YEON MATH · 행복수학

각과 맞꼭지각 완전정복
— 가는 순서가 똑같이 가야 된다 · 연습 10제

예각·직각·둔각·평각 · 맞꼭지각의 짝을 이름으로 찾기 · 평각과 직각의 방정식 · 각의 비 · 직교와 수직이등분선 · 점과 직선 사이의 거리

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 각 문제는 이 다섯 가지면 끝난다

1
가운데 글자가 꼭짓점 — \(\angle \mathrm{AOB}\) 에서 O 가 꼭짓점. 바깥 두 글자는 방향만 가리키므로, 같은 반직선 위의 점이면 아무거나 써도 같은 각이다.
2
크기로 붙이는 이름은 넷 — 예각(\(<90^\circ\)) · 직각(\(=90^\circ\)) · 둔각(\(90^\circ < \square < 180^\circ\)) · 평각(\(=180^\circ\)). 언제나 90° 를 먼저 찍어 놓고 견준다.
3
맞꼭지각은 같다 — 짝을 찾을 때는 가는 순서가 똑같이. 출발점의 반대편, 도착점의 반대편, 가운데는 그대로.
4
평각은 180°, 직각은 90° — 한 직선 위에 늘어선 각은 모두 더해 180°, 직각 기호가 보이면 90° 가 공짜로 하나 생긴 것이다.
5
거리는 수직으로 내린 선 하나뿐 — 점과 직선 사이의 거리는 수선의 발까지의 길이. 삐딱하게 그은 선은 거리가 아니다.
"aof 여기서 이렇게 가면 여기서도 여기서 이렇게 가야 돼 / doc라고 그래야 돼 … 가는 순서가 똑같이 가야 된다"— 장대경 선생님, 맞꼭지각의 짝을 찾는 자리 [26:53~27:04]
"요 가운데 있는게 바로 뭔데 각을 가르쳐 주는거다 / 가운데 이게 바로 가르치는거다"— 장대경 선생님, 각을 세 글자로 쓰는 자리 [21:30~21:35]

이 개념, 학년마다 이렇게

📐 초4~5 (준비)
각도기로 각을 재고, 예각·직각·둔각을 갈라 보던 그 일. 이제는 재지 않고 계산으로 구한다.
🎓 중1 (핵심)
각의 표기와 네 종류, 맞꼭지각, 직교와 수직이등분선, 점과 직선 사이의 거리.
🚀 중2~3 (확장)
평행선의 동위각·엇각, 삼각형의 외각, 원의 중심각과 원주각 — 전부 여기서 배운 각의 이름으로 말한다.

연습 10제 · 그림 해설

문제 1C각의 네 종류
다음 각 가운데 둔각인 것을 모두 고르시오.
㉠ 35°㉡ 90°㉢ 91°㉣ 118°㉤ 180°

풀이 — 90° 를 먼저 찍어 놓고 견준다

  1. ㉠ 35° 는 90° 보다 작다 → 예각.
  2. ㉡ 90° 는 딱 90° → 직각.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 둔각의 위쪽 문은 180°, 그리고 양쪽 문이 다 열려 있다 둔각은 \(90^\circ < \square < 180^\circ\) 입니다. 등호가 하나도 없습니다. 그래서 ㉡ 90° 도 ㉤ 180° 도 둔각이 아닙니다 — 각각 직각과 평각이라는 제 이름이 따로 있으니까요. 특히 ㉢ 91° 를 빠뜨리기 쉽습니다. 90° 와 겨우 1° 차이라 「거의 직각」처럼 보이지만, 90° 를 넘은 순간부터 둔각입니다. 반대로 89° 는 1° 모자라니 예각이고요. 둔각은 「크게 벌어진 각」이 아니라 「90° 보다 큰 각」입니다. 눈이 아니라 수로 가르세요.
  4. ㉣ 118° 는 90° 보다 크고 180° 보다 작다 → 둔각. ㉤ 180° 는 평각.
㉢, ㉣
문제 2C평각 180°
오른쪽 그림에서 세 점 A, O, B 는 한 직선 위에 있다. \(\angle x\) 의 크기를 구하여라.
A B C O 65° x
한 직선 위에 늘어선 각은 모두 더해서 180°.

풀이 — 평각에서 빼면 끝

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「평평하다」는 말이 곧 180° 라는 식 하나다 그림에 숫자라고는 65° 하나뿐이라 막막해 보입니다. 하지만 A, O, B 가 한 직선 위라는 한 마디가 \(\angle \mathrm{AOB} = 180^\circ\) 라는 식을 공짜로 줍니다. 곧 \(x + 65 = 180\) 입니다. 그래서 \(x = 180 - 65 = 115^\circ\). 문제에 「한 직선 위에 있다」 · 「일직선을 이룬다」 같은 말이 보이면 그 자리에서 180° 를 적어 두세요. 그 한 줄이 미지수를 풀어 줍니다.
  2. 검산: \(115 + 65 = 180\) ✓ 그리고 115° 는 90° 보다 크고 180° 보다 작으니 둔각, 그림과 맞는다.
x = 115°
문제 3B맞꼭지각의 짝 찾기
오른쪽 그림에서 세 직선 AD, BE, CF 가 점 O 에서 만난다. \(\angle \mathrm{AOB}\) 의 맞꼭지각을 이름으로 쓰고, \(\angle \mathrm{BOD}\) 의 맞꼭지각도 쓰시오.
A B C D E F O
크기를 재려 들지 마라. 이름만 보고 찾는 문제다.

풀이 — 반대편 반직선을 먼저 적어 둔다

  1. 세 직선이 AD, BE, CF 이므로 마주 보는 반직선은 OA↔OD, OB↔OE, OC↔OF 이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「가는 순서가 똑같이 가야 된다」 맞꼭지각을 찾을 때 글자 두 개를 아무렇게나 바꿔 쓰면 안 됩니다. \(\angle \mathrm{AOB}\) 는 A 에서 출발해 O 를 거쳐 B 로 가는 각입니다. 그러니 그 맞꼭지각도 똑같은 차례로 가야 합니다 — 출발점 A 의 반대편 D 에서 출발해, 가운데 O 는 그대로 거쳐, 도착점 B 의 반대편 E 로. 곧 \(\angle \mathrm{AOB}\) 의 맞꼭지각은 \(\angle \mathrm{DOE}\) 입니다. 같은 방법으로 \(\angle \mathrm{BOD}\) 는 B 의 반대편 E, D 의 반대편 A 이므로 \(\angle \mathrm{EOA}\) 입니다. 가운데 글자 O 는 절대 바뀌지 않습니다 — 꼭짓점은 하나뿐이니까요.
  3. 되짚기: ∠AOF 라면 A↔D, F↔C 이므로 ∠DOC. ∠DOF 라면 D↔A, F↔C 이므로 ∠AOC.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「붙어 있으니까 맞꼭지각이겠지」 "∠AOB 옆에 붙어 있는 ∠BOC 가 맞꼭지각 아닌가?" 붙어 있는 각은 맞꼭지각이 아니라 이웃한 각입니다. 맞꼭지각은 꼭짓점을 사이에 두고 정반대편에 있습니다. → 두 반직선을 둘 다 반대편으로 뒤집어야 맞꼭지각이 됩니다. 하나만 뒤집으면 이웃한 각이 됩니다.
∠AOB 의 맞꼭지각 = ∠DOE, ∠BOD 의 맞꼭지각 = ∠EOA
문제 4B맞꼭지각 방정식
오른쪽 그림에서 두 직선이 점 O 에서 만난다. \(x\) 의 값과 두 각의 크기를 구하여라.
O (2x−15)° (x+25)°
두 각이 마주 보고 있는지부터 확인한다. 마주 보면 그대로 등호로 묶는다.

풀이 — 맞꼭지각은 같다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 식을 더할 것인가 같다고 놓을 것인가 각 문제에서 식이 둘 나오면 학생들은 버릇처럼 더해서 180° 라고 씁니다. 하지만 그건 이웃한 각(한 직선 위에 나란히 놓인 각)일 때입니다. 이 그림의 두 각은 꼭짓점 O 를 사이에 두고 정반대편에 있으니 맞꼭지각이고, 맞꼭지각은 크기가 서로 같습니다. 그래서 더하는 게 아니라 \(2x - 15 = x + 25\) 로 놓습니다. \(x\) 를 넘기면 \(x = 40\). 붙어 있으면 더해서 180°, 마주 보면 같다 — 이 한 줄을 그림을 보며 먼저 정하고 식을 세우세요.
  2. \(2x - 15 = x + 25 \Rightarrow x = 40\).
  3. 검산: \(2 \times 40 - 15 = 65\) · \(40 + 25 = 65\) → 두 각이 모두 65° ✓ (이웃한 각은 \(180 - 65 = 115^\circ\))
x = 40, 두 각은 모두 65°
문제 5B직각이 섞인 평각
오른쪽 그림에서 \(x\) 의 값을 구하고, 세 각의 크기를 각각 구하여라.
(x+15)° 2x°
직각 기호가 보이면 90° 가 공짜로 하나 생긴 것이다.

풀이 — 한 직선 위의 각을 모두 더하면 180°

  1. ⭐ 여기가 고비 — 직각 기호도 더해야 할 항이다 직각 기호는 그림 장식이 아닙니다. 90° 라는 숫자 하나가 그 자리에 적혀 있는 것과 똑같습니다. 그런데 숫자로 안 적혀 있으니 빼먹고 \((x+15) + 2x = 180\) 이라고 세우기 쉽습니다. 그러면 \(3x = 165\), \(x = 55\) 라는 엉뚱한 답이 나옵니다. 바르게는 \((x + 15) + 90 + 2x = 180\) 입니다. 정리하면 \(3x + 105 = 180\), \(3x = 75\), \(x = 25\). 그림에서 세어야 할 각이 몇 조각인지 먼저 손가락으로 짚어 보세요 — 여기서는 세 조각입니다. 조각 수와 식의 항 수가 같은지 확인하면 이 실수가 사라집니다.
  2. \((x+15) + 90 + 2x = 180 \Rightarrow 3x = 75 \Rightarrow x = 25\).
  3. 세 각: \(25 + 15 = 40^\circ\) · \(90^\circ\) · \(2 \times 25 = 50^\circ\).
  4. 검산: \(40 + 90 + 50 = 180\) ✓
x = 25 · 세 각은 40°, 90°, 50°
문제 6B평각과 각의 비
오른쪽 그림에서 \(\angle x : \angle y : \angle z = 4 : 5 : 6\) 일 때, \(\angle y\) 의 크기를 구하여라.
x y z
비가 나오면 한 덩어리를 \(a\) 로 두는 것이 가장 빠르다.

풀이 — 비를 \(a\) 로 바꿔 놓는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「4 : 5 : 6」을 4a, 5a, 6a 로 바꾸는 한 수 비만 주어지면 미지수가 셋처럼 보여 겁이 납니다. 하지만 비는 같은 덩어리를 몇 개씩 가졌는가를 말할 뿐입니다. 그래서 덩어리 하나를 \(a\) 라 두면 \(\angle x = 4a\), \(\angle y = 5a\), \(\angle z = 6a\) — 미지수가 단번에 하나로 줄어듭니다. 한 직선 위이므로 \(4a + 5a + 6a = 180\), 곧 \(15a = 180\), \(a = 12\). 묻는 것은 \(\angle y = 5a = 60^\circ\) 입니다. 여기서 \(a = 12\) 를 답으로 적고 끝내면 안 됩니다 — \(a\) 는 덩어리 하나의 크기일 뿐, 문제가 묻는 각이 아닙니다. 마지막에 「무엇을 물었는지」를 다시 읽는 습관이 이 문제의 절반입니다.
  2. \(15a = 180 \Rightarrow a = 12\) · \(\angle y = 5a = 60^\circ\).
  3. 검산: \(\angle x = 48^\circ\), \(\angle y = 60^\circ\), \(\angle z = 72^\circ\) → \(48 + 60 + 72 = 180\) ✓ 그리고 \(48 : 60 : 72 = 4 : 5 : 6\) ✓
∠y = 60°
문제 7B직각과 각의 비
오른쪽 그림에서 \(\overline{\mathrm{OA}} \perp \overline{\mathrm{OC}}\) 이고 \(\angle \mathrm{AOB} : \angle \mathrm{BOC} = 2 : 3\) 일 때, \(\angle \mathrm{BOC}\) 의 크기를 구하여라.
O A B C 2 3
전체가 180° 가 아니라 90° 다. 여기서 한 번 미끄러진다.

풀이 — 전체가 얼마인지부터 못 박는다

  1. \(\angle \mathrm{AOB} = 2a\), \(\angle \mathrm{BOC} = 3a\) 라 두자.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 전체가 90° 이지 180° 가 아니다 앞 문제(6번)를 막 풀고 온 학생은 손이 저절로 \(5a = 180\) 을 씁니다. 그러면 \(a = 36\), \(\angle \mathrm{BOC} = 108^\circ\) — 직각보다 큰 각이 나와 그림과 어긋납니다. 이 문제가 준 것은 \(\overline{\mathrm{OA}} \perp \overline{\mathrm{OC}}\), 곧 \(\angle \mathrm{AOC} = 90^\circ\) 입니다. 그러니 \(2a + 3a = 90\), 곧 \(5a = 90\), \(a = 18\). 묻는 \(\angle \mathrm{BOC} = 3a = 54^\circ\) 입니다. 비 문제는 「누구를 나누어 가진 비인가」를 먼저 적고 시작하세요. 평각을 나눈 비면 180, 직각을 나눈 비면 90 — 이것만 갈라 놓으면 절대 안 틀립니다.
  3. \(5a = 90 \Rightarrow a = 18\) · \(\angle \mathrm{BOC} = 3 \times 18 = 54^\circ\).
  4. 검산: \(\angle \mathrm{AOB} = 36^\circ\) 이고 \(36 + 54 = 90\) ✓ \(36 : 54 = 2 : 3\) ✓ 둘 다 예각이라 그림과 맞는다.
∠BOC = 54°
문제 8B합만 주어진 맞꼭지각
오른쪽 그림에서 \(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{C} = 260^\circ\) 일 때, \(\angle \mathrm{B}\) 의 크기를 구하여라.
∠A ∠B ∠C ∠D
합만 주어졌을 때는 「둘이 같다」를 먼저 찾는다.

풀이 — 같은 둘의 합이면 반으로 나눈다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 식이 하나뿐인데 미지수가 둘로 보인다 \(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{C} = 260^\circ\) 한 줄로는 두 각이 각각 얼마인지 알 수 없어 보입니다. 그런데 그림을 보면 ∠A 와 ∠C 는 꼭짓점을 사이에 두고 정반대편에 있습니다 — 맞꼭지각입니다. 맞꼭지각은 크기가 서로 같으므로, 둘은 사실 같은 수 두 개입니다. 그러니 합을 반으로 나누면 \(\angle \mathrm{A} = \angle \mathrm{C} = 130^\circ\). 그리고 ∠B 는 ∠A 와 한 직선 위에 나란히 있으니 평각에서 빼면 됩니다 — \(\angle \mathrm{B} = 180 - 130 = 50^\circ\). 「합만 주어졌다」는 것은 대개 「둘이 같다」를 찾으라는 신호입니다.
  2. \(\angle \mathrm{A} = \angle \mathrm{C} = 260 \div 2 = 130^\circ\).
  3. \(\angle \mathrm{B} = 180 - 130 = 50^\circ\) (그리고 \(\angle \mathrm{D}\) 도 ∠B 의 맞꼭지각이므로 50°).
  4. 검산: 네 각을 모두 더하면 \(130 + 50 + 130 + 50 = 360^\circ\) ✓ (한 점 둘레는 360°)
∠B = 50°
문제 9B점과 직선 사이의 거리
오른쪽 그림은 \(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\) 이고 \(\overline{\mathrm{AC}} = 3\,\mathrm{cm}\), \(\overline{\mathrm{AB}} = 4\,\mathrm{cm}\), \(\overline{\mathrm{BC}} = 5\,\mathrm{cm}\) 인 삼각형 ABC 이다. ① 점 C 와 변 AB 사이의 거리, ② 점 A 와 변 BC 사이의 거리를 각각 구하여라.
A B C H 4cm 3cm 5cm
「거리」는 언제나 수직으로 내린 선. 이미 수직인 변이 있으면 그 변이 곧 거리다.

풀이 — 먼저 「이미 수직인가」를 본다

  1. ① \(\angle \mathrm{A} = 90^\circ\) 이므로 \(\overline{\mathrm{CA}} \perp \overline{\mathrm{AB}}\). 점 C 에서 AB 에 내린 수선의 발이 곧 A 이다. 그래서 거리는 \(\overline{\mathrm{CA}} = 3\,\mathrm{cm}\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — ②는 왜 4cm 도 5cm 도 아닌가 ②에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4\) 나 \(\overline{\mathrm{AC}} = 3\) 을 답으로 쓰기 쉽습니다. 하지만 점 A 에서 「변 BC 에」 수직으로 내려야 합니다. AB 도 AC 도 BC 와 수직이 아니므로 거리가 아닙니다. 수직으로 내린 것은 그림의 빨간 점선 AH 하나뿐입니다. 길이는 넓이를 두 번 세어 구합니다. · 밑변을 AB 로 보면 : 넓이 \(= \tfrac12 \times 4 \times 3 = 6\)
    · 밑변을 BC 로 보면 : 넓이 \(= \tfrac12 \times 5 \times \overline{\mathrm{AH}}\)
    같은 삼각형이니 넓이가 같습니다 — \(\tfrac12 \times 5 \times \overline{\mathrm{AH}} = 6\), 곧 \(\overline{\mathrm{AH}} = \dfrac{12}{5} = 2.4\,\mathrm{cm}\). 「높이를 모를 때는 넓이를 두 길로 세어라」 — 중학교 내내 쓰는 손버릇입니다.
  3. 검산: \(\tfrac12 \times 5 \times 2.4 = 6\) ✓ 두 길로 센 넓이가 같다. 또 \(2.4 < 3 < 4\) 이므로 수직으로 내린 선이 가장 짧다는 것과도 맞는다.
"야 같이 이렇게 가거나 이렇게 가거나 이렇게 가는 거는 두 점 사이 거리라 할 수가 없다 … 오로지 직선이 돼야 돼"— 장대경 선생님, 거리를 못 박는 자리 [9:20~9:29]
① 3cm ② 2.4cm
문제 10A직각 두 개가 겹쳐 있을 때
오른쪽 그림에서 세 점 A, O, E 는 한 직선 위에 있고, 반직선 OB, OC, OD 는 그림과 같은 차례로 놓여 있다. \(\angle \mathrm{AOC} = 90^\circ\), \(\angle \mathrm{BOD} = 90^\circ\), \(\angle \mathrm{DOE} = 40^\circ\) 일 때, \(\angle \mathrm{BOC}\) 와 \(\angle \mathrm{AOB}\) 의 크기를 각각 구하여라.
A B C D E O 40° ?
직각 두 개가 겹쳐서 놓여 있다. 겹친 부분을 찾는 것이 이 문제의 전부다.

풀이 — 평각을 네 조각으로 갈라 이름을 붙인다

  1. A, O, E 가 한 직선 위이므로 \(\angle \mathrm{AOB} + \angle \mathrm{BOC} + \angle \mathrm{COD} + \angle \mathrm{DOE} = 180^\circ\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 두 직각이 ∠BOC 를 함께 쓰고 있다 \(\angle \mathrm{AOC} = 90^\circ\) 는 \(\angle \mathrm{AOB} + \angle \mathrm{BOC}\) 이고, \(\angle \mathrm{BOD} = 90^\circ\) 는 \(\angle \mathrm{BOC} + \angle \mathrm{COD}\) 입니다. 두 직각이 가운데 \(\angle \mathrm{BOC}\) 를 겹쳐서 나눠 쓰고 있다 — 이것을 보는 순간 문제가 풀립니다. 평각 180° 에서 주어진 \(\angle \mathrm{DOE} = 40^\circ\) 와 \(\angle \mathrm{AOC} = 90^\circ\) 를 빼면 남는 것은 \(\angle \mathrm{COD}\) 하나입니다 — \(\angle \mathrm{COD} = 180 - 90 - 40 = 50^\circ\).
    이제 \(\angle \mathrm{BOD} = 90^\circ\) 에서 방금 구한 50° 를 빼면 \(\angle \mathrm{BOC} = 90 - 50 = 40^\circ\).
    마지막으로 \(\angle \mathrm{AOC} = 90^\circ\) 에서 40° 를 빼면 \(\angle \mathrm{AOB} = 50^\circ\). 겹친 각을 가진 두 조건이 있으면, 겹치지 않는 쪽부터 하나씩 벗겨 내는 것이 순서입니다.
  3. \(\angle \mathrm{COD} = 180 - 90 - 40 = 50^\circ\) → \(\angle \mathrm{BOC} = 90 - 50 = 40^\circ\) → \(\angle \mathrm{AOB} = 90 - 40 = 50^\circ\).
  4. 검산: \(50 + 40 + 50 + 40 = 180\) ✓ · \(\angle \mathrm{AOC} = 50 + 40 = 90\) ✓ · \(\angle \mathrm{BOD} = 40 + 50 = 90\) ✓ 세 조건이 모두 선다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「직각 두 개니까 180° 다」 "∠AOC 와 ∠BOD 가 각각 90° 니까 합이 180° 이고, 그러면 평각 전체가 되겠네." 두 각이 겹치는 부분(∠BOC) 을 두 번 세고, 겹치지 않는 ∠DOE 는 아예 빼먹은 셈입니다. 실제로는 \(90 + 90 = 180\) 이 아니라 \(180 - \angle \mathrm{DOE} + \angle \mathrm{BOC} = 180 - 40 + 40 = 180\) 으로 우연히 같아 보일 뿐입니다. → 겹친 각이 있으면 「더한 것 − 겹친 것」 을 반드시 확인하세요. 그림에 조각을 하나씩 번호로 적어 두면 겹침이 눈에 보입니다.
∠BOC = 40°, ∠AOB = 50°
"수직 2등분선(이)라는 말은 2등분을 반으로 갈랐단 얘기라"— 장대경 선생님, 수직이등분선을 이름으로 푸는 자리 [33:39~33:46]
"이해 안 되는 사람은 몇 번이고 반복해서 동영상을 보면서 이해할 때까지 보기 바랍니다"— 장대경 선생님, 이 회차 닫는 말 [44:58~45:06]
※ 이 자료의 열 문항은 장대경 선생님의 방법을 따라 새로 지은 것이며, 모든 답을 직접 검산했습니다. 각 문항의 각을 한 자리씩 실제로 더해 평각 180° · 직각 90° 가 되는지 되확인했고, 9번은 넓이를 두 길로 세어 맞췄습니다. 원본 강의의 예제 가운데 전사만으로 그림이 정해지지 않는 것은 강의에도 연습문제에도 싣지 않았습니다. 자세한 까닭은 짝 강의 index.html 맨 위 주석에 적어 두었습니다.
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