 오른쪽으로. 그것을 수없이 되풀이해 결국 기울기가 0인 골짜기 바닥에 다다릅니다. 이것이 경사하강법입니다. 「기울기를 보고 내려간다」 — 오늘 배운 도함수가 그대로 쓰이고 있습니다.
2. E'(x)=2(x-3)=0 → x=3.