YEON MATH · 행복수학

귀납적 정의 [실전]
— 만들어 놓은 항이 답을 알려 준다 · 연습 10제

분수배는 약분 · 나란히 놓고 차 보기 · 쌓이는 꼴은 합으로 접기 · 첫째항 거꾸로 · 지수 세기 · 되돌려 검산

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먼저 · 실전 손버릇 여섯

1
겁내지 말고 넣는다 — 분수가 붙었든 지수가 붙었든, 하는 일은 하나. n 자리에 1, 2, 3 을 차례로 잡아 넣어 항을 실제로 만든다.
2
분수가 나오면 약분해 버린다 — \(a_{n+1} = \dfrac{2n+1}{2n-1}a_n\) 처럼 생겨도, n 을 넣으면 \(\dfrac{3}{1},\ \dfrac{5}{3},\ \dfrac{7}{5}\) 같은 수 하나가 될 뿐이다.
3
나란히 놓고 차를 본다 — 만들어 놓은 항을 죽 늘어놓는다. 차가 같으면 등차수열, 비가 같으면 등비수열. 겉모양이 아니라 만들어 놓은 항이 정체를 알려 준다.
4
쌓이는 꼴은 모아서 접는다 — \(a_{n+1} = a_n + (\text{n 에 따라 달라지는 것})\) 이면 한 항마다 하나씩 쌓인다. 쌓인 것을 모아 합 공식으로 접는다. 두 배씩 커지면 등비수열의 합 \(\dfrac{a(r^{\,n}-1)}{r-1}\).
5
몇 걸음 걸었는지 반드시 센다 — \(a_1\) 에서 \(a_7\) 까지는 여섯 걸음이다. 그래서 \(2^n\) 이 쌓이면 지수는 \(2^1\) 부터 \(2^6\) 까지만 간다. 여기가 이 단원 최고의 함정.
6
답이 나오면 되돌려 맞춘다 — 구한 첫째항이나 일반항을 귀납식에 도로 넣어 원래 조건이 나오는지 확인한다. 여기까지가 실전이다.
넣는다\(n = 1, 2, 3\)
약분한다분수는 수 하나로
늘어놓는다차를 본다
접는다합 공식
되돌린다맞는지 확인

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"앞의 수에 2를 더한다, 그다음엔 4를 더한다, 그다음엔 6을 더한다" — 더하는 수가 자꾸 바뀌어도 한 칸씩 채워 나가면 수열이 완성된다.
📐 중2~중3 (준비)
규칙 찾기와 약분, 거듭제곱 \(2^1, 2^2, \cdots\) 의 값 외우기, 등차수열의 뜻(차가 같다).
🎓 고2 수학Ⅰ (핵심)
귀납식으로 항 만들기, 쌓이는 꼴을 \(\Sigma\) 로 접기, 등비수열의 합, 치환으로 일반항 찾기.

🐣 저학년 직관 — "더하는 수가 자꾸 커지는 계단"

첫 칸에 1을 씁니다. 그런데 이번 규칙은 좀 다릅니다. 첫 걸음엔 3을 더하고, 두 걸음째엔 6을 더하고, 세 걸음째엔 9를 더해요. 더하는 수가 자꾸 커지는 계단이죠.

그러면 칸은 1 → 4 → 10 → 19 가 됩니다. 더하는 수가 바뀌어도 무섭지 않아요. 한 칸씩 차례대로 채우기만 하면 되니까요. 이것이 오늘 배울 실전의 전부입니다.

1 →(+3) 4 →(+6) 10 →(+9) 19

연습 10제 · 단계별 해설

난이도 배분 — C 2제 · B 7제 · A 1제. 열 문제 모두 n 을 실제로 돌려 항을 만들어 답을 대조했고, 일반항을 구한 문제는 그 일반항을 귀납식에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다.

문제 1C기본 · 곱하고 빼는 꼴
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 5,\; a_{n+1} = 2a_n - 1\; (n = 1, 2, 3, \cdots)\) 로 정의될 때, \(a_4\) 를 구하라.

풀이 — n 자리에 1, 2, 3 을 차례로 넣는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — \(a_4\) 까지 가려면 세 번만 넣으면 된다 \(a_{n+1}\) 의 왼쪽 첨자에서 1 을 뺀 것이 n 입니다. \(a_4\) 를 얻으려면 \(a_{n+1} = a_4\), 곧 n = 3. 그러니 n 에 1, 2, 3 을 넣으면 끝입니다. 넣는 횟수를 잘못 세는 것이 이 단원에서 가장 자주 나오는 실수입니다. 첫째항은 아직 한 걸음도 걷지 않은 자리라는 것을 늘 기억하십시오.
  2. n = 1 : \(a_2 = 2\times 5 - 1 = 10 - 1 = 9\).
  3. n = 2 : \(a_3 = 2\times 9 - 1 = 18 - 1 = 17\).
  4. n = 3 : \(a_4 = 2\times 17 - 1 = 34 - 1 = 33\).
  5. 늘어놓으면 5, 9, 17, 33. 차가 4, 8, 16 으로 두 배씩 커진다 (등차도 등비도 아니다).
"2를 잡아 놓는 거지." — 귀납식은 읽는 법이 하나뿐입니다. n 자리에 수를 잡아 넣는 것.— 장대경 선생님 특강 전사 [240]
\(a_4 = 33\)
문제 2C기본 · 더하는 수가 바뀐다
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 1,\; a_{n+1} = a_n + 3n\) 으로 정의될 때, \(a_4\) 를 구하라.

풀이 — 더하는 것이 n 에 따라 달라진다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 더하는 수 \(3n\) 의 n 은 지금 밟는 걸음의 번호다 \(a_2\) 를 만들 때는 n = 1 이니 3 을 더하고, \(a_3\) 을 만들 때는 n = 2 이니 6 을 더합니다. 더하는 수가 계속 3 인 것이 아닙니다. 이 꼴은 \(a_{n+1} = a_n + d\) 와 겉모양이 비슷해서 등차수열로 착각하기 쉽습니다. d 자리에 n 이 들어 있으면 등차수열이 아닙니다. 걸음마다 더하는 양이 달라지니까요.
  2. n = 1 : \(a_2 = 1 + 3\times 1 = 4\).
  3. n = 2 : \(a_3 = 4 + 3\times 2 = 4 + 6 = 10\).
  4. n = 3 : \(a_4 = 10 + 3\times 3 = 10 + 9 = 19\).
  5. 늘어놓으면 1, 4, 10, 19. 차가 3, 6, 9 — 더한 것이 그대로 차가 되었다 ✓
"일자 번(호) 넣으니까 어떻게 되나." — 넣는 번호가 곧 그 걸음의 이름입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [234-235]
\(a_4 = 19\)
문제 3B분수배 · 약분하면 보인다
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 3,\; a_{n+1} = \dfrac{n+2}{n}\,a_n\) 으로 정의될 때, \(a_5\) 를 구하고 일반항 \(a_n\) 을 구하라.

풀이 — 분수는 겁줄 뿐, 넣으면 수 하나가 된다

  1. n = 1 : \(a_2 = \dfrac{3}{1}\times 3 = 9\).   n = 2 : \(a_3 = \dfrac{4}{2}\times 9 = 2\times 9 = 18\).
  2. n = 3 : \(a_4 = \dfrac{5}{3}\times 18 = 5\times 6 = 30\).   n = 4 : \(a_5 = \dfrac{6}{4}\times 30 = \dfrac{3}{2}\times 30 = 45\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 3, 9, 18, 30, 45 를 보고 무엇으로 나눠 볼지 정한다 차를 보면 6, 9, 12, 15 로 일정하지 않으니 등차수열이 아닙니다. 그런데 모두 3 으로 나누어 떨어집니다 — 1, 3, 6, 10, 15. 이것은 1부터 더해 나간 수 \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) 입니다. 그래서 \(a_n = \dfrac{3n(n+1)}{2}\). 차가 안 맞으면 공통으로 들어 있는 수부터 걷어내 보는 것이 실전의 요령입니다.
  4. 되돌려 확인 : \(\dfrac{n+2}{n}\times\dfrac{3n(n+1)}{2} = \dfrac{3(n+1)(n+2)}{2} = a_{n+1}\) ✓   \(a_1 = \dfrac{3\cdot1\cdot2}{2} = 3\) ✓   \(a_5 = \dfrac{3\cdot5\cdot6}{2} = 45\) ✓
"약분 시키니까 10이 나오는 걸 알 수가 있다." — 분수배는 약분해 버리면 그만입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [248-249]
\(a_5 = 45\), \(a_n = \dfrac{3n(n+1)}{2}\)
문제 4B분수배인데 등차수열
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 3,\; a_{n+1} = \dfrac{n+1}{n}\,a_n\) 으로 정의될 때, \(a_6\) 을 구하고 일반항 \(a_n\) 을 구하라.

풀이 — 겉모양은 곱하기인데 속은 등차수열

  1. n = 1 : \(a_2 = \dfrac{2}{1}\times 3 = 6\).   n = 2 : \(a_3 = \dfrac{3}{2}\times 6 = 9\).   n = 3 : \(a_4 = \dfrac{4}{3}\times 9 = 12\).
  2. n = 4 : \(a_5 = \dfrac{5}{4}\times 12 = 15\).   n = 5 : \(a_6 = \dfrac{6}{5}\times 15 = 18\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 곱하기 꼴이라고 등비수열이라 단정하면 틀린다 귀납식이 \(a_{n+1} = r\,a_n\) 처럼 생겼으니 등비수열이라고 답하기 쉽습니다. 그런데 여기서 곱하는 것은 고정된 수 r 이 아니라 n 에 따라 달라지는 \(\dfrac{n+1}{n}\) 입니다. 항을 실제로 만들어 놓고 보면 3, 6, 9, 12, 15, 18 — 차가 늘 3 인 등차수열입니다. 꼴로 단정하지 말고, 만들어 놓은 항으로 판단한다. 이것이 실전의 첫째 규칙입니다.
  4. 첫째항 3 · 공차 3 이므로 \(a_n = 3 + (n-1)\times 3 = 3n\).
  5. 되돌려 확인 : \(\dfrac{n+1}{n}\times 3n = 3(n+1) = a_{n+1}\) ✓   \(a_6 = 3\times 6 = 18\) ✓
"여기서 4를 더하면 요놈이 돼." — 만들어 놓은 항을 나란히 놓고 보아야 정체가 드러납니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [265]
\(a_6 = 18\), \(a_n = 3n\)
문제 5B한 항마다 \(3^n\) 이 쌓인다
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 2,\; a_{n+1} = a_n + 3^{\,n}\) 으로 정의될 때, \(a_5\) 를 구하라.

풀이 — 쌓인 것을 모아서 한 번에 접는다

  1. 한 항 내려갈 때마다 \(3^1, 3^2, 3^3, \cdots\) 이 하나씩 쌓인다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — \(a_5\) 까지면 지수는 4 까지만 간다 \(a_1 \to a_2 \to a_3 \to a_4 \to a_5\) 로 화살표가 네 개입니다. 그러니 쌓이는 것은 \(3^1, 3^2, 3^3, 3^4\) 네 개뿐, \(3^5\) 는 들어가지 않습니다. 선생님이 \(a_7\) 짜리 문제에서 "2의 6승까지 가는구나" 라고 짚으신 자리가 바로 여깁니다. 첨자에서 1을 뺀 것까지가 지수의 끝이라고 외워 두십시오.
  3. \(a_5 = 2 + (3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4) = 2 + (3 + 9 + 27 + 81) = 2 + 120 = 122\).
  4. 등비합으로도 같다 : \(\dfrac{3(3^4 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{3\times 80}{2} = 120\) ✓
  5. 되돌려 확인 : 2, 5, 14, 41, 122 — 한 항씩 걸어 내려가도 같다 ✓
"2의 6승까지 가는구나라고 할 수 있단 말이야." — 지수가 어디까지 가는지 반드시 세어야 합니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [316-317]
\(a_5 = 122\)
문제 6B첫째항을 거꾸로 찾는다
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_{n+1} = a_n + 2^{\,n-1}\) 을 만족하고 \(a_6 = 100\) 일 때, \(a_1\) 을 구하라.

풀이 — 모르는 첫째항은 그냥 \(a\) 라 두고 쌓아 올린다

  1. \(a_1 = a\) 라 두면 \(a_2 = a + 2^0\), \(a_3 = a + 2^0 + 2^1\), \(a_4 = a + 2^0 + 2^1 + 2^2\), ⋯
  2. ⭐ 여기가 고비 — 지수가 \(n-1\) 이라 \(2^0\) 부터 시작한다 앞 문제처럼 \(2^1\) 부터라고 넘겨짚으면 답이 통째로 틀립니다. n = 1 을 넣어 보십시오. \(a_2 = a_1 + 2^{1-1} = a_1 + 2^0 = a_1 + 1\) 입니다. \(a_6\) 까지는 다섯 걸음이므로 쌓이는 것은 n = 1, 2, 3, 4, 5 자리의 \(2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4\) 다섯 개입니다. 지수의 시작과 끝을 둘 다 확인하는 것이 이 꼴의 전부입니다.
  3. \(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31\). 등비합으로도 \(\dfrac{1\cdot(2^5-1)}{2-1} = 31\) ✓
  4. \(a_6 = a + 31 = 100\) 이므로 \(a = 69\).
  5. 되돌려 확인 : 69, 70, 72, 76, 84, 100 — \(a_6\) 이 정확히 100 ✓
"이게 130이 되니까 a 값이 얼마가 되나, 4가 된다." — 첫째항을 모를 때는 \(a\) 로 두고 끝까지 쌓아 올립니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [349-352]
\(a_1 = 69\)
문제 7B더하기가 아니라 곱하기로 쌓인다
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 1,\; a_{n+1} = 2^{\,n}\,a_n\) 으로 정의될 때, \(a_5\) 를 구하고 일반항 \(a_n\) 을 구하라.

풀이 — 곱으로 쌓이면 지수끼리 더해진다

  1. n = 1 : \(a_2 = 2^1\times 1 = 2\).   n = 2 : \(a_3 = 2^2\times 2 = 8\).
  2. n = 3 : \(a_4 = 2^3\times 8 = 64\).   n = 4 : \(a_5 = 2^4\times 64 = 16\times 64 = 1024\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 곱해진 것을 지수의 합으로 모은다 \(a_5 = 2^4\cdot2^3\cdot2^2\cdot2^1\cdot a_1 = 2^{\,1+2+3+4} = 2^{10} = 1024\). 더하기로 쌓일 때는 더한 것을 합 공식으로 접었지만, 곱하기로 쌓일 때는 지수를 합 공식으로 접습니다. 그래서 \(a_n = 2^{\,1+2+\cdots+(n-1)} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}\). n = 5 를 넣으면 \(2^{\frac{5\cdot4}{2}} = 2^{10} = 1024\) ✓ 쌓이는 자리가 어디인지(값인지 지수인지)만 갈라 보면 두 꼴은 똑같은 문제입니다.
  4. 되돌려 확인 : \(2^n\times 2^{\frac{n(n-1)}{2}} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}+n} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}} = a_{n+1}\) ✓   \(a_1 = 2^0 = 1\) ✓
"등비수열이 된단 말이야." — 두 배씩 커지는 것이 보이면 합 공식을 꺼낼 자리입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [322-323]
\(a_5 = 1024\), \(a_n = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
문제 8B분수가 분수를 낳는 꼴
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 1,\; a_{n+1} = \dfrac{a_n}{a_n + 1}\) 로 정의될 때, \(a_5\) 를 구하고 일반항 \(a_n\) 을 구하라.

풀이 — 무섭게 생겼어도 넣어 보면 끝난다

  1. n = 1 : \(a_2 = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}\).
  2. n = 2 : \(a_3 = \dfrac{1/2}{1/2 + 1} = \dfrac{1/2}{3/2} = \dfrac{1}{3}\).
  3. n = 3 : \(a_4 = \dfrac{1/3}{1/3 + 1} = \dfrac{1/3}{4/3} = \dfrac{1}{4}\).   n = 4 : \(a_5 = \dfrac{1/4}{5/4} = \dfrac{1}{5}\).
  4. ⭐ 여기가 고비 — 항을 약분하지 말고 꼴을 살려서 적어야 규칙이 보인다 \(1,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{5}\) — 이렇게 같은 모양으로 줄을 세우면 분모가 1, 2, 3, 4, 5 로 늘어난다는 것이 한눈에 보입니다. 그래서 \(a_n = \dfrac{1}{n}\). 첫째항을 1 이 아니라 \(\dfrac{1}{1}\) 로 적어 두는 것이 요령입니다. 소수(0.5, 0.333…)로 바꿔 적으면 규칙이 오히려 숨어 버립니다.
  5. 되돌려 확인 : \(\dfrac{1/n}{1/n + 1} = \dfrac{1/n}{(1+n)/n} = \dfrac{1}{n+1} = a_{n+1}\) ✓   \(a_1 = \dfrac{1}{1} = 1\) ✓
"약분시키니까 요거 14가 나오네." — 분수는 계산해 버리면 그냥 수 하나입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [258-259]
\(a_5 = \dfrac{1}{5}\), \(a_n = \dfrac{1}{n}\)
문제 9B한 걸음 옮기면 등비가 보인다
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 2,\; a_{n+1} = 3a_n - 2\) 로 정의될 때, \(a_5\) 를 구하고 일반항 \(a_n\) 을 구하라.

풀이 — 먼저 항을 만들고, 그다음에 규칙을 찾는다

  1. n = 1 : \(a_2 = 3\times 2 - 2 = 4\).   n = 2 : \(a_3 = 3\times 4 - 2 = 10\).
  2. n = 3 : \(a_4 = 3\times 10 - 2 = 28\).   n = 4 : \(a_5 = 3\times 28 - 2 = 82\).
  3. ⭐ 여기가 고비 — 2, 4, 10, 28, 82 에서 1 을 빼 본다 차(2, 6, 18, 54)도 비(2, 2.5, 2.8, …)도 깔끔하지 않습니다. 그런데 모두 1 씩 빼면 1, 3, 9, 27, 81 — 3 씩 곱해지는 등비수열이 나옵니다. 그래서 \(a_n - 1 = 1\cdot 3^{\,n-1}\), 곧 \(a_n = 3^{\,n-1} + 1\). 빼 볼 수를 어떻게 찾을까요? \(a_{n+1} = 3a_n - 2\) 에서 변하지 않는 값 k 를 찾으면 됩니다 — \(k = 3k - 2\) 를 풀면 k = 1. 이 k 를 빼면 언제나 등비수열이 나옵니다.
  4. 확인 : \(a_5 = 3^4 + 1 = 81 + 1 = 82\) ✓
  5. 되돌려 확인 : \(3a_n - 2 = 3(3^{\,n-1}+1) - 2 = 3^{\,n} + 1 = a_{n+1}\) ✓   \(a_1 = 3^0 + 1 = 2\) ✓
"요거 계속 (4를) 더해 나가면 되겠다라는 걸 알 수가 있어." — 항을 만들어 놓고 나서야 규칙이 보입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [269-271]
\(a_5 = 82\), \(a_n = 3^{\,n-1} + 1\)
문제 10A첫째항과 일반항을 한꺼번에
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_{n+1} = a_n + (2n - 1)\) 을 만족하고 \(a_{10} = 100\) 일 때, \(a_1\) 을 구하고 일반항 \(a_n\) 을 n 으로 나타내라.

풀이 — 쌓인 것이 홀수라면, 합은 제곱이다

  1. \(a_1 = a\) 라 두면 \(a_2 = a + 1\), \(a_3 = a + 1 + 3\), \(a_4 = a + 1 + 3 + 5\), ⋯ 로 홀수가 하나씩 쌓인다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 몇 개가 쌓였는지 세고, 그 합을 제곱으로 접는다 \(a_1\) 에서 \(a_{10}\) 까지는 아홉 걸음이므로 n = 1, 2, ⋯, 9 자리의 \(1, 3, 5, \cdots, 17\) 아홉 개가 쌓입니다. 홀수를 1부터 차례로 더하면 더한 개수의 제곱이 됩니다 — \(1+3 = 2^2\), \(1+3+5 = 3^2\), ⋯, \(1+3+\cdots+17 = 9^2 = 81\). 등차합으로 세도 같습니다 : \(\dfrac{9(1+17)}{2} = \dfrac{9\times 18}{2} = 81\). 여기서 아홉을 열로 잘못 세면 \(10^2 = 100\) 이 되어 \(a_1 = 0\) 이라는 엉뚱한 답이 나옵니다.
  3. \(a_{10} = a + 81 = 100\) 이므로 \(a_1 = 19\).
  4. 일반항 : \(a_n = a_1 + \big(1 + 3 + \cdots + (2n-3)\big) = 19 + (n-1)^2\)  (쌓인 홀수가 \(n-1\) 개이므로).
  5. 되돌려 확인 : \(a_n + (2n-1) = 19 + (n-1)^2 + 2n - 1 = 19 + n^2 = 19 + \big((n+1)-1\big)^2 = a_{n+1}\) ✓
  6. 항으로도 확인 : 19, 20, 23, 28, 35, 44, 55, 68, 83, 100 — \(a_{10}\) 이 정확히 100 ✓   \(a_1 = 19 + 0 = 19\) ✓
⚠️ 이 문제의 함정 — 걸음 수를 하나 더 세는 것 ✗ "\(a_{10}\) 이니까 열 개가 쌓였겠지" → \(1+3+\cdots+19 = 10^2 = 100\) → \(a_1 = 0\) ✗ "일반항은 \(19 + n^2\) 이겠지" → n = 1 을 넣으면 20 이 되어 첫째항과 어긋난다 → 첫째항은 아직 한 걸음도 걷지 않은 자리입니다. \(a_{10}\) 까지는 아홉 걸음, 일반항의 지수도 \(n-1\).
"이해 안 되면 몇 번이고 계속해서 반복해서 보면은 충분히 이해할 수 있을 거야."— 장대경 선생님 특강 전사 [355-357] · 이 강의의 마지막 말씀
\(a_1 = 19\), \(a_n = (n-1)^2 + 19\)
※ 이 자료의 풀이·답은 모두 직접 검산했습니다. 열 문제 전부 n 을 실제로 돌려 항을 만들어 답과 대조했고, 일반항을 구한 문제(3, 4, 7, 8, 9, 10)는 그 일반항을 귀납식에 되돌려 넣어 원래 관계식을 만족하는지까지 확인했습니다. 청록 상자(구호)는 이 특강 전사에 실제로 남아 있는 선생님 말씀만 옮긴 것입니다.
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