세 항이 얽힌 꼴은 쪼갠다 — \(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) 는 반으로 쪼개면 \(a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n\), 곧 등차수열. 같은 자리에 \(a_{n+1}^{\,2} = a_n a_{n+2}\) 가 있으면 등비수열.
5
활용은 「지금 것 → 한 걸음 뒤」만 적는다 — 구하는 양을 \(a_n\) 이라 두고, \(a_{n+1}\) 을 \(a_n\) 으로 어떻게 만드는지 그 한 줄만 쓰면 식이 선다.
n = 1\(a_2\) 가 나온다
n = 2\(a_3\) 이 나온다
n = 3\(a_4\) 가 나온다
이렇게한 항씩 걸어 내려간다
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"처음 수는 3, 다음부터는 앞의 수에 2를 더한다" — 규칙 하나로 3, 5, 7, 9…를 끝없이 만들어 본다. 이것이 바로 귀납적 정의.
📐 중1~중3 (준비)
규칙 찾기·수열의 배열, 등차수열의 뜻(같은 수를 계속 더한다), 등비수열의 뜻(같은 수를 계속 곱한다).
🎓 고2 수학Ⅰ (핵심)
\(a_1\) 과 \(a_{n+1}\) 의 관계식으로 수열 정의, 귀납식에서 등차·등비 알아보기, 치환으로 일반항 찾기, 수학적 귀납법으로 이어짐.
🐣 저학년 직관 — "첫 칸에 3을 놓고, 다음 칸은 앞칸 + 2"
공책에 칸을 열 개 그려요. 첫 칸에 3을 씁니다. 그리고 규칙은 딱 하나 — "다음 칸 = 앞 칸 + 2". 이 규칙만으로 3, 5, 7, 9, 11 … 열 칸이 저절로 채워집니다.
놀라운 건 이겁니다. 첫 칸의 수와 규칙 한 줄만 친구에게 말해 주면, 친구도 똑같은 수열을 만들 수 있어요. 수열 전체를 다 적어 보낼 필요가 없죠. 이것이 "귀납적으로 정의한다"는 말의 뜻이에요.
첫 수 3 + 규칙 "앞 수에 2를 더한다" = 수열 하나
연습 10제 · 단계별 해설
난이도 배분 — C 2제 · B 7제 · A 1제. 열 문제 모두 n을 실제로 돌려 항을 만들어 답을 대조했고, 일반항을 구한 문제는 그 일반항을 귀납식에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다.
문제 1C기본 · 더하기 꼴
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 7,\; a_{n+1} = a_n + 4\; (n = 1, 2, 3, \cdots)\) 로 정의될 때,
\(a_5\) 를 구하고, 이 수열의 일반항 \(a_n\) 을 구하라.
풀이 — n 자리에 1, 2, 3, 4를 차례로 잡아 넣는다
⭐ 여기가 고비 — \(a_{n+1}\) 의 n 은 「몇 번째 계단인가」를 가리킨다
\(a_{n+1} = a_n + 4\) 에서 n 에 1을 넣으면 \(a_2 = a_1 + 4\) 입니다. \(a_1\) 이 나오는 게 아닙니다.
헷갈리면 왼쪽 첨자에서 1을 뺀 것이 n 이라고 기억하십시오.
\(a_5\) 를 얻으려면 왼쪽이 \(a_{n+1} = a_5\) 여야 하니 n = 4 입니다.
그래서 \(a_5\) 까지 가려면 n 을 1, 2, 3, 4 네 번만 넣으면 됩니다.
⭐ 여기가 고비 — 일반항의 지수는 n 이 아니라 n − 1 이다
첫째항에서 \(a_5\) 까지 오는 동안 3을 몇 번 곱했는지를 세어야 합니다.
\(a_1 \to a_2 \to a_3 \to a_4 \to a_5\) 로 화살표가 네 개, 그러니 3을 네 번 곱했습니다.
그래서 \(a_5 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162\) 이고,
같은 세기로 \(a_n = 2 \times 3^{\,n-1}\) 입니다.
지수를 n 으로 적어 \(2\times3^5 = 486\) 이라고 쓰면 화살표를 한 번 더 센 것이 됩니다.
첫째항은 아직 한 번도 곱하지 않은 자리라는 것을 잊지 마십시오.
"규칙을 찾으라니까." — 곱하기 꼴이면 공비를 찾는 것, 그것이 규칙입니다.— 장대경 선생님 특강 전사 [134-135]
\(a_5 = 162\), \(a_n = 2 \cdot 3^{\,n-1}\)
문제 3B더하는 수가 n 에 따라 바뀐다
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 1,\; a_{n+1} = a_n + 2n\) 으로 정의될 때, \(a_6\) 을 구하라.
풀이 — 더하는 수가 매번 달라진다
⭐ 여기가 고비 — 이것은 「등차수열이 아니다」
꼴이 \(a_{n+1} = a_n + \square\) 라고 해서 무조건 등차수열이 아닙니다.
더하는 것이 상수 d 일 때만 등차수열입니다. 여기서는 더하는 것이 2n, 곧 n 이 바뀔 때마다 달라집니다.n = 1 이면 2를 더하고, n = 2 면 4를 더하고, n = 3 이면 6을 더합니다.
더하는 수 자체가 등차수열인 셈이지요.
그래서 공차를 찾으려 하지 말고, n 을 하나씩 넣어 걸어 내려가는 것이 정답입니다.
n = 1 : \(a_2 = 1 + 2\times1 = 3\).
n = 2 : \(a_3 = 3 + 2\times2 = 7\).
n = 3 : \(a_4 = 7 + 2\times3 = 13\).
n = 4 : \(a_5 = 13 + 2\times4 = 21\).
n = 5 : \(a_6 = 21 + 2\times5 = 31\).
참고 — 이웃한 항의 차 2, 4, 6, 8, 10 을 보면 \(a_n = n^2 - n + 1\) 임을 짐작할 수 있다.
되돌려 확인 : \(a_n + 2n = (n^2 - n + 1) + 2n = n^2 + n + 1 = (n+1)^2 - (n+1) + 1 = a_{n+1}\) ✓ \(a_6 = 36 - 6 + 1 = 31\) ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 공차를 2로 보면"\(a_n + 2n\) 이니까 공차 2인 등차수열" 이라 여기고 \(a_6 = 1 + 5\times2 = 11\).
그런데 실제로 걸어 내려가면 \(a_6 = 31\) 입니다. 세 배 가까이 어긋납니다.
→ 더하는 것 안에 n 이 들어 있으면 등차수열이 아니다. 꼴만 보지 말고 더하는 것이 상수인지를 확인합니다.
\(a_6 = 31\)
문제 4B분수꼴 · 뒤집어 보기
수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 = 1,\; a_{n+1} = \dfrac{a_n}{a_n + 1}\) 로 정의될 때,
\(a_4\) 를 구하고 일반항 \(a_n\) 을 추측하라.
⭐ 여기가 고비 — 분모·분자에 같은 수를 곱해 「층」을 없앤다
\(\dfrac{1/2}{3/2}\) 처럼 분수 안에 분수가 들어간 모양에서 많이 막힙니다.
분모와 분자에 똑같이 2를 곱해 \(\dfrac{1}{3}\) 로 만드는 것이 이 문제의 손버릇입니다.
일반적으로 \(a_n = \dfrac{1}{k}\) 라면
\(a_{n+1} = \dfrac{1/k}{1/k + 1}\) 이고, 위아래에 k 를 곱하면 \(\dfrac{1}{1 + k}\) 가 됩니다.
그래서 분모가 1씩 커지는 것이 이 수열의 정체입니다 — \(1, \tfrac12, \tfrac13, \tfrac14, \cdots\)
n = 3 : \(a_4 = \dfrac{1}{1 - 3/4} = \dfrac{1}{1/4} = 4\). ← 첫째항으로 돌아왔다.
⭐ 여기가 고비 — 「몇 개마다 되풀이되는가」와 「나머지가 몇인가」
\(a_4 = a_1\) 이므로 이 수열은 3개마다 되풀이됩니다 (주기 3).
그러면 \(a_{100}\) 은 100 을 3으로 나눈 나머지로 정해집니다.
\(100 = 3 \times 33 + 1\) 이므로 나머지가 1 입니다.
나머지 1 이면 첫째항과 같은 자리입니다 —
\(a_1, a_4, a_7, \cdots\) 이 모두 첫째항 자리이고 그 번호는 \(3k+1\) 꼴이니까요.
그래서 \(a_{100} = a_1 = 4\).
나머지 0 이면 세 번째 자리(\(a_3\)) 라는 것도 함께 기억해 두십시오 — 여기서 가장 많이 틀립니다.
확인 : \(a_1 = a_4 = a_7 = \cdots = a_{100} = 4\) (번호가 모두 \(3k+1\) 꼴) ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 나머지 1을 「두 번째」로 읽으면"나머지가 1이니까 \(a_{100} = a_2 = -\dfrac{1}{3}\)".
나머지 1은 한 바퀴 돌고 첫 칸이라는 뜻이지 둘째 칸이 아닙니다.
→ 작은 수로 시험해 보면 바로 잡힙니다. \(4 = 3\times1 + 1\) 이고 실제로 \(a_4 = 4 = a_1\) ✓
\(a_{100} = 4\)
문제 6B★ 반으로 쪼개기 · 등차
수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 n 에 대하여 \(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) 를 만족한다.
\(a_1 = 5,\; a_4 = 20\) 일 때 \(a_{10}\) 을 구하라.
풀이 — 왼쪽 \(2a_{n+1}\) 을 반으로 쪼갠다
⭐ 여기가 고비 — 「2」를 계수로 보지 말고 「같은 것 둘」로 본다
\(2a_{n+1}\) 을 \(a_{n+1}\) 하나, 또 \(a_{n+1}\) 하나 로 반을 쪼갭니다. 그리고 한쪽으로 몰면
\(a_{n+2} - a_{n+1} - a_{n+1} + a_n = 0\), 곧 \(a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n\).
이 한 줄이 말하는 것은 「세 번째에서 두 번째 뺀 것」과 「두 번째에서 첫 번째 뺀 것」이 똑같다는 것.
어느 자리에서 재도 이웃한 항의 차가 언제나 같다는 뜻이니 이 수열은 등차수열입니다.
\(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) 를 보면 바로 「등차수열이구나」 하고 읽어야 합니다.
등차수열이므로 \(a_4 = a_1 + 3d\) : \(20 = 5 + 3d \Rightarrow d = 5\).
"요거를 두 개를 쪼개 … 세 번째에서 두 번째 뺐는 거랑, 두 번째에서 첫 번째 뺐는 거랑 똑같다."— 장대경 선생님 특강 전사 [233] · [251-253]
\(a_{10} = 50\)
문제 7B제곱꼴 · 등비
모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_{n+1}^{\,2} = a_n \, a_{n+2}\) 를 만족한다.
\(a_1 = 3,\; a_3 = 27\) 일 때 \(a_5\) 를 구하라.
풀이 — 더하기가 곱하기로 바뀌면 등차가 등비로 바뀐다
⭐ 여기가 고비 — 나눗셈으로 옮겨서 「비가 같다」를 꺼낸다
\(a_{n+1}^{\,2} = a_n a_{n+2}\) 의 양변을 \(a_n a_{n+1}\) 로 나누면
\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\).
이웃한 항의 비가 언제나 같다 — 그러니 등비수열입니다.
문제 6의 차가 같다가 여기서는 비가 같다로 바뀐 것뿐입니다.
나눌 수 있는 까닭은 문제가 모든 항이 양수라고 못 박아 주었기 때문입니다.
이 한 줄이 없으면 0으로 나눌 위험이 생겨 함부로 나눌 수 없습니다.
공비를 r 이라 하면 \(a_3 = a_1 r^2\) : \(27 = 3r^2 \Rightarrow r^2 = 9\).
모든 항이 양수이므로 \(r = 3\) (r = −3 이면 \(a_2 = -9 < 0\) 이라 조건에 어긋난다).
⭐ 여기가 고비 — 1, 4, 9, 16, 25 를 「제곱수」로 알아보는 눈
걸어 내려간 결과가 \(1, 4, 9, 16, 25\) 입니다. 이것은 \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2\) — 제곱수입니다.
그래서 \(a_n = n^2\) 으로 추측합니다.
왜 홀수를 더하면 제곱수가 되는지도 그림으로 보입니다.
\(n \times n\) 정사각형에 오른쪽 한 줄(n칸)과 아래 한 줄(n칸), 그리고 모서리 한 칸을 붙이면
\((n+1)\times(n+1)\) 정사각형이 됩니다. 붙인 칸수가 바로 \(2n + 1\) 입니다.
식이 그림과 정확히 같은 말을 하고 있는 것이지요.
물통에 물이 들어 있다. 날마다 들어 있던 물의 절반을 쓰고, 그 뒤에 4L 를 새로 채운다.
n 일째 아침의 물의 양을 \(a_n\)(L) 이라 할 때, \(a_{n+1}\) 을 \(a_n\) 으로 나타내고,
\(a_1 = 40\) 일 때 \(a_4\) 를 구하라.
풀이 — 빠져나간 것을 세지 말고 「남은 것」을 센다
⭐ 여기가 고비 — 「절반을 쓴다」를 곱셈 한 번으로 바꾼다
절반을 쓰면 남는 것은 절반입니다. 그러니 \(a_n - \dfrac{1}{2}a_n\) 이라고 길게 쓰지 말고
\(\dfrac{1}{2}a_n\) 이라고 곧장 적습니다. 그 뒤에 4를 채우니
\(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 4\).
선생님이 연못 문제에서 하신 것과 똑같은 손버릇입니다 —
「10분의 1을 빼낸다」 하면 곧바로 「10분의 9가 남는다」로 바꾸어 적으셨지요.
빼는 쪽이 아니라 남는 쪽을 세는 것이 활용 문제의 지름길입니다.
\(2^9 = 512\), \(2^{10} = 1024\) 이므로 가장 작은 n 은 10. (\(a_9 = 511 \le 1000 < 1023 = a_{10}\) ✓)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 1을 그냥 무시하면"\(2a_n\) 이 몸통이니까 \(a_n = 2^{\,n-1}\)" 로 두면 \(a_2 = 2\) 인데 실제로는 \(a_2 = 3\).
더해지는 상수 1이 매 걸음마다 쌓여 2배보다 더 커집니다.→ 상수가 붙어 있으면 그 상수를 흡수시켜 등비로 만든 뒤에 다루어야 합니다.
"오늘 조금은 어려워서 금방은 이해가 잘 안 될 거야. 그래서 요거를 영상을 보면서 하나씩 하나씩 해 나가도록 해라."— 장대경 선생님 특강 전사 [502-506]
\(a_n = 2^{\,n} - 1\), 최소의 n = 10
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"첫째항 하나 + 관계식 하나" 는 수학 바깥까지 간다
오늘 익힌 귀납적 정의는 수열 단원에서 끝나지 않습니다. 「지금 것으로 다음 것을 만든다」는 생각은 학년이 올라갈수록 더 자주 나타납니다.
① 초등 · 규칙 찾기
초3~초6 · 규칙과 대응
"첫 수는 3, 다음부터는 앞 수에 2를 더한다" — 이 한 줄이 이미 귀납적 정의입니다. 표를 채우는 것이 곧 n 을 차례로 넣는 일이고요.
② 중2 · 일차함수와 규칙
중2 · 일차함수
\(a_{n+1} = a_n + d\) 로 만든 수열의 점을 좌표평면에 찍으면 한 직선 위에 놓입니다. 공차 d 가 곧 기울기예요.
③ 고2 · 수학적 귀납법
고2 수1 · 수학적 귀납법
"n = 1 일 때 성립" + "n 일 때 성립하면 n+1 일 때도 성립" — 첫째항 하나 + 관계식 하나와 뼈대가 똑같습니다. 오늘 배운 것이 바로 다음 단원의 준비운동이에요.
④ 고2 · 등비수열로 바꾸는 치환
고2 수1 · 수열
\(a_{n+1} = pa_n + q\) 꼴은 \(c = pc + q\) 를 풀어 \(b_n = a_n - c\) 로 두면 언제나 공비 p 인 등비수열이 됩니다. 문제 10이 그 본보기예요.
⑤ 실생활 · 원리금 균등 상환과 감가상각
경제 · 금융수학
"매달 이자가 붙고 일정액을 갚는다"는 \(a_{n+1} = (1+r)a_n - m\). 문제 9의 물통과 완전히 같은 꼴입니다.
⑥ 경시 · 피보나치와 점화식
정수론 · 경시수학
\(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\) (피보나치)처럼 세 항이 얽힌 점화식은 특성방정식 \(x^2 = x + 1\) 로 풉니다. 오늘의 「반으로 쪼개기」가 그 첫걸음이에요.