YEON MATH · 행복수학

삼각형의 내심 실전 완전정복
— 세 변까지가 다 같다 · 연습 10제

내접원의 중심 · 반쪽 각 90° 법칙 · ∠BIC = 90°+½∠A · 넓이 ½r(a+b+c) · 접선의 길이 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 내심 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
내심의 정의 — 삼각형의 세 변에 모두 닿는 원(내접원)의 중심이 내심이다. 원이 안에 있으면 내심.
2
세 변까지가 다 같다 — ID = IE = IF = r. 셋 다 내접원의 반지름이고, 접점에서 변과 직각을 이룬다.
3
세 내각의 이등분선의 교점 — 반쪽 각을 하나씩만 더하면 x + y + z = 90°. (2x+2y+2z=180°의 절반)
4
가운데 각 — ∠BIC = 90° + ½∠A. 더하는 것은 ∠A가 아니라 ∠A의 절반.
5
넓이 — 세 조각의 높이가 모두 r이므로 S = ½ r (a + b + c) = ½ × 반지름 × 둘레.
6
접선의 길이는 같다 — AD=AF=a, BD=BE=b, CE=CF=c → 둘레 = 2(a+b+c), 즉 a+b+c = 둘레의 절반.
A B C I D E F
⚠️ 내심과 외심을 헷갈리지 말자. IA = IB = IC 는 내심의 성질이 아니라 외심의 성질이다. 내심은 세 변까지가 같고(ID=IE=IF), 외심은 세 꼭짓점까지가 같다(OA=OB=OC). 가운데 각도 다르다 — 내심은 ∠BIC = 90°+½∠A, 외심은 ∠BOC = 2∠A.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"삼각형 마당 안에 가장 큰 둥근 연못 파기" — 세 담장에서 똑같이 떨어진 자리를 손으로 찾아본다.
📐 중2 (핵심)
내접원의 중심, 각의 이등분선의 교점, 반쪽 각 90° 법칙, ∠BIC=90°+½∠A, 넓이 ½r(a+b+c), 접선의 길이.
🎓 고등 (확장)
헤론의 공식과 S = rs, S = abc ÷ 4R, 각의 이등분선 정리, 방접원.

🐣 저학년 직관 — "삼각형 마당에 가장 큰 둥근 연못을 파려면?"

삼각형 모양 마당이 있어요. 담장에 닿지 않으면서 가장 큰 둥근 연못을 파려면 중심을 어디에 잡아야 할까요? 연못이 어느 한 담장에만 가까우면 그쪽이 먼저 막혀서 더 못 키워요. 그러니 세 담장에서 똑같이 떨어진 자리가 답이에요.

그 자리를 찾으면 연못은 세 담장에 딱 한 점씩 닿게 되고, 중심에서 각 담장까지의 거리가 모두 반지름으로 같아져요. 그게 바로 내심이랍니다.

외심과 비교해 보세요. 외심은 세 꼭짓점(모서리)에서 같은 거리, 내심은 세 변(담장)에서 같은 거리예요.

답: 세 변에서 똑같이 떨어진 자리 = 내접원의 중심 = 삼각형의 내심

연습 10제 · 그림 해설

문제 1반쪽 각 90° · 기본
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠IAB = 28°, ∠IBC = 35°일 때, ∠ICA의 크기를 구하라.

풀이 — 반쪽 각을 하나씩만 더하면 90°

  1. ⭐ 여기가 고비 — 여섯 개 중 「하나씩만」 골라 더한다 내심에서 반쪽 각은 x, x, y, y, z, z 여섯 개가 생깁니다. 여섯을 다 더하면 삼각형의 내각의 합 180°이지만, 짝마다 하나씩만 골라 더하면 정확히 그 절반인 90°가 됩니다. 문제가 준 ∠IAB, ∠IBC, ∠ICA를 보십시오 — A의 반쪽 하나, B의 반쪽 하나, C의 반쪽 하나로 서로 겹치지 않게 하나씩입니다. 그러니 세 개를 더하면 90°가 됩니다. 겹치는 것을 골랐는지(같은 꼭짓점에서 둘을 집었는지) 먼저 확인하십시오.
  2. I는 세 내각의 이등분선의 교점이므로 반쪽 각이 x, x, y, y, z, z 여섯 개 생긴다.
  3. 모두 더하면 삼각형의 내각의 합 2x+2y+2z = 180°, 하나씩만 더하면 그 절반: x+y+z = 90°.
  4. 28° + 35° + ∠ICA = 90° → ∠ICA = 90° − 63° = 27°.
"반쪽 각 셋을 더하면 90° — 세 내각을 반으로 갈라 한 개씩만 더하면 180°의 절반."— 장대경 선생님 제42강 「내심」
27°
문제 2∠BIC = 90°+½∠A · 기본
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠A = 64°일 때, ∠BIC의 크기를 구하라.

풀이 — 90°에 ∠A의 절반을 더한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 더하는 것은 ∠A가 아니라 ∠A의 절반 90° + 64° = 154°라고 쓰는 것이 이 유형 최다 실수입니다. 절반이 어디서 나오는지 한 번 유도해 보면 다시는 안 틀립니다. △IBC에서 ∠BIC = 180° − (½∠B + ½∠C) = 180° − ½(180° − ∠A) = 90° + ½∠A. 보시다시피 90°와 ½이 함께 태어납니다 — 180°의 절반이 90°이고, 그때 ∠A도 함께 절반이 되어 나오는 것입니다. 공식을 외우되, 막히면 △IBC의 세 각을 더해 다시 만들어 쓰십시오.
  2. ½∠A = 64° ÷ 2 = 32°.
  3. ∠BIC = 90° + 32° = 122°.
  4. ⚠️ 64°를 통째로 더해 154°라 하면 틀린다. 더하는 것은 절반이다.
"∠BIC = 90° + ∠A의 절반 — 더하는 것은 ∠A가 아니라 ∠A의 절반. 거꾸로 묻는 문제도 이 한 줄로 푼다."— 장대경 선생님 제42강 「내심」
122°
문제 3거꾸로 · 진가
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠BIC = 130°일 때, ∠A의 크기를 구하라.

풀이 — 90°를 먼저 빼고, 마지막에 두 배

  1. ⭐ 여기가 고비 — 거꾸로 갈 때는 「나중에 한 일부터」 되돌린다 공식은 ①∠A를 절반으로 → ②90°를 더함 차례였습니다. 거꾸로 가려면 나중에 한 ②부터 되돌립니다 — 먼저 90°를 빼고, 마지막에 두 배. 순서를 바꿔 먼저 두 배부터 하면 130 × 2 − 90 = 170 같은 엉뚱한 값이 나옵니다. 옷을 입은 순서의 반대로 벗듯, 되돌릴 때는 마지막에 한 일부터 풉니다. 그리고 반드시 되넣어 확인 — 90° + 40° = 130° ✓
  2. 90° + ½∠A = 130° → ½∠A = 130° − 90° = 40°.
  3. ∠A = 2 × 40° = 80°.
  4. 검산: 90° + 40° = 130° ✓
∠A = 80°
문제 4가운데 각 → 아래 두 각 · 진가
점 I가 △ABC의 내심이고 ∠A = 50°일 때, ∠IBC + ∠ICB의 값을 구하라.

풀이 — 가운데 각을 먼저 구하고 △IBC에서 뺀다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「가운데 각을 먼저」라는 순서 ∠IBC + ∠ICB를 직접 구하려 하면 ∠B, ∠C를 따로 알아야 할 것 같아 막힙니다. 그런데 △IBC의 세 각의 합이 180°이므로, 가운데 각 ∠BIC 하나만 구하면 나머지 둘의 합이 저절로 나옵니다. ∠B와 ∠C를 따로 알 필요가 없다는 것이 이 문제의 요령입니다. 다른 길로도 갑니다 — ∠IBC + ∠ICB = ½(∠B + ∠C) = ½(180° − 50°) = 65°. 두 길이 65°로 만나니 답을 믿을 수 있습니다.
  2. ∠BIC = 90° + ½ × 50° = 90° + 25° = 115°.
  3. △IBC의 세 각의 합은 180°이므로 ∠IBC + ∠ICB = 180° − 115° = 65°.
  4. 다른 길로 검산: ∠IBC+∠ICB = ½(∠B+∠C) = ½(180°−50°) = 65° ✓
65°
문제 5직각삼각형 · 내접원의 반지름
직각을 낀 두 변의 길이가 5cm, 12cm인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름을 구하라.

풀이 — 넓이를 두 가지 방법으로 쓴다

A B C I 5 12 13
  1. ⭐ 여기가 고비 — r을 직접 잴 길이 없으니, 넓이를 두 가지로 쓴다 내접원의 반지름을 곧바로 구하는 길은 없습니다. 그래서 같은 넓이를 두 가지 방법으로 적어 놓고 등호로 잇습니다. ①밑변×높이÷2로 30, ②½ × r × 둘레로 15r — 이 둘이 같으니 r = 2. 「같은 것을 두 가지로 쓰면 식이 생긴다」 — 이것이 이 단원 전체를 관통하는 손놀림입니다. 모르는 값 r이 두 번째 방법에만 들어 있어서 등식을 세우는 순간 잡힙니다. 직접 못 구하는 것이 나오면 「그것이 들어 있는 다른 식」을 찾으십시오.
  2. 빗변 = √(5² + 12²) = √169 = 13cm → 둘레 = 5+12+13 = 30cm.
  3. 넓이(밑변×높이) = 5 × 12 ÷ 2 = 30 (cm²).
  4. 넓이(내심 공식) = ½ × r × 30 = 15r.
  5. 15r = 30 → r = 2 (cm).
r = 2cm
문제 6넓이 = ½r(a+b+c) · 기본
△ABC의 내접원의 반지름이 3cm이고 △ABC의 둘레가 20cm일 때, △ABC의 넓이를 구하라.

풀이 — 넓이 = ½ × 반지름 × 둘레

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 세 조각의 높이가 모두 r인가 내심에서 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 세 조각으로 갈라집니다. 각 조각의 밑변은 a, b, c로 제각각인데 높이는 셋 다 r로 같습니다. 내심이 세 변에서 똑같은 거리에 있고, 그 거리가 곧 내접원의 반지름이기 때문입니다. 그래서 ½ra + ½rb + ½rc에서 ½r을 통째로 묶어 낼 수 있고, ½ r (a+b+c)가 됩니다. 「내심 = 변까지의 거리가 같은 점」이라는 정의가 그대로 공식이 된 것입니다. 정의를 알면 공식을 잊어도 다시 만들 수 있습니다.
  2. 내심에서 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 세 조각으로 갈라지고, 각 조각의 높이가 모두 r이다.
  3. S = ½ra + ½rb + ½rc = ½ r (a+b+c).
  4. S = ½ × 3 × 20 = 30 (cm²).
"넓이 = ½ × r × 둘레 — 내심에서 세 꼭짓점을 이으면 높이가 전부 r인 삼각형 셋."— 장대경 선생님 제42강 「내심」
30cm²
문제 7접선의 길이 · 기본
△ABC의 내접원이 세 변 AB, BC, CA와 만나는 점을 각각 D, E, F라 하자. △ABC의 둘레가 26cm이고 BC = 10cm일 때, AD의 길이를 구하라.

풀이 — 둘레의 절반에서 마주 보는 변을 뺀다

A B C I D E F a a b b c c
  1. ⭐ 여기가 고비 — 둘레를 돌면 같은 길이가 두 번씩 나온다 한 꼭짓점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 그러니 삼각형의 둘레를 A → D → B → E → C → F → A로 한 바퀴 돌면 a, b, b, c, c, a 순으로 각각 두 번씩 지나갑니다. 그래서 둘레 = 2(a+b+c), 곧 둘레의 절반이 a+b+c입니다. 이 한 줄이 이 유형 전부를 엽니다 — 둘레를 반으로 나누면 세 접선 길이의 합이 되고, 거기서 필요 없는 것만 빼내면 답입니다. 먼저 a+b+c를 구해 놓고 시작하십시오.
  2. 한 꼭짓점에서 그은 두 접선의 길이는 같다: AD=AF=a, BD=BE=b, CE=CF=c.
  3. 둘레 = 2(a+b+c) = 26 → a+b+c = 13.
  4. BC = BE + EC = b + c = 10.
  5. AD = a = 13 − 10 = 3 (cm).
AD = 3cm
문제 8접선의 길이 · 세 변이 주어질 때 · 진가
△ABC에서 AB = 9cm, BC = 10cm, CA = 11cm이고 내접원이 변 AB와 만나는 점을 D라 할 때, BD의 길이를 구하라.

풀이 — 둘레의 절반에서 묻는 꼭짓점의 마주 보는 변을 뺀다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 어느 변을 빼야 하는가 묻는 것이 BD, 곧 B에서 그은 접선 b입니다. a+b+c에서 b만 남기려면 c+a를 빼야 하고, c+a가 바로 B의 마주 보는 변 CA입니다. 헷갈리면 문자로 적어 놓고 보십시오 — AB = a+b, BC = b+c, CA = c+a. b를 남기려면 b가 없는 변, 곧 CA를 빼면 됩니다. 「묻는 꼭짓점의 맞은편 변을 뺀다」는 말이 여기서 나옵니다. 검산: a=5, b=4, c=6이면 세 변이 9, 10, 11로 딱 맞습니다 ✓
  2. 둘레 = 9 + 10 + 11 = 30 → a+b+c = 15.
  3. B의 마주 보는 변은 CA = c + a = 11.
  4. BD = b = (a+b+c) − (c+a) = 15 − 11 = 4 (cm).
  5. 검산: AB = a+b = 9이므로 a = 5, BC = b+c = 10이므로 c = 6. a+b+c = 5+4+6 = 15 ✓
BD = 4cm
문제 9이등변삼각형 · 진가
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A = 40°이고 점 I가 내심일 때, ∠IBC와 ∠BIC의 크기를 각각 구하라.

풀이 — 밑각을 먼저 구하고, 그 절반이 반쪽 각

  1. ⭐ 여기가 고비 — 이등변이라는 조건이 밑각을 통째로 정해 준다 ∠A = 40° 하나만으로는 ∠B와 ∠C를 따로 알 수 없습니다. 그런데 AB = AC이므로 ∠B = ∠C이고, 남은 140°를 똑같이 나눠 각각 70°가 됩니다. 그 절반인 35°가 반쪽 각. 이등변이라는 말이 곧 「나머지 두 각이 같다」는 식 하나입니다. 그래서 각 하나만 주어도 세 각이 모두 정해집니다. 공식으로 검산해 보십시오 — ∠BIC = 90° + ½ × 40° = 110°. 차근차근 간 길과 공식이 만나면 답은 확실합니다 ✓
  2. AB = AC이므로 ∠B = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°.
  3. BI는 ∠B의 이등분선이므로 ∠IBC = 70° ÷ 2 = 35°.
  4. 같은 방법으로 ∠ICB = 35° → ∠BIC = 180° − 35° − 35° = 110°.
  5. 공식으로 검산: ∠BIC = 90° + ½ × 40° = 110° ✓
∠IBC = 35°, ∠BIC = 110°
문제 10내심을 지나는 평행선 · 진가
△ABC의 내심 I를 지나면서 변 BC와 평행한 직선이 변 AB, AC와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. AB = 8cm, AC = 7cm일 때, △APQ의 둘레를 구하라.

풀이 — 엇각 + 각의 이등분선 = 이등변삼각형

A B C I P Q
  1. ⭐ 여기가 고비 — 「엇각 + 이등분선」이 이등변삼각형을 만든다 PQ ∥ BC라 엇각으로 ∠PIB = ∠IBC, BI가 이등분선이라 ∠IBC = ∠IBP. 두 줄을 이으면 ∠PIB = ∠IBP — 곧 △PBI가 이등변삼각형이므로 PI = PB입니다. 이 한 걸음이 둘레를 접어 줍니다 — PQ를 PI + IQ로 쪼갠 뒤 각각 PB, QC로 갈아 끼우면 AP + PB + QC + QA가 되어 그대로 AB + AC입니다. PQ의 길이도, BC의 길이도 몰라도 됩니다 — 그래서 문제가 AB와 AC만 주고 끝냈습니다.
  2. PQ ∥ BC이므로 엇각이 같다: ∠PIB = ∠IBC.
  3. BI는 ∠B의 이등분선이므로 ∠IBC = ∠IBP → ∠PIB = ∠IBP. 따라서 △PBI는 이등변삼각형이고 PI = PB.
  4. 같은 방법으로 IQ = QC.
  5. 둘레 = AP + PQ + QA = AP + (PI + IQ) + QA = AP + PB + QC + QA = AB + AC.
  6. = 8 + 7 = 15 (cm).
15cm

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"세 변까지가 다 같다" 하나로 접선·피타고라스·헤론·방접원까지

오늘 익힌 ID=IE=IF 와 S = ½r(a+b+c)가, 학년이 올라가면 원의 접선·삼각함수·도형의 넓이로 그대로 이어집니다.

① 중3 · 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선
중3 · 원의 성질
오늘의 AD = AF가 바로 "원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다"예요. 중3에서는 이걸 내접사각형으로 넓혀서 "마주 보는 두 변의 합이 같다"까지 갑니다.
② 중3 · 직각삼각형의 내접원 반지름 공식
중3 · 피타고라스 / 원의 성질
직각을 낀 두 변이 a, b이고 빗변이 c일 때 r = (a + b − c) ÷ 2가 됩니다. 오늘의 넓이 공식에서 바로 나오는 지름길이라, 5·12·13이면 (5+12−13)÷2 = 2로 한 줄에 끝나요.
③ 고1 · 헤론의 공식과 S = rs
고1 · 삼각함수의 활용
둘레의 절반을 s라 두면 오늘 공식은 S = rs 한 줄이에요. 세 변만 알면 헤론의 공식 S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))로 넓이를 구하고, 나누면 r = S ÷ s가 바로 나옵니다.
④ 고1·고2 · 내접원과 외접원을 잇는 다리
고1·고2 · 삼각함수의 활용
같은 넓이를 두 가지로 쓰면 S = rs이면서 S = abc ÷ (4R)예요. 하나의 삼각형에서 내접원의 r과 외접원의 R이 넓이라는 다리로 이어집니다.
⑤ 고2·경시 · 각의 이등분선 정리와 방접원
기하 · 경시수학
내심을 만든 각의 이등분선이 대변을 BD : DC = AB : AC로 나눠요. 그리고 한 내각의 이등분선과 두 외각의 이등분선이 만나면 삼각형 바깥에서 세 변(의 연장)에 닿는 방접원이 생깁니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"세 변까지가 다 같다 · 넓이는 ½r(둘레)" 하나로 외심·피타고라스·좌표·헤론까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중3내심과 외심 한꺼번에
△ABC에서 ∠A = 68°이다. 점 I가 내심, 점 O가 외심일 때 ∠BIC와 ∠BOC의 크기를 각각 구하라.

풀이 — 내심은 90°에 절반을 더하고, 외심은 두 배 한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 공식이 왜 다르게 생겼는지 알면 안 바뀐다 내심은 90° + ½∠A, 외심은 2∠A. 외우기만 하면 시험장에서 뒤바뀝니다. 뿌리가 다르기 때문에 모양이 다릅니다. 내심은 각의 이등분선이 모인 점이라 곳곳에서 「절반」이 나오고, 외심은 원의 중심이라 중심각 = 원주각의 두 배가 나옵니다. 「내심에는 ½, 외심에는 2」 — 이렇게 뿌리와 함께 외우면 바뀌지 않습니다. 그리고 내심 각은 언제나 90°보다 크고, 외심 각은 ∠A가 90°보다 크면 우각이 됩니다.
  2. 내심: ∠BIC = 90° + ½ × 68° = 90° + 34° = 124°.
  3. 외심: ∠BOC = 2∠A = 2 × 68° = 136°.
  4. 두 공식을 바꿔 쓰지 않도록 조심 — 내심은 90°+절반, 외심은 두 배.
"외심은 꼭짓점까지, 내심은 변까지 — ID = IE = IF. 둘의 갈림길이 바로 여기다."— 장대경 선생님 제42강 「내심」
∠BIC = 124°, ∠BOC = 136°
도전 · 중3피타고라스 + 내접원
직각을 낀 두 변의 길이가 9cm, 12cm인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름과 넓이를 구하라.

풀이 — 빗변부터 구하고, 넓이를 두 가지 방법으로

  1. ⭐ 여기가 고비 — 직각삼각형에만 있는 지름길 넓이를 두 길로 쓰는 정공법으로 r = 3을 얻었습니다. 그런데 직각삼각형에서는 r = (a + b − c) ÷ 2라는 지름길이 있습니다 — (9 + 12 − 15) ÷ 2 = 3으로 한 줄에 끝납니다. ⚠️ 이 지름길은 직각삼각형에서만 통합니다. 뒤의 마지막 도전 문제에서 피타고라스 정리를 써서 증명하는데, 직각이 아니면 그 증명이 무너집니다. 「직각이 있는가」를 확인하고 쓰십시오. 없으면 넓이 두 길로 돌아갑니다.
  2. 빗변 = √(9² + 12²) = √225 = 15cm → 둘레 = 9+12+15 = 36cm.
  3. 삼각형의 넓이 = 9 × 12 ÷ 2 = 54 (cm²).
  4. ½ × r × 36 = 54 → 18r = 54 → r = 3 (cm).
  5. 지름길로 검산: r = (9 + 12 − 15) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 ✓
  6. 내접원의 넓이 = π × 3² = 9π (cm²).
r = 3cm, 내접원의 넓이 9π cm²
도전 · 고1좌표평면 · 내심
세 점 A(0,0), B(8,0), C(0,6)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 내심의 좌표와 내접원의 반지름을 구하라.

풀이 — 두 변이 좌표축 위에 있으므로 내심은 (r, r)

  1. ⭐ 여기가 고비 — 내심의 좌표가 왜 (r, r)인가 내심은 세 변에서 똑같은 거리 r만큼 떨어진 점입니다. 그런데 이 삼각형은 두 변이 x축과 y축 위에 놓여 있습니다. x축에서 r만큼 떨어졌다는 것이 곧 y좌표가 r이고, y축에서 r만큼이 곧 x좌표가 r이니 좌표가 (r, r)입니다. 정의를 좌표로 옮겨 읽은 것뿐입니다 — 새 공식이 아닙니다. 그러니 r 하나만 구하면 좌표가 저절로 나옵니다. 세 번째 변 BC까지의 거리도 정말 2인지 확인해 보면 내심이 맞다는 것이 확실해집니다 ✓
  2. AB는 x축 위, AC는 y축 위이므로 ∠A = 90°이고 AB = 8, AC = 6, 빗변 BC = √(8²+6²) = 10.
  3. 내심은 x축·y축에서 모두 거리 r만큼 떨어지므로 좌표가 (r, r)이다.
  4. r = (8 + 6 − 10) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2. 따라서 내심은 (2, 2).
  5. 검산(넓이): 넓이 = 8×6÷2 = 24, 둘레 = 24 → ½ × r × 24 = 24 → r = 2 ✓
  6. 검산(직선 BC까지의 거리): BC의 방정식은 3x + 4y − 24 = 0이므로 거리 = |3·2 + 4·2 − 24| ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2 ✓
내심 (2, 2), 반지름 2
도전 · 고1헤론의 공식 + S = rs
세 변의 길이가 13, 14, 15인 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름을 구하라.

풀이 — 헤론으로 넓이를 구하고, 오늘의 공식으로 나눈다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 같은 공식을 이번엔 거꾸로 쓴다 앞에서는 r을 알고 넓이를 구했는데, 여기서는 넓이를 알고 r을 구합니다. S = ½r(a+b+c)에서 둘레의 절반을 s라 두면 S = r s로 아주 짧아지고, 나누기 한 번이면 r이 나옵니다. 그래서 이 문제의 두 걸음은 ①헤론으로 S를 구한다 ②S를 s로 나눈다입니다. 헤론의 공식은 「세 변만으로 넓이를 구하는」 도구라 각도 하나 없이도 여기까지 올 수 있습니다. 검산: 84² = 7056, 그리고 21 × 8 × 7 × 6 = 7056 ✓
  2. 둘레의 절반 s = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21.
  3. 헤론의 공식: S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84.
  4. 오늘의 공식 S = ½ r (a+b+c) = r × s → 84 = r × 21 → r = 4.
  5. 검산: 21 × 8 = 168, 7 × 6 = 42, 168 × 42 = 7056이고 84² = 7056 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 지름길을 아무 데나 쓰면 앞에서 배운 r = (a + b − c) ÷ 2를 여기에 그대로 써 보면 (13 + 14 − 15) ÷ 2 = 6. 그런데 제대로 구한 값은 4입니다. 어긋난 까닭은 이 삼각형이 직각삼각형이 아니기 때문입니다 (13² + 14² = 365 ≠ 225 = 15²). → 지름길에는 쓸 자격이 붙어 있습니다. 「직각이 있는가」를 먼저 확인하고, 없으면 넓이 두 길로 갑니다.
넓이 84, r = 4
도전 · 고2세 가운데 각의 합
점 I가 △ABC의 내심일 때 ∠BIC + ∠CIA + ∠AIB의 값을 구하라.

풀이 — 세 각이 점 I를 한 바퀴 둘러싼다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 이 문제는 「새 사실」이 아니라 「공식 검사」다 세 각을 다 더하면 270° + ½ × 180° = 360°가 나옵니다. 그런데 세 각은 점 I 둘레를 빈틈없이 한 바퀴 채우므로 애초에 360°일 수밖에 없습니다. 그러니 이 문제가 알려 주는 것은 새 사실이 아니라 「∠BIC = 90° + ½∠A라는 공식이 옳다」는 확인입니다. 만약 360°가 아닌 값이 나왔다면 공식이 틀린 것이지요. 이렇게 「이미 아는 답이 나오는지」로 공식을 검사하는 것이 수학에서 늘 쓰는 방법입니다.
  2. 같은 방법으로 ∠BIC = 90° + ½∠A, ∠CIA = 90° + ½∠B, ∠AIB = 90° + ½∠C.
  3. 다 더하면 270° + ½(∠A + ∠B + ∠C) = 270° + ½ × 180° = 270° + 90° = 360°.
  4. 당연한 결과다 — 세 각이 점 I 둘레를 빈틈없이 한 바퀴 채우므로 합이 360°여야 한다. 공식이 옳다는 것을 스스로 증명해 준 셈이다.
  5. 확인: ∠A=60°, ∠B=70°, ∠C=50°이면 120° + 125° + 115° = 360° ✓
360°
도전 · 경시공식 유도 · r = (a+b−c)/2
∠C = 90°인 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변을 a, b, 빗변을 c라 할 때, 내접원의 반지름이 r = (a + b − c) ÷ 2 임을 보여라.

풀이 — 넓이를 두 가지로 쓰고, 곱셈공식으로 정리한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 곧바로 보이려 하지 말고, 「이미 아는 r」과 만나게 한다 (a+b−c)/2가 왜 r인지를 맨손으로 보이려 하면 막힙니다. 그래서 먼저 넓이를 두 길로 써서 r = ab/(a+b+c)를 확보해 놓고, 두 식이 같은 값임을 보이는 쪽으로 바꿔 갑니다. 열쇠는 켤레 꼴로 묶는 것입니다 — (a+b−c)(a+b+c) = (a+b)² − c². 여기서 피타고라스 정리 c² = a² + b²가 들어오는 순간 a²과 b²이 서로 지워지고 2ab만 남습니다. 「보이기 어려우면, 이미 아는 것과 이어 붙일 길을 찾는다」 — 증명의 기본 몸놀림입니다.
  2. 넓이를 두 가지로: ½ab = ½ r (a+b+c) → r = ab ÷ (a+b+c).
  3. 이제 (a+b−c) ÷ 2가 같은 값임을 보이자. 양변에 (a+b+c)를 곱하면 (a+b−c)(a+b+c) ÷ 2 = ((a+b)² − c²) ÷ 2.
  4. 피타고라스 정리에서 c² = a² + b²이므로 ((a² + 2ab + b²) − (a² + b²)) ÷ 2 = 2ab ÷ 2 = ab.
  5. 따라서 (a+b−c) ÷ 2 × (a+b+c) = ab, 즉 (a+b−c) ÷ 2 = ab ÷ (a+b+c) = r. ∎
  6. 확인: a=5, b=12, c=13이면 (5+12−13) ÷ 2 = 2이고 ab ÷ (a+b+c) = 60 ÷ 30 = 2 ✓
r = (a + b − c) ÷ 2
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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