함수의 극한과 연속 실전 완전정복
— 0/0은 인수분해, ∞−∞은 유리화 · 연습 10제

풀이 — 인수분해 후 약분

1. ⭐ 여기가 고비 — 0/0 은 「값이 0」이 아니라 「아직 모른다」 x=2를 그대로 넣으면 0/0이 됩니다. 이것은 답이 0이라는 뜻도, 답이 없다는 뜻도 아니고 「이대로는 판정할 수 없다」는 신호입니다. 그래서 약분해서 뚫린 점을 메우고 다시 봅니다. 약분해도 되는 까닭이 중요합니다 — x→2는 x가 2에 다가갈 뿐 2가 되지는 않으므로 x−2 ≠ 0입니다. 0으로 나누는 것이 아니니 지워도 됩니다. 그림으로는 직선 y = x+2에서 점 (2, 4) 하나만 뚫려 있는 모양이고, 극한은 그 뚫린 자리의 높이입니다.
2. (x²-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2. x=2 대입: 2+2=4.

풀이 — 세제곱 인수분해

풀이 — 켤레식을 곱해 유리화

1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 켤레식을 곱할 생각이 나는가 ∞ − ∞는 둘 다 무한히 커지는데 그 차이는 유한할 수 있어 그대로는 판정이 안 됩니다. 뺄셈을 나눗셈으로 바꾸려고 켤레식을 곱합니다. (A−B)(A+B) = A²−B²이므로 근호가 통째로 사라지고 (x²+x) − x² = x만 남습니다. 근호를 없애는 것이 목적이 아니라, 「크기를 견줄 수 있는 분수 꼴」로 바꾸는 것이 목적입니다. 그러고 나면 분모는 대략 2x, 분자는 x이니 답이 1/2일 것이라고 미리 짐작할 수 있습니다.
2. 켤레식 √(x²+x)+x를 분모·분자에 곱하면 x/(√(x²+x)+x).
3. 분모·분자를 x로 나누면 1/(√(1+1/x)+1). x→∞이면 1/x→0.
4. 1/(1+1)=1/2.
5. 검산: x=10000이면 √100010000 − 10000 ≈ 0.49999 ✓

풀이 — 극한이 존재하려면 분자도 0

1. ⭐ 여기가 고비 — 「연속」이라는 한 마디가 조건을 둘 준다 미지수는 a, b 둘인데 조건은 「연속」 하나뿐인 것 같아 막힙니다. 그러나 연속이려면 ①먼저 극한이 있어야 하고 ②그 극한값이 함숫값과 같아야 합니다. 조건이 둘입니다. ①이 a를, ②가 b를 정합니다. ①에서 분모가 0으로 가는데 분자가 0이 아니면 분수가 무한대로 튀어 극한이 없습니다. 그러니 극한이 있으려면 분자도 반드시 0이어야 하고, 거기서 4−a=0이 나옵니다. 「연속」을 보면 조건 두 줄을 먼저 써 놓고 시작하십시오.
2. x→2일 때 분모가 0이 되므로, 극한이 존재하려면 x=2에서 분자도 0: 4-a=0 → a=4.
3. a=4 대입: (x²-4)/(x-2)=x+2. x=2 대입한 극한값 4이 b와 같아야 함(연속 조건): b=4.

풀이 — 유리화

1. ⭐ 여기가 고비 — 유리화는 「약분할 x를 만들어 내는」 일이다 근호가 끼면 인수분해가 눈에 안 보입니다. 켤레식 √(x+9)+3을 곱하면 분자가 (x+9) − 9 = x가 되어 분모의 x와 딱 약분됩니다. 근호를 없애는 것 자체가 목적이 아닙니다. 0/0을 풀려면 분자·분모에서 같은 인수를 지워야 하는데, 그 인수를 「만들어 내는」 손놀림이 유리화입니다. 그래서 분자에 근호가 있는 0/0을 보면 곧바로 켤레를 떠올리면 됩니다.
2. 켤레식 √(x+9)+3을 곱하면 x/(x(√(x+9)+3)) = 1/(√(x+9)+3).
3. x=0 대입: 1/(3+3)=1/6.
4. 검산: x=0.01이면 (√9.01−3)/0.01 ≈ 0.16662 — 1/6에 가깝다 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 연속은 「세 가지가 다 있고, 다 같을 것」 확인할 것이 셋입니다. ①극한이 있는가 ②함숫값이 정의되어 있는가 ③둘이 같은가. 여기서는 극한 6, f(3)=6으로 정의 — 셋 다 통과라 연속입니다. 하나만 어긋나도 불연속입니다. 만약 f(3)=5라고 정의되어 있었다면 극한은 여전히 6인데 값만 5라 점 하나가 아래로 어긋나 앉은 모양이 되어 불연속입니다. 「극한이 있다」와 「연속이다」는 다른 말이라는 것을 여기서 못 박아 두십시오.
2. (x²-9)/(x-3)=x+3, x→3 극한값=6, f(3)=6으로 정의되어 있으니 연속.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 답을 미리 짐작해 두면 실수를 잡는다 문제 3과 같은 꼴인데 x의 계수만 1에서 4로 바뀌었습니다. √(x²+kx) − x는 언제나 k/2로 갑니다. 그러니 답은 2일 것이라고 먼저 짚어 두고, 셈으로 확인합니다. 까닭은 이렇습니다 — 유리화하면 분자가 kx, 분모가 대략 2x라 k/2만 남습니다. 답을 미리 짐작해 두면, 셈에서 미끄러졌을 때 그 자리에서 알아차릴 수 있습니다.
2. 유리화하면 4x/(√(x²+4x)+x), x로 나누면 4/(√(1+4/x)+1) → 4/2=2.
3. 검산: k/2 = 4/2 = 2 — 짐작과 일치 ✓

풀이 — 분모도 유리화 형태로 분해

1. ⭐ 여기가 고비 — 근호를 없애는 대신 분모를 근호로 쪼갠다 켤레를 곱해도 되지만, 분모 x−4를 (√x−2)(√x+2)로 쪼개면 분자 √x−2가 그대로 약분되어 한 줄이 짧아집니다. √x = t로 놓고 보면 훤합니다 — t²−4 = (t−2)(t+2), 우리가 늘 하던 인수분해입니다. 근호가 든 식도 √x를 한 덩어리로 보면 보통 식과 똑같이 다룰 수 있습니다.
2. x-4=(√x-2)(√x+2)이므로 약분하면 1/(√x+2). x=4 대입: 1/4.
3. 검산: x=4.01이면 (√4.01−2)/0.01 ≈ 0.2498 — 1/4에 가깝다 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 절댓값은 부호에 따라 다른 함수가 된다 |x|를 그대로 두면 한 발짝도 못 갑니다. x>0이면 |x| = x, x<0이면 |x| = −x로 두 개의 식으로 갈라 놓고 나서야 각각 1과 −1이 보입니다. 여기서 「극한값이 없다」는 말의 뜻을 정확히 해 둡니다 — 무한대로 커진다는 뜻이 아니라 「하나로 정해지지 않는다」는 뜻입니다. 왼쪽에서 다가가면 −1, 오른쪽에서 다가가면 1이라 어느 쪽이라 할 수 없는 것입니다.
2. x>0이면 |x|/x=1, x<0이면 |x|/x=-1.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — h를 0으로 보내기 전에 반드시 약분한다 (2h + h²)/h에서 h를 먼저 0으로 보내면 다시 0/0입니다. h로 묶어 약분한 뒤 2+h가 되고, 그제서야 h→0을 합니다. 이 순서가 극한 계산의 전부입니다 — 「먼저 꼴을 바꾸고, 마지막에 다가가게 한다.」 그리고 이 셈이 바로 미분계수의 정의입니다. 순간속도란 아주 짧은 시간 동안의 평균속도가 다가가는 곳이고, (s(1+h)−s(1))/h가 그 평균속도입니다.
2. ((1+h)²-1)/h = (2h+h²)/h = 2+h. h→0: 2.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — f(2)를 먼저 정확히 구해 놓는다 f(2) = 2²+1 = 5입니다. 이 5를 4로 잘못 두는 것이 이 유형 최다 실수입니다. 그리고 상수 +1은 f(2+h)에도 f(2)에도 똑같이 들어 있어 빼는 순간 사라집니다. 그래서 상수항은 미분계수에 아무 영향을 주지 않습니다. 그래프를 위아래로 통째로 밀어 올려도 기울기는 그대로이기 때문입니다. 검산: f'(x)=2x이므로 f'(2)=4.
2. ((2+h)²+1-5)/h = (4h+h²)/h = 4+h → 4.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 조건 하나로 미지수 둘을 잡는 순서 문제 4와 같은 꼴입니다. 먼저 「극한이 있으려면 분자도 0」으로 a를 잡고, 그 다음 「극한값 = 함숫값」으로 b를 잡습니다. 순서를 바꾸면 a를 모른 채 b를 구해야 해서 막힙니다. 그리고 마지막에 물음이 a도 b도 아닌 a+b라는 것을 놓치지 마십시오. 둘을 다 구해 놓고 더하지 않아 감점되는 일이 잦습니다. a=9, b=6이므로 a+b=15.
2. 분자도 0: 9-a=0 → a=9. 극한 (x+3)→6=b.
3. 검산: (x²−9)/(x−3) = x+3이므로 x→3 극한은 6, 함숫값 b도 6 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 부호가 바뀌는 것만으로는 모자라다 f(1) < 0 < f(2)는 절반일 뿐입니다. 중간값 정리를 쓰려면 그 구간에서 f가 끊기지 않고 이어져 있어야 합니다. 여기서는 다항함수라 모든 실수에서 연속이므로 자격을 갖췄습니다. 이어져 있어야 하는 까닭은 이렇습니다 — 선을 떼지 않고 아래에서 위로 가려면 반드시 0을 지나가야 하지만, 중간에 끊긴 자리가 있으면 0을 건너뛸 수 있기 때문입니다. 정리를 꺼내기 전에 「이 구간에서 연속인가」를 먼저 못 박으십시오.
2. f(1)<0<f(2)이고 f가 연속이므로 중간값 정리에 의해 반드시 해가 존재.
3. 검산: f(1.3)=−0.103, f(1.4)=0.344 — 1.3과 1.4 사이에 해가 있다 ✓

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 분자를 「분모의 배수 + 나머지」로 가른다 3x−1 = 3(x+2) − 7이므로 (3x−1)/(x+2) = 3 − 7/(x+2)가 됩니다. 이렇게 갈라 놓으면 x가 커질 때 뒤 덩어리가 0으로 사라지고 3만 남는 것이 한눈에 보입니다. 그리고 그 남는 상수 3이 곧 수평점근선 y=3입니다 — 「x를 아무리 키워도 이 선을 넘지는 못하고 다가가기만 한다」는 뜻이지요. 검산은 최고차항 계수의 비로: 3/1 = 3. 두 길이 같은 값을 주면 안심입니다.
2. 표준형 3-7/(x+2)에서 x→∞이면 3. 이는 수평점근선 y=3을 의미.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 계수 5가 어디로 가는지 끝까지 따라간다 5(2+h)² − 5·2² = 5(4+4h+h²) − 20 = 20h + 5h². h로 묶으면 h(20+5h)이고, 분모 h와 약분되어 20+5h가 남습니다. 여기서 h→0 하면 20. 일반화하면 s = at²의 순간속도는 2at입니다. a=5, t=2이니 2·5·2 = 20 — 공식으로도 같은 값이 나옵니다. 정의로 한 번, 공식으로 한 번 — 두 길이 만나면 그 답은 믿을 수 있습니다.
2. lim(h→0) (5(2+h)²-20)/h = lim (20h+5h²)/h = 20+5h → 20.

풀이

1. ⭐ 여기가 고비 — 셋을 따로따로 확인한다 ①왼쪽에서 다가간 값 ②오른쪽에서 다가간 값 ③그 자리에서 실제로 잰 값 — 셋을 각각 적어 놓고 견줍니다. 여기서는 2V, 2V, 2V로 모두 같으니 연속입니다. 하나만 어긋나도 불연속입니다. 만약 실제 전압만 0V로 측정되었다면, 좌·우 극한은 여전히 2V인데 그 순간의 값만 0V라 「뚫린 점」이 생겨 불연속입니다. 회로에서 이런 자리가 곧 순간적인 끊김·잡음으로 나타납니다.
2. 좌극한=우극한=함숫값=2V로 모두 일치하므로 연속.