⭐ 여기가 고비 — 441 − 273 을 하지 말고, 양쪽에 든 21을 먼저 빼낸다
두 값을 각각 끝까지 계산하면 441 − 273이 됩니다. 답은 나오지만 세 자리 뺄셈을 해야 하고, 문자가 섞인 문제였다면 이 길로는 인수분해된 답이 나오지 않습니다. 두 덩이를 보면 212 = 21 · 21 과 21 · 13 — 양쪽에 21이 똑같이 들어 있습니다. 그러니 21(21 − 13) = 21 · 8 = 168.
이 21은 우연이 아닙니다. Σk³ 은 {n(n+1)/2}², 3Σk² 은 n(n+1)(2n+1)/2 이라 둘 다 n(n+1)/2 를 품고 있기 때문입니다. 그래서 Σk³ 과 Σk² (또는 Σk) 이 함께 나오면 공통인수는 늘 n(n+1)/2 입니다. 먼저 꺼낼 것을 알고 시작하면 계산이 절반이 됩니다.
검산 — 각각 계산해도 441 − 273 = 168 ✓
"분모를 같게 하고 공통인수를 먼저 — 전개부터 하면 인수분해된 꼴로 안 나온다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
168
※ Σk³ 이 든 식에는 n(n+1)/2 라는 공통 덩이가 반드시 숨어 있다. 그것부터 찾아라.
⭐ 여기가 고비 — 2n+4 를 그대로 두지 말고 2를 빼내면 6이 3으로 줄어든다
여기서 멈추고 n(n+1)(2n+4)/6 라고 쓰면 틀린 답은 아니지만 끝난 답도 아닙니다. 괄호 안 2n + 4 에는 2가 공통으로 들어 있습니다 — 2(n + 2). 그 2가 분모 6과 약분되어 3이 되지요 ⇒ n(n + 1)(n + 2)/3.
이 꼴이 되어야 이 공식이 쓸모가 있습니다. n, n+1, n+2 — 연속한 세 수의 곱이라 외우기도 쉽고, 나중에 「합이 얼마이면 n은?」 하고 물으면 세 연속수의 곱으로 바로 찾아낼 수 있기 때문입니다(도전 5). 괄호가 남으면 공통인수가 또 있는지 한 번 더 본다 — 이 한 걸음이 공식을 완성합니다.
⭐ 여기가 고비 — 전개해서 Σk² 와 Σk 를 따로 세우지 말고, 통째로 공식 하나에 태운다
습관대로 Σk² + Σk 로 쪼개면 650 + 78 을 각각 구해 더해야 합니다. 틀리진 않지만 공식을 두 번 쓰고 덧셈을 한 번 더 하는 셈입니다. 이 식은 이미 k² + k 그 자체이므로 네 번째 공식에 n = 12 를 넣기만 하면 됩니다 ⇒ 12 · 13 · 14 / 3 = 728.
공식을 하나 더 외워 두는 값어치가 바로 여기입니다. 게다가 이 길은 약분이 먼저라 큰 수를 만들지 않습니다 — 12 ÷ 3 = 4 로 지우고 4 · 13 · 14 만 곱하면 되지요. 「k²과 k가 같은 계수로 붙어 있으면 네 번째 공식이 맞는 자리」 — 이렇게 알아보는 눈이 곧 실력입니다.
검산 — 쪼개어 구해도 650 + 78 = 728 ✓
728
※ 두 수의 차가 늘 1이면 k(k+1), 늘 2이면 k(k+2). 차부터 확인하자.
연습 4Σ 안에 또 합이 있을 때
Σk=19 (1 + 2 + 3 + ⋯ + k) 의 값을 구하시오.
풀이 — 안쪽 합부터 한 덩이로 만든다
⭐ 여기가 고비 — 안쪽 합은 「1부터 k까지」다 — 9까지가 아니다1 + 2 + ⋯ + k 를 보고 1+2+⋯+9 = 45 라고 계산해 버리는 실수가 가장 많습니다. 그러나 안쪽의 끝은 9가 아니라 k입니다 — k가 1일 때는 1, 2일 때는 1+2, … 9일 때에야 비로소 1+2+⋯+9 이지요. 그러니 안쪽은 수가 아니라 식으로 남습니다 ⇒ 1 + 2 + ⋯ + k = k(k + 1)/2.
이 한 덩이가 곧 새 일반항입니다. ½ 을 앞으로 빼내면 ½ Σ(k² + k) 가 되어 네 번째 공식이 그대로 들어맞습니다 ⇒ ½ · 9·10·11/3 = 165. Σ 안에 또 합이 보이면 「이 합의 끝이 상수인가 k인가」부터 확인하십시오. 끝이 k이면 반드시 안쪽부터 접습니다.
※ 일반식으로는 Σk=1n(1+2+⋯+k) = n(n+1)(n+2)/6 이다. 자주 나오니 함께 익혀 두자.
연습 5안쪽 합을 나눌 때 · 상수 처리
Σk=1151 + 2 + 3 + ⋯ + kk 의 값을 구하시오.
풀이 — 안쪽을 접고, 분모의 k 와 약분한 뒤 따로따로
안쪽은 k(k + 1)/2 이므로 분모의 k 와 약분되어 (k + 1)/2 = ½k + ½.
앞쪽 : ½ · (15 · 16 / 2) = ½ · 120 = 60.
⭐ 여기가 고비 — 뒤에 남은 ½ 은 「한 번」이 아니라 「열다섯 번」 더해진다
앞의 ½k 를 처리하고 나면 뒤에 + ½ 만 덩그러니 남습니다. 여기서 그냥 60 + ½ = 60.5 라고 쓰는 실수가 납니다. 그러나 ½ 은 k가 없는 상수라 밖으로 나오지 못하고, 항마다 하나씩 붙어 있습니다 — k = 1일 때도 ½, 2일 때도 ½, … 15일 때도 ½. 그러니 항의 개수 15와 곱해야 합니다 ⇒ ½ · 15 = 15/2.
이것이 Σk=1n c = cn 의 정체입니다. 「k가 안 보이는 항을 만나면 값을 쓰기 전에 항의 개수부터 센다」 — 이 습관 하나로 이 단원의 최다 실수가 사라집니다. 답은 60 + 15/2 = 135/2.
"k 없는 숫자는 개수와 곱한다 — Σc = cn. 밖으로 못 나오고 항의 개수만큼 더해진다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
135 / 2
※ 분자를 접고 분모와 약분한 뒤에야 계산이 시작된다. 약분 전에 공식을 대입하지 말자.
연습 6안쪽이 홀수의 합
Σk=18 {1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1)} 의 값을 구하시오.
풀이 — 안쪽을 접었더니 아는 공식 하나만 남는다
안쪽의 일반항이 2k − 1 이고 항이 k 개다.
⭐ 여기가 고비 — 뒤의 −1 은 「−1」이 아니라 「−k」다 — 그래야 k² 이 나온다
안쪽을 2 · k(k+1)/2 − 1 로 쓰면 k² + k − 1 이 되어 영영 정리되지 않습니다. 안쪽에서 더해지는 항은 k개이고 그 하나하나에 −1 이 붙어 있으니, 모으면 −k 입니다. 그러면 (k² + k) − k = k² — 놀랍게도 제곱 하나만 남습니다.사실 이것은 「홀수를 k개 더하면 k²이 된다」는 잘 알려진 사실입니다 — 1 = 1², 1+3 = 2², 1+3+5 = 3². 안쪽이 접히고 나면 바깥은 그냥 Σk² 입니다 ⇒ 8 · 9 · 17 / 6 = 204. 안쪽을 끝까지 정리하기 전에는 바깥 공식을 고르지 마십시오 — 무엇이 남을지 모르기 때문입니다.
그러므로 구하는 값은 Σk=18 k² = 8 · 9 · 17 / 6.
약분하면 4 · 3 · 17 = 204.
검산 — 1 + 4 + 9 + ⋯ + 64 = 204 ✓
204
※ 안쪽 상수는 항의 개수만큼 모인다. 여기서는 −1 이 −k 가 되어 k² 이 되었다.
연습 7거꾸로 · 합에서 n 찾기
Σk=1n {(k + 2)² − k²} = 756 일 때, n 의 값을 구하시오.
풀이 — 먼저 Σ 안을 정리하고, 그 다음에 방정식
⭐ 여기가 고비 — 공식을 두 번 세우지 말고, 괄호 안을 먼저 정리한다Σ(k+2)² − Σk² 처럼 각각 공식을 세우려는 것이 첫 번째 함정입니다. Σ(k+2)² 은 그대로는 공식이 없어 다시 전개해야 하고, 계산이 크게 불어납니다. 괄호 안을 먼저 정리하면 (k² + 4k + 4) − k² = 4k + 4 — 제곱이 통째로 사라집니다.「Σ 안을 먼저 정리하라」는 말이 가장 크게 값을 하는 자리입니다. 남은 4k + 4 에서 뒤의 4는 상수이니 항의 개수 n과 곱해 4n. 그래서 4 · n(n+1)/2 + 4n = 2n² + 6n = 2n(n + 3) 입니다. 정리를 끝낸 다음에야 방정식을 세웁니다.
2n(n + 3) = 756 ⇒ n(n + 3) = 378.
378 = 18 · 21 이고 21 − 18 = 3 이므로 n = 18.
검산 — 2 · 18 · 21 = 756 ✓
n = 18
※ 차가 3인 두 수의 곱으로 378을 보는 것이 요령이다. 19² = 361 근처에서 찾으면 금방이다.
연습 8이중 시그마 · 안쪽 먼저
Σj=16 Σk=1j (4k + 2) 의 값을 구하시오.
풀이 — 안쪽을 먼저 한 덩이로, 그 다음 바깥
안쪽 : 4 · j(j + 1)2 = 2j² + 2j.
⭐ 여기가 고비 — 안쪽 상수 2는 「+2」가 아니라 「+2j」다
안쪽 시그마는 k = 1부터 j까지, 곧 항이 j개입니다. 그러니 상수 2는 j번 더해져 2j가 됩니다. 여기서 그냥 2j² + 2j + 2 라고 쓰면 이후 계산이 통째로 어긋납니다. 바르게 하면 2j² + 2j + 2j = 2j² + 4j.
이중 시그마에서 「항의 개수」는 상수가 아니라 바깥 문자 j 입니다. 그래서 안쪽을 정리한 결과는 늘 j에 대한 식이 되지요. 한 덩이가 되고 나면 헷갈리지 않도록 글자를 k로 갈아 끼웁니다 ⇒ Σk=16(2k² + 4k). 여기서부터는 늘 쓰던 공식 그대로입니다.
"k 없는 숫자는 개수와 곱한다 — Σc = cn. 밖으로 못 나오고 항의 개수만큼 더해진다."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
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※ 안쪽 시그마의 위끝이 j이므로 항의 개수도 j다. 상수는 j와 곱해진다.
연습 9이중 시그마 · 바깥 문자가 상수
Σl=1n Σk=18 (k + l) 을 n 에 대한 식으로 나타내시오.
풀이 — 안쪽에서 바깥 문자는 상수다
안쪽에서 Σk=18 k = 8 · 9 / 2 = 36.
⭐ 여기가 고비 — 안쪽에서 l 은 「더하는 것」이 아니라 「여덟 번 곱해지는 것」이다
안쪽 시그마는 k에 대한 것이므로, l 에는 k가 들어 있지 않습니다 — 즉 l 은 상수입니다. 그런데 여기서 36 + l 이라 쓰는 실수가 대단히 많습니다. 상수는 항의 개수 8과 곱해져야 하므로 Σk=18 l = 8l ⇒ 안쪽 = 8l + 36.
「무엇에 대한 시그마인가」를 먼저 읽는 것이 이중 시그마의 전부입니다. 안쪽은 k에 대한 것이니 k가 붙은 것만 변수, 나머지는 모두 상수입니다. 반대로 바깥으로 나오면 그 l 이 이번엔 변수가 되지요. 그래서 정리가 끝나면 글자를 k로 갈아 끼워 「지금은 이것이 변수다」를 눈에 못 박아 둡니다.
※ 안쪽 위끝이 상수 8이면 안쪽 결과는 l 의 일차식이 된다. 그 다음은 늘 하던 계산이다.
연습 10이중 시그마 · 네 번째 공식
Σl=15 Σk=1l 4k 의 값을 구하시오.
풀이 — 안쪽을 접으면 k² + k 꼴이 나온다
안쪽 : 4 · l(l + 1)2 = 2l² + 2l.
⭐ 여기가 고비 — 2를 앞으로 빼내면 「k² + k」가 드러난다2l² + 2l 을 보고 2Σk² + 2Σk 로 쪼개면 공식을 두 번 세워 통분해야 합니다. 그런데 두 항의 계수가 똑같이 2입니다. 2를 앞으로 빼내면 2(l² + l) — 네 번째 공식이 그대로 드러납니다. 글자를 k로 바꾸면 2 Σ(k² + k) = 2 · 5·6·73 = 2 · 70 = 140.
「k²과 k의 계수가 같은가」 — 이것이 네 번째 공식을 쓸 수 있는지 알아보는 신호입니다. 계수가 같으면 통째로 빼내고, 다르면(예: 2k² + 3k) 그때는 따로 세워 통분합니다. 신호를 알아보는 데 드는 시간은 3초, 아껴지는 계산은 세 줄입니다.
⭐ 여기가 고비 — 남은 괄호 3n² + 7n + 2 를 그냥 두지 말고 인수분해한다
괄호를 정리하면 3n² + 3n + 4n + 2 = 3n² + 7n + 2. 여기서 멈추고 n(n+1)(3n²+7n+2)/12 라고 쓰는 답이 가장 흔합니다. 틀리진 않지만 끝나지 않은 답입니다. 십자곱으로 쪼개면 (3n + 1)(n + 2) — 3n · n = 3n², 3n · 2 + 1 · n = 7n, 1 · 2 = 2 ⇒ 맞습니다.
이 단원의 답은 거의 언제나 인수분해된 꼴로 떨어집니다. 그러니 괄호가 남으면 반드시 한 번 더 본다는 것이 규칙입니다. 특히 Σk³ 과 Σk² 을 더하면 (n+2) 라는 인수가 나오는 것은 우연이 아닙니다 — 네 번째 공식에서도 같은 (n+2)가 나왔지요. 답의 모양이 낯익으면 대개 옳게 간 것입니다.
"분모를 같게 하고 공통인수를 먼저 — 남은 괄호는 인수분해까지."— 장대경 선생님 비법 카드 · 제59강 「시그마로 수열의 합 나타내기」
n(n + 1)(n + 2)(3n + 1) / 12
※ 분모는 4와 6의 최소공배수 12다. 분모를 맞추는 순간이 계산의 갈림길이다.
도전 2안쪽이 제곱의 합 · 세 조각으로
Σk=181² + 2² + ⋯ + k²k 의 값을 구하시오.
풀이 — 접고, 약분하고, 세 조각으로 쪼갠다
안쪽은 k(k+1)(2k+1)/6 이므로 분모의 k와 약분되어 (k+1)(2k+1)/6.
⭐ 여기가 고비 — 괄호를 곱해 풀어야 비로소 공식에 태울 수 있다(k+1)(2k+1)/6 을 그대로 두고는 어떤 공식도 쓸 수 없습니다. 우리가 아는 공식은 Σk, Σk², Σk³, Σ(k²+k) 뿐이니, 식을 k의 거듭제곱들의 합으로 바꿔야 합니다. 곱해서 풀면 (2k² + 3k + 1)/6 = ⅓k² + ½k + ⅙ — 이제 세 조각 모두 공식이 있습니다.
다른 데서는 「전개하지 말고 공통인수를 먼저」라 했는데 여기서는 반대로 전개합니다. 헷갈리지 않는 기준은 이렇습니다 — 공식에 태우기 전에는 전개하고, 공식에 태워 답이 나온 뒤에는 인수분해한다. 그리고 맨 뒤의 ⅙ 은 k가 없는 상수이니 항의 개수 8과 곱해 8/6 = 4/3 입니다.
⭐ 여기가 고비 — 전개하지 말고 「제곱을 먼저 벗긴다」 — 그리고 양수만 취한다
여기서 n²(n+1)² = 12100 으로 전개하면 사차방정식이 되어 손을 댈 수 없습니다. 좌변이 통째로 제곱이니 제곱근을 먼저 벗기는 것이 길입니다 — 3025 = 55² 이므로 n(n+1)/2 = ±55. 그런데 n 은 자연수이니 좌변은 양수, 따라서 n(n+1)/2 = 55 ⇒ n(n+1) = 110 = 10 · 11 ⇒ n = 10.
Σk³ 이 「Σk 의 제곱」이라는 사실이 여기서 그대로 무기가 됩니다. 세제곱의 합이 주어지면 먼저 제곱근을 벗겨 Σk 로 되돌리고, 그 다음 연속한 두 수의 곱으로 읽으면 끝입니다. 110 근처의 제곱수는 10² = 100 이니 n은 10 언저리 — 이렇게 어림하면 곧바로 찾습니다.
검산 — (10 · 11 / 2)² = 55² = 3025 ✓
n = 10
※ 3025 = 55² 를 알아보는 것이 열쇠다. 55는 10·11/2 — 자주 나오는 수이니 익혀 두자.
도전 41에서 시작하지 않는 세제곱의 합
6³ + 7³ + 8³ + ⋯ + 12³ 의 값을 구하시오.
풀이 — 1부터 12까지에서 1부터 5까지를 뺀다
공식은 늘 k = 1부터이므로 Σk=112k³ − Σk=15k³ 로 만든다. (빼는 쪽은 6이 아니라 5까지 — 6³은 답에 들어가야 한다.)
12 · 13 / 2 = 78, 5 · 6 / 2 = 15.
⭐ 여기가 고비 — 78² − 15² 이지, (78 − 15)² 이 아니다Σk³ = {n(n+1)/2}² 라는 모양 때문에, 안쪽끼리 먼저 빼고 나서 제곱하는 실수가 여기서 대량으로 납니다 — (78 − 15)² = 63² = 3969. 그러나 우리가 빼는 것은 두 개의 「합」이지 두 개의 「n(n+1)/2」가 아닙니다. 합은 각각 78² 과 15² 이므로 78² − 15² = 6084 − 225 = 5859.
차이가 얼마나 큰지 보십시오 — 5859 와 3969, 1890이나 어긋납니다.제곱을 벗기고 씌우는 자리는 언제나 위험합니다 — a² − b² ≠ (a − b)². 먼저 각각 끝까지 계산해 「값」으로 만든 다음에 빼십시오. 그러면 이 함정은 아예 생기지 않습니다.
🚧 틀린 길을 한 줄 가 보면안쪽끼리 먼저 빼서 (78 − 15)² = 63² = 3969.참값 5859 와 1890 이나 어긋난다 — a² − b² 와 (a − b)² 는 전혀 다른 수다.⇨ Σk³ 은 각각 제곱까지 끝낸 뒤 뺀다. 값으로 만들어 놓고 빼면 틀릴 수 없다.
5859
※ 빼는 쪽은 5까지다. 6까지 빼면 6³ = 216 이 사라진다 — 항의 개수로 꼭 세어 보자.
도전 5이중 시그마 · 거꾸로 n 찾기
Σl=1n Σk=1l 2k = 112 일 때, n 의 값을 구하시오.
풀이 — 안쪽을 접으면 네 번째 공식이 나오고, 답은 연속한 세 수의 곱이 된다
안쪽 : 2 · l(l + 1)2 = l² + l ⇒ 글자를 k로 바꾸면 Σk=1n(k² + k).
네 번째 공식으로 n(n + 1)(n + 2)3 = 112 ⇒ n(n + 1)(n + 2) = 336.
⭐ 여기가 고비 — 삼차방정식을 풀지 말고, 「연속한 세 수의 곱」으로 읽는다n³ + 3n² + 2n − 336 = 0 으로 전개하면 삼차방정식이 되어 인수정리를 써야 합니다. 그러나 좌변은 이미 연속한 세 자연수의 곱입니다. 그러니 336에 가까운 세제곱수를 찾으면 됩니다 — 6³ = 216, 7³ = 343. 336은 7³ 바로 아래이니 가운데 수가 7 언저리, 곧 6 · 7 · 8 = 336 ⇒ n = 6.
네 번째 공식을 n(n+1)(n+2)/3 이라는 「연속 세 수」 꼴로 정리해 둔 값어치가 바로 이 자리입니다(연습 2 참고). 만일 n(n+1)(2n+4)/6 인 채로 두었다면 이렇게 읽히지 않았겠지요. 답을 가장 정돈된 꼴로 만들어 두는 일은 멋이 아니라 다음 문제를 위한 준비입니다.
⭐ 여기가 고비 — 세제곱까지 나온다 — Σk³ 공식이 여기서 필요하다
안쪽 결과를 그대로 두면 바깥에 걸 공식이 없습니다. 곱해서 풀면 j(j+1)(2j+1) = 2j³ + 3j² + j — 세제곱이 나타납니다. 여기서 「Σk³ 은 안 배웠나?」 하고 멈추는 학생이 많은데, 우리는 이미 알고 있습니다 — Σk³ = {n(n+1)/2}². 세 공식을 모두 쓰면 됩니다.
⅙ 을 앞에 두고 세 조각을 각각 태우면⅙[2 · n²(n+1)²/4 + 3 · n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2]. 공통인수 n(n+1)/2 를 꺼내면 대괄호 안이 n(n+1) + (2n+1) + 1 = n² + 3n + 2 = (n+1)(n+2) 로 깨끗하게 인수분해됩니다.세제곱이 나온다고 겁먹지 않는 것 — 그것이 이 문제의 전부입니다.