\((a\pm b)^2\), \((a+b)(a-b)\), \((x+a)(x+b)\) 네 가지. 넓이가 붙은 직사각형 그림으로 눈에 익힌다.
📐 고1 (핵심)
세 항의 제곱, 세제곱 공식, 세제곱의 합·차, 그리고 변형. 덩어리로 묶어 태우는 눈이 여기서 완성된다.
🎓 그다음 (확장)
이항정리 \((a+b)^n\), 나머지정리·인수정리, 대칭식과 조건식의 값 구하기.
🧩 한 줄 요령 — "펼치기 전에 묶을 곳부터 찾는다"
\((x^2+x+1)(x^2-x+1)\) 을 그냥 곱하면 아홉 번을 곱해야 해요. 그런데 두 괄호를 나란히 놓고 보면
\(x^2+1\) 은 그대로고 \(x\) 만 부호가 다릅니다. 그러니 \(x^2+1\) 을 통째로 \(a\), \(x\) 를 \(b\) 로 보면
합차 꼴이 되어 두 번만 제곱하면 끝나요.
이게 선생님이 내내 말씀하신 "몽땅 a, 몽땅 b" 입니다. 펼치기 전에 묶을 곳부터 찾는 것이 곱셈공식의 전부예요.
묶을 곳을 먼저 찾는다 → 공식 한 줄로 끝난다
연습 10제 · 고비 표시 해설
문제 1C묶어서 태우기
\((2x+3y)^2\) 을 전개하라.
풀이 — \(a=2x,\ b=3y\) 로 묶고 \((a+b)^2\) 하나만 쓴다
\(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\).
⭐ 여기가 고비 — 가운데 항의 계수는 세 개를 곱한다
\(2ab\) 자리에서 \(2\) 만 곱하고 끝내는 학생이 아주 많습니다. \(2ab = 2\times 2x\times 3y\) 이므로
곱해야 할 수가 2, 2, 3 세 개입니다. 그래서 \(12xy\) 이지 \(6xy\) 가 아닙니다.
묶어서 태울 때는 a 자리에 들어간 것이 \(2x\) 라는 사실을 끝까지 붙잡아야 합니다.
\(a\) 라고 써 놓는 순간 앞의 계수 \(2\) 를 잊기 쉬운데, 되돌려 넣는 순간 계수도 같이 돌아온다는 것을 기억하세요.
\(b^2 = (3y)^2 = 9y^2\).
검산 — 직접 곱해도 \(4x^2+6xy+6xy+9y^2 = 4x^2+12xy+9y^2\) ✓
"요놈을 a … 요놈을 b라는 말이야. 요거하고 똑같은 거란 말이야."— 장대경 선생님 (08:37 · 09:04)
\(4x^2+12xy+9y^2\)
문제 2C합차 공식
\((3a-5b)(3a+5b)\) 를 전개하라.
풀이 — 앞이 같고 뒤의 부호만 다르면 합차 공식
두 괄호의 앞이 모두 \(3a\), 뒤가 \(5b\) 로 부호만 다르다 → 합차 꼴이다.
⭐ 여기가 고비 — (차)(합) 이라고 순서가 바뀌어도 결과는 그대로다
공식을 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) 으로 외운 탓에, 이 문제처럼 차가 앞에 오면
\(-(a^2-b^2)\) 이나 \(b^2-a^2\) 으로 바꿔 쓰는 실수가 나옵니다. 곱셈은 순서를 바꿔도 같습니다.
그래서 \((3a-5b)(3a+5b)\) 도 그대로 \((3a)^2-(5b)^2\) 입니다.
헷갈리면 「제곱해서 빼는 쪽은 언제나 부호가 갈리는 쪽(뒤)」 하나만 기억하세요.
여기서 부호가 갈리는 것은 \(5b\) 이므로 \(-(5b)^2\) 입니다. 앞의 \(3a\) 는 부호가 같으니 그냥 제곱해서 더합니다.
\((3a)^2 = 9a^2\), \((5b)^2 = 25b^2\).
검산 — 직접 곱하면 \(9a^2+15ab-15ab-25b^2 = 9a^2-25b^2\) ✓ (가운데가 지워진다)
\(9a^2-25b^2\)
문제 3B세 항의 제곱
\((x+2y-3z)^2\) 을 전개하라.
풀이 — 제곱 셋 · 짝 셋 · 짝에는 2배
\(a=x,\ b=2y,\ c=-3z\) 로 둔다. 공식은 \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\).
⭐ 여기가 고비 — 마이너스까지 통째로 c 안에 넣는다
\(-3z\) 를 보고 \(c=3z\) 라 두고 부호는 나중에 붙이겠다고 미루면 반드시 어긋납니다.
\(c\) 는 세 개의 짝 가운데 둘(\(bc\) 와 \(ca\))에 들어가는데,
그 둘의 부호를 뒤에서 따로 챙기려다 한 쪽을 놓치기 때문입니다.
처음부터 \(c=-3z\) 로 묶어 두면 \(c^2=9z^2\) 은 저절로 양수가 되고,
\(bc\) 와 \(ca\) 도 부호가 알아서 붙습니다.
이것이 선생님이 말씀하신 "몽땅" 의 뜻입니다 — 부호까지 덩어리 안에 넣어서 묶는 것.
묶고 나면 그다음은 공식이 알아서 해 줍니다.
⭐ 여기가 고비 — 상수 1 을 항으로 세지 않아 짝을 빠뜨린다
\(2x\) 와 \(-y\) 만 항으로 보고 \(c=1\) 은 "그냥 1인데 뭘" 하고 넘기면
짝 세 개 가운데 두 개(\(bc,\ ca\))가 통째로 사라집니다.
그러면 답에 \(x\) 와 \(y\) 의 일차항이 없어지는데, 이것이 이 문제에서 가장 많이 나오는 어긋남입니다.
세 항이면 짝은 반드시 세 개입니다.
확인하는 방법은 간단합니다 — 펼친 답의 항이 모두 여섯 개인지 세어 보세요.
제곱 셋 + 짝 셋 = 여섯 항. 다섯 개나 네 개가 나왔다면 짝을 빠뜨린 것입니다.
⭐ 여기가 고비 — \(3AB^2\) 자리에서 2가 제곱되어 4가 된다
\(3AB^2 = 3\cdot a\cdot (2b)^2\) 입니다. 여기서 \((2b)^2 = 4b^2\) 이므로
계수는 \(3\times 4 = \boldsymbol{12}\) 입니다. \(6\) 이 아닙니다.
\(3A^2B\) 에서는 \(B\) 가 한 번만 들어가 \(2\) 배였는데,
\(3AB^2\) 에서는 \(B\) 가 두 번 들어가 \(4\) 배가 된다는 것이 이 자리의 전부입니다.
그래서 세제곱을 펼칠 때는 1 · 3 · 3 · 1 이라는 계수만 외우면 부족합니다.덩어리 안의 수가 몇 번 곱해지는지를 자리마다 세어야 합니다 —
\(B\) 가 0번, 1번, 2번, 3번 들어가므로 \(2\) 의 거듭제곱이 1, 2, 4, 8 로 커집니다.
그래서 계수가 \(1,\ 3\cdot 2,\ 3\cdot 4,\ 8\) = 1, 6, 12, 8 이 됩니다.
\(A=2x,\ B=3\) 으로 두면 \(A^2=4x^2\), \(AB=6x\), \(B^2=9\) — 뒤 괄호가 정확히 \(A^2+AB+B^2\) 이다.
⭐ 여기가 고비 — 가운데 부호가 반대인 짝을 찾는다
이 공식은 두 줄이 서로 엇갈려 있어 자주 뒤집힙니다.
\((A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3\) / \((A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3\).
앞 괄호가 차(\(-\))면 뒤 괄호 가운데는 합(\(+\)), 앞이 합이면 뒤 가운데는 차 —
언제나 반대입니다. 이 문제는 앞이 \(2x-3\) 이고 뒤 가운데가 \(+6x\) 이니 세제곱의 차입니다.
왜 반대일까요? 직접 곱해 보면 압니다.
\((A-B)(A^2+AB+B^2)\) 을 펼치면 \(A^3+A^2B+AB^2-A^2B-AB^2-B^3\) 인데,
가운데 네 항이 두 쌍으로 짝지어 지워지려면 부호가 서로 반대여야 하기 때문입니다.
외우지 말고 「가운데가 지워지도록 부호가 엇갈려 있다」고 이해해 두세요.
⭐ 여기가 고비 — 두 괄호를 나란히 놓고 같은 부분부터 찾는다
두 괄호를 위아래로 나란히 적어 보세요. \(x^2\) 은 같고, \(1\) 도 같고, \(x\) 만 부호가 다릅니다.
그러면 같은 것끼리 통째로 묶어 \(A=x^2+1\), 부호가 갈리는 것을 \(B=x\) 로 두면 됩니다.
그 순간 이 식은 \((A+B)(A-B)\), 곧 합차 꼴이 됩니다.
이것이 선생님의 "몽땅 a, 몽땅 b" 가 가장 크게 힘을 쓰는 자리입니다.
그냥 곱하면 세 항 × 세 항 = 아홉 번이지만, 묶으면 제곱 두 번이면 끝납니다.
펼치기 전에 「같은 부분 / 부호만 다른 부분」을 먼저 나누는 눈을 길러야 합니다.
\(x+y=5,\ xy=3\) 일 때 다음을 구하라.
(1) \(x^2+y^2\) (2) \(x^3+y^3\) (3) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)
풀이 — \(x\) 와 \(y\) 를 따로 구하지 않는다
(1) \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy = 25-6 = 19\).
⭐ 여기가 고비 — 세제곱은 「합의 세제곱에서 \(3xy(x+y)\) 를 뺀다」
\((x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\) 인데, 가운데 두 항을 묶으면
\(3xy(x+y)\) 입니다. 그래서 \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\) 가 됩니다.
여기서 빼는 것이 \(3xy\) 가 아니라 \(3xy(x+y)\) 라는 점이 고비입니다 —
\((x+y)\) 를 다시 곱하는 것을 흘리면 \(125-9=116\) 같은 값이 나옵니다.
이 문제에서는 \(3\times 3\times 5 = 45\) 를 빼야 하므로 \(125-45=\boldsymbol{80}\).
왜 \((x+y)\) 가 한 번 더 붙을까요? 가운데 두 항 \(3x^2y+3xy^2\) 에서 \(3xy\) 를 묶어내면
남는 것이 \(x+y\) 이기 때문입니다. 공식을 외우기보다 한 번 직접 묶어내 보면 다시는 흘리지 않습니다.
⚠ 흔한 실수✗ \(x,\ y\) 를 먼저 구하려고 \(t^2-5t+3=0\) 을 풀어 \(\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}\) 를 세제곱한다 — 셈이 크게 늘어난다→ 합과 곱만 주어졌으면 변형 공식으로 곧장 간다. 근을 구할 필요가 없다.
(1) 19 (2) 80 (3) \(\dfrac{5}{3}\)
검산(수를 넣어 다시) — \(t^2-5t+3=0\) 의 두 근 \(x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2},\ y=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\) 를
직접 넣어도 \(x^2+y^2=19\), \(x^3+y^3=80\), \(\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac53\) 로 똑같이 나온다 ✓
문제 9B계수만 골라 뽑기
\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) 를 전개했을 때 \(x^2\) 의 계수를 구하라.
풀이 — 다 펼치지 않는다. \(x^2\) 이 되는 짝만 고른다
네 괄호에서 각 괄호마다 하나씩 골라 곱한 것들을 모두 더한 것이 전개식이다.
⭐ 여기가 고비 — \(x^2\) 이 되려면 \(x\) 를 둘, 상수를 둘 골라야 한다
괄호가 넷이니 \(x\) 를 두 곳에서 고르면 나머지 두 곳에서는 반드시 상수를 골라야 합니다.
그러니 \(x^2\) 의 계수는 네 상수 1, 2, 3, 4 가운데 둘을 골라 곱한 것을 모두 더한 값입니다.
고르는 방법은 \((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\) 의 여섯 가지뿐입니다.
\(2+3+4+6+8+12 = \boldsymbol{35}\).
선생님이 내내 "x가 되는 걸 찾아봐", "xy를 찾아야 돼" 하고 물으신 것이 바로 이것입니다.
묻는 항이 되는 짝만 골라서 곱하고 더한다 — 나머지는 쳐다볼 필요조차 없습니다.
네 괄호를 다 펼치면 항이 열여섯 개나 나오지만, 우리가 볼 것은 여섯 개뿐입니다.
"x가 되는 걸 찾아봐." · "xy를 찾아야 돼." · "y의 계수를 찾아라."— 장대경 선생님 (05:39 · 06:41 · 07:48)
35
검산 — 실제로 다 펼치면 \(x^4+10x^3+35x^2+50x+24\) 이고 \(x^2\) 의 계수가 35 ✓
(\(x=1\) 을 넣으면 원식 \(2\cdot3\cdot4\cdot5=120\), 전개식도 \(1+10+35+50+24=120\) ✓)
문제 10A변형 공식을 거꾸로 · 최상위
세 수 \(a,\ b,\ c\) 에 대하여 \(a+b+c=4,\ a^2+b^2+c^2=10,\ a^3+b^3+c^3=22\) 이다. 다음을 구하라.
(1) \(ab+bc+ca\) (2) \(abc\) (3) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
풀이 — 세 항의 제곱으로 짝을 얻고, 세제곱 공식을 거꾸로 써서 곱을 얻는다
(1) \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\) 에서 \(16=10+2(ab+bc+ca)\)
→ \(ab+bc+ca=3\).
⭐ 여기가 고비 — 세제곱 공식을 abc 를 구하는 식으로 뒤집는다
\(a^3+b^3+c^3\) 이 주어졌는데 묻는 것은 \(abc\) 입니다.
이럴 때 쓰는 것이 \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) 입니다.
이 식의 오른쪽은 이미 아는 값만으로 계산됩니다 — \(4\times(10-3)=28\).
그러면 왼쪽은 \(22-3abc\) 이므로 \(22-3abc=28\), 곧 \(abc=-2\) 입니다.
공식을 왼쪽에서 오른쪽으로만 쓰는 버릇이 있으면 이 문제에서 막힙니다.
모르는 것이 하나뿐이면 그것을 미지수로 두고 등식을 세우면 된다 — 이것이 이 문항의 전부입니다.
\(abc\) 가 음수로 나오는 것도 겁낼 것 없습니다. 세 수가 모두 양수라는 조건은 없으니까요.
⚠ 흔한 실수✗ \(a^3+b^3+c^3\) 을 \((a+b+c)^3\) 으로 밀어붙인다 — \((a+b+c)^3\) 을 펼치면
\(abc\) 말고도 \(a^2b\) 꼴 항이 잔뜩 남아 미지수가 오히려 늘어난다→ 세 수 문제에서 \(abc\) 를 캐낼 통로는 \(a^3+b^3+c^3-3abc\) 인수분해 꼴 하나다.
(같은 답을 \((a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc\) 로도 얻을 수 있다: \(64-36+3abc=22\Rightarrow abc=-2\) ✓)
(1) 3 (2) \(-2\) (3) \(-\dfrac{3}{2}\)
검산(수를 넣어 다시) — 이 조건을 만족하는 세 수는
\(t^3-4t^2+3t+2=(t-2)(t^2-2t-1)=0\) 의 근, 곧 \(a,b,c = 2,\ 1+\sqrt2,\ 1-\sqrt2\) 이다(셋 다 실수).
직접 넣어 보면 합 \(4\) ✓, 제곱의 합 \(4+(3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)=10\) ✓,
세제곱의 합 \(8+(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=22\) ✓, 곱 \(2(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)=2(1-2)=-2\) ✓ — 답과 모두 맞는다.
※ 이 자료의 열 문항은 장대경 선생님의 방법으로 풀리도록 새로 만든 것이며,
모든 답을 직접 검산했습니다(전개해서 확인 + 수를 넣어 다시 확인). 원본 강의의 문항 번호·숫자와는 다릅니다.
강의에 나온 예제 자체는 짝 강의 페이지에서 그대로 확인할 수 있습니다.