어떤 다면체든 — (꼭짓점) − (모서리) + (면) = 2 (오일러). 답을 다 구한 뒤 검산 한 줄로 쓴다.
이름
꼭짓점
모서리
면
옆면 모양
검산 v−e+f
n각기둥
2n
3n
n+2
직사각형
2
n각뿔
n+1
2n
n+1
삼각형
2
n각뿔대
2n
3n
n+2
사다리꼴
2
※ 기둥과 뿔대는 개수가 완전히 같다 — 개수만으로는 둘을 가를 수 없고, 옆면 모양(직사각형이냐 사다리꼴이냐)이 갈라 준다.
오각기둥 · 옆면 직사각형
오각뿔 · 옆면 삼각형
오각뿔대 · 옆면 사다리꼴
"(뿔대)는 (뿔)을 잘라버리는 것을 바로 (뿔대)라 한다."— 장대경 선생님 특강 (3:57~4:19) · 세 갈래
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
주사위·과자 상자를 손에 들고 모서리를 하나씩 짚어 세어 본다. 상자를 펼친 전개도의 조각 수가 곧 면의 개수다.
📐 중1 (핵심)
각기둥·각뿔·각뿔대의 꼭짓점·모서리·면 세기, 면의 개수로 이름 되찾기, 조건에서 n 되찾기, 정다면체 다섯.
🎓 중2~고등 (확장)
겉넓이·부피로 같은 입체를 다시 재기, 오일러 공식 v−e+f=2, 정다면체가 다섯뿐인 까닭, 축구공(깎은 정이십면체).
🐣 저학년 직관 — "상자를 손에 들고 위·아래·옆으로 갈라 세기"
과자 상자를 하나 들어 보세요. 뾰족한 모서리 끝(꼭짓점)을 세는데 마구잡이로 세면 꼭 빠뜨리거나 두 번 셉니다. 그래서 먼저 위, 다음 아래로 갈라 셉니다. 위 뚜껑에 네 개, 아래 바닥에 네 개 — 4 + 4 = 8개.
선(모서리)도 똑같이 위 4개 · 아래 4개 · 기둥처럼 세로로 선 것 4개 → 4 + 4 + 4 = 12개. 면은 위 1 · 아래 1 · 옆 4 → 6개. 그래서 상자는 육면체예요.
이제 상자를 펼쳐 보세요. 조각이 딱 여섯 장 나옵니다 — 세어 본 면의 개수와 똑같지요.
위 · 아래 · 옆으로 갈라 세면 절대 안 빠진다
연습 10제 · 그림 해설
문제 1C기본 · 세 자리로 갈라 세기
칠각기둥의 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수를 각각 구하라.
점선은 뒤에 가려진 모서리다. 그림에서 세지 말고 위·아래·옆으로 갈라 세면 하나도 안 빠진다.
풀이 — 세 자리로 갈라 세면 그림을 안 봐도 된다
⭐ 여기가 고비 — 「옆으로 선 모서리」를 빠뜨리는 자리
꼭짓점은 위 7 · 아래 7 두 자리뿐이라 7 + 7 = 14로 쉽게 끝납니다.
그런데 모서리를 셀 때 위 7 · 아래 7까지만 세고 14라고 답하는 학생이 아주 많습니다.
기둥에는 위와 아래를 이어 주는 세로 모서리가 따로 있습니다.위 밑면의 꼭짓점 하나마다 아래로 기둥이 한 개씩 내려갑니다 — 그러니 세로 모서리도 7개.
그래서 모서리는 위 7 + 아래 7 + 옆 7 = 21, 곧 3n입니다. 꼭짓점은 자리가 둘(위·아래)이라 2n, 모서리는 자리가 셋(위·아래·옆)이라 3n — 이 차이가 전부입니다.
꼭짓점: 위 7 + 아래 7 = 14.
모서리: 위 7 + 아래 7 + 옆 7 = 21.
면: 옆면 7 + 위 밑면 1 + 아래 밑면 1 = 7 + 2 = 9 → 구면체.
검산: 14 − 21 + 9 = 2 ✓ (오일러)
"(오)각기둥의 기둥은 여기에다가 2를 더해주면 된다. 7"— 장대경 선생님 특강 (6:26) · 면 세는 법
꼭짓점 14, 모서리 21, 면 9
문제 2C기본 · 뿔은 위가 한 점
팔각뿔의 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수를 각각 구하라.
뿔은 위가 한 점으로 모인다. 그래서 세는 자리가 기둥보다 하나 적다.
풀이 — 위가 「한 점」이면 세는 자리가 하나 줄어든다
⭐ 여기가 고비 — 꼭대기 점 하나를 빠뜨리거나 여덟 번 세는 자리
기둥에서 위 밑면 8개였던 꼭짓점이, 뿔에서는 딱 한 점으로 모여 버립니다.
그러니 꼭짓점은 아래 8 + 꼭대기 1 = 9. 8도 아니고 16도 아닙니다.
모서리도 같은 식으로 자리가 줄어듭니다 — 아래 밑면 8 + 옆으로 올라가는 것 8 = 16.
기둥에 있던 「위 밑면의 모서리 8개」가 통째로 사라진 것이지요(꼭대기는 점이라 둘레가 없으니까요).
면도 마찬가지 — 옆면 8 + 아래 밑면 1 = 9. 기둥은 +2, 뿔은 +1인 까닭이 바로 이것입니다. 그래서 각뿔은 언제나 꼭짓점과 면의 개수가 같습니다(둘 다 n+1) — 문제 7에서 다시 씁니다.
꼭짓점: 아래 8 + 꼭대기 1 = 9.
모서리: 아래 8 + 옆 8 = 16.
면: 옆면 8 + 밑면 1 = 8 + 1 = 9 → 구면체.
검산: 9 − 16 + 9 = 2 ✓ (오일러)
"(뿔)은 여기에다가 하나를 더해주면 된다."— 장대경 선생님 특강 (6:33) · 면 세는 법
꼭짓점 9, 모서리 16, 면 9
문제 3B면의 개수로 이름 찾기
두 밑면이 서로 평행하고 옆면이 모두 사다리꼴인 십면체가 있다. 이 입체의 이름과 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수를 구하라.
풀이 — 옆면 모양이 갈래를 정하고, 면의 개수가 n을 되돌려 준다
옆면이 사다리꼴 → 갈래는 각뿔대. (직사각형이면 각기둥, 삼각형이면 각뿔이다.)
⭐ 여기가 고비 — 「십면체」의 10을 그대로 n 자리에 넣는 것
여기서 십면체니까 십각뿔대라고 답해 버리는 학생이 절반입니다.
10은 면의 개수이지 밑면의 변의 개수가 아닙니다.
뿔대는 밑면 변의 개수 + 2 = 면의 개수이니, 거꾸로 2를 빼야 밑면이 나옵니다.
n + 2 = 10 → n = 8 — 그러니 팔각뿔대입니다. 「+2」는 갈 때 쓰는 길이고, 돌아올 때는 「−2」입니다.
이름을 얻었으면 나머지는 표대로입니다 — 꼭짓점 2n, 모서리 3n. 답을 쓰기 전에 「내가 지금 무엇을 세고 있는가 — 면인가 밑면의 변인가」를 한 번 짚습니다.
n + 2 = 10 → n = 8 → 팔각뿔대.
꼭짓점 = 2 × 8 = 16, 모서리 = 3 × 8 = 24.
검산: 16 − 24 + 10 = 2 ✓ (오일러)
"사다리꼴이라고 얘기하는 (것은) (뿔대)가 돼야 되는 걸 알 수가 있다."— 장대경 선생님 특강 (7:43~8:32) · 조건으로 이름 찾기
팔각뿔대 · 꼭짓점 16, 모서리 24
문제 4B답이 여럿 · 함정
모서리의 개수가 21인 다면체를 각기둥·각뿔·각뿔대 중에서 모두 찾아 이름을 쓰라.
풀이 — 세 갈래를 각각 다 따져 본다
각기둥: 3n = 21 → n = 7 → 칠각기둥.
각뿔대: 3n = 21 → n = 7 → 칠각뿔대.
⭐ 여기가 고비 — 각뿔은 「없다」가 답이다
각뿔을 계산하면 2n = 21 → n = 10.5가 나옵니다.
밑면의 변이 10.5개인 다각형은 없습니다. 그러니 각뿔은 후보에서 빠집니다.
여기서 10.5를 반올림해 11각뿔이라고 쓰거나, 계산이 틀렸나 보다 하고 다시 푸는 것이 함정입니다.
사실 이건 우연이 아닙니다. 각뿔의 모서리는 2n이라 언제나 짝수입니다 —
아래 n개와 옆 n개가 짝을 이루니까요.
그러니 모서리가 홀수인 각뿔은 아예 존재하지 않습니다. 21은 홀수 ✓ 「나누어떨어지지 않는다」는 계산 실수가 아니라 「그런 입체는 없다」는 답입니다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 21을 3으로 나누고 끝내면"21 ÷ 3 = 7, 칠각뿔대!" 하고 하나만 쓰고 끝냅니다.
하지만 모서리를 3n으로 세는 갈래는 둘입니다 — 기둥과 뿔대. 개수만으로는 이 둘을 가를 수 없습니다.
→ 「모두 찾으라」고 했으면 세 갈래를 전부 한 번씩 대 보고 답을 씁니다. 칠각기둥도 답입니다.
"(뿔대)는 모서리가 위에 거, 밑에 거, 옆에 똑같게 있어야 된단 말이야. 그럼 여기에 18개니까 나누기 3을 하면 돼."— 장대경 선생님 특강 (12:09~13:07) · 모서리가 18개인 뿔대
칠각기둥, 칠각뿔대 (각뿔은 없다)
문제 5B조건에서 n 되찾기
두 밑면이 서로 평행하고 옆면이 모두 사다리꼴인 다면체의 꼭짓점이 14개이다. 이 입체의 이름과 면의 개수, 모서리의 개수를 구하라.
꼭짓점은 위와 아래에 똑같이 나뉘어 있다.
풀이 — 갈래를 먼저 정하고, 꼭짓점에서 n을 되찾는다
옆면이 사다리꼴 → 각뿔대.
⭐ 여기가 고비 — 꼭짓점 14를 「2로 나누는가, 1을 빼는가」
문제 3에서는 2를 뺐고, 여기서는 2로 나눕니다. 왜 다를까요?
주어진 것이 「면」이냐 「꼭짓점」이냐가 다르기 때문입니다.
뿔대의 꼭짓점은 위 밑면에 n개 · 아래 밑면에 n개로 똑같이 둘로 나뉘어 있습니다.
그래서 2n = 14 → n = 7 — 나누기입니다.
반면 면은 옆면 n장 + 위아래 밑면 2장이라 n + 2 — 그래서 빼기였습니다. 꼭짓점은 갈라진 「두 벌」이라 나누고, 면은 붙은 「덤 2장」이라 뺍니다.
여기서 14 − 2 = 12로 십이각뿔대라고 쓰면 통째로 어긋납니다.
2n = 14 → n = 7 → 칠각뿔대.
면 = 7 + 2 = 9, 모서리 = 3 × 7 = 21.
검산: 14 − 21 + 9 = 2 ✓ (오일러)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 14에서 2를 빼면"14 − 2 = 12, 십이각뿔대" — 그러면 꼭짓점이 2 × 12 = 24개가 됩니다.
문제가 준 14와 열 개나 어긋납니다.→ 답을 구했으면 그 이름으로 되돌아가 원래 조건을 다시 세어 봅니다. 칠각뿔대는 2 × 7 = 14 ✓
칠각뿔대 · 면 9, 모서리 21
문제 6B두 개수의 합에서 n 되찾기
어떤 각기둥의 면의 개수와 모서리의 개수를 더했더니 30이었다. 이 각기둥의 이름과 꼭짓점의 개수를 구하라.
풀이 — 두 개수를 n으로 써 놓고 더한다
⭐ 여기가 고비 — 숫자 30을 나눠 볼 생각을 버리고, 먼저 n으로 적는다
30을 3으로 나눠 보고 2를 빼 보고 하며 수를 만지작거리면 끝이 없습니다.밑면의 변의 개수를 n이라 두고, 묻는 두 개수를 각각 n으로 적어 놓는 것이 먼저입니다.
각기둥의 면은 n + 2, 모서리는 3n입니다. 더하면 — (n + 2) + 3n = 4n + 2 = 30 4n = 28 → n = 7. 「세어서 더한다」가 아니라 「n으로 적고 나서 푼다」로 바꾸는 것이 이 문제의 전부입니다.
문제 3·5도, 앞으로 만날 어떤 조건도 이 한 걸음이면 다 같은 모양이 됩니다.
어떤 각뿔은 모서리의 개수가 면의 개수보다 6만큼 많다. 이 각뿔의 이름과 꼭짓점의 개수를 구하라.
풀이 — 「6만큼 많다」를 식 한 줄로 옮긴다
⭐ 여기가 고비 — 「A가 B보다 6 많다」를 어느 쪽에 6을 붙이느냐
여기서 2n + 6 = n + 1이라고 거꾸로 쓰는 학생이 아주 많습니다.
그러면 n = −5가 나옵니다 — 밑면의 변이 음수일 수는 없으니 신호입니다.
「많다」는 쪽이 큰 쪽이니, 작은 쪽에 6을 더해야 같아집니다.
모서리 2n가 많은 쪽, 면 n + 1이 적은 쪽. 그러니 — 2n = (n + 1) + 6 → 2n = n + 7 → n = 7. 헷갈리면 작은 수로 시험해 봅니다. 「7이 3보다 4 많다」는 7 = 3 + 4이지
7 + 4 = 3이 아니지요. 더하기는 늘 적은 쪽에 붙습니다.
정다면체 다섯 가지 중 정팔면체와 정십이면체의 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수를 각각 구하라.
정다면체
면의 모양
한 꼭짓점에 모인 면
꼭짓점
모서리
면
정사면체
정삼각형
3
4
6
4
정육면체
정사각형
3
8
12
6
정팔면체
정삼각형
4
?
?
?
정십이면체
정오각형
3
?
?
?
정이십면체
정삼각형
5
12
30
20
풀이 — 면부터 세고, 모서리는 「두 번 세어 반으로」
면의 개수는 이름이 그대로 말해 준다 — 정팔면체 8, 정십이면체 12.
⭐ 여기가 고비 — 모서리와 꼭짓점은 「겹쳐 센 만큼」 나눠 준다
면을 한 장씩 떼어 그 변을 다 세면 모서리를 두 번씩 센 셈이 됩니다.
모서리 하나는 언제나 면 두 장이 맞닿아 생기기 때문입니다. 그러니 세고 나서 2로 나눕니다.· 정팔면체 : 정삼각형 8장 → 변을 다 세면 3 × 8 = 24 → 모서리 24 ÷ 2 = 12.
꼭짓점도 같은 수법입니다. 한 꼭짓점에 면이 4장씩 모이므로 꼭짓점도 4번씩 겹쳐 셌습니다.
면의 꼭짓점을 다 세면 3 × 8 = 24 → 24 ÷ 4 = 6.
· 정십이면체 : 정오각형 12장 → 5 × 12 = 60 → 모서리 60 ÷ 2 = 30,
꼭짓점 60 ÷ 3 = 20(한 꼭짓점에 3장씩). 「겹쳐 센 횟수로 나눈다」 — 이 하나로 다섯 가지가 전부 풀립니다.
정팔면체: 꼭짓점 6, 모서리 12, 면 8.
정십이면체: 꼭짓점 20, 모서리 30, 면 12.
검산: 6 − 12 + 8 = 2 ✓ · 20 − 30 + 12 = 2 ✓ (오일러)
정팔면체 (6, 12, 8) · 정십이면체 (20, 30, 12)
문제 9A오일러 공식 · 최상위
어떤 다면체는 면이 모두 정오각형이고, 한 꼭짓점마다 모서리가 3개씩 모인다. 이 다면체의 꼭짓점·모서리·면의 개수를 구하고 그 이름을 쓰라. (오일러 공식 v − e + f = 2를 쓴다)
풀이 — 모르는 것 셋을 「모서리 하나」로 모아 넣는다
구할 것을 꼭짓점 v, 모서리 e, 면 f라 둔다. 미지수가 셋인데 식은 오일러 하나뿐이다.
⭐ 여기가 고비 — 조건 두 줄을 「식 두 줄」로 바꿔 미지수를 하나로 줄인다
미지수 셋에 식 하나면 못 풉니다. 그런데 문제가 준 두 조건이 사실은 식 두 개입니다.
바꾸는 방법은 문제 8과 똑같은 「두 번 세고 나누기」입니다.
· 면이 모두 오각형 → 면의 변을 다 세면 5f, 그런데 모서리를 두 번씩 셌으니
5f = 2e → f = 2e ÷ 5.
· 한 꼭짓점에 모서리 3개 → 꼭짓점마다 3개씩 세면 3v, 모서리 하나에는 끝이 둘이라 역시 두 번 셌으니
3v = 2e → v = 2e ÷ 3.
이제 v와 f를 둘 다 e로만 적었으니 오일러에 그대로 넣습니다 — 2e/3 − e + 2e/5 = 2. 양변에 15를 곱하면 10e − 15e + 6e = 30 →
e = 30. 미지수를 줄이는 열쇠는 늘 「같은 것을 두 가지 방법으로 세기」입니다.
e = 30이므로 f = 2 × 30 ÷ 5 = 12, v = 2 × 30 ÷ 3 = 20.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 나누기를 잊으면5f = e, 3v = e로 놓고 풀면 e/3 − e + e/5 = 2 →
5e − 15e + 3e = 30 → e = −30 ÷ 7.
모서리가 음수가 나왔습니다. 셈이 어긋난 것이 아니라 세는 방법이 어긋난 것입니다.
→ 모서리 하나는 면 두 장이 맞닿고 꼭짓점 두 개를 잇습니다. 그래서 양쪽 모두 2를 곱한 쪽이 모서리입니다.
꼭짓점 20, 모서리 30, 면 12 — 정십이면체
문제 10B같은 「십이면체」인데 셋 · 함정
면의 개수가 12인 각기둥·각뿔·각뿔대의 이름을 각각 쓰고, 각각의 꼭짓점의 개수를 구하라.
풀이 — 갈래마다 「되돌리는 수」가 다르다
⭐ 여기가 고비 — 같은 12인데 각뿔만 n이 다르다
세 갈래에 똑같이 12를 들이대면서 같은 수를 뺄 것 같지만, 각뿔만 다릅니다.
기둥과 뿔대는 밑면이 위아래 두 장이라 +2, 각뿔은 밑면이 한 장뿐이라 +1이기 때문입니다.
· 각기둥 : n + 2 = 12 → n = 10 → 십각기둥
· 각뿔 : n + 1 = 12 → n = 11 → 십일각뿔 ← 여기만 11
· 각뿔대 : n + 2 = 12 → n = 10 → 십각뿔대 「십이면체」라는 이름 하나로는 입체가 정해지지 않습니다 — 적어도 셋입니다.
그래서 문제는 늘 옆면 모양이나 밑면의 평행 같은 조건을 하나 더 붙여 주는 것입니다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 정십이면체라고 답하면"면이 12개면 정십이면체" — 문제 8·9에서 막 본 이름이라 손이 먼저 나갑니다.
정십이면체는 면이 정오각형 12장인 아주 특별한 하나일 뿐입니다. 십각기둥도 십일각뿔도 똑같이 십이면체입니다.
→ 「면이 12개」는 갈래를 말해 주지 않습니다. 옆면 모양을 묻는 조건이 있어야 하나로 정해집니다.
십각기둥(꼭짓점 20) · 십일각뿔(꼭짓점 12) · 십각뿔대(꼭짓점 20)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"같은 것을 두 가지 방법으로 센다" 하나로 겉넓이·부피·경시까지
오늘 익힌 것은 사실 세는 법입니다. 위·아래·옆으로 갈라 세고, 겹쳐 센 만큼 나눈다 — 이 두 가지는 학년이 올라가도 그대로 다시 나타납니다.
① 중1 · 회전체와 나란히 놓고 보기
중1 · 다면체와 회전체
다면체는 평평한 면만으로, 회전체는 굽은 면이 섞여 만들어집니다. 원기둥·원뿔·구가 다면체에서 빠지는 까닭이 이것입니다.
② 중1 · 겉넓이는 「면을 갈라 세기」 그대로
중1 · 입체도형의 겉넓이
각기둥의 겉넓이 = (밑넓이) × 2 + (옆넓이). 오늘 면을 위·아래·옆으로 갈라 센 것에 넓이를 얹었을 뿐입니다. +2가 그대로 × 2로 옮겨 옵니다.
③ 중2 · 경우의 수에서 「중복해 센 만큼 나누기」
중2 · 경우의 수
모서리를 두 번 세어 2로 나눈 것과, 악수의 횟수를 사람 수 × (사람 수 − 1) ÷ 2로 세는 것은 완전히 같은 셈입니다.
④ 고등 · 정다면체가 다섯뿐인 까닭
고등 · 공간도형 / 경시
한 꼭짓점에 면이 3장 이상 모여야 하고, 그 각의 합이 360°보다 작아야 뾰족해집니다. 이 두 조건만으로 가능한 짝이 딱 다섯임을 손으로 다 따져 볼 수 있습니다.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 개수는 n각기둥·n각뿔·n각뿔대의 공식표(n = 3 ~ 12)와 정다면체 다섯의 값에 하나씩 대조해 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음). 정다면체와 오일러 공식은 원본 강의에 나오지 않아 넓히기로 더한 것입니다.