연플래닝 ACADEMY
🔄✨
오늘은 도형의 이동 — 밀기와 뒤집기
오늘 칠판에서 낱말 하나에 파란 동그라미를 쳤다.
"뭐뭐에 의하여라는 말이 나서…
의하여라는 나오면은 반대로 가라, 이 뜻이라는 뜻이다"
— 장대경 선생님 · 평행이동과 대칭이동 · 약 49분
뭐뭐에 의하여…반대로 가라
📄
저학년 직관 · 밀기와 뒤집기
종이에 도형을 하나 그려 놓고…
① 오른쪽으로 쭉 밀면 — 평행이동 (모양 그대로, 자리만)
② 접어서 뒤집으면 — 대칭이동 (접는 선이 방향을 정한다)
오늘 배우는 건 이 둘뿐이다.
평행이동 — 모양 그대로, 자리만밀기대칭이동 — 접는 선이 방향을 정한다뒤집기
무기① 점은 더하고, 식은 뺀다
점을 옮길 때 — (x, y) → (x + p, y + q)
식을 옮길 때 — x → x − p,  y → y − q
부호가 서로 반대다. 여기서 한 번 헷갈리면 끝까지 헷갈린다.
yx(x, y)(x+p, y+q)pq식은 x→x−py→y−q점은 + · 식은 − → 부호가 반대
예제① 직선을 옮기면
3x − 2y + 1 = 0 을 x축으로 4, y축으로 n 만큼
x → x−4 · y → y−n  ⇒  3x − 2y + 2n − 11 = 0
이것이 3x − 2y − 5 = 0 이라면 2n − 11 = −5
⇒ n = 3
yx3x−2y+1=0x축으로 4y축으로 n3x−2y−5=02n − 11 = −5 → n = 3
⭐
오늘 가장 중요한 자리 — "의하여"
「어떤 평행이동에 의하여 ○○로 옮겨진다」
= ○○ 는 이미 옮겨진 뒤의 결과다
⇒ 원래 자리를 찾으려면 옮김량을 더하지 말고 뺀다
이 세 글자에 동그라미를 쳐 놓고 문제를 읽어라.
원래자리 ?옮겨진결과 ○○이 평행이동에 의하여(옮김량을 더해서)반대로! 옮김량을 뺀다의하여의하여가 나오면 반대로 가라
예제② 의하여로 거꾸로
(−3, 2) 를 (1, −4) 로 옮기는 평행이동 ⇒ 옮김량 (4, −6)
이 평행이동에 의하여 (5, −2) 로 옮겨지는 점은?
반대로 — (5 − 4,  −2 − (−6)) = (1, 4)
되짚기 — (1, 4) + (4, −6) = (5, −2)  ✓
yx(−3, 2)(1, −4)옮김량 (+4, −6)(5, −2) 결과(1, 4) 원래 점되짚기 ✓ (1,4)+(4,−6)=(5,−2)
무기③ 대칭은 부호 장사
x축 대칭 — y 의 부호가 바뀐다
y축 대칭 — x 의 부호가 바뀐다
원점 대칭 — 둘 다 바뀐다
y = x 대칭 — x 와 y 가 자리를 바꾼다
점 (2, −5) 로 확인 — (2, 5) · (−2, −5) · (−2, 5) · (−5, 2)
yx(2, −5)x축 (2, 5)y축 (−2, −5)원점 (−2, 5)y=x (−5, 2)
예제③ 대칭시킨 식은 바로 예쁘게
(x − 3)² + (y + 2)² = k 를 x축 대칭
y 의 부호가 바뀌어 → (x − 3)² + (−y + 2)² = k
여기서 멈추지 마라 → (x − 3)² + (y − 2)² = k
제곱 안 부호는 통째로 뒤집어도 값이 같다. 이걸 안 하면 중심을 잘못 읽는다.
yx(3, −2)(x−3)² + (y+2)² = k(3, 2)x축 대칭 → y 부호가 바뀐다(−y+2)² = (y−2)² 바로 예쁘게!
무기④ 원은 중심부터 · 낱말 셋
대입할 생각부터 하지 마라 — 완전제곱으로 중심·반지름을 먼저 뽑는다.
겹친다 → 반지름이 같다
넓이를 이등분 → 중심을 지난다
접한다 → 중심에서 직선까지 거리 = 반지름
낱말만 바꿔 읽으면 식이 저절로 나온다.
겹친다 = 반지름이 같다이등분 = 중심을 지난다접한다 = 거리가 반지름
예제④ 겹친다 = 반지름이 같다
x² + y² + 6x − 2y + 5 = 0 → (x+3)² + (y−1)² = 5
(x+1)² + (y−2)² = 5  겹친다
(x+3)² + (y−1)² = 9  안 겹친다
중심은 볼 것도 없다. 반지름만 본다.
yx반지름² = 5① 반지름² = 5 → 겹친다② 반지름² = 9 → 안 겹친다
예제⑤ 이등분 과 접한다
y = 2x + 1 을 (a, 3a) 만큼 → y = 2x + a + 1
중심 (1, −2) 를 지나야 하므로 ⇒ a = −5
x² + (y−a)² = 1 이 4x + 3y + 2 = 0 에 접한다
|3a + 2| ÷ 5 = 1 ⇒ 양수 a = 1
yx중심 (1, −2)중심을 지나도록 옮긴다−2 = 2+a+1 → a = −5yx(0, a)접점중심 (0, a) → 직선까지 거리 = 1|3a+2| / 5 = 1 → a = 1
무기⑤ 직선에 대칭이면 둘을 쓴다
① 두 점의 중점이 그 직선 위에 있다
② 두 기울기를 곱하면 −1 (반드시 수직이 된다)
이 둘을 세우면 모르는 것이 두 개라도 연립으로 풀린다.
yxPQ직선 L중점 M① 중점이 직선 위② 기울기 곱 = −1 (수직)
예제⑥ 대칭축 찾기 · 최솟값
P(1, 5) · Q(3, 3) 이 L 에 대칭 → 중점 (2, 4) · 기울기 1
⇒ L : y = x + 2  되짚기 P→(3,3)=Q ✓
두 축과의 삼각형 넓이 ⇒ 2
A(1,2) · B(5,9) · P 는 y = x 위 — AP + BP 최솟값
A 를 대칭 → A′(2, 1) ⇒ √73
yxP(1, 5)Q(3, 3)M(2, 4)L: y=x+2삼각형 넓이 = ½·2·2 = 2yxA(1, 2)B(5, 9)A′(2, 1)PAP + BP 최솟값 = A′B = √73
정리 · 더하고 · 빼고 · 뒤집는다
① 점은 더하고, 식은 뺀다
② 의하여가 나오면 반대로 간다
③ 대칭은 부호 장사 — x축·y축·원점·y=x
④ 원은 중심부터 — 겹친다·이등분·접한다
⑤ 직선에 대칭이면 중점과 수직 둘
외우는 게 아니라 낱말을 읽는 것이다.
＋−점은 더하고 식은 뺀다↺의하여 → 반대로±대칭은 부호 장사◯원은 중심부터⊥직선 대칭 = 중점 + 수직
이어서 해 보기
🖐 만지는 수학 — 손으로 옮겨 보기 📖 살아있는 수학 — 교과서 단원 ⭐ 별과 정리 — 헤론의 거울
1 / 12

📱 공유 & QR

⭐ 저장한 장면 — 다시보기

📚 앱에서 저장 장면 전체 보기