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오늘은 수열의 귀납적 정의
"어떤 수열은 어떤 규칙이 있다는 얘기라.
그 어떤 규칙으로 되어 있느냐, 이거를 찾아내는 거다." — 선생님이 이렇게 여셨다.
말은 어려워 보여도 뜻은 아주 간단하다.
그 어떤 규칙으로 되어 있느냐, 이거를 찾아내는 거다." — 선생님이 이렇게 여셨다.
말은 어려워 보여도 뜻은 아주 간단하다.
첫째항 하나 +
이웃한 항 사이의 관계식 하나
⇒ 수열이 통째로 정해진다
읽는 법 · 딱 하나뿐이다
n 자리에 1, 2, 3, 4 를 차례로 잡아 넣는다
두 줄이면 끝이다
a1 = (첫째항)
an+1 = (an 으로 만든 식)
a1 = (첫째항)
an+1 = (an 으로 만든 식)
n = 1a2 가 나온다
n = 2a3 이 나온다
n = 3a4 가 나온다
↓한 항씩 걸어 내려간다
공식을 외우는 자리가 아니다. 넣고 또 넣어서 규칙을 눈으로 보는 것이다.
예제 ① · 더하기 꼴
a1 = 5, an+1 = an + 3
| n = 1 | a2 = a1 + 3 = 5 + 3 | 8 |
| n = 2 | a3 = a2 + 3 = 8 + 3 | 11 |
| n = 3 | a4 = a3 + 3 = 11 + 3 | 14 |
| n = 4 | a5 = a4 + 3 = 14 + 3 | 17 |
5 · 8 · 11 · 14 · 17 — 착착 걸어 내려왔다
예제 ② · 곱하기 꼴
a1 = 1, an+1 = −2 an
| n = 1 | a2 = −2 × a1 = −2 × 1 | −2 |
| n = 2 | a3 = −2 × a2 = −2 × (−2) | 4 |
| n = 3 | a4 = −2 × a3 = −2 × 4 | −8 |
| n = 4 | a5 = −2 × a4 = −2 × (−8) | 16 |
1 · −2 · 4 · −8 · 16 — 부호가 번갈아 가며 두 배씩
여기서 종류가 갈린다
뒤에 + 3 이 붙었나, × (−2) 가 붙었나
더하기 d 꼴
an+1 = an + d
⇒ 등차수열 · d 가 공차
예제 ① 이 바로 이것 (d = 3)
⇒ 등차수열 · d 가 공차
예제 ① 이 바로 이것 (d = 3)
곱하기 r 꼴
an+1 = r an
⇒ 등비수열 · r 이 공비
예제 ② 가 바로 이것 (r = −2)
⇒ 등비수열 · r 이 공비
예제 ② 가 바로 이것 (r = −2)
귀납식을 보자마자 이 두 꼴부터 찾아라. 그러면 절반은 끝난 것이다.
문제 ① · 다섯째항과 여섯째항
a1 = 81, an+1 = ⅓ an
a1 = 81첫째항
a2 = 27⅓ × 81
a3 = 9⅓ × 27
a4 = 3⅓ × 9
a5 = 1⅓ × 3
a6 = ⅓⅓ × 1
곱하기 꼴이니 등비수열 · 공비 ⅓.
답은 a5 = 1, a6 = ⅓
문제 ② · a50 은 얼마인가
a1 = 3, an+1 = an + (−1)n
| n = 1 | a2 = 3 + (−1)1 = 3 − 1 | 2 |
| n = 2 | a3 = 2 + (−1)2 = 2 + 1 | 3 |
| n = 3 | a4 = 3 + (−1)3 = 3 − 1 | 2 |
홀수 번째는 3 · 짝수 번째는 2
⇒ 50 은 짝수 ⇒
a50 = 2
★ 조금 어려운 놈 · 반을 쪼개라
2 an+1 = an + an+2
왼쪽 2 an+1 을 an+1 하나, 또 an+1 하나 로 반을 쪼갠다
↓ 한쪽으로 다 몰면
an+2 − an+1 − an+1 + an = 0
↓ 뒤의 두 개를 우측으로 보내 버리면
an+2 − an+1 = an+1 − an
↓ 한쪽으로 다 몰면
an+2 − an+1 − an+1 + an = 0
↓ 뒤의 두 개를 우측으로 보내 버리면
an+2 − an+1 = an+1 − an
"세 번째에서 두 번째 뺀 거랑, 두 번째에서 첫 번째 뺀 거랑 똑같다"
그래서 이것은 등차수열이다
이웃한 항의 차가 언제나 같다
1a1
+2↓
3a2
+2↓
5a3
첫째항 1 · 공차 2
⇒
an = 1 + (n − 1) × 2
= 2n − 1
되돌려 확인 — n = 1, 2, 3 을 넣으면 1, 3, 5. 정확히 맞는다.
활용 · 귀납식은 이렇게 세운다
n 년 후 연못의 물의 양 = an
"매년 관리를 위해서 10분의 1의 물을 빼낸다 그랬어."
1/10 을 빼낸다 ⇒ 남아 있는 게 10분의 9
⇒ an+1 = ⅞ an
활용 문제에서 세우는 법은 늘 똑같다 — 지금 것 an 으로
한 걸음 뒤의 것 an+1 을 어떻게 만드는지, 그것만 적는다.
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첫째항 하나 + 관계식 하나 — 그게 수열이다
① 귀납적 정의 = a1 하고 an+1 과 an 의 관계식
② 읽는 법 — n 자리에 1, 2, 3, 4 를 차례로 잡아 넣는다
③ an+1 = an + d 면 등차 · an+1 = r an 면 등비
④ 2an+1 = an + an+2 는 반으로 쪼개면 등차수열
⑤ 활용은 지금 것과 한 걸음 뒤의 것 사이만 적으면 된다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
② 읽는 법 — n 자리에 1, 2, 3, 4 를 차례로 잡아 넣는다
③ an+1 = an + d 면 등차 · an+1 = r an 면 등비
④ 2an+1 = an + an+2 는 반으로 쪼개면 등차수열
⑤ 활용은 지금 것과 한 걸음 뒤의 것 사이만 적으면 된다 — 연플래닝 수학특강 · 장대경 선생님의 행복수학
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