기본도형 실전 완전정복
— 정확히 세는 법 · 연습 10제

풀이 — 기둥은 밑면 개수의 2배(교점), 3배(교선)

1. ⭐ 여기가 고비 — 눈으로 세면 반드시 빠뜨린다 그림을 보고 손가락으로 짚어 세면 뒤쪽에 가려진 모서리를 놓칩니다. 그래서 세는 자리를 미리 갈라 놓고 셉니다 — 밑면 / 윗면 / 둘을 잇는 기둥선, 이렇게 세 묶음. 이 세 묶음은 삼각기둥이든 육각기둥이든 그대로입니다. 그래서 기둥은 언제나 교점이 밑면 개수의 2배, 교선이 3배가 됩니다. 세는 법을 정해 놓으면 그림이 복잡해져도 답이 흔들리지 않습니다.
2. 교점: 밑면 3개 + 윗면 3개 = 6개.
3. 교선: 밑면 3 + 윗면 3 + 옆 기둥선 3 = 9개.

풀이 — 뿔은 밑면 개수+1(교점), 밑면 개수의 2배(교선)

1. ⭐ 여기가 고비 — 뿔은 기둥의 「윗면」이 점 하나로 오므라든 것 기둥에서는 윗면에 점이 6개 있었지만, 뿔에서는 그 여섯이 꼭대기 한 점으로 모입니다. 그래서 교점은 6 + 1 = 7개. 교선도 「윗면 변 6개」가 사라지고 옆모서리 6개만 남아 6 + 6 = 12개. 기둥의 틀을 그대로 쓰되 「윗면이 점으로 오므라들면 어떻게 되나」만 고쳐 생각하면 됩니다. 검산은 오일러 공식으로 — 면은 밑면 1 + 옆면 6 = 7이니 V − E + F = 7 − 12 + 7 = 2 ✓
2. 교점: 밑면 6개 + 꼭대기 1개 = 7개.
3. 교선: 밑면 변 6개 + 옆면 모서리 6개 = 12개.

풀이 — 네 점 중 두 점을 고르는 방법의 수

1. ⭐ 여기가 고비 — 직선 AB와 직선 BA는 같은 직선이다 네 점에서 두 점을 고르는 방법을 4 × 3 = 12가지로 세면 AB와 BA를 따로 세어 두 배가 됩니다. 직선은 어느 쪽에서 그어도 같은 하나이므로 12를 2로 나눈 6개입니다. 손으로 다 적어 보면 확실합니다 — AB, AC, AD, BC, BD, CD로 여섯 줄에서 끝납니다. 「순서가 있는가 없는가」가 나눌지 말지를 정합니다. 같은 네 점이라도 반직선을 물으면 시작점이 달라 AB와 BA가 다른 것이 되어 12개가 됩니다.
2. AB,AC,AD,BC,BD,CD — 짝을 다 세면 6개.

풀이 — 중점이 이어지면 비율도 그대로 이어진다

풀이 — 일직선은 180°

1. ⭐ 여기가 고비 — 그림에서 「무엇과 무엇이 같은가」를 찾으면 식이 나온다 도형 문제를 방정식으로 건너가는 다리는 늘 한 줄입니다. 여기서는 「일직선을 이룬다」 = 두 각을 더하면 180°. 그 한 줄을 쓰는 순간 나머지는 계산입니다. 막히는 것은 계산이 아니라 「무엇이 180인가」를 못 찾는 것입니다. 그림에 일직선 · 직각 · 마주 봄 가운데 무엇이 있는지 먼저 짚고 나서 식을 세우십시오. 검산: x=24이면 92° + 88° = 180° ✓
2. (3x+20)+(2x+40)=180 → 5x+60=180 → x=24°.

풀이 — 맞꼭지각은 서로 같다(평행선과 무관!)

1. ⭐ 여기가 고비 — 맞꼭지각은 「더해서 180」이 아니라 「서로 같다」 바로 앞 문제에서 더해서 180을 썼기 때문에 여기서도 더하기 쉽습니다. 그러나 마주 보는 각은 서로 같습니다. 그래서 등호로 잇습니다. 갈라 놓는 기준은 「이웃인가, 마주 보는가」 하나입니다 — 이웃한 두 각(평각)은 더해서 180, 마주 보는 두 각(맞꼭지각)은 서로 같음. 식을 세우기 전에 그림에서 두 각이 어느 쪽인지 손으로 짚으십시오. 검산: x=25이면 3·25−10 = 65, 25+40 = 65 — 같다 ✓
2. 3x−10 = x+40 → 2x=50 → x=25°.

풀이 — 직각은 90°

1. ⭐ 여기가 고비 — 세 문제에서 바뀐 것은 오직 「무엇과 같은가」뿐 문제 5는 180, 문제 6은 서로 같음, 이번엔 90입니다. 식을 세우는 손놀림은 셋 다 똑같고, 그림에서 어느 것인지 읽어 내는 일만 남습니다. 이 단원의 방정식 문제는 전부 이 셋 중 하나입니다 — 평각 180 · 직각 90 · 맞꼭지각 서로 같음. 세 개를 한 줄로 적어 놓고, 그림에서 어느 것인지 고르는 연습만 하면 이 유형은 끝납니다. 검산: x=25이면 45° + 45° = 90° ✓
2. (x+20)+(2x−5)=90 → 3x+15=90 → x=25°.

풀이 — 직선이 n개면 n×(n−1)쌍

1. ⭐ 여기가 고비 — 공식을 외우지 말고 「짝 고르기 × 2」로 만들어 쓴다 맞꼭지각은 직선 두 개가 만나야 생깁니다. 그러니 ①직선 4개에서 두 개를 고르는 방법 6가지를 세고, ②두 직선이 만날 때마다 맞꼭지각이 2쌍씩 생기니 6 × 2 = 12쌍. 이것을 정리한 것이 n(n−1)/2 × 2 = n(n−1)입니다. 공식을 잊어버려도 이 두 걸음으로 늘 다시 만들 수 있습니다. 가장 작은 경우로 확인해 보십시오 — 직선 2개면 짝 1가지 × 2 = 2쌍. 실제로 두 직선이 만나면 맞꼭지각이 두 쌍이지요 ✓
2. 직선 3개일 때 6쌍이었으니, 직선 4개면 4×3=12쌍.

풀이 — x축에 내린 수선의 발까지의 거리 = y좌표

1. ⭐ 여기가 고비 — 「거리」는 언제나 수선의 길이다 점에서 직선까지 가는 길은 수없이 많지만, 「거리」라고 하면 그중 가장 짧은 길을 말하고 그것이 수직으로 내린 길입니다. x축까지 곧바로 내려오는 길이니 그 길이가 y좌표 7 그대로입니다. 비스듬히 재면 언제나 더 길어집니다 — 수선이 직각삼각형의 「높이」이고 비스듬한 길은 「빗변」이니까요. 같은 까닭으로 y축까지의 거리는 x좌표가 됩니다. 「거리」라는 낱말을 보면 곧바로 수선을 그으십시오.
2. x축에 수직으로 내리면 발은 (3,0), 그 길이는 y좌표 그대로 7.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「마주 보는」이라는 한 마디가 답을 정한다 같은 교차로에서 이웃한 각을 물었다면 180 − 55 = 125°였을 것입니다. 마주 보는 각을 물었으니 그대로 55°. 그림은 하나인데 묻는 자리에 따라 답이 55와 125로 갈립니다. 검산은 네 각을 다 적어 더해 보는 것 — 55 + 125 + 55 + 125 = 360° ✓ 한 점 둘레는 언제나 360°이니 여기서 어긋나면 어딘가 잘못 짚은 것입니다.
2. 맞꼭지각은 그대로 55°.

풀이 — n×(n−1)

1. ⭐ 여기가 고비 — 공식을 외웠어도 다시 만들어 보고 쓴다 직선 5개에서 두 개를 고르는 방법이 10가지, 만날 때마다 맞꼭지각 2쌍이므로 10 × 2 = 20쌍. 외운 n(n−1) = 5×4 = 20과 같은 값이 나왔습니다. 두 길이 만나면 그 답은 믿어도 됩니다. 외운 공식만으로 답을 쓰면 잘못 외웠을 때 알아차릴 길이 없습니다. 한 번은 만들어 보고 한 번은 외운 것으로 — 이것이 이 단원 내내 쓰는 검산법입니다.
2. 5×4=20쌍.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 세지 않고도 면의 개수를 알아내는 식 V − E + F = 2에서 모르는 것이 F 하나뿐이니, F만 남기고 나머지를 넘깁니다 — F = 2 − V + E = 2 − 5 + 8 = 5. 사각뿔은 면을 직접 세는 편이 더 빠릅니다(밑면 1 + 옆면 4 = 5). 이 식의 진가는 면이 복잡해 눈으로 못 세는 다면체에서 납니다 — 축구공(깎은 정이십면체)처럼 면이 32개나 되는 것도 꼭짓점과 모서리만 세면 면 개수가 나옵니다. 여기서는 두 길이 만나는지 확인하는 데 씁니다 — 5와 5로 일치 ✓
2. F=2−V+E=2−5+8=5 (밑면 1+옆면 4=5, 확인).

풀이 — 순서까지 정하므로 n×(n−1)

1. ⭐ 여기가 고비 — 반직선은 「시작점」을 정해야 한다 직선이라면 다섯 점에서 두 점을 고른 10개로 끝입니다. 그런데 반직선은 A에서 출발해 B로 뻗는 것과 B에서 출발해 A로 뻗는 것이 서로 다른 반직선입니다. 그래서 딱 두 배인 20개. 가르는 물음은 하나뿐입니다 — 「AB와 BA가 같은 것인가, 다른 것인가.」 직선은 같고, 반직선은 다릅니다. 그래서 직선은 나누고(순서 없음), 반직선은 나누지 않습니다(순서 있음).
2. 5×4=20개.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 이름만 다를 뿐 같은 셈이다 「여섯 점에서 순서를 정해 두 점 뽑기」와 「여섯 점으로 만드는 반직선 세기」는 글자만 다르고 하는 일이 완전히 같습니다. 둘 다 첫째 자리 6가지 × 둘째 자리 5가지. 중1에서 도형으로 익힌 세는 법이 고1의 순열 ₙPᵣ로 그대로 이어집니다. 새 단원이 나왔을 때 「전에 하던 것 중 무엇과 같은가」를 먼저 찾으면 외울 것이 절반으로 줄어듭니다.
2. P(6,2)=6×5=30 — 반직선 개수 공식 n(n−1)과 완전히 같은 식이다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 답을 맞히는 것이 아니라 「맞는지 확인하는」 문제다 F = 2 − 8 + 12 = 6. 계산은 한 줄로 끝나지만, 이 문제가 시키는 일은 공식이 준 6과 실제로 센 6이 만나는지 보는 것입니다. 만약 두 값이 어긋났다면 V나 E를 잘못 센 것입니다. 정육면체의 모서리를 12가 아니라 8로 세었다면 F = 2 − 8 + 8 = 2가 되어 말이 안 되는 값이 나와 그 자리에서 걸립니다. 공식은 답을 주기도 하지만, 이렇게 「내가 잘못 세었나」를 잡아 주기도 합니다.
2. F=2−8+12=6 — 실제 정육면체도 면이 6개로 일치한다.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 「같은 구조」라는 말의 뜻 역을 점으로, 구간을 선으로 바꿔 그려 놓으면 노선도는 그대로 도형이 됩니다. 겉모습(지하철·다면체)은 아주 다른데 「점과 선」으로 옮겨 놓으면 같은 물건이 되는 것입니다. 수학이 힘을 갖는 까닭이 여기 있습니다 — 한 번 익힌 세는 법이 노선도 · 전기회로 · 인터넷망 · 분자 구조에 전부 그대로 쓰입니다. 그래서 「환승역은 몇 개인가」·「최단 경로는 몇 정거장인가」 같은 물음이 중1에서 배운 교점·교선 세기와 한 줄로 이어집니다.
2. 지하철 노선도도 결국 "정점(역)과 간선(구간)을 정확히 세는 것"과 같은 구조라서, 도형의 교점·교선 세는 법이 그대로 최단경로·환승 분석에 쓰인다.